精品解析：湖南衡阳市第八中学2025-2026学年高一下学期寒假学习评估训练数学试卷

衡阳市八中2025级高一寒假学习评估训练 数 学 请注意：时量150分钟 满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解出绝对值不等式得到集合 ，再根据补集和交集的含义即可得到答案. 【详解】，解得或 ，则或， 则，则. 故选：B. 2. 已知，，若是的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将充分不必要条件转化为真子集关系即可求解. 【详解】设集合，集合，若是的充分不必要条件， 所以是 的真子集，可得， 故选：D. 3. 已知，且，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 或3 【答案】B 【解析】 【分析】由二倍角公式化简条件，因式分解求值. 【详解】因为，所以， 所以，即， 则，解得或. 因为，所以，所以. 故选：B. 4. 已知，是单位向量，若，则，的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量模的数量积运算得，进而，的夹角是. 【详解】解：因为，是单位向量，所以， 因为，所以， 所以，即， 所以，即，的夹角是. 故选：B 5. 已知是定义在 上的偶函数，且在上是增函数，设， ，，则的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为是定义在 上的偶函数，且在上是增函数，所以在上是减函数，又因为， 所以，选B. 6. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 【答案】A 【解析】 【分析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 【详解】由函数图象平移变换的性质可知： 将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为： . 则函数的单调递增区间满足：， 即， 令 可得一个单调递增区间为：. 函数的单调递减区间满足：， 即， 令 可得一个单调递减区间为：，本题选择A选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 7. 如图所示，一张正方形形状的黑色硬质板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为 ，，剪去部分的面积为8，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，所以．因为，所以，当且仅当，即时，等号成立． 8. 已知函数，若函数恰有4个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案. 【详解】注意到，所以要使恰有4个零点， 只需方程恰有3个实根即可， 令，即与的图象有个不同交点. 而，恒过， 当 时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意； 当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意； 当时，如图3，当 与相切时，联立方程得， 令 得，解得（负值舍去），所以. 综上，的取值范围为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与共线，则与方向相同或相反 C. 若，为单位向量，则 D. 是与非零向量共线的单位向量 【答案】AD 【解析】 【分析】根据零向量的定义与性质，单位向量的定义以及共线向量的定理，可得答案. 【详解】对于A，根据零向量的定义，故A正确； 对于B，当时，显然与共线，当零向量的方向是任意的，故B错误； 对于C，设，，显然为单位向量，但，故C错误； 对于D，由，则为单位向量，由，则向量与共线，故D正确. 故选：AD. 10. 已知函数，，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】先利用基本函数的单调性判定函数的单调性，进而判定 、的取值范围，再利用函数和的单调性及判定和的大小，再利用指数函数和对数函数的图象的对称性判定. 【详解】因为、、在其定义域内都是增函数， 所以、在其定义域内都是增函数. 因为，， 且，所以， 又，， 且，所以， 所以，即选项A错误； 因为 ，函数、在其定义域内均为增函数， 所以， 所以， 即选项B正确，选项D错误； 令，， 则，， 由于，的图象都和直线相交（如图所示）， 且函数和函数的图象关于直线 对称， 直线和直线 的交点为， 所以，即，即选项C正确. 故选：AD. 11. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 方程 的解集为 B. 的单调递增区间是 C. 若方程有4个不等实根，则实数t的取值范围是 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据分段函数直接求方程的解集判断A，分析函数单调性判断B，作函数图象判断C，根据图象及函数性质判断D. 【详解】当 时，由 可得，解得 或， 当时，由 可得，解得，综上，方程 的解集为，故A正确； 当 时，，在 上单调递增；在上单调递减，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以 的单调递增区间是，在上函数不单调，故B错误； 作函数图象，如图， 由图象知，方程有4个不等实根，则实数t的取值范围是，故C错误； 当时，由图象可知，， 且，所以，故，故D正确. 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如果幂函数的图像经过点，那么解析式是________． 【答案】 【解析】 【详解】设， 所以，解得：，故. 13. 定义，设函数，若函数 在上单调递减，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】先考虑的单调减区间，再根据 在上单调递减可得满足的不等式组，从而可求其取值范围. 【详解】令，则，故的周期为， 又当时，， 的减区间为，，其中 ， 当，则， 故存在 ，使得 或， 故或（无解，舍）， 而，故，故 ， 故实数的取值范围是. 故答案为： 14. 设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f()＝____________. 【答案】 【解析】 【分析】由f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，可得，，再结合已知的解析式可得，然后结合已知可求出，从而可得当时，，进而是结合前面的式子可求得答案 【详解】因为f(x＋1)为奇函数，所以 的图象关于点对称， 所以，且 因为f(x＋2)为偶函数， 所以 的图象关于直线 对称，， 所以，即， 所以，即， 当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b，则 ， 因为，所以，得， 因为，所以， 所以当时，， 所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，． （1）求函数的最大值，并写出相应的的取值集合； （2）若，，求的值． 【答案】（1）的最大值为，此时的取值集合为；（2）. 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，可得出函数的最大值，解方程可得出对应的的取值集合； （2）由得出，利用同角三角函数的基本关系求得的值，然后利用两角和的正弦公式可求得的值. 【详解】（1）因为 ， 当，即时，函数取最大值， 所以函数的最大值为，此时的取值集合为； （2）因为，则，即， 因为，所以， 则， 所以. 【点睛】本题考查正弦型函数最值的求解，同时也考查了利用两角和的正弦公式求值，考查计算能力，属于中等题. 16. 已知函数经过，两点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）若对任意恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2）在上单调递减，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入列方程组求解即可； （2）利用单调性的定义证明即可； （3）将问题转化为，然后利用单调性求解最值即可得解. 【小问1详解】 ，， ，解得， . 【小问2详解】 在上单调递减，证明如下： 任取，且， 则， ，且， ， ， ∴， ，即， 所以函数在上单调递减. 【小问3详解】 由对任意恒成立得， 由（2）知在上单调递减， 函数在上的最大值为， ， 所求实数 的取值范围为. 17. 图1是古书《天工开物》中记载的筒车图.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用.在图2中，一个半径为3 m的筒车按逆时针方向每60 s转1.5圈，筒车的轴心O距水面的高度为.筒车上有24个均匀安装的盛水筒，设某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m，若在水面下，则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为. （1）求的表达式； （2）盛水筒P出水后经过多长时间就可以到达最高点； （3）盛水筒P与盛水筒Q之间间隔了三个盛水筒，从计时起运行一周的过程中，求P、Q两点距离水面的高度差 的表达式，并求哪个时刻高度差最大. （参考公式：，） 【答案】（1）； （2）； （3），当或时高度差最大. 【解析】 【分析】（1）根据给定信息，结合正弦函数图象性质求出即可得. （2）由（1）的结论，结合正弦函数性质求出取最大值的值即可. （3）求出盛水筒P与盛水筒Q所对圆心角，再求出时刻盛水筒距离水面的高度，进而求出 并求出取最大值的值. 【小问1详解】 筒车按逆时针方向每60 s转圈，则最小正周期，， 由筒车的轴心O距水面的高度为，得， 由筒车的半径为3m，得，因此， 由以盛水筒P刚浮出水面时开始计时，得， 即，解得，而，因此， 所以的表达式为. 【小问2详解】 由（1）知，由，得， 则，解得，取 ，得， 所以盛水筒P出水后经过就可以到达最高点. 【小问3详解】 由筒车上有24个均匀安装的盛水筒，得相邻两个盛水筒中心点为端点的圆弧所对圆心角为， 由盛水筒P与盛水筒Q间隔了三个盛水筒，得盛水筒P与盛水筒Q中心点为端点的圆弧所对圆心角， 从计时起运行一周的过程中，在时刻盛水筒P距离水面的高度， 盛水筒Q距离水面的高度， 因此， 由，即时，，而，则 或， 所以，当或时高度差最大. 18. 已知函数． （1）解关于x的不等式； （2）若关于x的方程有三个实根． （i）求； （ii）求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分和 ，两种情况讨论，结合不等式的解法，即可求解； （2）（i）由（1）得到，转化为有三个实根，分别求得，； （ii）由（i）得到，结合函数的单调性，即可求解. 【小问1详解】 解：由函数， 当时，令， 设，则 ，此时， 由 ，即，即，可得，解得， 所以的解集为； 当 时，令， 由，可得，即， 可得，解得，此时不等式的解集为， 综上可得，不等式的解集为. 【小问2详解】 解：（i）由函数，可得定义域为， 由（1）得，当时，；当时，， 令， 又由关于x的方程， 即有三个实根， 当时，可得，解得， 因为，解得， 再由，可得，解得. （ii）由（i）知，，其中 可得，则， 设，可得在上为单调递减函数， 当时，；且， 所以的取值范围为． 19. 若函数满足且（ ），则称函数为“ 函数”． （1）试判断 是否为“ 函数”，并说明理由； （2）函数为“ 函数”，且当时， ，求的解析式，并写出在上的单调增区间； （3）在（2）条件下，当，关于的方程 （ 为常数）有解，记该方程所有解的和为，求． 【答案】（1） 不是“ 函数”， 理由如下： ， ，， 则， 故 不是“ 函数”； （2），单调递增区间为，； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题干条件代入检验，得到，故 不是“ 函数”； （2）求出函数的周期，由得到，结合当时， ，从而得到函数解析式，并求出单调递增区间； （3）画出在上图象，数形结合，由函数的对称性，分四种情况进行求解，得到. 【小问1详解】 不是“ 函数”，理由略； 【小问2详解】 函数满足，故的周期为， 因为， 所以， 当时，， ， 当时，， ， 综上：， 中， 当 时，， ，此时单调递增区间为， ， 中， 当 时，，， 则， 当，即时，函数单调递增， 经检验，其他范围不是单调递增区间， 所以在上的单调递增区间为，； 【小问3详解】 由（2）知：函数在上图象为： 当时， 有3个解，其和为 ， 当或1时， 有4个解，由对称性可知：其和为 ， 当时， 有6个解，由对称性可知：其和为 ， 当 时， 有8个解，其和为 ， 所以. 【点睛】函数新定义问题的方法和技巧： （1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； （2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻； （3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； （4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 衡阳市八中2025级高一寒假学习评估训练 数 学 请注意：时量150分钟 满分150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，且，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 或3 4. 已知，是单位向量，若，则，的夹角是（ ） A. B. C. D. 5. 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设， ，，则的大小关系是 A. B. C. D. 6. 将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数 A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减 C. 在区间上单调递增 D. 在区间上单调递减 7. 如图所示，一张正方形形状的黑色硬质板，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形的图形，设小矩形的长、宽分别为，，剪去部分的面积为8，则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 已知函数，若函数恰有4个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若与共线，则与方向相同或相反 C. 若，为单位向量，则 D. 是与非零向量共线的单位向量 10. 已知函数，，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，则下列说法正确的是（ ） A. 方程 的解集为 B. 的单调递增区间是 C. 若方程有4个不等实根，则实数t的取值范围是 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如果幂函数的图像经过点，那么解析式是________． 13. 定义，设函数，若函数 在上单调递减，则实数的取值范围是______. 14. 设函数f(x)的定义域为R，f(x＋1)为奇函数，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋b.若f(0)＋f(3)＝6，则f()＝____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数，． （1）求函数的最大值，并写出相应的的取值集合； （2）若，，求的值． 16. 已知函数经过，两点. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性并用定义进行证明； （3）若对任意恒成立，求实数的取值范围. 17. 图1是古书《天工开物》中记载的筒车图.筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，在农业上得到广泛应用.在图2中，一个半径为3 m的筒车按逆时针方向每60 s转1.5圈，筒车的轴心O距水面的高度为.筒车上有24个均匀安装的盛水筒，设某个盛水筒P到水面的距离为d（单位：m，若在水面下，则d为负数），若以盛水筒P刚浮出水面时开始计时，d与时间t（单位：s）之间的关系为. （1）求的表达式； （2）盛水筒P出水后经过多长时间就可以到达最高点； （3）盛水筒P与盛水筒Q之间间隔了三个盛水筒，从计时起运行一周的过程中，求P、Q两点距离水面的高度差 的表达式，并求哪个时刻高度差最大. （参考公式：，） 18. 已知函数． （1）解关于x的不等式； （2）若关于x的方程有三个实根． （i）求； （ii）求的取值范围． 19. 若函数满足且（ ），则称函数为“函数”． （1）试判断 是否为“函数”，并说明理由； （2）函数为“函数”，且当时， ，求的解析式，并写出在上的单调增区间； （3）在（2）条件下，当，关于的方程 （为常数）有解，记该方程所有解的和为 ，求 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $