精品解析：北京市顺义区第一中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题

顺义一中2025-2026学年第二学期 高二年级5月期中考试 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 一、单选题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知随机变量的分布列如表：（其中为常数） 0 1 2 3 4 5 0.2 0.1 0.3 0.2 0.1 则等于（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 【答案】B 【解析】 【分析】根据分布列概率和为1求得a,再根据互斥事件的概率和公式计算即可. 【详解】根据分布列概率和为1，可得, . 故选：B. 2. 已知数列的前项和，则（ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 【答案】C 【解析】 【分析】利用计算即可. 【详解】. 故选：C. 3. 从4名高一学生和5名高二学生中，选3人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至少有1名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为（ ） A. 50 B. 70 C. 80 D. 140 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设条件利用组合知识并借助排除法即可作答. 【详解】由于选取的3人无顺序性，求不同选法种数的问题是组合问题， 又3 人中至少有1名高二学生，其对立事件是没有高二学生， 所求不同选法种数，先从9人中任选3人有种选法，没有高二学生的选法种数是， 所以不同选法种数为 故选：C 4. 若曲线在某点处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求得的导函数，通过方程根的情况判断选项A；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项B；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项C；求得的导函数，通过方程根的情况判断选项D. 【详解】选项A：，则，由，可得 则在处的切线的斜率为1. 选项B：，则，由，可得 则在处的切线的斜率为1 选项C：，则，由，可得 则在处的切线的斜率为1 选项D：，则，则， 则不存在斜率为1的切线 故选：D 5. 袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】第一次取到红球，则袋中还剩2个红球和5个黑球，即可求出第二次取到红球的概率． 【详解】解：依题意，第一次取到红球，则袋中还剩2个红球和5个黑球， 所以第二次取到红球的概率是：． 故选：B． 【点睛】本题考查条件概率，确定基本事件的个数是关键，属于基础题． 6. 在“五一”假期，小铭买了1本计算机书，1本文艺书，1本体育书，2本不同的数学书.打算把它们放在同一层书架上，两本数学书放在一起，不同的摆放种数有（ ） A. 48 B. 96 C. 120 D. 240 【答案】A 【解析】 【分析】利用捆绑法计算可得. 【详解】将本不同的数学书捆绑在一起，与其余本书全排列， 故有种不同的摆放方法. 故选：A 7. 已知二项式的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含项的系数是（ ） A. -84 B. -14 C. 14 D. 84 【答案】A 【解析】 【分析】 根据二项式系数之和等于128，可求得n的值，利用二项式展开式的通项公式，即可求得含项的系数. 【详解】因为二项式的系数之和等于128， 所以，解得， 所以二项式展开式的通项公式为， 令，解得， 所以展开式中含项的系数为， 故选：A 【点睛】本题考查已知二项式系数和求参数、求指定项的系数问题，考查分析理解，计算求值的能力，属基础题. 8. 已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是极大值点 C. 的图象在点处的切线的斜率等于0 D. 在区间内一定有2个极值点 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象，结合导函数与原函数的关系，以及导数的几何意义、函数的极值点的定义，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数的图象，可得当时，， 所以函数在区间为单调递增函数，所以，所以A错误； 对于B中，由A知，函数在区间为单调递增函数， 因为，所以不是函数的极值点，所以B错误； 对于C中，由函数的图象，可得， 所以函数的图象在点处的切线的斜率大于，所以C不正确； 对于D中，由函数的图象，当时，；当时，；当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单递减，在单调递增， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以D正确. 故选：D. 9. 甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意只需前5场甲赢3场，再利用独立事件的乘法公式求解． 【详解】根据题意，甲运动员前5场内需要赢3场，第6场甲胜， 则甲以4比2获胜的概率为． 故选：D． 10. 若函数在上有最小值，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】可导函数在开区间内存在最小值，则其必在区间内存在极小值点，即导数存在从负到正的变号零点,对于本题，导函数的分子为二次函数，其对应的函数至多只有一个极小值点，故若在内存在最小值，则导数在区间内存在唯一的从负到正的变号零点. 【详解】已知函数的定义域为，对其求导得： ，令， 若在上存在最小值，根据本题的函数结构可知，函数在区间内先递减后递增， 即在内由负变正，等价于. . 解得，即实数的取值范围是. 二、填空题：本题共5小题，共25分. 11. 数列的前项和，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用裂项相消求和即可. 【详解】由题意，， 则 故答案为： 12. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】函数在区间上单调递增，则在上恒成立，然后利用分离参数法即可得出答案. 【详解】解：， 因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 又在上递减， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 13. 已知多项式，则___________，___________. 【答案】 ①. ; ②. . 【解析】 【分析】根据二项展开式定理，分别求出的展开式，即可得出结论. 【详解】， ， 所以， ， 所以. 故答案为：. 14. 已知，，是公比不为1的等比数列，将，，调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组，，的值依次为______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，利用等比数列的通项公式表示各项，调整顺序后借助等差中项的概念建立等量关系求得的值，令可得结果. 【详解】设等比数列，，的公比为，则等比数列为， 不妨设调整顺序后的等差数列为，则， ∵，∴，解得或（舍）， 令，则，， ∴满足条件的一组，，的值依次为. 故答案为：（答案不唯一）. 15. 已知函数给出下列四个结论： ①存在实数，使得函数的最小值为； ②存在实数，使得函数的最小值为； ③存在实数，使得函数恰有个零点； ④存在实数，使得函数恰有个零点． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①③ 【解析】 【分析】取特殊值判断①，当时，分别分析分段函数两部分的最值判断②，根据分段函数每部分的零点确定函数的零点可判断③④. 【详解】当时，，显然函数的最小值为，故①正确； 当时，，， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以时，有最小值，由可得， 此时，时，，在上单调递减，所以， 与最小值为矛盾， 若时，的对称轴方程为，当时， 即时，，若，则与矛盾， 当时，在上单调递减，无最小值， 综上，当时，函数的最小值不为，故②错误； 由②知，时，时，单调递减且，当时，且，所以函数恰有2个零点，故③正确； 当时，且仅有，即有且只有1个零点， 当时，且仅有，即有且只有1个零点， 综上时，有且只有1个零点，而在上至多有2个零点， 所以时，函数没有4个零点，当时，函数有无数个零点，故④错误. 故答案为：①③ 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对分类讨论，利用导数研究上的函数性质，结合二次函数性质研究另一段函数. 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知的展开式中第二项与第三项的二项式系数之和为36． （1）求的值； （2）求展开式中含的项及展开式中二项式系数最大的项． 【答案】（I）；（II）. 【解析】 【详解】分析：（1）由条件利用二项式系数的性质求得n的值; (2) 二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于，求得r的值，可得展开式中含的项,进而得到展开式中二项式系数最大的项. 详解：（I）由题意知，第二项的二项式系数为，第三项的二项式系数为， ,, 得或（舍去）. (II)的通项公式为： ，令8﹣5k=3，求得k=1， 故展开式中含的项为． 又由知第5项的二项式系数最大，此时 . 点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题． 17. 某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到抽奖券1张，每张奖券的中奖概率为，若中奖，则商场返回顾客现金100元.某顾客现购买价格为2300元的台式电脑一台，得到奖券4张.每次抽奖互不影响. （1）设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为，求的分布列； （2）设该顾客购买台式电脑的实际支出为（单位：元），用表示，并求的数字期望. 【答案】（1）答案见解析；（2）2100元 【解析】 【分析】（1）因为每张奖券是否中奖是相互独立，可得中奖张数服从二项分布，即，根据公式即可求得所需概率，从而可得分布列； （2）由（1）可得，由题意可得与的关系，利用期望公式，求解即可. 【详解】（1）因为每张奖券是否中奖是相互独立的， 所以，可取0,1,2,3,4， 所以， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 P （2）因为 所以， 由题意得， 所以，即实际支出的数学期望为2100元. 【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望的计算，利用二项分布的公式，可大大简化计算，考查学生对基础知识的掌握程度，属中档题. 18. 在等差数列中， （1）求的通项公式； （2）若是公比为2的等比数列，，求数列的通项及前项和. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）设公差为，根据已知求出首项与公差，再根据等差数列的通项公式即可得解； （2）根据等差数列的通项求出数列的通项，即可得出数列{}的通项，再利用分组求和法即可得解. 【小问1详解】 设公差为，则，解得， 则，所以， 所以； 【小问2详解】 ， 因为是公比为2的等比数列， 所以， 所以，. 所以 . 19. 某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动活动后，为了解阅读情况，学校随机选取了几名学生，统计了他们的阅读量并整理得到以下数据（单位：本）： 男生：3，4，6，7，7，10，11，11，12； 女生：5，5，6，7，8，9，11，13． 假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立． （1）根据样本数据，估计此次活动中学生阅读量超过10本的概率； （2）现从该校的男生和女生中分别随机选出1人，记为选出的2名学生中阅读量超过10本的人数，求的分布列和数学期望； （3）现增加一名女生得到新的女生样本．记原女生样本阅读量的方差为，新女生样本阅读量的方差为．若女生的阅读量为8本，写出方差与的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列见解析；期望为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据样本数据统计超过10本的个数即可求解， （2）根据乘法公式求解概率，进而得分布列，由期望公式即可求解， （3）根据方差的计算公式即可求解. 【小问1详解】 共选出了17名学生，其中有5人的阅读量超过10本， 所以此次活动中学生阅读量超过10本的概率为． 【小问2详解】 由题意，从男生中随机选出1人其阅读量超过10本的概率为； 从女生中随机选出1人，其阅读量超过10本的概率为． 由题设，的可能取值为0，1，2． 且； ； ． 所以的分布列为： 0 1 2 的数学期望． 【小问3详解】 ． 理由：设原女生的8个阅读量分别为， 原女生阅读量的平均数为，新增一名女生后，平均数依然为8， 则 所以 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若对于任意的，有，求的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）直接计算导数，并利用导数的定义即可； （2）对分情况判断的正负，即可得到的单调区间； （3）对和两种情况分类讨论，即可得到的取值范围. 【小问1详解】 由，知. 所以当时，有，. 故曲线在处的切线经过，且斜率为，所以其方程为，即. 【小问2详解】 当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减； 当时，对有，故在上递增； 当时，对有，对有，故在和上递增，在上递减. 综上，当时，在和上递增，在上递减； 当时，在上递增； 当时，在和上递增，在上递减. 【小问3详解】 我们有. 当时，由于，，故根据（2）的结果知在上递增. 故对任意的，都有，满足条件； 当时，由于，故. 所以原结论对不成立，不满足条件. 综上，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对进行恰当的分类讨论，方可得到所求的结果. 21. 已知各项均为正整数的有穷数列满足，有，若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质. （1）判断下列数列是否具有性质，并说明理由： ① ② （2）已知数列具有性质，求出的所有可能取值； （3）若一个数列具有性质，则是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）①具有，②不具有，理由见解析 （2） （3）存在，最小值是4049， 【解析】 【分析】（1）根据新定义判断即可； （2）根据新定义，确定数列，任意两项和不同的取值最多有15个， 中任意两项和的结果有个，分为奇数、偶数讨论求解； （3）将的项从小到大排列构成新数列：，可得 ，据此取数列 ，结合等差数列性质证明满足条件即可. 【小问1详解】 ①任意两项和的结果有4，6，8，10，12共5个， 而，所以具有性质； ②，任意两项和的结果有 共7个， 而，所以不具有性质． 【小问2详解】 因为数列 中任意两项和的结果有 共个，且全部为偶数， 所以数列，任意两项和不同的取值最多有个， 所以， 若为奇数，都是奇数，与前6项中任意两项和的值均不相同， 则中所有的不同值共有15个，所以． 若为偶数，都是偶数，所以 ，所以， 因为，有，所以，则 ， 则任意两项和比任意两项和多了，共个，不符合题意； 综上，. 【小问3详解】 存在最小值，且最小值为4049． 将的项从小到大排列构成新数列：， 所以 所以的值至少有 个． 即的值至少有4049个，即 ． 数列 符合条件，即 ． 此时 为等差数列，由等差数列性质， 当 时，；当 时，， 因此每个等于中的一个，或者等于中的一个． 即所有和的不同值为个不同值，且 ． 综上，的最小值为4049 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 顺义一中2025-2026学年第二学期 高二年级5月期中考试 数学 试卷 （考试时间120分钟 满分150分） 一、单选题：共10小题，每小题4分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知随机变量的分布列如表：（其中为常数） 0 1 2 3 4 5 0.2 0.1 0.3 0.2 0.1 则等于（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 2. 已知数列的前项和，则（ ） A. 16 B. 32 C. 48 D. 64 3. 从4名高一学生和5名高二学生中，选3人参加社区垃圾分类宣传活动，其中至少有1名高二学生参加宣传活动的不同选法种数为（ ） A. 50 B. 70 C. 80 D. 140 4. 若曲线在某点处的切线的斜率为1，则该曲线不可能是（ ） A. B. C. D. 5. 袋中有3红5黑8个大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 在“五一”假期，小铭买了1本计算机书，1本文艺书，1本体育书，2本不同的数学书.打算把它们放在同一层书架上，两本数学书放在一起，不同的摆放种数有（ ） A. 48 B. 96 C. 120 D. 240 7. 已知二项式的所有二项式系数之和等于128，那么其展开式中含项的系数是（ ） A. -84 B. -14 C. 14 D. 84 8. 已知函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是极大值点 C. 的图象在点处的切线的斜率等于0 D. 在区间内一定有2个极值点 9. 甲、乙两名乒乓球运动员进行一场比赛，采用7局4胜制（先胜4局者胜，比赛结束）．已知每局比赛甲获胜的概率均为，则甲以4比2获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 若函数在上有最小值，则实数的取值范围为（） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，共25分. 11. 数列的前项和，若，则______. 12. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围是_____________． 13. 已知多项式，则___________，___________. 14. 已知，，是公比不为1的等比数列，将，，调整顺序后可构成一个等差数列，则满足条件的一组，，的值依次为______. 15. 已知函数给出下列四个结论： ①存在实数，使得函数的最小值为； ②存在实数，使得函数的最小值为； ③存在实数，使得函数恰有个零点； ④存在实数，使得函数恰有个零点． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知的展开式中第二项与第三项的二项式系数之和为36． （1）求的值； （2）求展开式中含的项及展开式中二项式系数最大的项． 17. 某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客消费每满500元便得到抽奖券1张，每张奖券的中奖概率为，若中奖，则商场返回顾客现金100元.某顾客现购买价格为2300元的台式电脑一台，得到奖券4张.每次抽奖互不影响. （1）设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为，求的分布列； （2）设该顾客购买台式电脑的实际支出为（单位：元），用表示，并求的数字期望. 18. 在等差数列中， （1）求的通项公式； （2）若是公比为2的等比数列，，求数列的通项及前项和. 19. 某校开展了为期一年的“弘扬传统文化，阅读经典名著”活动活动后，为了解阅读情况，学校随机选取了几名学生，统计了他们的阅读量并整理得到以下数据（单位：本）： 男生：3，4，6，7，7，10，11，11，12； 女生：5，5，6，7，8，9，11，13． 假设用频率估计概率，且每个学生的阅读情况相互独立． （1）根据样本数据，估计此次活动中学生阅读量超过10本的概率； （2）现从该校的男生和女生中分别随机选出1人，记为选出的2名学生中阅读量超过10本的人数，求的分布列和数学期望； （3）现增加一名女生得到新的女生样本．记原女生样本阅读量的方差为，新女生样本阅读量的方差为．若女生的阅读量为8本，写出方差与的大小关系．（结论不要求证明） 20. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）当时，求函数的单调区间； （3）若对于任意的，有，求的取值范围. 21. 已知各项均为正整数的有穷数列满足，有，若等于中所有不同值的个数，则称数列具有性质. （1）判断下列数列是否具有性质，并说明理由： ① ② （2）已知数列具有性质，求出的所有可能取值； （3）若一个数列具有性质，则是否存在最小值？若存在，求出这个最小值，并写出一个符合条件的数列；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $