精品解析：湖南永州市新田县第一中学2025-2026学年下学期高一入学检测试题数学（A卷）

2026年春季高一入学数学检测卷（A卷） 时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数是奇函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 4. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且.则（ ） A. B. C. D. 6. 若不等式有且只有两个整数解，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ） A. B. C. D. 10. 若x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：__________. 13. 设向量满足，，，若，则的值是__________． 14. 设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求实数的值； （2）若，且，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围. 16. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长t（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：．已知综合性能评分，且在函数图象是连续不断的. （1）求函数的解析式； （2）已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）若为BC边上一点，，且，求. 18. 已知函数 （1）当时，求函数的定义域； （2）当时，函数的值域为，求的值； （3）在（2）的条件下，设函数，解关于的不等式． 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围； （3）设，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季高一入学数学检测卷（A卷） 时间：120分钟 分值：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的解法和对数函数的性质，求得和，结合集合交集的定义与运算，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得， 所以集合， 又由，则满足，即，解得， 所以集合，所以. 故选：C. 2. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出命题为真命题时a的值，再结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】若命题“”为真命题， 则，恒成立. 令，则函数在上单调递增，所以在当时，取得最大值4， 可得， 所以各选项中只有是的真子集， 即是“”为真命题的一个充分不必要条件. 故选：B 3. 已知函数是奇函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用奇函数的性质，结合分段函数讨论，可得恒等式求系数，即可得出结果. 【详解】由题意知，所以， 当时，由可得：此时等式恒成立， 即， 则， 故选：D 4. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数函数单调性结合中间值，可得，再结合指数函数单调性可得，即可比较大小. 【详解】因为，即，可得； 又因为，即，可得； 所以， 且，即，可得； 且，所以. 故选：D. 5. 如图所示，在中，，，，是的中点，点在上，且.则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基底表示向量，再利用数量积的运算律求解. 【详解】由，得. 由是的中点知，，且，得， 所以. 则 . 故选：B. 6. 若不等式有且只有两个整数解，则的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，则，由题意可得不等式的解集中的两个整数为，0，则求解即可. 【详解】设，则， 所以不等式的解集中的两个整数为，0， 则 所以 解得． 故选：D 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简后判断函数为偶函数，再判断函数的单调性，利用单调性得出不等式求解. 【详解】因为， 故，而的定义域为，它关于原点对称， 故为上的偶函数. 当时，令， 由对勾函数的单调性可得在上为增函数，且， 而在上为增函数，故在上为增函数， 而在上为增函数，故在上为增函数. 因为，故，平方后化简可得， 即，解得或， 故原不等式的解集为. 故选：D 8. 已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将问题化为在上的值域是在上的值域的子集，讨论去绝对值求在上的值域，讨论、、结合一次函数性质求在值域，即可确定参数范围. 【详解】要使对任意的，总存在，使得成立， 即在上值域是在上值域的子集， 当时，， 函数在上单调递减，取值范围为， 当时，，取值集合为， 当时，， 函数在上单调递增，取值范围为， 所以在的值域， 对于函数，，， 若，函数的值域为，不合题意， 当时，函数在上单调递增，值域为； 因为，所以，解得， 当时，函数在上单调递减，值域为， 因为，所以，解得， 综上，实数m的取值范围是，  故选：B. 二、本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果. 【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A, 不妨令, 当时，， 解得：， 即函数的解析式为： . 而 故选：BC. 【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 10. 若x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 11. 已知函数，的定义域均为，，是偶函数，且，若，则下列说法正确的有（ ） A. B. 的图象关于点中心对称 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数的递推关系推导出函数的奇偶性、周期性、对称性，然后逐项进行分析推导求值即可. 【详解】因为是偶函数，所以， 则，所以. 选项A，当时，，又因为，所以， 由，得，所以，故A错误； 选项B，由，得， 两式相加得， 化简得，即， 又因为，所以， 所以的图象关于点中心对称，故B正确； 选项C，由B知，，即，所以， 所以，故是以6为一个周期的周期函数， 所以，故C正确； 选项D，由B知，，所以，， ， 所以， 由A知，，. 由得，，所以. 所以. 则 ，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 计算：__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据指数运算性质和对数运算性质求解. 【详解】， 故答案为：. 13. 设向量满足，，，若，则的值是__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， ，因此 ，即 14. 设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围． 【详解】（1）当时，， 即， 若时，，此时成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即且； 若方程有一根为，则，解得：且； 若时，，此时成立． （2）当时，， 即， 若时，，显然不成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即； 若方程有一根为，则，解得：； 若时，，显然不成立； 综上， 当时，零点为，； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，零点为． 所以，当函数有两个零点时，且． 故答案为：． 【点睛】本题的解题关键是根据定义去掉绝对值，求出方程的根，再根据根存在的条件求出对应的范围，然后根据范围讨论根（或零点）的个数，从而解出． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求实数的值； （2）若，且，求实数的值； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或或 （3） 【解析】 【分析】（1）是方程的根，代入即可求a； （2）分、和三种情况进行讨论即可； （3）由题意可得，分，，，四种情况讨论即可． 【小问1详解】 因为，可知是方程的根， 则，解得． 【小问2详解】 因为， 若，且，可知， 当，则，满足题设； 当，则，解得； 当，则，解得； 综上所述：或或． 【小问3详解】 因为，且，则，可得， 当时，则无实数根， 可得，解得； 当时，有两相等实数根， 则，无解，不合题意； 当时，有两相等实数根， 则，无解，不合题意； 当时，有两个实数根， 则，无解，不合题意； 综上所述：的取值范围为． 16. 2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长t（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：．已知综合性能评分，且在函数图象是连续不断的. （1）求函数的解析式； （2）已知大模型的标准化训练效率定义为，，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 【答案】（1） （2）当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高． 【解析】 【分析】（1）根据函数的初始值和连续性求出的值即可. （2）先求出不同的范围时的解析式，然后根据基本不等式的性质以及二次函数的性质分别求出不同的范围时的最大值，然后进行比较即可. 【小问1详解】 因为，， 所以. 因为在处函数图象是连续不断的， 所以，解得. 所以. 【小问2详解】 当时，， 此时. 因为，所以， 当且仅当时，即时等号成立，此时的最大值为4. 当时，， 此时. 综上，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高. 17. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求； （2）若为BC边上一点，，且，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用边化角，结合三角恒等变换可求得； （2）由题意结合正弦定理可得，进而可得，利用可求解. 【小问1详解】 由题得，， 由正弦定理得，， 在中，， 所以， 代入可得， 在中，，所以， 因为，所以，所以， 故； 【小问2详解】 因为，由（1）得， 在中，由正弦定理得， 所以， 因为且为BC边上一点， 所以，所以，此时， 在中，，所以， 所以，. 18. 已知函数 （1）当时，求函数的定义域； （2）当时，函数的值域为，求的值； （3）在（2）的条件下，设函数，解关于的不等式． 【答案】（1） （2） （3）答案见解析 【解析】 【分析】（1）代入，再结合对数函数的定义域即可得解； （2）分与讨论判断，即可得解； （3）先确定的定义域与单调性，根据函数值的大小确定自变量大小，再对进行分类讨论，即可得解. 【小问1详解】 若，， ，，即， 即，解得， 即函数的定义域为. 【小问2详解】 若，设，令， 则可转化为关于的函数. 为开口向下的二次函数， 在对称轴处取到最大值， 若（即时），恒成立，则的定义域为空集，不符题意； 若（即时），存在最大值且最大值大于， 则存在最大值，与值域为矛盾，故舍去； 若，则， 当时，，，符合题意. 综上所述，. 【小问3详解】 若，则，，解得， 故，定义域为. 易知为单调递增函数，且定义域为， 故由， 可得， 其中若与成立，则成立， 因此解即可， 而可整理为， 因此即解. ①若，即时，可解得，即； ②若，即时，可解得或， 即； ③若，即时，可解得或， 即. 综上所述，当时，； 当时，； 当时，. 19. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）当时，，求的取值范围； （3）设，证明：． 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为． （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数可求函数的单调区间； （2）分和两种情况分别判断是否成立，进而可求得求的取值范围； （3）由（1）可得当时，，再证明，，记，计算可证结论. 【小问1详解】 当时，， 所以当时，；当时，． 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 【小问2详解】 因为，所以当时，，由（1）知， 当时，． 又当时，，， 所以，即．所以在区间单调递减， 所以，不符合题意．综上，的取值范围是． 【小问3详解】 由（1）知，当时，函数在区间单调递增， 所以当时，， 即，所以当时，． 当时，，则有． 令，求导得，当时，； 当时，，所以， 所以，所以，所以． 所以．记， 所以． 所以．综上，原不等式成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $