专题04 勾股定理相关压轴实际问题分类训练（6种类型48道）（压轴题专项训练，重庆专用）数学新教材人教版八年级下册

专题04 勾股定理相关压轴实际问题分类训练 （6种类型48道） 1．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米．地 城 类型01 判定是否超速 (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】(1)两赛车之间的距离是30米 (2)当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 答：两赛车之间的距离是30米． （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 2．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在到迎泽大街（直线AO）的距离（线段PO）为120米的点P处.这时，一辆小轿车由点A向点O匀速行驶，测得此车从点A处行驶到点B处所用的时间为5秒，且∠APO＝60°，∠BPO＝45°．（参考数据：≈1.414，≈1.732） (1)求点A，B之间的距离；（精确到0.1米） (2)请判断此车是否超过了迎泽大街每小时60千米的限制速度，并说明理由． 【答案】(1)87.8米 (2)此车超过迎泽大街每小时60千米的限制速度，理由见解析 【分析】（1）根据解直角三角形求得AO、BO即可； （2）根据速度=路程÷时间求出车速即可判断． 【详解】（1）解：在Rt△APO中，∠APO＝60°，∴∠PAO＝30°， ∵PO＝120米，∴AP＝2PO＝240米，   根据勾股定理，得AO＝＝120米 ， 在Rt△BPO中，∠BPO＝45°，∴∠PBO＝45°， ∴BO＝PO＝120米， ∴AB＝AO－BO＝120－120≈87.8(米)； （2）解：超过了．     理由：车速为＝17.56(米/秒)， 限速为≈16.67(米/秒).     ∵17.56>16.67， ∴此车超过迎泽大街每小时60千米的限制速度． 【点睛】本题考查含30°的直角三角形边角关系、等腰直角三角形的判定，熟练掌握直角三角形的性质是解答的关键． 3．“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米． (1)求小汽车6秒走的路程； (2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？ 【答案】(1)120米 (2)72千米小时，小汽车超速了 【分析】（1）过点作，可得米，设汽车经过6秒后到达点，连接，则有米，利用勾股定理可求得的长，即小汽车6秒所走的路程； （2）利用速度路程时间，即可判断． 【详解】（1）解：过点作，设汽车经过6秒后到达点，连接，如图所示： 由题意可得：米，米， 在中， （米， 答：小汽车6秒走的路程为120米； （2）解：小汽车6秒中的平均速度为：（米秒）（千米小时）， ， 小汽车超速了． 【点睛】本题主要考查勾股定理的应用，解答的关键是理解清楚题意，作出相应的图形． 4．如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．    (1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？ (2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)见解析，80米 (2)超速，见解析 【分析】（1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度； （2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可． 【详解】（1）过点A作，交l于点D．    ，        在中，， 由勾股定理得 ，     新路长度是80米． （2）该车超速     在中，， 由勾股定理得 ，    该车经过区间用时 ∴该车的速度为   该车超速． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理揭示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解． 5．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同学在幸福大道段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的P处．这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为，并测得，， (1)求AP的长？ (2)试判断此车是否超过了/的限制速度？（） 【答案】(1)AP的长为200m (2)此车超过了80/的限制速度 【分析】（1）根据含30度角直角三角形的性质，即可求解； （2）根据勾股定理可得，再由等腰直角三角形的判定可得，可求出，即可求解． 【详解】（1）解：， ； （2）解：在中，，   ， 在中， ， ∴， ∴， ， ∴此车超过的限制速度． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，含30度角直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理，含30度角直角三角形的性质是解题的关键． 6．校车安全是近几年社会关注的热点问题之一，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验．如图所示，现在笔直的公路旁取一点，在公路上确定点，，使得，，再在上确定点，使得，测得米，已知本路段对校车限速是千米/时，若测得某校车从到匀速行驶用时秒．（参考数据：） (1)求点D到线段AB的距离（结果保留整数）； (2)利用（1）中的结果，请通过计算判断这辆车在本路段是否超速？ 【答案】(1)到线段的距离为米 (2)这辆车在本路段未超速 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理的应用． （1）过作于E，根据直角三角形两锐角互余求得，根据直角三角形中，角所对的边是斜边的一半可得，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求得的值； （2）根据直角三角形两锐角互余求得，，推得平分，根据角平分线上的点到两边的距离相等可得，求得的值，根据直角三角形中，角所对的边是斜边的一半可得的值，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可求得的值；即可判断是否超速． 【详解】（1）解：过作于E，如图： 则， ∵， ∴， 在中，， ∴（米）， 故到线段的距离为米． （2）解：∵，，， ∴，，， 则， 即平分， ∵，， ∴（米）， 则（米）， 在中，，， ∴（米）， 故（米）， 车速为（米/秒） 米/秒千米/时千米/时． 故这辆车在本路段未超速． 7．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米． (1)请求出观测点C到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)观测点C到公路的距离为米 (2)此车没有超速，理由见解析 【分析】此题主要考查了度的角所对的直角边是斜边的一半，勾股定理的应用；熟练掌握勾股定理是解决问题的关键． （1）过点C作于H，先求出的长，再用勾股定理求解即可； （2）先求出的长，再求出的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点C作于H， 在中， ， ． 米 （米） （米） 即观测点C到公路的距离为（米）． （2）解：米， 米 米 ∴车速为（米/秒） 千米/小时米/秒， ∴此车没有超速． 8．如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 【答案】(1)共用时4秒 (2)该车超速，理由见详解 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可 【详解】（1）解：依题意可得，， ∴，为直角三角形 ∵米，米， ∴米， ， ∴ 答∶共用时4秒； （2）解：超速，理由如下∶ ， ∵， ∴该车超速． 9．如图，，分别是两个港口，，是海上两座小岛景点，在正北方向千米处，在北偏东方向， 千米，在的南偏西60°方向，且在北偏西方向．（参考数据：）地 城 类型02 航海问题 (1)求港口和小岛的距离为多少千米（结果保留小数点后一位）； (2)一艘货船从港口出发沿前往港口，同时一艘观光船也从港口出发，沿路线前往小岛，货船的速度与观光船的速度之比为，出发小时后观光船在由到的途中且离港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等．求货船从港口出发多少小时后到达港口（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，运用了三角函数，并巧妙运用了两个直角三角形的公共边． （1）根据题意证得，求得过点作，交于，过点作，交于，，，结合直角三角形利用三角函数即可解答； （2）设货船速度为，观光船速度为， 过作于，于 根据行程关系，利用两个直角三角形的公共边，结合勾股定理列方程求出，用路程除以速度即可解答． 【详解】（1）解：∵在正北方向千米处，在北偏东方向， 千米，在的南偏西方向，且在北偏西方向， ∴，，， 过点作，交于，过点作，交于， 则， ∴， ∴， 则，，（千米）， ∴（千米）， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴（千米）， ∴（千米） 答：港口和小岛的距离为千米． （2）设货船速度为，观光船速度为， 出发小时后：货船行驶的路程 即货船在上的位置距点千米 观光船行驶的路程：， 因故观光船在上距点的距离为（记该点为）， 观光船在由到的途中且离港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等． 即，， ∴是等腰三角形， 过作于，于， 则， 由（1）得， 在中，，，则： ， ， ， 在中， 在中， ∴， 化简得， 解得或， ∵，故舍去， 货船速度为：， 由（1）可得（千米）， 货船从港口到港口用时：， 答：货船从港口出发小时后到达港口． 10．甲、乙两船从港口同时出发，甲船向北偏东的方向航行，乙船以16海里/时的速度向南偏东的方向航行，3小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若、两岛相距60海里，请求出甲船的航速是多少？ 【答案】12海里/时 【分析】首先理解方位角的概念，根据所给的方位角得到∠PBM=90°，根据勾股定理求得甲船所走的路程，再根据速度=路程÷时间，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ∴， 答：甲船的航速为12海里/时． 【点睛】本题考查勾股定理的应用，方位角的概念，解题关键是方位角的概念，熟练运用勾股定理． 11．如图，海岸线上有两座灯塔，，灯塔位于灯塔的正东方向，与灯塔相距．海上有甲、乙两艘货船，甲船位于灯塔的北偏东30°方向，与灯塔相距的的处；乙船位于灯塔的北偏东15°方向，与灯塔相距的处．求： (1)甲船与灯塔之间的距离； (2)两艘货船之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，可得为正三角形，即可得出答案； （2）过作于点，可得出为等腰直角三角形，再利用勾股定理即可得出答案； 【详解】（1）解：如图，连接． ∵甲船位于灯塔 B 的北偏东30°方向 ∴∠ABC=60° ∵，， ∴为正三角形， ∴， 即甲船与灯塔之间的距离为． （2）解：过作于点． ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∴两艘货船之间的距离为． 【点睛】此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，等边三角形，勾股定理．作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 12．如图，某海岸线MN的方向为北偏东75°，甲，乙两船分别向海岛C运送物资，甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行，乙船从港口B处沿北偏东30°方向航行，已知港口B到海岛C的距离为30海里，求港口A到海岛C的距离． 【答案】 【分析】过点C作CD⊥AM垂足为D，设CD=x，根据直角三角形的性质求可得AC=2x、BD=BC=x，再利用勾股定理可求得x，进而求得AC的长． 【详解】解：过点C作CD⊥AM垂足为D， ∴∠CAD=75°-45°=30°，∠CBD=75°-30°=30°， 设CD=x ∵在Rt△ACD中，∠CAD=75°-45°=30° ∴AC=2x ∵在Rt△BCD中，∠CBD=45°,BC=30 ∴BD=BC=x ∴，解得x= ∴AC=2x=． 答：港口A到海岛C的距离是海里． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，作垂线构造直角三角形是解决问题的关键． 13．如图所示，一艘轮船由A港口沿着北偏东的方向航行到达B港口，然后再沿北偏西方向航行到达C港口． (1)求A，C两港口之间的距离；（结果保留根号） (2)C港口在A港口的什么方向． 【答案】(1) (2)C港口在A港口的北偏东的方向上 【分析】（1）由题意得，由勾股定理，从而得出的长； （2）由（1）可得，求出即可． 【详解】（1）∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 根据勾股定理，知． 答：A、C两港之间的距离是； （2）由（1）知，是等腰直角三角形，且， ∴ ∴, ∴C港口在A港口的北偏东的方向上 【点睛】本题考查了勾股定理的应用和方向角，解决本题的关键是根据题意得到． 14．南海诸岛自古以来都是中国的领土，4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，军委主席习近平登上长沙舰检阅海军舰艇编队，包括辽宁号航母在内的48艘舰艇参加了阅兵仪式．如图，A、B是两处海港，其中A在B南偏东60°方向千米处，辽宁号航母从海港A出发，沿北偏东45°方向，以15千米/小时的速度匀速航行，两小时后，长沙舰从海港B出发，沿北偏东75°的方向匀速航行，两舰恰好同时到达阅兵地点C．长沙舰从海港B出发航行到达阅兵地点C用了多少时间？ 【答案】2小时 【分析】作，垂足为D，根据，得到为等腰直角三角形，根据勾股定理求出AD的长度，再计算出，即可求得AC的长，根据速度即可得到时间． 【详解】解：如下图所示，过点A作，垂足为D， 由题意得，，， ∴， 在中，， 设，则 解得， 在中，， ∴， ∴辽宁号航母从A到C的时间为60÷15＝4小时， ∴长沙舰从 B到C所用时间为4-2＝2小时， 答：长沙舰从海港出发航行到达阅兵地点用了2小时． 【点睛】此题考查勾股定理、等腰直角三角形和含角的直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关知识． 15．如图，一艘轮船以每小时35海里的速度向东航行，在A处观测到在它的东北方向（北偏东）点C处有一艘捕渔船，2小时后轮船到达点B处，突然收到渔船的求救信号，此时观测到渔C位于点B的北偏东方向上． (1)求的度数； (2)轮船收到求救信号后，立即沿以每小时海里的速度赶往C处救援，那么轮船需多少小时赶到C处？ 【答案】(1) (2)轮船需小时赶到C处 【分析】本题考查三角形的内角和定理，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用．作垂线构造直角三角形是解题关键． （1）利用三角形的内角和定理即可求解； （2）在中由勾股定理求得，在中，利用含的直角三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，， ，， ∴， 在中，； （2）解：作于F， ∴， ∴， 在中，，由勾股定理得， ∴， 在中，∵， ∴， ∵， ∴轮船需小时赶到C处． 16．如图，轮船从处以每小时80海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在处观测灯塔位于南偏东50°方向上，轮船航行30分钟到达处，在处观测灯塔位于北偏东10°方向上，求处与灯塔的距离． 【答案】海里 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，方位角等知识，过作于，得出为底角是等腰三角形，再根据等腰三角形的性质和含30°的直角三角形的性质求解即可，掌握含30°的直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解析：过作于，则， ∴为等腰三角形， ∴ 又∵(海里)， ∴海里， 设海里，则海里， 又在中，， 即， 解得： (海里) 17．某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召，决定在公路相距的A、B两站之间的E点修建一个土特产加工基地．如图，于点A，于B．已知，．地 城 类型03 选址问题 (1)如图1，当C、D两村庄到基地E点的距离相等时，求基地E距A多远？ (2)如图2，当C、D两村庄到基地E点的距离之和最短时，求基地E距A多远？自行作图，并求出的最小值． 【答案】(1)基地E距A为 (2)基地E距A为，图见解析，的最小值为 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，勾股定理，轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由勾股定理得，，则，设为，则，得，求解即可； （2）作点D关于的对称点，连接交于点E，的最小值为的值，即的长，过点作于点，交于点，过点作于点，根据平行线间距离相等，得到，，证明，得到，从而求出，再过点作，交的延长线于点F，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：∵C、D两村庄到基地E点的距离相等， ∴， 在和中，， ∴． 设，则， ∴， 解得：， 答：基地E距A为； （2）解：如图，作点D关于的对称点，连接交于点E，的最小值即为的值，最小值为的长， ∴， 过点作于点，交于点，过点作于点， ，， ， ， ， 又，， ， ， ，即基地E距A为， 过点作，交的延长线于点F，则四边形是长方形， ∴，， ∴， 在中，． ∴的最小值为． 18．如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路同侧的点C，D处，已知于点，于点，，，．为了更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路的边上建一个游客服务中心，使得喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等． (1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？ (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，根据勾股定理将和表示出来，列出等式进行求解即可． （2）根据证明，则可得，由可得，进而可得． 本题主要考查了勾股定理的应用，和全等三角形的判定和性质，运用勾股定理将两个直角三角形的斜边表示出来，是解题关键． 【详解】（1）解：在中，， 在中，， ∵喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等， ∴． 设， ， ， ，， ∴， 解得， ∴游客服务中心应建在距点A处． （2）解：由（1）可知，，， ，， ∴，． 在和中，， ∴， ∴． ， ， ∴， ∴． 19．如图，在一条笔直的马路同侧有，两个小区，小区到马路的垂直距离为千米，小区到马路的垂直距离为千米，的长度为千米． (1)求，小区之间的距离； (2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到，两小区的距离相等，此时车站应修建在离点多远处？ 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】（）过点作于，可得四边形是长方形，得到千米，千米，即得千米，再利用勾股定理即可求解； （）设千米，则千米，由利用勾股定理解答即可求解； 本题考查了勾股定理的应用，长方形，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过点作于，则， ∵， ∴四边形是长方形， ∴千米，千米， ∴千米， ∴千米， 答：，小区之间的距离为千米； （2）解：如图，设千米，则千米， 由题意得，， ∴由勾股定理得，， 整理得，， 解得， 答：车站应修建在离点千米处． 20．如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米． (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值． 【答案】(1)475米 (2)1000米 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，坐标与图形的性质，勾股定理，确定出Q、P的位置是本题的关键． （1）设，则，根据利用勾股定理即可得出结果． （2）作A关于l的对称点，连接，交l于P，由对称性得的最小值为线段的长，作于点E，在中，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1， 根据题意得：， 设，则， ， 解得， 即的长为475米； （2）如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P． 则， ， 的最小值为， 如图，作于点E， 在中， 米，米， 米， 的最小值为1000米． 21．为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． (1)求公路的长度； (2)若修公路每千米的费用是200万元，请求出修建公路的总费用． 【答案】(1)千米 (2)600万元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理得出千米，再求出千米即可得出答案； （2）根据面积相等得出，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，千米，千米， ∴千米， ∵千米， ∴千米； （2）解：∵， ∴， ∴千米 ∴修建公路的费用为（万元）． 22． “三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等． (1)求市场E应建在距A多少千米处？ (2)此时的形状是 三角形，请直接写出答案，无需证明． 【答案】(1)20 (2)等腰直角 【分析】本题考查了勾股定理的运用； （1）由得C、D两村庄到市场E的距离相等，可得，根据勾股定理列方程计算即可； （2）证明即可判断为等腰直角三角形． 【详解】（1）设，则， ∵于A，于B，已知， ∴，， ∵C、D两村庄到市场E的距离相等， ∴， ∴， 解得，即 ∴市场应建在距千米处； （2）∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角． 23．如图，已知某学校A与直线公路相距300米（即米，），且与该公路上一个车站D相距500米（即米），现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市 C 与车站D的距离是多少米? 【答案】312.5米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，弄清题意，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键；根据题意，，，由、的长易求，设米，米，在中运用勾股定理得关系式求解． 【详解】解：根据题意得：，， 在直角三角形中， 米，米， （米）， 设米，则米， 在中，， 即， 解得：， 答：该超市C与车站D的距离是312.5米． 24．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形，，如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，________________________ 则它们满足的关系式为________经化简，可得到勾股定理 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P、使得，求出的距离． 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41；（2）（千米）； 【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理，中垂线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键： 小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 【详解】解：小试牛刀：由图可知： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，    则：，， ， 在中，由勾股定理，得， （千米）， ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，则，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 25．年惠山区第十九届中小学生田径运动会在无锡市洛社初级中学（雅西分校）成功举办，该校“振勇”数学学习小组对学校宣传标语的悬挂高度开展了如下综合与实践活动．地 城 类型04 测量高度 【活动主题】测量宣传标语的悬挂高度 【测量工具】卷尺、所有示意图均为其截面图 【活动过程】 活动1：测量宣传标语的高度 该小组开展对宣传标语悬挂高度的测量活动（如图1），测得此时绷直的标语的底端距离墙角的距离为．该小组将标语的底端松开后将其一部分紧贴墙壁，测得此时多余部分的长为，如图2． （1）求宣传标语的悬挂高度（即线段的长）； 活动2：测量宣传标语的高度 该小组开展对不可以到达墙角（墙角处种有绿植，但不影响地面测量）的宣传标语悬挂高度的测量活动（如图3），测得此时绷直的宣传标语的底端距离墙角的距离为．该小组将标语的底端松开后移动到点处（此时绷直），测得此时，如图4． （2）求宣传标语的悬挂高度（即线段的长）． 【答案】（1）宣传标语的悬挂高度为；（2）宣传标语的悬挂高度为． 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，运用方程建模思想与勾股定理变形技巧，解题关键是设未知数后利用直角三角形三边关系列方程并联立求解，易错点是混淆勾股定理中斜边与直角边的平方关系． 【详解】（1）解：设，则标语长为， ∴由勾股定理得：，解得：． 答：宣传标语的悬挂高度为． （2）解：设 ，则标语长为， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：． ∴． ∴在中，由勾股定理得：． 答：宣传标语的悬挂高度为． 26．某校八年级数学兴趣小组开展了“测量风筝的垂直高度”数学实践活动．小组成员利用课余时间完成了实地测量，并利用皮尺等工具采集了如下实验数据． 【数据采集】甲、乙两名同学手持风筝，小组成员在操场上进行了测量，并记录以下数据： 测量项目 同学甲的数据（单位：m） 同学乙的数据（单位：m） 高度 1.6 1.6 到风筝的水平距离 16 26 已放风筝线的长度（根据手中剩余风筝线长度得出） 20 40 风筝的垂直高度 待测 待测 【问题解决】 (1)图①是同学甲测量的示意图．已知点C、D、E在同一条直线上，于点A，于点E，于D．．求此时风筝的垂直高度； (2)如图②，若同学甲站在点A不动，风筝沿竖直方向从C点的位置上升到点F的位置，，则还需要放出风筝线多少米？ (3)直接写出同学乙所放风筝的垂直高度是________m，在（2）的前提下，两名同学________（填甲或乙）的风筝更高． 【答案】(1)风筝的高度是 (2)还需要放出风筝线14米 (3)，乙 【分析】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的内容是关键． （1）勾股定理求出，即可得到答案； （2）勾股定理求出，即可得到答案； （3）勾股定理求出，再进行比较即可． 【详解】（1）解：∵于点D． 在中，， ∴ ∵， ∴， 即此时风筝的高度是； （2）由（1）知， ∵， ∴， 在中，， ∴ ∴； 即则还需要放出风筝线14米． （3）由题意得，， ∴ ∴同学乙所放风筝的垂直高度是m， ∵， ∴乙的风筝更高， 故答案为：，乙 27．某校八年级数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，活动记录如下： 课题：测量旗杆的高度 工具：升旗的绳子（比旗杆的高度长）如图1、皮尺（皮尺的功能是直接测量任意可达到的两点间的距离）如图2． 测量及求解： 测量过程：测量出绳子垂直落地后还剩余米，把绳子拉直，绳子末端点与地面上旗杆底部点距离为米，即米，如图3． 求解过程：设旗杆的高度米，由测量得，，，， 在中，， ，即． ________米． 阅读数学兴趣小组活动记录，回答下面问题． (1)数学兴趣小组求得所用到的几何知识是______定理； (2)直接写出数学兴趣小组测量的旗杆高度米（用含，代数式表示）； (3)小侨同学利用皮尺设计另外一个测量方案，测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为12米（如图2）．根据以上信息，求旗杆的高度． 【答案】(1)勾股； (2)数学兴趣小组测量的旗杆高度为米； (3)旗杆的值为17米． 【分析】本题考查了勾股定理的应用、完全平方公式、矩形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）根据勾股定理即可得； （2）先利用完全平方公式可得，则，据此求解即可得； （3）在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：因为利用到了在中，，，所以数学兴趣小组求得所用到的几何知识是勾股定理， 故答案为：勾股． （2）解：由题可知，， ， ， ， 答：数学兴趣小组测量的旗杆高度为米； （3）解：如图，作，垂足为， 设旗杆高度为， 在中， 即 解得： 答：旗杆的高度为17米． 28．阅读下列材料，回答问题． 社区公园里新安装了一架秋千，小白对秋千的高度产生了兴趣，星期天他和朋友一起带着卷尺到公园测量秋千的高度，他设计如下的测量方案： 步骤一：测得秋千静止时的底端与地面的距离； 步骤二：如图，小白握住秋千的底端往外后退，直到秋千的绳索被拉直，测得此时秋千底端离地面的高度，再测得小白站立处与秋千静止时的水平距离． (1)若设秋千的高度，则_____（用含的代数式表示）； (2)根据上述测量方案和数据，求秋千的高度． 【答案】(1) (2)秋千的高度为 【分析】本题考查勾股定理的实际应用： （1）根据即可求解； （2）过点作，利用勾股定理解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：过点作，垂足为， 则，， ， ， 在中，， ， 即， 解得：， 答：秋千的高度为． 29．工人师傅用一根长杆进行墙面维修，顶端装有维修工具（长度忽略不计），用来接触墙面高处的维修点．如图所示（图中所有点都在同一平面内），已知墙面与地面垂直，工人师傅握住长杆的处，此时长杆恰好能够到墙面上的维修点（即与重合），若点到地面的垂直高度为1.5米，点到墙面的距离为0.8米，根据手中余杆的长度，计算出的长度为1.7米． (1)求处离地面的垂直高度； (2)在余杆仅剩0.4米的情况下，工人师傅保持相同站位和相同站姿（手臂伸出角度、长度、手离地高度都不变），握住处，且离地面高度仍是1.5米，若想要够到维修点正上方0.5米处的维修点，请问能否成功？说明理由． 【答案】(1)米 (2)不能够到维修点正上方0.5米处的维修点，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）过点作于点，根据勾股定理解，即可求解； （2）连接，勾股定理求得，而，比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， 依题意，，，， 在中，， ∴（米） （2）解：如图，连接， 依题意，， 在中，． ∵，． ∴不能够到维修点正上方0.5米处的维修点． 30．在数学活动课上，老师让学生用勾股定理内容设计一个测量旗杆的高度的方案．下面是小明同学的设计方案，请根据小明的设计方案计算出旗杆的高度． 课题 测量学校旗杆高度 工具 皮尺 方案 测量过程： 步骤一：如图1，线段AB表示旗杆高度，AB垂直地面于点B，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段BC，用皮尺测出BC的长度； 步骤二：如图2，将绳子拉直，并且使绳子末端D处恰好接触地面，用皮尺测出BD距离． 数据 绳子垂到地面多出部分为1米 绳子末端D到旗杆的水平距离为5米 【答案】旗杆的高度为12米 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理建立方程是解问题的关键． 先设旗杆的高度，并表示绳子的长度，再根据勾股定理列方程，求出解即可． 【详解】解：由图1可得绳子的长度比旗杆的高度多1米， 设旗杆长为米，则绳子长为米 由图2可得，在中，米， 由勾股定理得： ， 解得：， 米， 答：旗杆的高度为12米． 31．为实现核心素养导向教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“测量古树高度”的项目式学习活动，其中甲、乙两个研学小组分别设计了不同的测量方案。他们各自设计的测量方案示意图及测量数据如表所示： 活动课题 测量古树的高度 研学小组 甲组 乙组 测量示意图 测量说明 于点E，为一个矩形架，图中所有的点都在同一平面内 于点D，图中所有的点都在同一平面内 测量数据 ，， ，， 请你选择其中的一种测量方案，求古树的高度。（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理、含30度直角三角形的性质及矩形的性质，熟练掌握勾股定理、含30度直角三角形的性质及矩形的性质是解题的关键；若选择甲组，则由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解；若选择乙组，则有，，然后问题可求解． 【详解】解：若选择甲组， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 若选择乙组，则有： ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、含30度的直角三角形及矩形的性质、勾股定理、含30度的直角三角形． 32．文昌宝塔位于湖南祁阳市的湘江东岸万卷书岩上，始建于明万历元年，后被毁，清朝乾隆九年重修．砖石结构，共七级，每级共8门，台边缘堞垛翅角，并望有石龙，口含铜铃，石阶曲折，门楣及各处神龛均有浮雕．数学兴趣小组的同学们想利用测角仪（高度可忽略不计）和卷尺求文昌塔的高度．点（塔底部中心）、、在同一条直线上，当测角仪放在处时测得塔顶部的仰角为，测角仪往前移动42.4米到达点，在处测得顶部的仰角为．求文昌塔的高度（结果精确到0.01米，参考数据：）． 【答案】文昌塔的高度约为36.68米 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，先求出米，再由30度角的性质求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】由题意得米， 则， ∴， ∴米， 在中，， ， 米． 中， （米） 答：文昌塔的高度约为36.68米． 33．如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响．地 城 类型05 判定是否受台风影响 (1)请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ (2)若卡车的行驶速度是8米/秒，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 【答案】(1)学校会处在卡车的噪声影响范围内；理由见解析 (2)6秒 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，三线合一定理，勾股定理， （1）过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度；比较的长度是否小于40米，即可得出结论； （2）如详解图形所示，当时，则卡车在段对学校有影响，根据勾股定理可求得的长度． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于，可知点到射线的最短距离为线段的长度．    ∵， ∴， 又∵，， ∴． ∵ ∴学校会处在卡车的噪声影响范围内． （2）解：如图所示，在上取两点C、D，连接，当时，则卡车在段对学校有影响． ∵，， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． 卡车速度为8 米/秒， ∴影响时间为：． 答：卡车沿道路方向行驶一次给学校带来噪声影响的时间为． 34．2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知之间相距之间相距． (1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 【答案】(1)观测点会受到台风“桦加沙”的影响，理由见解析 (2)观测点受台风影响的时间有7小时 【分析】本题主要考查了利用勾股定理解决实际问题，解题的关键是掌握勾股定理． （1）过点作于点，利用勾股定理求出斜边长度，然后利用等面积法求出长度，最后进行比较即可； （2）作，根据勾股定理求出台风影响观测点的长度，然后求出时间即可． 【详解】（1）解：观测点会受到台风“桦加沙”的影响，理由如下： 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， 由等面积得， ∵， ∴观测点会受到台风“桦加沙”的影响； （2）解：如图所示，作， 由勾股定理得，， 根据题意，， （小时） ∴观测点受台风影响的时间有7小时． 35．2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，之间相距，A，之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风影响该农场持续时间为，则台风中心的移动速度是多少？ 【答案】(1)农场A会受到台风的影响，理由见解析 (2)台风中心的移动速度是 【分析】此题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理，面积法求三角形的高，等腰三角形性质，路程速度时间的关系，是解题的关键． （1）作，在中，根据勾股定理，求出长，由面积关系求得的长，即可求解； （2）以点A为圆心以为半径画弧交于点E，F，，可知台风在段移动时A受到影响，根据勾股定理求出的长，即可计算台风中心的移动速度． 【详解】（1）解：作于点D， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴农场A会受到台风的影响； （2）解：以点A为圆心以为半径画弧交于点E，F， 则， ∴台风在段上移动时A受到影响， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴台风中心的移动速度． 故台风中心的移动速度是． 36．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与A，B两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为7小时，台风中心移动的速度多少千米/小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 【答案】(1)海港C受台风影响，理由见解析 (2)台风中心移动的速度为 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）过点C作于点D，通过勾股定理逆定理判断是直角三角形，利用面积法求出的长，比较与的大小，从而判断海港是否受台风影响； （2）设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，利用勾股定理求出的长度，进而得到的距离，根据速度公式计算台风中心移动的速度即可． 【详解】（1）解：海港C受台风影响，理由如下： 过点C作于点D，如图： 、、 是直角三角形， 即 海港C受台风影响； （2）解：设台风中心移动到点、处时刚好影响海港，连接、，如图， 时，正好影响海港C， 在中，由勾股定理得， 台风影响海港持续的时间为7小时 ∴台风中心移动的速度为 答：台风中心移动的速度20千米/小时． 37．如图，为某公园的平面图，经测量米，，． (1)求公园的面积； (2)一辆广告宣传车沿着道路在B、C两站点之间来回宣传，宣传车周围250米以内能听到广播宣传．宣传车宣传时，A点处是否能听到？请说明理由．如果能听到，已知宣传车的速度是100米／分钟，那么宣传车沿着道路从站点B到站点C的行驶过程中，A点处一共能听到多少分钟的宣传？ 【答案】(1)平方米； (2)A点处一共能听到分钟的宣传． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定和性质，直角三角形的性质． （1）作于点，得是等腰直角三角形，得到，再根据勾股定理可求得，据此求解即可； （2）在上取两点E、F使得米，连接，作于点，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据时间等于路程除以速度可得答案． 【详解】（1）解：作于点， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积平方米； （2）解：宣传车沿着道路从站点B到站点C的行驶过程中，A点处能听到，理由如下： 如图所示，在上取两点E、F使得米，连接，作于点， ∴， ∴， ， ∴A点处一共能听到分钟的宣传． 38．某市规划修建铁路，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西方向，且距离为米，小区A位于商场C的南偏西方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以米秒的速度沿铁路低速行驶． (1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据： (2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪音影响？ 【答案】(1)A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒 (2)小明出发4秒后会受到噪音影响 【分析】（1）过作于，过点B作于H，根据题意得，，根据含30度和45度直角三角形的性质求出米，得到，于是得到小区会受到噪音干扰，设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束，连接，，根据勾股定理即可得到结论． （2）假设当小明开始受影响时行到E处，此时行到F处，则此时米， 又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则，，则，，利用勾股定理得到，从而得到得到关于t的方程，即可得解． 【详解】（1）解：过作于，过点B作于H， 由题意得，，， ， ，米， (米， ∴米， ， ， 小区会受到噪音干扰， 设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束， 连接，， 则米， 米， (米， (米， 干扰的时间(秒， 答：A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒． （2）假设当小明开始受影响时行到E处，火车行到F处，则此时米， 又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则， 又∵ ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 答：小明出发4秒后会受到噪音影响． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确地找出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 39．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响．试问： (1)A城市是否会受到台风影响？请说明理由． (2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ (3)该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 【答案】(1)会受到这次台风的影响 (2)12小时 (3)级 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握勾股定理成为解题的关键． （1）过点A作于点D，利用角所对边是斜边一半，求得，然后与200比较即可解答； （2）以A为圆心，200千米为半径作交于E、F，则千米，再运用勾股定理计算弦长，然后根据行程问题解答即可； （3） 先求出距台风中心最近距离，计算风力级别． 【详解】（1）解：A城市会受到这次台风的影响，理由如下： 如图1，过点A作于点D， 在中，千米， ∴千米， ∵城市受到的风力超过5级，则称受台风影响， ∴受台风影响范围的半径为：（千米）， ∵160千米千米， ∴A城市会受到这次台风的影响． （2）解：如图2，以A为圆心，200千米为半径作交于E、F，则千米， ∴台风影响该市持续的路程为：， ∴台风影响该市的持续时间（小时）． （3）解：∵千米， ∴（级）， ∴（级）， ∴该城市受到这次台风最大风力为级． 40．如图，沿海城市测得台风中心在东南方向的处，该台风中心始终以的速度沿北偏西的方向移动． (1)填空：，； (2)当台风中心移动到市正东方向的处时，求、之间的距离？(结果保留根号) (3)距台风中心的圆形区域包括边界都属台风影响区，求市受台风影响的时长？ 【答案】(1)；； (2)、之间的距离为 (3)市受台风影响的时长为 【分析】本题考查勾股定理解直角三角形的应用，方位角的应用； （1）根据题意，即可得到答案； （2）过作于，设，用表示，，再根据列方程，即可求出从而解决问题； （3）过作于，设台风中心移动到点处时，城市开始受影响；移动到点处时，城市正好结束影响，即在中，求出，从而得到，进一步求出市受台风影响的时长． 【详解】（1）解：由题意知，． 故答案为：，； （2）如图，过作于， 由题可得，，， 在中，， 设 ， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴， 答：、之间的距离为； （3）如图，过作于， 在中，， ∴km， 设台风中心移动到点处时，城市开始受影响； 移动到点处时，城市正好结束影响，即． 于点， ， 在中， ， ， 答：市受台风影响的时长为． 41．综合与实践地 城 类型06 勾股定理与方案设计 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)A，C (2)建造绿化地的费用为11400元 (3)方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算， ，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为700元． 42．阅读下列材料，回答问题： 任务：测量墙体是否与地面垂直，即是否垂直于于点． 工具：足够多、足够长的无弹性绳子、剪刀． 某兴趣小组设计了如下两个方案： 方案一如图1，在射线上取一点，取两条等长的绳子（绳长大于），将两条绳子的一段固定在点处，分别往两侧拉直，至另一端分别交射线，于，两点，用叠合法比较与的长度，若，则于点，否则不垂直． 方案二如图2，在射线，上分别取点，，放置绳子，对折得到绳子的中点，放置绳子，用叠合法比较与的长度，若，则墙体与地面垂直，即于点，否则不垂直． (1)方案一的设计依据是______________________________________． (2)判断方案二是否可行．如果可行，请给出证明；若不可行，请说明理由． (3)请写出一个原理不同于上述两个方案的测量方案，并画出测量示意图． 【答案】(1)三线合一 (2)可行，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，解决本题的关键是利用勾股定理的逆定理、三角形内角和定理、等腰三角形的性质证明． （1）根据等腰三角形的性质可得答案； （2）根据，可得：，，根据三角形内角和定理可证，从而可证； （3）结合勾股定理的逆定理进行设计即可. 【详解】（1）解：方案一的设计依据是等腰三角形的三线合一； （2）解：方案二可行，理由如下： 证明：如下图所示， ∵为的中点， ∴， ∵，则， ，， 又， ， ， ． （3）解：模仿古埃及人用结绳的方法，在一条绳子上打个结，得到条线段，且用叠合法使得这条线段都相等，设每一条线段长为．如下图放置这总长是的绳子，使在上的绳子，在上的绳子，若，则，即于点，否则不垂直． 证明如下： ∵，， ∴， ， ， . 43．如图，点B， C表示两地， 点A表示供水站，千米，千米，千米．为了方便供水站A往B，C两地供水，现有两种管道铺设方案． 方案一：从供水站A直接铺设管道到B，C两地，即铺设的管道总长为； 方案二：过点A作，垂足为点D，从供水站A铺设管道到点D，再从点D分别铺设管道到点B，C两地，即铺设的管道总长为． (1)试判断图中构成的的形状，请说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道总长较短?请通过计算说明． 【答案】(1)是直角三角形，见解析 (2)方案一所铺设的管道总长较短，见解析 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理的应用，线段的和差计算等知识，证明是直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理的逆定理进行证明即可； （2）分别求出两种方案的管道总长度，即可得到结论． 【详解】（1）解：是直角三角形． 理由如下：因为， 所以，所以是直角三角形； （2）因为的， 所以（千米）． 方案一：铺设的管道总长为：（千米）； 方案二：铺设的管道总长为： （千米）， 因为千米＜千米，所以方案一所铺设的管道总长较短． 44．项目主题：监控器最优布设方式 项目背景：台风袭来，汛期将至，某地水利部门计划新购置一批监控器，监控河岸和水流情况，以预防河流决堤，危害当地居民的生命财产安全． 已知监控器有效监测距离，最大旋转角度；如图所示，村落位于河流南侧，与河流邻接长度；监控布设线距离河流，任意两个监控器布设点之间的距离相等． 项目方案1：如图2所示，从河流南岸与村落边缘点处起，使，，即为监控器监测范围；从点处起，使，，即为监控器监测范围． （1）若按方案1进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案2：为了充分利用监控器的监测范围，设计了如图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时； （2）若按方案2进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案3：如图4所示，此时，，且，，则监控器监测范围的距离为． 反思提升：我认为方案_________是最优化方案，原因是__________． 【答案】（1）该水利部门至少需要布设个监控器；（2）该水利部门至少需要布设个监控器；项目方案3：；反思提升：2；理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）勾股定理求得的长，进而根据河流长度除以的长得出监控器的个数，即可求解； （2）过点作于点，依题意，进而勾股定理求得，设，则，在，中，勾股定理求得，同（1）求得监控器的个数； 项目方案3：根据题意得出是等腰直角三角形，即可求解； 反思提升：结合三个方案，得出监控器布置少的方案，即可求解． 【详解】解：（1）在中， ∴， ∵村落与河流邻接长度；， ∴该水利部门至少需要布设个监控器； 答：该水利部门至少需要布设个监控器； （2）解：如图所示，过点作于点，依题意， 在中， ， ∴， 设，则， 在中，， 在中， ∴ 解得：， ∴， 在中，， ∵监控器有效监测距离， ∴符合题意， ∴ ∵村落与河流邻接长度；， ∴该水利部门至少需要布设个监控器； 答：该水利部门至少需要布设个监控器； 项目方案3： ∵，且， ∴是等腰直角三角形， 如图所示，过点作于点， ∴ 即监控器监测范围的距离为 反思提升：我认为方案二是最优化方案，原因是监控器监测范围的距离最大，则水利部门布设监控器个数少． 45．如图，A，B两村庄相距150米，C为供气站，米，米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站C直接铺设管道分别到A村和B村； 方案二：过点C作的垂线，垂足为点H，先从C站铺设管道到点H处，再从点H处分别向A村、B两村铺设． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明． 【答案】(1)是直角三角形，理由见解析 (2)方案一所修的管道较短，说明见解析 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）由的面积求出，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下：； ，， ， 是直角三角形； （2）解：的面积， （米）； （米）， （米）， 米米， 方案一所修的管道较短． 46．如图1，A村和B村在一条大河的同侧，它们到河岸的距离分别为1千米和4千米，又知道的长为4千米． 现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选 方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即）．（如图2） 方案2：作A点关于直线的对称点，连接交于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道和．（即）（如图3） 从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适． 【答案】方案1路线短，更合适．理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，轴对称的性质，正确的作出图形是解题的关键．方案1：过点A作于点E，方案2：过作交延长线于点H，利用勾股定理分别求出两种路线的长度，比较即可． 【详解】解：方案1：过点A作于点E， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 方案2：过作交延长线于点H， ， ， ， ， 同理， ， ， ， ， ∵， ∴方案1路线短，更合适． 47．如图是某区域仓储配送中心的部分平面图，A区为商品入库区，B区，C区是配送中心区．已知B，C两个配送中心区相距250m，A，B区相距200m，A，C区相距150m，为了方便商品从库区分拣传送至配送中心，现有两种搭建传送带的方案． 甲方案：从A区直接搭建两条传送带分别到B区，C区； 乙方案：在B区，C区之间搭建一条传送带，再从A区搭建一条垂直于BC的传送带，两条传送带的连接处为中转站D区（接缝忽略不计）． (1)请判断此平面图形的形状（要求写出推理过程） (2)甲，乙两种方案中，哪一种方案所搭建的传送带较短？请通过计算说明． 【答案】(1)是直角三角形； (2)甲方案所搭建的传送带较短． 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、三角形面积的计算；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证出是直角三角形是解决问题的关键． （1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）由的面积求出，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：是直角三角形； 理由如下： ∴，， ∴， ∴是直角三角形，； （2）解：甲方案所搭建的传送带较短； 理由如下： ∵是直角三角形， ∴的面积， ∴（m）， ∵，， ∴， ∴甲方案所搭建的传送带较短． 48．我县某初中八年级数学兴趣小组的同学利用社团活动时间测量学校壁挂音箱的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量壁挂音箱的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为5，壁挂音箱垂直地面于点，线段表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，已知， 计算过程 …… 请根据上述方案中的内容，计算的长． 【答案】m 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 根据勾股定理得到，，即可求出的长． 【详解】解：由题意可知，，在中，，， 则， 在中，，，则． ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 勾股定理相关压轴实际问题分类训练 （6种类型48道） 1．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米．地 城 类型01 判定是否超速 (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 2．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在到迎泽大街（直线AO）的距离（线段PO）为120米的点P处.这时，一辆小轿车由点A向点O匀速行驶，测得此车从点A处行驶到点B处所用的时间为5秒，且∠APO＝60°，∠BPO＝45°．（参考数据：≈1.414，≈1.732） (1)求点A，B之间的距离；（精确到0.1米） (2)请判断此车是否超过了迎泽大街每小时60千米的限制速度，并说明理由． 3．“交通管理条例第三十五条”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪正前方50米处，过了6秒后，测得小汽车与车速检测仪距离130米． (1)求小汽车6秒走的路程； (2)求小汽车每小时所走的路程，并判定小汽车是否超速？ 4．如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米．    (1)现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？ (2)为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由． 5．超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小威等三位同学在幸福大道段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的P处．这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从A处行驶到B处所用的时间为，并测得，， (1)求AP的长？ (2)试判断此车是否超过了/的限制速度？（） 6．校车安全是近几年社会关注的热点问题之一，安全隐患主要是超速和超载，某中学八年级数学活动小组进行了测试汽车速度的实验．如图所示，现在笔直的公路旁取一点，在公路上确定点，，使得，，再在上确定点，使得，测得米，已知本路段对校车限速是千米/时，若测得某校车从到匀速行驶用时秒．（参考数据：） (1)求点D到线段AB的距离（结果保留整数）； (2)利用（1）中的结果，请通过计算判断这辆车在本路段是否超速？ 7．“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段上限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒，已知，米，米． (1)请求出观测点C到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，） 8．如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 9．如图，，分别是两个港口，，是海上两座小岛景点，在正北方向千米处，在北偏东方向， 千米，在的南偏西60°方向，且在北偏西方向．（参考数据：）地 城 类型02 航海问题 (1)求港口和小岛的距离为多少千米（结果保留小数点后一位）； (2)一艘货船从港口出发沿前往港口，同时一艘观光船也从港口出发，沿路线前往小岛，货船的速度与观光船的速度之比为，出发小时后观光船在由到的途中且离港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等．求货船从港口出发多少小时后到达港口（结果保留小数点后一位）． 10．甲、乙两船从港口同时出发，甲船向北偏东的方向航行，乙船以16海里/时的速度向南偏东的方向航行，3小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若、两岛相距60海里，请求出甲船的航速是多少？ 11．如图，海岸线上有两座灯塔，，灯塔位于灯塔的正东方向，与灯塔相距．海上有甲、乙两艘货船，甲船位于灯塔的北偏东30°方向，与灯塔相距的的处；乙船位于灯塔的北偏东15°方向，与灯塔相距的处．求： (1)甲船与灯塔之间的距离； (2)两艘货船之间的距离． 12．如图，某海岸线MN的方向为北偏东75°，甲，乙两船分别向海岛C运送物资，甲船从港口A处沿北偏东45°方向航行，乙船从港口B处沿北偏东30°方向航行，已知港口B到海岛C的距离为30海里，求港口A到海岛C的距离． 13．如图所示，一艘轮船由A港口沿着北偏东的方向航行到达B港口，然后再沿北偏西方向航行到达C港口． (1)求A，C两港口之间的距离；（结果保留根号） (2)C港口在A港口的什么方向． 14．南海诸岛自古以来都是中国的领土，4月12日，中央军委在南海海域隆重举行海上阅兵，军委主席习近平登上长沙舰检阅海军舰艇编队，包括辽宁号航母在内的48艘舰艇参加了阅兵仪式．如图，A、B是两处海港，其中A在B南偏东60°方向千米处，辽宁号航母从海港A出发，沿北偏东45°方向，以15千米/小时的速度匀速航行，两小时后，长沙舰从海港B出发，沿北偏东75°的方向匀速航行，两舰恰好同时到达阅兵地点C．长沙舰从海港B出发航行到达阅兵地点C用了多少时间？ 15．如图，一艘轮船以每小时35海里的速度向东航行，在A处观测到在它的东北方向（北偏东）点C处有一艘捕渔船，2小时后轮船到达点B处，突然收到渔船的求救信号，此时观测到渔C位于点B的北偏东方向上． (1)求的度数； (2)轮船收到求救信号后，立即沿以每小时海里的速度赶往C处救援，那么轮船需多少小时赶到C处？ 16．如图，轮船从处以每小时80海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在处观测灯塔位于南偏东50°方向上，轮船航行30分钟到达处，在处观测灯塔位于北偏东10°方向上，求处与灯塔的距离． 17．某镇为响应中央关于建设社会主义新农村的号召，决定在公路相距的A、B两站之间的E点修建一个土特产加工基地．如图，于点A，于B．已知，．地 城 类型03 选址问题 (1)如图1，当C、D两村庄到基地E点的距离相等时，求基地E距A多远？ (2)如图2，当C、D两村庄到基地E点的距离之和最短时，求基地E距A多远？自行作图，并求出的最小值． 18．如图，喷泉广场和儿童游乐场分别位于道路同侧的点C，D处，已知于点，于点，，，．为了更好地满足游客的需求，公园管理方决定在道路的边上建一个游客服务中心，使得喷泉广场和儿童游乐场到游客服务中心的距离相等． (1)游客服务中心应建在距点A多少千米处？ (2)求的度数． 19．如图，在一条笔直的马路同侧有，两个小区，小区到马路的垂直距离为千米，小区到马路的垂直距离为千米，的长度为千米． (1)求，小区之间的距离； (2)现要在线段上修建一个车站，使得车站到，两小区的距离相等，此时车站应修建在离点多远处？ 20．如图，小区A与公路l的距离米，小区B与公路l的距离米，已知米． (1)政府准备在公路边建造一座公交站台Q，使Q到A、B两小区的路程相等，求的长； (2)现要在公路旁建造一利民超市P，使P到A、B两小区的路程之和最短，求的最小值，求出此最小值． 21．为推进乡村振兴，把家乡建设成为生态宜居、交通便利的美丽家园，某地大力修建崭新的公路如图所示，现从A地分别向C、D、B三地修了三条笔直的公路和，C地、D地、B地在同一笔直公路上，公路和公路互相垂直，又从D地修了一条笔直的公路与公路在H处连接，且公路和公路互相垂直，已知千米，千米，千米． (1)求公路的长度； (2)若修公路每千米的费用是200万元，请求出修建公路的总费用． 22． “三农”问题是关系国计民生的根本问题，实施乡村振兴战略是建设美丽中国的关键举措．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等． (1)求市场E应建在距A多少千米处？ (2)此时的形状是 三角形，请直接写出答案，无需证明． 23．如图，已知某学校A与直线公路相距300米（即米，），且与该公路上一个车站D相距500米（即米），现要在公路边建一个超市C，使之与学校A及车站D的距离相等，那么该超市 C 与车站D的距离是多少米? 24．背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形，，如图1放置，其三边长分别为、、．显然，，请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理，________________________ 则它们满足的关系式为________经化简，可得到勾股定理 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为________千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P、使得，求出的距离． 25．年惠山区第十九届中小学生田径运动会在无锡市洛社初级中学（雅西分校）成功举办，该校“振勇”数学学习小组对学校宣传标语的悬挂高度开展了如下综合与实践活动．地 城 类型04 测量高度 【活动主题】测量宣传标语的悬挂高度 【测量工具】卷尺、所有示意图均为其截面图 【活动过程】 活动1：测量宣传标语的高度 该小组开展对宣传标语悬挂高度的测量活动（如图1），测得此时绷直的标语的底端距离墙角的距离为．该小组将标语的底端松开后将其一部分紧贴墙壁，测得此时多余部分的长为，如图2． （1）求宣传标语的悬挂高度（即线段的长）； 活动2：测量宣传标语的高度 该小组开展对不可以到达墙角（墙角处种有绿植，但不影响地面测量）的宣传标语悬挂高度的测量活动（如图3），测得此时绷直的宣传标语的底端距离墙角的距离为．该小组将标语的底端松开后移动到点处（此时绷直），测得此时，如图4． （2）求宣传标语的悬挂高度（即线段的长）． 26．某校八年级数学兴趣小组开展了“测量风筝的垂直高度”数学实践活动．小组成员利用课余时间完成了实地测量，并利用皮尺等工具采集了如下实验数据． 【数据采集】甲、乙两名同学手持风筝，小组成员在操场上进行了测量，并记录以下数据： 测量项目 同学甲的数据（单位：m） 同学乙的数据（单位：m） 高度 1.6 1.6 到风筝的水平距离 16 26 已放风筝线的长度（根据手中剩余风筝线长度得出） 20 40 风筝的垂直高度 待测 待测 【问题解决】 (1)图①是同学甲测量的示意图．已知点C、D、E在同一条直线上，于点A，于点E，于D．．求此时风筝的垂直高度； (2)如图②，若同学甲站在点A不动，风筝沿竖直方向从C点的位置上升到点F的位置，，则还需要放出风筝线多少米？ (3)直接写出同学乙所放风筝的垂直高度是________m，在（2）的前提下，两名同学________（填甲或乙）的风筝更高． 27．某校八年级数学兴趣小组测量校园内旗杆的高度，活动记录如下： 课题：测量旗杆的高度 工具：升旗的绳子（比旗杆的高度长）如图1、皮尺（皮尺的功能是直接测量任意可达到的两点间的距离）如图2． 测量及求解： 测量过程：测量出绳子垂直落地后还剩余米，把绳子拉直，绳子末端点与地面上旗杆底部点距离为米，即米，如图3． 求解过程：设旗杆的高度米，由测量得，，，， 在中，， ，即． ________米． 阅读数学兴趣小组活动记录，回答下面问题． (1)数学兴趣小组求得所用到的几何知识是______定理； (2)直接写出数学兴趣小组测量的旗杆高度米（用含，代数式表示）； (3)小侨同学利用皮尺设计另外一个测量方案，测量得到如下信息： ①测得从旗杆顶端垂直挂下来的升旗用的绳子比旗杆长3米（如图1）； ②当将绳子拉直时，测得此时拉绳子的手到地面的距离为1米，到旗杆的距离为12米（如图2）．根据以上信息，求旗杆的高度． 28．阅读下列材料，回答问题． 社区公园里新安装了一架秋千，小白对秋千的高度产生了兴趣，星期天他和朋友一起带着卷尺到公园测量秋千的高度，他设计如下的测量方案： 步骤一：测得秋千静止时的底端与地面的距离； 步骤二：如图，小白握住秋千的底端往外后退，直到秋千的绳索被拉直，测得此时秋千底端离地面的高度，再测得小白站立处与秋千静止时的水平距离． (1)若设秋千的高度，则_____（用含的代数式表示）； (2)根据上述测量方案和数据，求秋千的高度． 29．工人师傅用一根长杆进行墙面维修，顶端装有维修工具（长度忽略不计），用来接触墙面高处的维修点．如图所示（图中所有点都在同一平面内），已知墙面与地面垂直，工人师傅握住长杆的处，此时长杆恰好能够到墙面上的维修点（即与重合），若点到地面的垂直高度为1.5米，点到墙面的距离为0.8米，根据手中余杆的长度，计算出的长度为1.7米． (1)求处离地面的垂直高度； (2)在余杆仅剩0.4米的情况下，工人师傅保持相同站位和相同站姿（手臂伸出角度、长度、手离地高度都不变），握住处，且离地面高度仍是1.5米，若想要够到维修点正上方0.5米处的维修点，请问能否成功？说明理由． 30．在数学活动课上，老师让学生用勾股定理内容设计一个测量旗杆的高度的方案．下面是小明同学的设计方案，请根据小明的设计方案计算出旗杆的高度． 课题 测量学校旗杆高度 工具 皮尺 方案 测量过程： 步骤一：如图1，线段AB表示旗杆高度，AB垂直地面于点B，将系在旗杆顶端的绳子垂直到地面，并多出了一段BC，用皮尺测出BC的长度； 步骤二：如图2，将绳子拉直，并且使绳子末端D处恰好接触地面，用皮尺测出BD距离． 数据 绳子垂到地面多出部分为1米 绳子末端D到旗杆的水平距离为5米 31．为实现核心素养导向教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“测量古树高度”的项目式学习活动，其中甲、乙两个研学小组分别设计了不同的测量方案。他们各自设计的测量方案示意图及测量数据如表所示： 活动课题 测量古树的高度 研学小组 甲组 乙组 测量示意图 测量说明 于点E，为一个矩形架，图中所有的点都在同一平面内 于点D，图中所有的点都在同一平面内 测量数据 ，， ，， 请你选择其中的一种测量方案，求古树的高度。（结果保留根号） 32．文昌宝塔位于湖南祁阳市的湘江东岸万卷书岩上，始建于明万历元年，后被毁，清朝乾隆九年重修．砖石结构，共七级，每级共8门，台边缘堞垛翅角，并望有石龙，口含铜铃，石阶曲折，门楣及各处神龛均有浮雕．数学兴趣小组的同学们想利用测角仪（高度可忽略不计）和卷尺求文昌塔的高度．点（塔底部中心）、、在同一条直线上，当测角仪放在处时测得塔顶部的仰角为，测角仪往前移动42.4米到达点，在处测得顶部的仰角为．求文昌塔的高度（结果精确到0.01米，参考数据：）． 33．如图，，在距离点米的处有一学校，一重型卡车沿道路方向行驶，在其周围40米范围内都会受到卡车噪声影响．地 城 类型05 判定是否受台风影响 (1)请你判断学校是否会受到卡车噪声影响．为什么？ (2)若卡车的行驶速度是8米/秒，求卡车沿途给学校带来噪声影响的时间． 34．2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知之间相距之间相距． (1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 35．2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从市向西北方向移动到市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，之间相距，A，之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风影响该农场持续时间为，则台风中心的移动速度是多少？ 36．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，常在周围几百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与A，B两点之间的距离，分别为，，，以台风中心为圆心周围以内（包括）为受影响区域． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若海港受台风影响，且台风影响海港持续的时间为7小时，台风中心移动的速度多少千米/小时？（若海港不受台风影响，则忽略此问） 37．如图，为某公园的平面图，经测量米，，． (1)求公园的面积； (2)一辆广告宣传车沿着道路在B、C两站点之间来回宣传，宣传车周围250米以内能听到广播宣传．宣传车宣传时，A点处是否能听到？请说明理由．如果能听到，已知宣传车的速度是100米／分钟，那么宣传车沿着道路从站点B到站点C的行驶过程中，A点处一共能听到多少分钟的宣传？ 38．某市规划修建铁路，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西方向，且距离为米，小区A位于商场C的南偏西方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以米秒的速度沿铁路低速行驶． (1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据： (2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪音影响？ 39．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域B处，在沿海城市A的正南方向320千米，其中心风力为13级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东方向向C移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过5级，则称受台风影响．试问： (1)A城市是否会受到台风影响？请说明理由． (2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ (3)该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 40．如图，沿海城市测得台风中心在东南方向的处，该台风中心始终以的速度沿北偏西的方向移动． (1)填空：，； (2)当台风中心移动到市正东方向的处时，求、之间的距离？(结果保留根号) (3)距台风中心的圆形区域包括边界都属台风影响区，求市受台风影响的时长？ 41．综合与实践地 城 类型06 勾股定理与方案设计 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 42．阅读下列材料，回答问题： 任务：测量墙体是否与地面垂直，即是否垂直于于点． 工具：足够多、足够长的无弹性绳子、剪刀． 某兴趣小组设计了如下两个方案： 方案一如图1，在射线上取一点，取两条等长的绳子（绳长大于），将两条绳子的一段固定在点处，分别往两侧拉直，至另一端分别交射线，于，两点，用叠合法比较与的长度，若，则于点，否则不垂直． 方案二如图2，在射线，上分别取点，，放置绳子，对折得到绳子的中点，放置绳子，用叠合法比较与的长度，若，则墙体与地面垂直，即于点，否则不垂直． (1)方案一的设计依据是______________________________________． (2)判断方案二是否可行．如果可行，请给出证明；若不可行，请说明理由． (3)请写出一个原理不同于上述两个方案的测量方案，并画出测量示意图． 43．如图，点B， C表示两地， 点A表示供水站，千米，千米，千米．为了方便供水站A往B，C两地供水，现有两种管道铺设方案． 方案一：从供水站A直接铺设管道到B，C两地，即铺设的管道总长为； 方案二：过点A作，垂足为点D，从供水站A铺设管道到点D，再从点D分别铺设管道到点B，C两地，即铺设的管道总长为． (1)试判断图中构成的的形状，请说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道总长较短?请通过计算说明． 44．项目主题：监控器最优布设方式 项目背景：台风袭来，汛期将至，某地水利部门计划新购置一批监控器，监控河岸和水流情况，以预防河流决堤，危害当地居民的生命财产安全． 已知监控器有效监测距离，最大旋转角度；如图所示，村落位于河流南侧，与河流邻接长度；监控布设线距离河流，任意两个监控器布设点之间的距离相等． 项目方案1：如图2所示，从河流南岸与村落边缘点处起，使，，即为监控器监测范围；从点处起，使，，即为监控器监测范围． （1）若按方案1进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案2：为了充分利用监控器的监测范围，设计了如图所示的方案，为监控器监测范围，为监控器监测范围，，，此时； （2）若按方案2进行布设，该水利部门至少需要布设多少监控器？ 项目方案3：如图4所示，此时，，且，，则监控器监测范围的距离为． 反思提升：我认为方案_________是最优化方案，原因是__________． 45．如图，A，B两村庄相距150米，C为供气站，米，米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站C直接铺设管道分别到A村和B村； 方案二：过点C作的垂线，垂足为点H，先从C站铺设管道到点H处，再从点H处分别向A村、B两村铺设． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明． 46．如图1，A村和B村在一条大河的同侧，它们到河岸的距离分别为1千米和4千米，又知道的长为4千米． 现要在河岸上建一水厂向两村输送自来水．有两种方案备选 方案1：水厂建在C点，修自来水管道到A村，再到B村（即）．（如图2） 方案2：作A点关于直线的对称点，连接交于M点，水厂建在M点处，分别向两村修管道和．（即）（如图3） 从节约建设资金方面考虑，将选择管道总长度较短的方案进行施工，请利用已有条件分别进行计算，判断哪种方案更合适． 47．如图是某区域仓储配送中心的部分平面图，A区为商品入库区，B区，C区是配送中心区．已知B，C两个配送中心区相距250m，A，B区相距200m，A，C区相距150m，为了方便商品从库区分拣传送至配送中心，现有两种搭建传送带的方案． 甲方案：从A区直接搭建两条传送带分别到B区，C区； 乙方案：在B区，C区之间搭建一条传送带，再从A区搭建一条垂直于BC的传送带，两条传送带的连接处为中转站D区（接缝忽略不计）． (1)请判断此平面图形的形状（要求写出推理过程） (2)甲，乙两种方案中，哪一种方案所搭建的传送带较短？请通过计算说明． 48．我县某初中八年级数学兴趣小组的同学利用社团活动时间测量学校壁挂音箱的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量壁挂音箱的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为5，壁挂音箱垂直地面于点，线段表示同一根竹竿．第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处，已知， 计算过程 …… 请根据上述方案中的内容，计算的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $