精品解析：北京市第四中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

高二数学 试卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分 1. 已知数列的首项，且，则为 A. 7 B. 15 C. 30 D. 31 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是等差数列，且，，此数列的首项与公差依次为（ ） A. 19， B. 21， C. 15， D. 16， 4. 函数的图象经过原点，且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则取出的三个小球最大编号为5的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如果等差数列的前20项的和为100，那么的最大值为（ ） A. 25 B. 50 C. 100 D. 不存在 8. 已知无穷等差数列的公差不为0，前项和为．则“有最小值”是“数列单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（ ） A. 在处取极大值 B. C. 在上存在最小值 D. 在上至多有3个零点 10. 已知等差数列和的前16项均为正整数，且公差均不为0．若，则的最小值为（ ） A. 32 B. 16 C. 12 D. 8 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11. 同时抛掷甲乙两枚质地均匀的骰子，设“甲骰子点数为3”，“两枚骰子点数之和为8”，则________． 12. 函数在处的切线方程为______． 13. 已知数列的前项和为，则________，的最小值为________． 14. 已知函数，，有成立，则的取值范围是________． 15. 已知函数，给出如下四个结论： ①对任意，都不是偶函数； ②任取，，在上单调递减； ③任取，，在上单调递减； ④存在，使得当且时，恒成立； 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题：本大题共6小题，共85分 16. 设等差数列的公差不为0，，且． （1）求的通项公式： （2）设数列的前项和为，求使成立的的最小值． 17. 生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下： 跑步软件一 跑步软件二 跑步软件三 跑步软件四 中学生 80 60 40 20 大学生 30 20 20 10 假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响. （1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率； （2）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望； （3）记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明） 18. “诗到清平能动主，花虽富贵不骄人”，以景山公园为首，北京各大公园牡丹陆续进入最佳观赏期，为了解景山公园的未来人流趋势，收集得到旅行平台关于该公园4月1号至12号的网络搜索量（单位：万次）如下： 时间 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 11号 12号 搜索量 6.2 8.1 6.1 7.2 8.1 7.4 6.2 6.5 6.4 8.3 8.1 6.3 假设该公园每天的搜索量变化是相互独立的，用频率估计概率． （1）从2号至11号中任取1天，求当日的搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率； （2）在未来的日子里任取3天，记这3天中搜索量数据高于8万的天数为，求随机变量的分布列； （3）在未来的日子里任取3天，求这3天搜索量数据中既有高于8万又有低于7万的数据的概率． 19. 已知函数． （1）求在上的最大值和最小值； （2）求过原点的切线方程． 20. 已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）判断的单调性； （3）若不等式在上无解，求的取值范围． 21. 已知项数为的实数数列：，，…，，给定正整数，记．如果对于，…，，都有，则称数列“级恒正”，如果对于，…，，都有，则称数列“级恒负”． （1）对于，直接判断是否“2级恒负”，是否“4级恒正”； （2）当时，求证：不存在既“2级恒正”又“7级恒负”的数列： （3）已知，数列既“级恒正”又“级恒负”，求的最大值（用表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 试卷满分150分，考试时间120分钟 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分 1. 已知数列的首项，且，则为 A. 7 B. 15 C. 30 D. 31 【答案】D 【解析】 【分析】利用a5=2a4+1=2（a3+1）+1=…进行求解. 【详解】∵an=2an-1+1 ,∴a5=2a4+1=4a3+3=8a2+7=16a1+15=31，故选D. 【点睛】本题考查了利用数列的递推关系求数列的项，常见方法：依次代入法，迭代法，构造等比（等差）数列法. 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本初等函数的导数公式、导数的运算法则对给出的四种运算逐一验证，即可得到正确答案． 【详解】解：因为，所以选项不正确； ，所以选项正确； ，所以选项不正确； ，所以选项不正确． 故选：． 3. 已知是等差数列，且，，此数列的首项与公差依次为（ ） A. 19， B. 21， C. 15， D. 16， 【答案】A 【解析】 【详解】设等差数列的公差为，由，， 可得，解得， 所以数列的首项与公差依次为. 4. 函数的图象经过原点，且它的导函数的图象是如图所示的一条直线，则的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数与原函数的关系判断. 【详解】设导函数图象与轴交点为，则， 由图象知，时，，单调递增，时，，递减， 又的图象过原点，所以时，，点在第三象限， 所以图象不过第二象限； 函数在上单调递增，所以，即点在第一象限； 因为函数在上单调递减，且递减速度越来越快，所以函数图象一定会经过第四象限. 5. 从编号分别为1，2，3，4，5，6的六个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则取出的三个小球最大编号为5的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设“取出的三个小球最大编号为5”为事件A， 所以. 6. 函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得，根据题意，转化为在区间上恒成立，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 因为在区间上是减函数，可得在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 根据二次函数的性质，则满足，解得， 7. 如果等差数列的前20项的和为100，那么的最大值为（ ） A. 25 B. 50 C. 100 D. 不存在 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式以及等差数列的性质可得，结合基本不等式即可求解. 【详解】因为等差数列的前20项的和为，则， 可得，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为25. 8. 已知无穷等差数列的公差不为0，前项和为．则“有最小值”是“数列单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先由有最小值推出得数列单调递增，再由数列单调递增推出有最小值，判断出充要条件. 【详解】等差数列前项和公式为，是关于的二次函数， 若，二次函数开口向下，当时，， 即不可能有最小值，所以有最小值，即， 而时，，数列单调递增，充分性成立， 若数列单调递增，则，二次函数开口向上，定义域为正整数， 开口向上的抛物线必然存在离对称轴最近的正整数点，对应的最小值， （即使所有项都为正，最小值就是，依然存在），因此必要性成立， 综上，“​有最小值”是“数列单调递增”的充要条件. 9. 如图是函数的导函数的图像，则下列说法错误的是（ ） A. 在处取极大值 B. C. 在上存在最小值 D. 在上至多有3个零点 【答案】D 【解析】 【详解】由图象可知，当时，；当时，； 当时，；当时，； 所以在处取极大值，故A正确； 由当时，， 可得在上单调递增，所以， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 在上单调递减，在上单调递增，所以极小值是和， 所以在上存在最小值，故C正确； 若，，，，， 函数在上至多有4个零点，故D错误. 10. 已知等差数列和的前16项均为正整数，且公差均不为0．若，则的最小值为（ ） A. 32 B. 16 C. 12 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】先根据，结合题干条件，判断出等差数列的公差，再根据等差数列通项公式，将求的最小值转化为求的最小值，再通过赋值的方式求出的最小值即可求出答案. 【详解】设数列的公差为，设数列的公差为. 因为等差数列和的前16项均为正整数，且公差均不为0， 所以首项和公差为整数，即， 若数列是递增数列，则，这样，又题中所述，此时，与题意不符，故数列是递减数列，即，而， 所以， 若要求的最小值，只需求的最小值， 若要求的最小值，只需求最小值减去最大值，而最大值为， 下面分析最小值： 当时，，此时的最小值必定大于等于； 当时，，此时的最小值必定大于等于， 接下来验证时是否满足题意， 因为，在的最小值为16的情况下，， 解得，若或，满足题干所有条件， 若最小值为时，则，不可能，因公差必须是整数！ 若最小值为8时，则，由题设条件可推得，而已知，故，所以不可能为，故最小值不能为8. 综上的最小值为. 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11. 同时抛掷甲乙两枚质地均匀的骰子，设“甲骰子点数为3”，“两枚骰子点数之和为8”，则________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出和，再代入公式计算． 【详解】事件为“甲骰子点数为3”，甲骰子出现点数3只有1种情况， 而每枚骰子有6种可能的点数，同时投掷两枚骰子，总共有种不同的结果． 可得． 事件表示“甲骰子点数为3且两枚骰子点数之和为8”， 设甲骰子的点数为，乙骰子的点数为，则且，那么，即只有这1种情况． 根据古典概型概率公式可得． 所以． 12. 函数在处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得，得到，且，结合导数的几何意义，即可求解. 【详解】由函数， 可得，且， 即切线的斜率为，切点坐标为， 所以切线方程为，即. 13. 已知数列的前项和为，则________，的最小值为________． 【答案】 ①. 9 ②. 1 【解析】 【详解】； 当时，， 时，， 时，，符合通项公式， ， 当时，单调递减，令，解得， 当时，，， 当时，，， 当时，随增大而增大，故的最小值为1． 14. 已知函数，，有成立，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】将原不等式移项整理得，构造函数，将条件转化为在单调递增，求导后转化为导数非负恒成立，分离参数求的范围. 【详解】原不等式，，移项得， 说明函数在上单调递增， 即对任意恒成立. 对求导得， 整理不等式，两边同乘得. 对二次函数，时，的最大值为​. 要使恒成立，只需​，即的取值范围是. 15. 已知函数，给出如下四个结论： ①对任意，都不是偶函数； ②任取，，在上单调递减； ③任取，，在上单调递减； ④存在，使得当且时，恒成立； 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】求得函数的定义域为，利用函数的奇偶性可判断①；求导得，令，则利用函数的连续性判断②；利用，，可判断③；分和两种情况求得的值可判断④. 【详解】函数的定义域为， 若对存在，使都是偶函数，则对恒成立， 所以，所以，则， 与对恒成立矛盾，所以不存在，使都是偶函数， 所以对任意，都不是偶函数，故①正确； 由，得， 令，则， 由的连续性，存在，当时，， 结合，可得存在，当时，， 所以函数在上单调递减，故②正确； 为开口向下的二次函数，当，， 因此，存在，当，使得， 可得，即在上单调递减，故③正确； 当时，，若，则，所以，所以； 当时，，若，则，所以，所以； 所以，这与矛盾， 故不存在，使得当且时，恒成立，故④错误. 三、解答题：本大题共6小题，共85分 16. 设等差数列的公差不为0，，且． （1）求的通项公式： （2）设数列的前项和为，求使成立的的最小值． 【答案】（1） （2）8 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于的方程，求解出，然后写出的通项公式. （2）先写出，然后求解关于的不等式，解出即可. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，． ，，解得或（舍）． 所以的通项公式为． 【小问2详解】 由题意可得， 令，解得或（舍）， 故使成立的的最小值为8． 17. 生活中人们喜爱用跑步软件记录分享自己的运动轨迹.为了解某地中学生和大学生对跑步软件的使用情况，从该地随机抽取了200名中学生和80名大学生，统计他们最喜爱使用的一款跑步软件，结果如下： 跑步软件一 跑步软件二 跑步软件三 跑步软件四 中学生 80 60 40 20 大学生 30 20 20 10 假设大学生和中学生对跑步软件的喜爱互不影响. （1）从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人，用频率估计概率，试估计这2人都最喜爱使用跑步软件一的概率； （2）采用分层抽样的方式先从样本中的大学生中随机抽取人，再从这人中随机抽取人.记为这人中最喜爱使用跑步软件二的人数，求的分布列和数学期望； （3）记样本中的中学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；样本中的大学生最喜爱使用这四款跑步软件的频率依次为，，，，其方差为；，，，，，，，的方差为.写出，，的大小关系.（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列详见解析， （3） 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件乘法公式求得正确答案. （2）根据分层抽样以及超几何分布的知识求得分布列并计算出数学期望. （3）通过计算，，来确定正确答案. 【小问1详解】 从该地区的中学生和大学生中各随机抽取1人， 这人都最喜爱使用跑步软件一的概率为. 【小问2详解】 因为抽取的人中最喜爱跑步软件二的人数为， 所以的所有可能取值为， ， 所以的分布列为： 所以. 【小问3详解】 ，证明如下： ， ， 所以. ， ， 所以. 数据：，，，，，，，， 对应的平均数为 所以 所以. 18. “诗到清平能动主，花虽富贵不骄人”，以景山公园为首，北京各大公园牡丹陆续进入最佳观赏期，为了解景山公园的未来人流趋势，收集得到旅行平台关于该公园4月1号至12号的网络搜索量（单位：万次）如下： 时间 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 11号 12号 搜索量 6.2 8.1 6.1 7.2 8.1 7.4 6.2 6.5 6.4 8.3 8.1 6.3 假设该公园每天的搜索量变化是相互独立的，用频率估计概率． （1）从2号至11号中任取1天，求当日的搜索量比其前后两日的搜索量都低的概率； （2）在未来的日子里任取3天，记这3天中搜索量数据高于8万的天数为，求随机变量的分布列； （3）在未来的日子里任取3天，求这3天搜索量数据中既有高于8万又有低于7万的数据的概率． 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 （3）【解析】 【小问1详解】 设“当日的搜索量比其前后两日的搜索量都低”为事件，总天数10天， 满足条件的天数为3天（3号、7号、9号），因此． 【小问2详解】 在未来的日子里任取一天，设“当日搜索量数据高于8万”为事件， 12天中，搜索量高于8万的有：2号、5号、10号、11号，共4天， 用频率估计概率，， ， ， ， ． 分布列为 0 1 2 3 【小问3详解】 设“这3天搜索量数据中既有高于8万又有低于7万的数据”为事件，“第天高于8万”为事件， “第天低于7万”为事件，“第天不低于7万且不高于8万”为事件，， 由（2）可得，同理可得，， 则 ． 19. 已知函数． （1）求在上的最大值和最小值； （2）求过原点的切线方程． 【答案】（1）最大值为，最小值为 （2）和 【解析】 【分析】（1）先对原函数求导，找到导函数在区间内的零点，利用导数研究函数的单调性，比较极值点和区间端点的函数值即可得到函数的最值； （2）设出切点坐标，利用导数几何意义写出切线方程，代入原点坐标求解切点横坐标，由点斜式即可得到切线方程. 【小问1详解】 由得， 令得或， ，，，， 当在上变化时，的变化情况如下表： 0 2 3 0 + 0 0 因为， 所以在上的最大值为，最小值为． 【小问2详解】 因为， 所以在定义域上处处可导，即过原点的切线的斜率存在. 设过原点的切线与曲线的切点为，则切线斜率， 所以切线方程为， 由切线过原点得，即，解得或. 当时，切点为，切线的斜率为，所以切线方程为； 当时，切点为，切线的斜率为，所以切线方程为，即． 综上，所求切线方程为和． 20. 已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）判断的单调性； （3）若不等式在上无解，求的取值范围． 【答案】（1） （2）在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，进而求得切线方程； （2）求导，判断导数的正负，进而判断的单调性； （3）参变分离，转成恒成立问题，然后构造函数，利用导数求最值即可得到答案. 【小问1详解】 因为， ，， 所以在处的切线方程为， 即. 【小问2详解】 因为，令，则， 令，则，又， 1 0 + 单调递减 0 单调递增 所以在处取得极小值（也是最小值）0，即， 所以（当且仅当时为零）， 因此在上单调递增. 【小问3详解】 不等式无解，即对任意有，即恒成立， 令，则， 则在上，，单调递减， 因此， 因此的取值范围是. 21. 已知项数为的实数数列：，，…，，给定正整数，记．如果对于，…，，都有，则称数列“级恒正”，如果对于，…，，都有，则称数列“级恒负”． （1）对于，直接判断是否“2级恒负”，是否“4级恒正”； （2）当时，求证：不存在既“2级恒正”又“7级恒负”的数列： （3）已知，数列既“级恒正”又“级恒负”，求的最大值（用表示）． 【答案】（1）不是“2级恒负”，是“4级恒正”． （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义判断即可； （2）利用反证法结合新定义求证即可； （3）先构造满足条件的时的数列，再证明当时，不存在既“级恒正”又“级恒负”的数列． 【小问1详解】 不是“2级恒负”，是“4级恒正”． 因为当时， ，所以不是“2级恒负”； 当时， ， ， ， 所以是“4级恒正”. 【小问2详解】 假设存在“2级恒正”且“7级恒负”的数列． 另一方面， ， 矛盾，所以不存在既是“2级恒正”又是“7级恒负”的数列． 【小问3详解】 的最大值为． 当时，构造数列如下： 即第个数是，其余数全为-1，则 ， 而 所以数列为既“级恒正”又“级恒负”的数列． 下面证明：当时，不存在既“级恒正”又“级恒负”的数列． 假设存在这样的数列，从数列中取前项，记为数列，则数列满足既“级恒正”又“级恒负”． 一方面， 另一方面： 矛盾，所以当时，不存在既“级恒正”又“级恒负”的数列． 所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $