精品解析：北京市顺义牛栏山第一中学2024-2025学年高二下学期期中数学试题

牛栏山一中2024-2025学年度高二第二学期期中考试 数学试卷 2025.05 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 函数，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知为等差数列，记为其前n项和，若，则（ ） A. 3 B. 7 C. 13 D. 2 3. 函数部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 学校要从5名男生和3名女生中选择2人组成“研学团”，在男生甲被选中条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 下列函数中，在处导数值为1的是（ ） A B. C. D. 6. 已知等比数列，首项，则“数列单调递增”是“数列单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知数列满足：对于，均有，且，则（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 8. 数列是递增的整数数列，且，，则n的最大值为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 9. 对于函数，定义集合。若，则下列结论中正确是（ ） A. 可能函数极大值点 B. 1可能为函数极大值点 C. 函数在上单调递增 D. 函数可能为偶函数 10. 数列，的通项公式分别为，，数列满足，记为数列前n项和，则（ ） A. 124 B. 128 C. 132 D. 136 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上. 11. 的展开式中的常数项为________． 12. 函数的图像关于原点对称，且在其点处的切线方程为，则点A关于原点的对称点处的切线方程为________． 13. 已知数列是公差不为零的等差数列．，则________． 14. 已知函数，下列结论中正确的是________． ①函数仅有1个零点； ②函数有极大值，也有极小值； ③函数有最小值，无最大值； ④函数的图象与直线有2个交点． 15. 已知函数，若函数无最小值，则a的取值范围是________． 三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知数列为等差数列，且，．数列为等比数列，且，． （1）求数列和的通项公式； （2）求的前n项和． 17. 函数在处取得极值． （1）求a； （2）求的单调区间． 18. 为了解学生甲在高中阶段数学学习的具体情况，现对其在高一年级和高二年级所参加的6次数学考试分数进行统计，结果如下表所示．若分数分则记为“优秀”，成绩在之间记为“良好”，分数分则记为“合格”． 考试1 考试2 考试3 考试4 考试5 考试6 高一年级 84 82 90 78 88 93 高二年级 80 86 89 91 87 83 （1）从学生甲高一年级6次考试中随机选取一次，求其成绩为“良好”的概率； （2）从表格中学生甲高一年级和高二年级的考试成绩中分别随机抽取2次，记其中成绩为“优秀”的次数为X，求X的分布列及期望； （3）将表格中学生甲高一年级6次考试成绩的方差记作；高二年级6次考试成绩的方差记作；所有12次成绩的方差记作，写出：，，的大小关系．（结论不要求证明） 19. 在椭圆中，过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C．椭圆的上顶点为A，直线AB和直线AC分别交x轴于点M，N． （1）求椭圆E的长轴长及离心率； （2）证明：M，N两点横坐标之和为． 20. 设函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：函数在定义域内有三个零点；（参考数据：） （3）请分别写出过点，，且与曲线相切的直线个数．（直接写出答案） 21. 若m行n列的数表满足：，且，记这样的数表为．对于数表，定义为数表中第i行和第j行的积，其中，． （1）数表，直接写出的所有取值； （2）是否存在数表满足？若存在，写出一个这样的，若不存在，请说明理由； （3）若数表满足当时，，求m的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 牛栏山一中2024-2025学年度高二第二学期期中考试 数学试卷 2025.05 第一部分（选择题，共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 函数，则的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的定义，以及导数的运算法则，即可求解． 【详解】， ∴， 故． 故选：A． 2. 已知为等差数列，记为其前n项和，若，则（ ） A. 3 B. 7 C. 13 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由及已知，即可求. 【详解】由. 故选：C 3. 函数部分图像如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数与切线斜率的关系判断即可. 【详解】根据图像知道，在处图像单调递增趋势，切线斜率为正，且处越陡，则斜率越大，则.在处图像单调递减趋势，斜率为负，则. 综上所得. 故选：A. 4. 学校要从5名男生和3名女生中选择2人组成“研学团”，在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设事件为研学团中男生人数多于女生， 事件为男生甲被选中，分别求出，再根据条件概率的公式求解即可. 【详解】事件为研学团中男生人数多于女生， 设事件为男生甲被选中， 则事件为男生甲被选中且研学团中男生人数多于女生. 所以，， 所以在男生甲被选中的条件下，研学团中男生人数多于女生的概率为 . 故选：B 5. 下列函数中，在处的导数值为1的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据简单复合函数求导方法，对各选项求导，计算导函数值，判断正误. 【详解】函数，，则，所以A错误. 函数在不可导，所以B错误. 函数，，则，所以C错误. 函数，，则， 故选：D. 6. 已知等比数列，首项，则“数列单调递增”是“数列单调递增”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列的单调性和首项与公比之间的关系，判断出两个数列递增对公比的要求即可. 【详解】设等比数列的公比为，当首项，数列单调递增，则. 数列，则数列，首项为，公比为， 当数列单调递增时，若时，则，即， 若时，首项，则，即，所以当数列单调递增时或. 所以由“数列单调递增”能推出“数列单调递增”， 由“数列单调递增”不能推出“数列单调递增”， 所以在等比数列，首项条件下，“数列单调递增”是“数列单调递增”的充分不必要条件， 故选：A. 7. 已知数列满足：对于，均有，且，则（ ） A. 16 B. 32 C. 64 D. 128 【答案】C 【解析】 【分析】因为，所以依次将，，代入，即可求出. 【详解】因为对于，均有， 所以令，有， 令，有， 令，有. 故选：C. 8. 数列是递增的整数数列，且，，则n的最大值为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】假设数列为最小递增整数数列：2，3，4，……，此时为等差数列，利用等差数列求和得到当时，，当时，，从而确定的最大值为17． 【详解】为使最大，则数列各项应尽可能小， 假设数列为最小递增整数数列：2，3，4，……，此时为等差数列， 公差为1，故通项公式为， 其和为，显然随着的增大，增大， 当时，， 当时，， 故当时，不妨令整数数列为满足要求. 综上，的最大值为17． 故选：C． 9. 对于函数，定义集合。若，则下列结论中正确的是（ ） A. 可能为函数极大值点 B. 1可能为函数极大值点 C. 函数在上单调递增 D. 函数可能为偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】由，故，所以在单调递增，且，然后分别对每个选项说明即可，A选项，存在，使得；B选项，举出符合题意的函数即可；C选项，函数符合在单调递增，且，但不在上单调递增；D选项，因为在单调递增，从而不可能为偶函数. 【详解】由题，，即，故在单调递增，且， 对于A选项：若为函数极大值点，则存在，使得，而，不满足题意，故A不正确； 对于B选项：函数符合，故成立； 对于C选项：函数符合题意，但此时函数在上不单调递增，故C不正确； 对于D选项：因为在单调递增，所以函数不可能为偶函数，故D不正确. 故选：B. 10. 数列，的通项公式分别为，，数列满足，记为数列前n项和，则（ ） A. 124 B. 128 C. 132 D. 136 【答案】D 【解析】 【分析】根据数列通项公式，分别求出前7项，写出数列前7项求和. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以数列前7项为，则. 故选：D. 第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填写在答题卡上. 11. 的展开式中的常数项为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式的通项公式为， ， 令，则，所以展开式中常数项为. 故答案为：. 12. 函数的图像关于原点对称，且在其点处的切线方程为，则点A关于原点的对称点处的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数图像关于原点对称得出函数为奇函数，再利用奇函数的性质求出点关于原点对称点的坐标，最后根据奇函数导数的性质求出对称点处的切线方程. 【详解】已知点，可得点关于原点的对称点的坐标为. 因为点在切线上，将代入切线方程可得，所以的坐标为. 因为的图像关于原点对称，所以是奇函数，即. 对两边同时求导，根据复合函数求导法则可得：，即，这表明奇函数的导函数是偶函数. 已知函数在点处的切线方程为，可得. 因为是偶函数，所以，即函数在点处的切线斜率为. 根据点斜式方程可得函数在点处的切线方程为，即，化简可得. 故答案为： . 13. 已知数列是公差不为零的等差数列．，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式，求出首项和公差的等量关系，求出结果即可. 【详解】设数列是首项，公差， 因为，所以，化简得， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数，下列结论中正确的是________． ①函数仅有1个零点； ②函数有极大值，也有极小值； ③函数有最小值，无最大值； ④函数的图象与直线有2个交点． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据函数的性质，借助导数工具和函数图像，分别对函数的零点、极值、最值以及与直线的交点情况进行分析判断. 【详解】令，因为恒成立，所以，解得，即函数仅有个零点，故①正确. 对求导，则. 令，即，因为恒成立，所以，解得或. 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增. 所以是极大值点，是极小值点，函数有极大值，也有极小值，故②正确. 由上述单调性分析可知，在处取得极小值，也是最小值，. 当时，，所以函数无最大值，故③正确. ，，且当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的图象与直线有3个交点，故④错误. 故答案为：①②③. 15. 已知函数，若函数无最小值，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】由导函数得到分段函数的单调性，结合特殊点函数值，得到不等式，求出答案. 【详解】当时，，， 令，则恒成立， 故在上单调递增， 注意到，故当时，， 当时，， 故上单调递减，在上单调递增， 其中， 当时，，其在上单调递增，且， 要想无最小值，需满足，即，解得， 故答案为： 三、解答题：本大题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 已知数列为等差数列，且，．数列为等比数列，且，． （1）求数列和的通项公式； （2）求的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用来求解即可； （2）利用分组求和法，然后利用公式法分别求和，再相减． 【小问1详解】 解：由于数列为等差数列 所以，解得， 所以． 由于数列为等比数列 所以，解得， 所以． 【小问2详解】 ． 17. 函数在处取得极值． （1）求a； （2）求的单调区间． 【答案】（1）1 （2）单调递增区间为，；单调递减区间为，． 【解析】 【分析】（1）根据函数的极值点和函数导数零点之间的对应关系，对函数求导，求出参数. （2）根据函数单调区间和导函数之间关系，对函数求导，列出不等式求解，写出单调区间. 【小问1详解】 因为函数在处取得极值，所以 所以，解得． 经检验，当时，，， 可知在左右两侧导函数符号不同，所以符合题意． 【小问2详解】 ； 令，解得 所以，x，，的关系如下表： x 0 1 2 0 0 0 极大值 极小值 极大值 所以的单调递减区间为，；单调递增区间为，． 18. 为了解学生甲在高中阶段数学学习的具体情况，现对其在高一年级和高二年级所参加的6次数学考试分数进行统计，结果如下表所示．若分数分则记为“优秀”，成绩在之间记为“良好”，分数分则记为“合格”． 考试1 考试2 考试3 考试4 考试5 考试6 高一年级 84 82 90 78 88 93 高二年级 80 86 89 91 87 83 （1）从学生甲高一年级6次考试中随机选取一次，求其成绩为“良好”概率； （2）从表格中学生甲高一年级和高二年级的考试成绩中分别随机抽取2次，记其中成绩为“优秀”的次数为X，求X的分布列及期望； （3）将表格中学生甲高一年级6次考试成绩的方差记作；高二年级6次考试成绩的方差记作；所有12次成绩的方差记作，写出：，，的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】（1） （2）分布列见解析，1 （3） 【解析】 【分析】（1）利用古典概型的概率公式求解. （2）先确定的可能取值，然后分别计算每个取值的概率，进而得到分布列，再根据期望公式计算期望. （3）根据方差的意义判断，，的大小关系，方差是用来衡量一组数据波动大小的量. 【小问1详解】 设事件A为“从学生甲高一年级6次考试中随机选取一次，其成绩为良好”． 所以． 【小问2详解】 学生甲在高一年级6次考试中成绩为“优秀”的次数为2次，在高一年级6次考试中成绩为“优秀”的次数为2次． 由题意得X的可能取值为0，1，2，3． 且， ， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 所以． 【小问3详解】 方差衡量数据波动大小，观察成绩： 高一年级成绩：84，82，90，78，88，93，数据相对分散，波动大，所以方差较大. 高二年级成绩：80，86，89，91，87，83，数据相对集中，波动小，方差较小. 把高一高二12次成绩合起来，整体波动程度介于高一、高二各自波动程度之间，所以方差满足. 19. 在椭圆中，过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C．椭圆的上顶点为A，直线AB和直线AC分别交x轴于点M，N． （1）求椭圆E的长轴长及离心率； （2）证明：M，N两点横坐标之和为． 【答案】（1）长轴长为6，离心率为． （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程求，再根据椭圆性质，即可求解； （2）首先直线与椭圆方程联立，表示根与系数的关系，并利用点的坐标，分别表示直线和，并求点的坐标，利用韦达定理表示点的横坐标之和，即可证明. 【小问1详解】 由椭圆方程得，，； 所以， 所以，； 所以椭圆长轴长为6，离心率为． 【小问2详解】 设点，，，， 设直线，联立方程 ， 消去y可得： 则；； 椭圆上顶点A坐标为， 所以直线；直线； 将，分别代入直线AB、AC 解得；； 所以 所以 将、代入 解得，得证． 20. 设函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：函数在定义域内有三个零点；（参考数据：） （3）请分别写出过点，，且与曲线相切的直线个数．（直接写出答案） 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）2条；1条；3条，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率，得解； （2）求出函数导数，得出导函数的零点，列表可得函数单调区间及极值，再由零点存在性定理得证； （3）设出切点，根据导数几何意义得到切线方程，将代入，得到，构造函数，求导，得到函数单调性，结合零点存在性定理得到根的个数，从而确定过点且与曲线相切的直线有2条，同理可得过，且与曲线相切的直线条数. 【小问1详解】 ， ，， 所以切线方程为． 【小问2详解】 ． ，令，解得； 所以，x，，的关系如下表： x 0 0 极大值 极小值 所以的单调递增区间为，； 单调递减区间为； 因为，所以， 因为，， 根据零点存在定理，在，，上各自存在一个零点，得证. 小问3详解】 分别有2条；1条；3条.理由如下： ，设切点为，则切线斜率为， 切线方程为， 因为切线过点，故， ，即， 令， 则 ，， 其中令得，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 其中，，， 故由零点存在性定理得在上分别存在一个零点， 故过点且与曲线相切的直线有2条； 同理，切线过点时，故， 即， 令， 故，， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递减， 其中，，， 由零点存在性定理得在上存在唯一零点， 故过点且与曲线相切的直线有1条； 同理，当切线过点时，故， 即， 令， ，， 令得，令得， 故在上单调递减，在上单调递增， 其中，，， ， 由零点存在性定理得在，，内分别有1个零点， 故过且与曲线相切的直线有3条. 21. 若m行n列的数表满足：，且，记这样的数表为．对于数表，定义为数表中第i行和第j行的积，其中，． （1）数表，直接写出的所有取值； （2）是否存在数表满足？若存在，写出一个这样的，若不存在，请说明理由； （3）若数表满足当时，，求m的最大值． 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由定义求值即可得； （2）理解的意义，当时，即第行的个数；当时，即第两行所有列两项之积的和，由此分析的可能位置产生矛盾； （3）理解当时，表示任意两行在至多列上同时为，从考虑空集、单元素集、双元素集构成的子集族入手分析其最大元素个数即可得. 【小问1详解】 由给定数表， 则，且， 则； 当时， ； ； ； 且； ； ； 故的所有取值共有两个. 【小问2详解】 由题意知， ， 由，可知任意两行互异. 当时，， 由，则即第行的个数； 当时，即第两行所有列两项之积的和. 故由可知，即每行恰有两个； 且，即任意两行都没有同时为的列； 由数表共行列，每行中列中任选不同的列，这两项为，其余两项为； 而任意两行都没有同时为的列， 则行应有共个不同的列，其项都为，但数表仅列， 故不存在这样的数表. 【小问3详解】 由题意数表共行列，且任意两行互异. 当时，表示任意两行在至多列上同时为， 设第行中所有所在列数构成集合，， 则，，且. 下面首先考虑集合的元素个数小于等于的子集： ①空集：个，即对应列每列均为的一行； ②单元素集：个， 即对应2025列中恰列为的行，共行； ③双元素集：个， 即对应2025列中恰列为的行，共行； 故共有个这样的子集. 从上述所有集合构成的子集族中任取两集合， 若两集合中至少有一空集，则交集个数为； 若两集合中至少且一单元素集，则交集个数至多为； 若两个集合均为双元素集，则交集个数至多为. （假设交集个数为，则两集合相等，这与两行互异矛盾.） 故该子集族中任意两个子集互异，且交集元素的个数至多为， 即满足任意两行在至多列上同时为，该子集族满足题意. 假设还可添加其他子集至子集族中，则集合的元素个数至少为. 则中至少存在个双元素集合，使得， 即两集合的交集个数为，即必存在两行至少两列同时为，不满足题意； 故子集族中不能再添加其他元素，即其个数最大为. 下面证明：子集族是个数最多的子集族. 假设子集族不是个数最多的子集族， 设子集族为子集个数最多的子集族，其子集个数大于， 则也至少存在一个元集合，且，， 由于该元集合，则也将导致至少个所对应的双元素集不能存在， 删除该元集合，则可用对应的至少个这样的双元素集代替， 由与子集族中任意子集的交集元素个数都小于，则替换后依然满足条件. 因此，这样操作后的子集族中子集个数必超过原子集族的子集的个数， 而这与假设最多性矛盾，故得证. 综上所述，数表若满足当时，，则m的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$