上海市第六十中学2025-2026学年高一第二学期5月阶段测验数学试题

2025学年第二学期5月阶段测验（2026.05.19） 高一年级数学 （满分：100分 考试时间：90分钟） 一．填空题（本大题共10题，其中1-8每小题3分，9、10每小题4分，总分32分） 1. 将弧度化为角度：弧度=___________． 2. 与的等比中项是________. 3. 在中，若，，，则___________ 4. 已知两个单位向量满足则___________ 5. 已知复数的虚部为4，则___________ 6. 若，则___________ 7. 中国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“某贾人擅营，月入益功疾（注：从第2月开始，每月比前一月多入相同量的铜钱），第3月入25贯，全年（按12个月计）共入510贯”，则该人第10月营收贯数为__________. 8. 已知平面向量，，，．若与的夹角为锐角，则的取值范围是________． 9. 已知为无穷等比数列，，数列 满足，则__________． 10. 将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，……，，若的坐标为则的值为_________ 二．选择题（本大题共4题，其中11、12每小题3分，13、14每小题4分，总分14分） 11. 在平面直角坐标系中，角以为始边，则“角的终边过点”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 12. 在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（ ） A. B. C. D. 13. 将函数的图象向上平移1个单位，得到函数的图象，若且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 14. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件：，，则下列结论中不正确的是（ ） A. B. 是数列中的最大值 C. 若，则n的最大值为4047 D. 三． 解答题（本大题共5题，总分54分） 15. 设，复数． （1）若为纯虚数，求a的值； （2）若在复平面内表示的点位于第四象限，求a的取值范围． 16. 已知向量，且， （1）求函数的单调递减区间； （2）已知的三个内角分别为，其对应边分别为，若有，，且的面积为，求的值． 17. 已知数列的前项和为， （1）若数列是公差不为0的等差数列，且成等比数列，求的值； （2）若 ，求当常数满足什么条件时，数列是等比数列． 18. 雨天外出虽然有雨伞，时常却总免不了淋湿衣袖、裤脚、背包等，小明想通过数学建模的方法研究如何撑伞可以让淋湿的面积尽量小．为了简化问题小明做出下列假设： 假设1：在网上查阅了人均身高和肩宽的数据后，小明把人假设为身高、肩宽分别为170cm、40cm的矩形“纸片人”： 假设2：受风的影响，雨滴下落轨迹视为与水平地面所成角为的直线； 假设3：伞柄OT长为，可绕矩形“纸片人”上点O旋转； 假设4：伞面为被伞柄OT垂直平分的线段AB，． 以如图1方式撑伞矩形“纸片人”将淋湿“裤脚”；以如图2方式撑被矩形“纸片人”将淋湿“头和肩膀”． （1）如图3在矩形“纸片人”上身恰好不被淋湿时，求其“裤脚”被淋湿（阴影）部分的面积（结果精确到）； （2）请根据你的生活经验对小明建立的数学模型提两条改进建议（无需求解改进后的模型，如果建议超过两条仅对前两条评分） 19. 对于向量集，记向量．如果存在向量，使得，那么称是向量集的“长向量”． （1）设向量，．若是向量集的“长向量”，求实数x的取值范围； （2）已知均是向量集的“长向量”， (i)求证：； (ii)若，．设在平面直角坐标系xOy中的点集，其中，，且与关于点对称，与关于点对称，求的最小值． 2025学年第二学期5月阶段测验（2026.05.19） 高一年级数学 （满分：100分 考试时间：90分钟） 一．填空题（本大题共10题，其中1-8每小题3分，9、10每小题4分，总分32分） 【1题答案】 【答案】20° 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】## 【5题答案】 【答案】14 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】60 【8题答案】 【答案】; 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】 二．选择题（本大题共4题，其中11、12每小题3分，13、14每小题4分，总分14分） 【11题答案】 【答案】A 【12题答案】 【答案】D 【13题答案】 【答案】A 【14题答案】 【答案】C 三． 解答题（本大题共5题，总分54分） 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）答案见解析 【19题答案】 【答案】（1） （2）(i)证明见解析；(ii)4048 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $