精品解析：湖南株洲市第四中学2025-2026学年下学期高一年级入学测试数学试题

株洲市四中2026年第一学期高一年级入学测试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 3. 已知实数，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 4. 已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 6. 命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充分必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 中，，，，则的值为 A. B. C. D. 8. 已知，A,B,C所对的边分别为a，b，c，为三角形所在平面上的一点，且点满足：，则点为三角形的 A. 外心 B. 垂心 C. 重心 D. 内心 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数（，，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为2 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 把的图象向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象 10. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，．则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 若函数，则的值域为 C. 若函数，则的值域为 D. ， 11. 对于定义域为的函数，若满足，且，都有，我们称为“严格下凸函数”，比如函数即为“严格下凸函数”．对于“严格下凸函数”，下列结论正确的是（ ） A. 函数是“严格下凸函数”； B. 指数函数且为“严格下凸函数”的充要条件是； C. 函数为“严格下凸函数”的充要条件是； D. 函数是“严格下凸函数”． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在，点M是外一点，BM=2CM=2，则AM的最大值与最小值的差为____________． 13. 函数在区间上的最小值为______. 14. 已知平面向量，，且，，向量满足，则取最小值时，_________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 16. 已知，且． （1）求证：； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围． 17. 若函数满足且（），则称函数为“函数”． （1）试判断是否为“函数”，并说明理由； （2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； （3）在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 18. 已知函数、分别是定义在上的奇函数和偶函数，满足，且，且． （1）求实数的值，及和的表达式； （2）若关于的方程在区间内恰有两个不等实数根，求常数的取值范围． 19. 已知非空集合是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意，均存在反函数，且；②对任意，方程均有解；③对任意、，若函数为定义在上的一次函数，则. （1）若，，均在集合中，求证：函数； （2）若函数（）在集合中，求实数的取值范围； （3）若集合中的函数均为定义在上的一次函数，求证：存在一个实数，使得对一切，均有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 株洲市四中2026年第一学期高一年级入学测试 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解不等式，得，则， 而，所以. 2. 设，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， ， 因为， 所以， 所以，因此， 因为， 所以，即. 3. 已知实数，且满足，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】已知条件式变形为，构造函数，利用单调性得，从而，利用二次函数的性质即可求出最小值. 【详解】由得， 令，， 在上单调递增，，， ，， 故当时，取最小值. 故选：C. 4. 已知函数在上恰有3个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由零点个数求出，再用整体法得到不等式组，求出的取值范围. 【详解】，，其中，解得：， 则，要想保证函数在恰有三个零点，满足①， ，令，解得：；或要满足②，， 令，解得：；经检验，满足题意，其他情况均不满足条件， 综上：的取值范围是. 故选：C 【点睛】三角函数相关的零点问题，需要利用整体思想，数形结合等进行解决，通常要考虑最小正周期，确定的范围，本题中就要根据零点个数，先得到，从而求出，再进行求解. 5. 丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方向留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由可得， ，因为 在上为“凸函数”，所以 ，因为在上递增，所以，所以 ，实数的取值范围是,故选C. 6. 命题“对任意的，总存在唯一的，使得”成立的充分必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将方程整理为；当时，解方程可确定其符合题意；当和时，将问题转化为与在时，有且仅有一个交点的问题，采用数形结合的方式可构造不等式组求得的范围，由此可得原命题成立的充要条件. 【详解】由得； ①当时，，则，解得， 因为，，满足题意； ②当时，， 若存在唯一的，使得成立， 则与有且仅有一个交点， 在平面直角坐标系中作出在上的图象如下图所示， 由图象可知：当时，与有且仅有一个交点， 所以，，解得，此时，； ③当时，， 由②同理可得，解得：，则. 综上所述：原命题成立的充要条件为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 7. 中，，，，则的值为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由，结合向量的加减法运算可得，再由向量的数量积的定义，结合余弦定理可求. 【详解】，， 即， . 中，， . 故选：. 【点睛】本题考查向量的加减运算，数量积运算和余弦定理，考查学生的综合能力. 8. 已知，A,B,C所对的边分别为a，b，c，为三角形所在平面上的一点，且点满足：，则点为三角形的 A. 外心 B. 垂心 C. 重心 D. 内心 【答案】D 【解析】 【分析】在上分别取单位向量，记，则平分，用表示出，代入条件所给等式，用表示出，则可证明三点共线，即平分.同理证得在其它两角的平分线上，由此求得是三角形的内心. 【详解】在，上分别取点使得，则，作菱形，则由所以为的平分线.因为，所以，所以，所以三点共线，即在的平分线上. .同理证得在其它两角的平分线上，由此求得是三角形的内心.，故选D. 【点睛】本小题主要考查平面向量的加法运算，考查三点共线的证明，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数（，，，）的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为2 B. 的图象关于点对称 C. 的图象关于直线对称 D. 把的图象向右平移个单位长度，得到一个奇函数的图象 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据给定图象利用“五点法”作图方法求出函数的解析式，再对各选项逐一分析即可得解. 【详解】观察图象得，令的最小正周期为T，则，解得，， 又，即，而，则，， 的最小正周期，A正确； 因，则的图象关于点对称，B正确； 因，则的图象关于直线对称，C正确； 是偶函数，D不正确. 故选：ABC 10. 高斯是德国著名数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德，牛顿并列为世界三大数学家，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如，．则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 若函数，则的值域为 C. 若函数，则的值域为 D. ， 【答案】AC 【解析】 【分析】求出函数式确定单调性判断A；举特例说明判断BD；变形函数式，分类讨论判断C即可. 【详解】对于A，，，有， 则函数在上单调递增，故A正确； 对于B，，则，故B错误； 对于C， ， 当时，，，有， 当时，，，有， 综上：的值域为，故C正确； 对于D，当时，，有，故D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点睛：本题D选项的解决关键是利用三角函数的基本关系式将函数化为，从而结合高斯函数的定义即可得解. 11. 对于定义域为的函数，若满足，且，都有，我们称为“严格下凸函数”，比如函数即为“严格下凸函数”．对于“严格下凸函数”，下列结论正确的是（ ） A. 函数是“严格下凸函数”； B. 指数函数且为“严格下凸函数”的充要条件是； C. 函数为“严格下凸函数”的充要条件是； D. 函数是“严格下凸函数”． 【答案】AC 【解析】 【分析】根据“严格下凸函数”的定义，依次判断各选项即可. 【详解】对于A，任取，，则 ，， 所以， 所以函数函数是“严格下凸函数”；A正确； 对于B，对于函数，任取，，则 ， ， 所以， 所以函数为“严格下凸函数”， 所以不是指数函数且为“严格下凸函数”的必要条件，B不正确; 对于C选项，若函数为“严格下凸函数”，则 由于，所以，不等式等价于 上述不等式对于任意的，且恒成立，则，解得，故C正确； 对于D选项，（方法一） 则 因为，所以 所以，即， 故在区间上的图象不是严格下凸函数. （方法二）取，则， 显然，即， 所以在区间上的图象不是严格下凸函数. 故选：AC. 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在，点M是外一点，BM=2CM=2，则AM的最大值与最小值的差为____________． 【答案】 【解析】 【分析】取边BC的中点为O，把（）•0转化为•0，得出⊥，△ABC为等边三角形，以O为坐标原点，以BC边所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，利用坐标表示得出AM的解析式，求出它的最大值与最小值即可． 【详解】取边BC的中点为O，则（）， 又（）•0，∴•0， ∴⊥，∴△ABC为等腰三角形， 又∠A，∴△ABC为等边三角形， 以O为坐标原点，以BC边所在的直线为x轴， 建立平面直角坐标系如图所示； 并设BC＝2a（a），点M（x，y）； 则A（0，a），B（﹣a，0），C（a，0）， 又BM＝2CM＝2， 所以（x+a）2+y2＝4 （x﹣a）2+y2＝1， 所以解方程组， 解得 或， 所以当时， ， 令a2cosθ， 则AM， 所以当θ 时（AM）min＝1， 同理当时， AM， 所以当θ时（AM）max＝3； 综上可知：AM的取值范围是[1，3]， AM的最大值与最小值的差是2． 故答案为2． 【点睛】本题考查三角函数与平面向量的综合应用，也考查了数形结合与逻辑推理以及计算能力的应用问题，是难题，突破点是求最值三角换元的引入. 13. 函数在区间上的最小值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】由三角恒等变换得，通过换元法即可得解. 【详解】， 由，得，所以， 令，则在上单调递减， 所以时，y取最小值1，故的最小值为1． 故答案为：1. 【点睛】关键点睛：关键是由三角恒等变换化简函数表达式，结合换元法即可顺利得解. 14. 已知平面向量，，且，，向量满足，则取最小值时，_________________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据平面向量数量积的定义求出夹角，然后根据平面向量的加减法作出示意图，进而求出和，进而根据图形得出点C的几何意义，最后确定取最小值时的. 【详解】∵，，而，， 又，∴，∴， ，， 因为向量满足，所以， 如图所示， 若，，，，则，， 所以，所以在以为圆心，2为半径的圆上， 若，则，由图象可得当且仅当，，三点共线且时，最小， 即取最小值，此时，，又，，所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1）（2）1 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数基本关系求解即可； （2）根据两角和的正弦公式计算求解. 【详解】（1）， ， ， 注：也可直接由得，直接计算. （2）. 也可. 【点睛】本题主要考查了三角函数的同角基本关系，两角和正弦公式，特殊角的三角函数值，属于容易题. 16. 已知，且． （1）求证：； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）见证明；（2）. 【解析】 【分析】（1）由柯西不等式即可证明； （2）可先计算的最小值，再分，，三种情况讨论即可得到答案. 【详解】解：（1）由柯西不等式得． ∴，当且仅当时取等号． ∴； （2）， 要使得不等式恒成立，即可转化为， 当时，，可得， 当时，，可得， 当时，，可得， ∴的取值范围为：． 【点睛】本题主要考查柯西不等式，均值不等式，绝对值不等式的综合应用，意在考查学生的分析能力，计算能力，分类讨论能力，难度中等. 17. 若函数满足且（），则称函数为“函数”． （1）试判断是否为“函数”，并说明理由； （2）函数为“函数”，且当时，，求的解析式，并写出在上的单调增区间； （3）在（2）条件下，当，关于的方程（为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 【答案】（1）不是“函数”，理由见解析 （2），单调递增区间为，； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干条件代入检验，得到，故不是“函数”； （2）求出函数的周期，由得到，结合当时，，从而得到函数解析式，并求出单调递增区间； （3）画出在上图象，数形结合，由函数的对称性，分四种情况进行求解，得到. 【小问1详解】 不是“函数”，理由如下： ， ，， 则， 故不是“函数”； 【小问2详解】 函数满足，故的周期为， 因为， 所以， 当时，，， 当时，，， 综上：， 中， 当时，，，此时单调递增区间为， ，中， 当时，，， 则， 当，即时，函数单调递增， 经检验，其他范围不是单调递增区间， 所以在上的单调递增区间为，； 【小问3详解】 由（2）知：函数在上图象为： 当时，有3个解，其和为， 当或1时，有4个解，由对称性可知：其和为， 当时，有6个解，由对称性可知：其和为， 当时，有8个解，其和为， 所以. 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 18. 已知函数、分别是定义在上的奇函数和偶函数，满足，且，且． （1）求实数的值，及和的表达式； （2）若关于的方程在区间内恰有两个不等实数根，求常数的取值范围． 【答案】(1)，；(2). 【解析】 【分析】(1)取x=-1结合已知条件求出a值，再由奇偶函数定义列式解方程即得； (2)利用(1)的结论，通过换元，令，问题转化为方程在时有唯一实根即可作答. 【详解】(1)令x=-1得，而函数、分别是定义在上的奇函数和偶函数， 则，解得，此时，又，即， 于是得， 所以，； (2)由(1)知， 依题意方程在区间内恰有两个不等实数根，显然， 令，它为偶函数，且在内单调递增，则， ，于是得， 原方程化为：， 所以方程在区间内恰有两个不等实数根，等价于方程在时有唯一实根， 因函数在单调递减，则，， 从而有，且在内每一个值，有唯一与之对应， 所以常数的取值范围是. 19. 已知非空集合是由一些函数组成，满足如下性质：①对任意，均存在反函数，且；②对任意，方程均有解；③对任意、，若函数为定义在上的一次函数，则. （1）若，，均在集合中，求证：函数； （2）若函数（）在集合中，求实数的取值范围； （3）若集合中的函数均为定义在上的一次函数，求证：存在一个实数，使得对一切，均有. 【答案】（1）见详解；（2）；（3）见详解； 【解析】 【分析】（1）由，根据性质①可得，且存在，使得 ，由，且为一次函数，根据性质③即可证明. （2）由性质②，方程，即在上有解，可得， 变形，.对与的关系分类讨论，利用基本不等式的性质即可求解. （3）任取，，由性质①，不妨设， （若，则，）， 由性质③函数， 由性质①：， 由性质③： 由性质②方程：，可得，即，即可得证. 【详解】（1）由，根据性质①可得，且存在，使得 ，由，且为一次函数， 根据性质③可得：. （2）由性质②，方程，即在上有解，， 由, 若，时，，且， 此时没有反函数，即不满足性质①. 若，时，函数在上单调递增，此时有反函数， 即满足性质①. 综上：. （3）任取，，由性质①，不妨设， （若，则，）， 由性质③函数， 由性质①：， 由性质③： 由性质②方程：， ，即， ，可得，, ，可得，, 由此可知：对于任意两个函数，， 存在相同的满足：， 存在一个实数，使得对一切，均有. 【点睛】本题是函数的新定义，考查了反函数，综合性比较强，解决此题需理解题干中函数新定义的性质，难度较大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $