精品解析：江西鹰潭市第二中学2025-2026学年第二学期期中考试八年级数学试卷

鹰潭市第二中学2025-2026学年第二学期期中考试 八年级数学试卷 一、单选题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶．下列纹样中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列选项中，是的解的是（ ） A. B. C. D. 3. 用反证法证明：“在中，对边分别是a、b．若，则．”第一步应假设（ ） A. B. C. D. 4. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 5. 小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，则m的值为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 6. 如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度．再竖直向下平移2个单位长度，得点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移6个单位长度得点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移8个单位长度得点…，按此做法进行下去，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 要使二次根式有意义，则实数的取值范围是______． 8. 如图，在长方形中，，，则长方形内的四个小长方形的周长之和为_________． 9. 如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为___________． 10. 在平面直角坐标系中，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，点的坐标为，则点的坐标为__________． 11. 如图，在中，，的平分线BD交AC于点D，，，则的面积是______． 12. 在中，，，，点在上，，点在的边上，则当时，的长为__． 三、解答题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解答下列问题： （1）解不等式 ； （2）已知：如图，在Rt中，，，求证：． 14. 解不等式组：，并把不等式的解集在如图所示的数轴上表示出来． 15. 如图，点，，，在同一直线上，且，，与相交点，，．求证：． 16. 如图，中，平分，的中垂线交于点，交于点，连接．若，，求的度数． 17. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△； （2）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°所得的△； （3）△与△2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，EF垂直平分，交于点F，交于点E，点D是的中点． （1）若，求的度数； （2）若，，求的周长． 19. 2026年3月12日是我国第48个植树节，主题“履行植树义务，共建美丽中国”．鹰潭二中某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵． （1）求该班的学生人数； （2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？ 20. 如图，在中，，、分别在线段的延长线和反向延长线上，且． （1）求证：； （2）若，，求的面积 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 请根据要求完成下列试题的解答． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并证明你的结论． （2）如图2，，，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G．直接写出图中所有的等腰三角形； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 22. 新定义型阅读理解题：已知任意实数，，定义的含义为当时，，当时，． （1） （2）若，求的取值范围； （3）求的最大值． 六、解答题（本大题12分） 23. 如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． （1）如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； （2）如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若求线段的长； （3）若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为_____ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鹰潭市第二中学2025-2026学年第二学期期中考试 八年级数学试卷 一、单选题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 纹样作为中国传统文化的重要组成部分，是古人智慧与艺术的结晶．下列纹样中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】轴对称图形是指一个图形可以沿着一条直线（‌对称轴）‌折叠，‌使得直线两侧的图形能够完全重合；‌中心对称图形则是指一个图形可以绕着一个点（‌对称中心）‌旋转，‌使得旋转前后的图形互相重合．‌根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故选项不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项不符合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故选项符合题意． 2. 下列选项中，是的解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先解一元一次不等式得到解集，再判断选项中的值是否满足解集即可. 【详解】解：∵ ， ∴ 不等式两边同时减得， 即 ， ∵ 四个选项中只有满足， ∴ 故选：D. 3. 用反证法证明：“在中，对边分别是a、b．若，则．”第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反证法，熟记反证法的步骤是解题关键．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，据此进行判断即可． 【详解】解：用反证法证明：“在中，对边分别是a、b．若，则．”第一步应假设， 故选：D． 4. 到三角形各顶点距离相等的点是三角形（　　） A. 三条中线的交点 B. 三边垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条高线的交点 【答案】B 【解析】 【详解】∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴到三角形任意两个顶点距离相等的点，在这两个顶点所在边的垂直平分线上， ∴同时到三个顶点距离相等的点，是三角形三边垂直平分线的交点． 5. 小明用两个全等的正五边形硬纸片和一个正m边形硬纸片拼了一个平面图形，这三个硬纸片的拼接处无空隙，不重叠．如图所示，则m的值为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【分析】本题的解题思路是先求出正五边形的内角度数，再结合平面镶嵌（密铺）的条件，通过周角为计算出正边形的内角度数，最后利用多边形内角和公式求出的值． 【详解】解：正五边形的内角和为：， ∵正五边形的每个内角相等， ∴正五边形的每个内角度数为：． ∵拼接处无空隙、不重叠，三个角在拼接点处构成周角， ∴正边形的一个内角度数为：． 设正边形的边数为，根据多边形内角和公式可得：， 解得． 6. 如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度．再竖直向下平移2个单位长度，得点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移6个单位长度得点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移8个单位长度得点…，按此做法进行下去，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标规律探究，观察可知下标为偶数的点在第一象限的角平分线上，进而得到，即可得出结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：观察题图可知，下标为偶数的点在第一象限， ，，，， ∴， 当时，， ∴， 故选：A． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 要使二次根式有意义，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，即可求解． 【详解】解：由二次根式有意义的条件可知，被开方数为非负数， 因此得， 解得：． 8. 如图，在长方形中，，，则长方形内的四个小长方形的周长之和为_________． 【答案】14 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同．新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等． 把图中四个小长方形的边长进行平移，可得到图中四个小长方形的周长之和等于长方形的周长． 【详解】解：通过平移可知，图中四个小长方形的周长之和． 故答案为：． 9. 如图，直线与直线相交于点，则关于的不等式的解集为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式及一次函数图象的交点问题，解答本题的关键是熟练掌握图象在上方的部分对应的函数值大，图象在下方的部分对应的函数值小． 结合函数图象，写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵直线与直线相交于点， ∴当时，， 即关于x的不等式的解集为． 10. 在平面直角坐标系中，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，点的坐标为，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵线段绕原点顺时针旋转得到， ∴点的坐标是． 11. 如图，在中，，的平分线BD交AC于点D，，，则的面积是______． 【答案】6 【解析】 【分析】熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等的性质是解题关键．过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，，是的平分线， ∴， ∴的面积． 12. 在中，，，，点在上，，点在的边上，则当时，的长为__． 【答案】3或或 【解析】 【分析】根据直角三角形的性质可得BC=4，从而得到，进而得到，然后分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 当点P在AC边上时， ∵， ∴； 当点P在AB边上，且时， ， ∴， ∴； 当点P在BC边上， ∵∠C=90°， ∴， ∴，解得：； 综上所述，的长为3或或． 故答案为：3或或 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 三、解答题：（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解答下列问题： （1）解不等式 ； （2）已知：如图，在Rt中，，，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （2）证明，结合，可得，进一步可得结论. 【小问1详解】 解：， ， ， ∴. 【小问2详解】 解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14. 解不等式组：，并把不等式的解集在如图所示的数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示见解析 【解析】 【分析】求出每个不等式的解集，找到不等式解集的公共部分，把不等式的解集表示在数轴上即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以原不等式组的解集为， 不等式的解集在数轴上表示如下： 【点睛】此题考查了解一元一次不等式组和在数轴上表示不等式的解集，熟练正确求解一元一次不等式是解题的关键． 15. 如图，点，，，在同一直线上，且，，与相交点，，．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】利用“”证明，由全等三角形的性质可得结论. 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 16. 如图，中，平分，的中垂线交于点，交于点，连接．若，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】由角平分线的定义可得，由垂直平分线的性质可得，从而得到，进而得到，由三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：平分， ， 垂直平分， ， ， ， ，，， ， ． 【点睛】本题主要考查了垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 17. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，坐标分别为A（2，2），B（1，0），C（3，1）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△； （2）画出将△ABC绕原点O顺时针旋转90°所得的△； （3）△与△2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，直接写出对称中心的坐标． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）成，对称中心的坐标为． 【解析】 【分析】（1）利用利用y轴对称的点的坐标特征写出、、的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出、、，从而得到△； （3）根据中心对称的定义进行判断． 【详解】解：（1）如图，△为所作； （2）如图，△为所作； （3）△与△成中心对称图形，对称中心的坐标为． 【点睛】本题考查了坐标系中的中心对称，旋转，轴对称，熟练掌握对称变换的基本作图，是解题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在中，，EF垂直平分，交于点F，交于点E，点D是的中点． （1）若，求的度数； （2）若，，求的周长． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）由垂直平分可得，从而得到，从而得到；此即可由三角形内角和定理在中求得的度数； （2）由（1)中结论易得，，结合，即可得到的周长. 【小问1详解】 解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵点是的中点，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，，， ∴ ， 即的周长是18cm. 【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质，充分利用垂直平分线的特点是解题的关键. 19. 2026年3月12日是我国第48个植树节，主题“履行植树义务，共建美丽中国”．鹰潭二中某班同学共同种植一批树苗，如果每人种3棵，则剩余20棵；如果每人种4棵，则还缺25棵． （1）求该班的学生人数； （2）这批树苗只有甲、乙两种，其中甲树苗每棵30元，乙树苗每棵40元．购买这批树苗的总费用没有超过5400元，请问至少购买了甲树苗多少棵？ 【答案】（1）该班的学生人数为45人. （2）至少购买了甲树苗80棵. 【解析】 【分析】（1）设该班的学生人数为x人，根据两种方案下树苗的总数不变列出方程求解即可； （2）根据（1）所求求出树苗的总数为155棵，设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗，再根据总费用不超过5400元列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设该班的学生人数为x人， 由题意得，， 解得， ∴该班的学生人数为45人； 【小问2详解】 解：由（1）得一共购买了棵树苗， 设购买了甲树苗m棵，则购买了乙树苗棵树苗， 由题意得， ， 解得， ∴m的最小值为80， ∴至少购买了甲树苗80棵， 答：至少购买了甲树苗80棵． 20. 如图，在中，，、分别在线段的延长线和反向延长线上，且． （1）求证：； （2）若，，求的面积 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，，可得，进一步证明可得结论； （2）过点作于，证明，，求解，再进一步求解即可. 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴. 【小问2详解】 解：过点作于， ∵，，， ∴，， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ∴， ,， ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 请根据要求完成下列试题的解答． （1）如图1，在中，平分，交于点D，过点D作的平行线，交于点E，请判断的形状，并证明你的结论． （2）如图2，，，平分，交边于点E，过点A作交的延长线于点F，交于点G．直接写出图中所有的等腰三角形； （3）在（2）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1）是等腰三角形，理由见解析 （2），，， （3）2 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）由角平分线的定义得出．由平行线的性质得出，证出，则可得出结论； （2）①由等腰三角形的判定可得出结论； ②由（1）可知，，都是等腰三角形，则有，从而，则可得出答案． 【小问1详解】 解：是等腰三角形，理由如下： ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【小问2详解】 解：∵平分， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴, ∴是等腰三角形； 又，且 ∴， ∴， ∴是等腰三角形， ∵即 ∴， 又，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 综上，等腰三角形有4个：，，，； 【小问3详解】 解：由（2）可知，是等腰三角形， ∴， ∴； 由（2）可知，是等腰三角形， ∴． 22. 新定义型阅读理解题：已知任意实数，，定义的含义为当时，，当时，． （1） （2）若，求的取值范围； （3）求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（）根据新定义的含义解答即可； （）根据新定义的含义建立不等式即可解答； （3）根据新定义的含义分情况讨论即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：∵ ， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：①当时，解得， ， ②当时，解得， ∴ ， ∴， 综上所述，的最大值为． 六、解答题（本大题12分） 23. 如图①，和都是等腰直角三角形，，当点在线段上，点在线段上时，我们很容易得到，不需证明． （1）如图②，将绕点逆时针旋转，连接和，此时是否依然成立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由； （2）如图③，当绕点逆时针旋转，使得点恰好落在的延长线上，连接．若求线段的长； （3）若为中点，连接，，，当绕点逆时针旋转时，最大值为，最小值为，则的值为_____ 【答案】（1）依然成立，理由见解析 （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出相等角和边，利用证明，即可得出结论； （2）同（1）证明，得出，，然后利用勾股定理进行求解即可； （3）利用勾股定理求出斜边长度，利用勾股定理和直角三角形斜边中线定理求出，然后根据旋转的性质得出最值，最后利用平方差公式求解即可． 【小问1详解】 解：依然成立，理由如下： ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理得， ∴， 由勾股定理得； 【小问3详解】 解：如图，连接， ∵都是等腰直角三角形，， ∴由勾股定理得， ∵为中点， ∴， ∴点在以点为圆心，长为半径的圆上运动， 当点在直线上时，有最大值和最小值， ∴由图可知，的最大值为，最小值为， ∴， 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，直角三角形斜边中线定理，二次根式的运算，线段最值问题等知识点，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $