精品解析：广东省东莞市虎门镇2026年中考二模考试数学试题

2025－2026学年第二学期二模质量自查九年级数学 说明：1．全卷共4页．满分为120分，考试用时为120分钟． 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号．姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动．先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5.考生务必保持答题卡的整洁． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分． 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. 5 C. D. 0 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ 实数大小比较中，负数小于0，负数小于正数， ∴ 四个选项中唯一的负数一定小于，和， 因此最小的数是． 2. 下列工具图标是轴对称图形的是（ ） A. 豆包 B. 秘塔 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的意义，根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可． 【详解】解：A、选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、选项中的图形是轴对称图形，故此选项符合题意； D、选项中的图形不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：选项A：∵算术平方根的结果为非负数，，A错误； 选项B：，，B正确； 选项C：与不是同类项，不能合并，C错误； 选项D：，D错误． 4. 依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：3000亿． 故选：D． 5. 如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 内错角相等，两直线平行 C. 两点确定一条直线 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行直接得到答案． 【详解】解：由题意得， 根据内错角相等，两直线平行可得． 故选：B． 6. 如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 根据线段垂直平分线的性质，可得四边形的四条边长相等，代入已知边长，计算周长即可． 【详解】解：∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴，，， ∴， ∵， ∴四边形的周长为， 解法二： ∵在四边形中，对角线与互相垂直平分， ∴四边形为菱形， ∴菱形的周长为，   故选：． 7. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了同弧或等弧所对的圆周角相等，直径对的圆周角是直角，熟练掌握同弧或等弧所对的圆周角相等是解题的关键．根据是的直径得出，即可求解． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 9. 如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（ ）种不同的剪法． A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法进行判断即可. 【详解】解：要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有以下3种剪法： ，，，可得，，. 10. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴位置、与轴交点及特殊点的函数值，结合二次函数性质，逐一分析选项 ．本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数中（开口方向）、（对称轴与共同决定）、（与轴交点）的意义及特殊点函数值的应用是解题的关键． 【详解】解： 二次函数图象中，开口向上， ． 对称轴，又， ，即． 抛物线与轴交点在负半轴， ． 选项A：，，， 两负一正相乘得正， ，该选项错误． 选项B：对称轴，由图象知对称轴，即， 又，两边乘得，，该选项错误． 选项C：当时，，即；当时，， ，该选项正确． 选项D：当时，，由图象知对应的函数值， ，该选项错误． 故选． 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分． 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 12. 某校举行《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》、《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任选一本书，恰好抽到《九章算术》的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查概率的定义，运用直接计算法，解题关键是准确确定所求情况数和总情况数，易错点是混淆情况数导致计算错误，解题思路是根据概率公式 “概率 所求情况数 总情况数” 求解． 【详解】总共有本书，即总情况数为；每本书被抽中的可能性相等，抽到《九章算术》是其中种可能，即所求情况数为，因此概率为所求情况数除以总事件数，即； 故为． 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取多项式的公因式，再利用平方差公式进行二次分解即可． 【详解】解：． 14. 图1为中式传统建筑中的一种窗格，其外窗框为正八边形，图2正八边形为其外窗框的示意图，连接，，与交于点M， ________°． 【答案】45 【解析】 【分析】分别求出等腰三角形和等腰三角形的底角，再通过的内角和求出，最后利用邻补角关系求得的度数． 【详解】解： 八边形为正八边形， ， ， 为等腰三角形， ， ， 为等腰三角形， ， 与交于点， 在中，，， ， 点，， C在同一直线上， ． 15. 如图，点M为正方形对角线上的一个动点，将线段绕B点逆时针旋转后得到线段，连接．下列结论正确的是________．（请将所有正确结论的序号填写在横线上） ①当N落在上时，； ②当 时，点M到点N距离最短； ③若正方形的边长为1，则长度范围为． 【答案】①③ 【解析】 【分析】①由旋转性质和正方形性质得到 ，得到对应角相等，再根据内错角相等得到． ②由于是定角，故最短时也最短，由垂线段最短即可求出 ． ③M与A重合时B，D，N三点共线，此时最短；M与C重合时，是直角三角形，此时最长，由勾股定理即可求出长度． 【详解】①如图所示， 落在上，由旋转可知， ， ， 由正方形性质知， ， 再由正方形性质知 ，， ∴， ， ， ． 故①正确． ②如图，观察，过B作， 由是等腰三角形知 ， 故当最小时，距离最近， 由垂线段最短知时，最短，此时． 故②错误． ③如图所示， 图一 图二 是正方形的对角线且正方形边长为１， ， 由三角形三边关系可知在中， ，故当 时，最小，此时B，D，N三点共线， 由图一知此时M与A点重合， ， ， 在此后随着M点向右平移，N与D的距离越来越大，故当M与C重合时，N与D的距离最大， 由图二所示， ， 在中，， ， 综上所述，，故③正确 【点睛】解本题的关键是画出每一小问对应的图形，综合运用三角形、四边形各种性质来判定一些线段关系，角度大小以及线段长度． 三、解答题（一）：本大题共3个小题，每小题7分，共21分． 16. 解不等式组，并写出它的所有整数解的和． 【答案】，不等式组整数解的和为0 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，确定不等式组的解集，从而得出答案． 【详解】解：， 由①得： 由②得： ∴不等式组的解集为： ∴不等式组的整数解是：，， ∴不等式组整数解的和为． 17. 校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．丙运动员10次测试成绩：12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9 c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 12.5 12.5 p 12.5 中位数 m 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 n 0.034 0.056 （1）表中m的值为_______； （2）表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）； （3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强． 评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______． 【答案】（1） （2） （3）乙、丁、甲、丙 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，计算方差，中位数，平均数等知识点，正确理解题意是解题的关键． （1）根据中位数定义即可求解； （2）根据方差计算公式求解，再比较即可； （3）根据中位数、方差、平均数，结合题意分析即可． 【小问1详解】 解：甲的10次测试成绩排列为：， ∴中位数， 故答案为：； 【小问2详解】 解：乙的10次测试成绩平均数为：， ∴方差为： ∴， 故答案为：； 【小问3详解】 解：丙的平均数， ∴丙的平均数最大，则实力最弱， ∵方差， ∴乙实力最强， ∵丁的测试成绩中位数为， ∴第次成绩和为， ∴前5次测试成绩小于平均数， ∵甲测试成绩小于平均数12.5的次数有2次， ∴丁比甲强， ∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙， 故答案为：乙、丁、甲、丙． 18. 中，，，均为的中线，与相交于点． （1）如图1，求证：． （2）如图2，连接并延长，交于点．通过推理还能得到新的发现．请写出两条新发现，并证明其中的一条． 【答案】（1）证明见解析 （2）两条新发现：①垂直平分；②（答案不唯一），证明见解析 【解析】 【分析】（1）先得出，，再证出即可得证； （2）两条新发现：①垂直平分；②；发现①的证明：得出，则，由此即可得证；发现②的证明：得出，结合即可得证． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，均为的中线， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：两条新发现：①垂直平分；②． 发现①垂直平分，证明如下： 由上已证：， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分． 发现②，证明如下： 由上已证：， ∴，， ∴， ∴， 即． 四、解答题（二）：本大题共3个小题，每小题9分，共27分． 19. 木棉花是广东省花，早期民间应用（清代及以前）木棉花作为药食同源的植物，最早在岭南民间被广泛使用．清代何克谏的《生草药性备要》中明确记载木棉花“治痢症，祛湿热”，表明当时人们已认识到其清热利湿的功效，并开始将其用于缓解湿热引起的腹泻、痢疾等症状．某药店经营的木棉花茶有全花茶与花瓣茶两种，据了解，一盒全花茶的价格是一盒花瓣茶的价格的2倍，用600元购进全花茶的盒数比花瓣茶少6盒． （1）分别求出购进的木棉花全花茶、花瓣茶每盒的价格． （2）该茶叶店购进这两种木棉花茶共100盒，且全花茶的盒数不少于花瓣茶的盒数的，求本次采购的最少花费． 【答案】（1） 全花茶每盒100元，花瓣茶每盒50元 （2） 本次采购的最少花费为6700元 【解析】 【分析】（1）利用总价、单价、数量的关系，根据两种茶的盒数差列分式方程求解； （2）先根据题目的不等关系得到自变量的取值范围，再根据一次函数的增减性求出最小花费． 【小问1详解】 解： 设花瓣茶每盒的价格为元，则全花茶每盒的价格为元， 根据题意得 解得 检验: 当时，， 所以是原分式方程的解 答：全花茶每盒100元，花瓣茶每盒50元； 【小问2详解】 解：设购进花瓣茶盒，总花费为元，则购进全花茶盒， 根据题意得 解得   因为是非负整数， 所以的最大值为 总花费 因为， 所以随的增大而减小 当时，取得最小值， （元） 答：本次采购的最少花费是6700元． 20. 年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． （1）求的度数； （2）机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 【答案】（1）度 （2）此时手绢端点与舞者距离在规定范围内，见解析 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． （）由题意得，再根据锐角三角函数求出即可求解； （）过点作于，解和求出的长，进而求出手绢端点与舞者距离即可判断求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：在规定范围内，理由如下： 过点作于，则， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴在中，， ∵在中，，， ∴， ∴此时手绢端点与舞者距离为， ∵机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为， ∴此时手绢端点与舞者距离在规定范围内． 21. 二次函数的图象的对称轴为直线，点在二次函数的图像上． （1）求二次函数的表达式． （2）若该二次函数图象上的点向左平移8个单位长度后，所得的点也在该二次函数的图象上，求点的坐标． （3）将该二次函数的图象平移，使其顶点始终在直线上，则平移后所得二次函数的图象与轴交点的纵坐标是否存在最大值或者最小值？若存在，请求出该值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在最小值，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用二次函数对称轴公式和点A的坐标，列出关于a，b的方程组，求解得到二次函数表达式． （2）设点P的坐标为，则点，根据点P和都在二次函数的图象上，则列出关于m，n的方程组求解即可得出点P的坐标． （3）则平移后二次函数表达式为，令，则，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知， 解得， 则二次函数的解析式为：． 【小问2详解】 解：设点P的坐标为， 则点， ∵点P和都在二次函数的图象上， ∴， 解得， ∴． 【小问3详解】 解：∵，平移后的二次函数顶点始终在直线上， ∴设平移后的顶点坐标为， 则平移后二次函数表达式为， 令，则， ∵， ∴抛物线开口向上，有最小值， ∴当时，． 五、解答题（三）：本大题共2个小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 已知是的高，是的外接圆． （1）请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图2，若的半径为，求证：； （3）如图3，延长交于点，过点的切线交的延长线于点．若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了作三角形的外接圆，相似三角形的性质与判定，切线的性质，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）分别作的垂直平分线交于点，以为半径作圆，即可求解． （2）作的直径，连接，证明，根据相似三角形的性质，即可求解； （3）连接，根据为的切线，得出，进而证明是等边三角形，得出，在，中分别求得，根据（2）的结论求得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， 【小问2详解】 解：如图2，作的直径，连接， ∴，， ∵是的高， ∴． ∵， ∴． ∴，即， ∴． 【小问3详解】 如图3，连接， ∵为的切线， ∴． ∵，， ∴， ∴，． ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴． 在中，，，， ∴，， 在中，， 在中，， 代入，得， 即． 23. 一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）求m，k的值． （2）D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． 【答案】（1）， （2）①，② 【解析】 【分析】（1）将点代入一次函数求得，结合点在反比例函数的图象上代入求得k； （2）①过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，则，有，进一步求得点D的坐标，结合已知比例可求得和，以及，即可求得点E； ②根据一次函数求得点，即可知点，过点C作交于点P，过点P作轴于点K，过点A作轴于点G，则为等腰直角三角形，且，则，进一步判定点M与点K重合，由待定系数法求得直线的解析式，设点，结合平行四边形的性质求得点，代入反比例函数即可求得m，即可知点D． 【小问1详解】 解：由题意可知，点在一次函数的图象上，则 ，解得， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， 则，； 【小问2详解】 解：①过点A作轴交于点H，过点E作交于点M，过点D作交于点N，如图， 则， ∴， ∴， ∴， ∵点D的横坐标为4， ∴点D的纵坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴，解得， 则， 那么，点； ②一次函数的图象与y轴交于点C， 令，则， ∴， ∵， ∴， 过点C作交于点P，过点P作轴于点K，过点A作轴于点G，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 则， ∵点， ∴， ∵， ∴点M与点K重合，， ∴点， 设直线的解析式为，则 ，解得， ∴， 设点， ∵四边形是平行四边形， ∴， 则， ∵D为反比例函数图象上的一点， ∴，解得，或， ∵D的横坐标大于1， ∴， ∴， 故点． 【点睛】本题主要考查函数和三角形的结合，涉及一次函数与坐标轴的交点、平行线的性质、相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质和解一元二次方程，题目综合性较强，难度偏高，解题的关键是熟悉函数性质和平行四边形的性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期二模质量自查九年级数学 说明：1．全卷共4页．满分为120分，考试用时为120分钟． 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号．姓名、考场号、座位号．用2B铅笔把对应该号码的标号涂黑． 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上． 4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答．答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动．先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 5.考生务必保持答题卡的整洁． 一、选择题：本大题共10个小题，每小题3分，共30分． 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. 5 C. D. 0 2. 下列工具图标是轴对称图形的是（ ） A. 豆包 B. 秘塔 C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 依据《广东省推动低空经济高质量发展行动方案（2024-2026年）》，预计2026年广东省低空经济规模将超过3000亿元．数据3000亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（ ） A. 垂线段最短 B. 内错角相等，两直线平行 C. 两点确定一条直线 D. 平行于同一条直线的两条直线平行 6. 如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 18 7. 如图，是的直径，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图，在中，，点D为边的中点，沿着过点D的某条直线将剪开，要使剪下来的一个小三角形与原三角形相似，有（ ）种不同的剪法． A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 10. 已知二次函数的图象如图所示，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5个小题，每小题3分，共15分． 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 12. 某校举行《九章算术》、《周髀算经》、《孙子算经》、《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任选一本书，恰好抽到《九章算术》的概率为_________． 13. 分解因式：______． 14. 图1为中式传统建筑中的一种窗格，其外窗框为正八边形，图2正八边形为其外窗框的示意图，连接，，与交于点M， ________°． 15. 如图，点M为正方形对角线上的一个动点，将线段绕B点逆时针旋转后得到线段，连接．下列结论正确的是________．（请将所有正确结论的序号填写在横线上） ①当N落在上时，； ②当 时，点M到点N距离最短； ③若正方形的边长为1，则长度范围为． 三、解答题（一）：本大题共3个小题，每小题7分，共21分． 16. 解不等式组，并写出它的所有整数解的和． 17. 校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．丙运动员10次测试成绩：12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9 c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 12.5 12.5 p 12.5 中位数 m 12.5 12.8 12.45 方差 0.056 n 0.034 0.056 （1）表中m的值为_______； （2）表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）； （3）根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强． 评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______． 18. 中，，，均为的中线，与相交于点． （1）如图1，求证：． （2）如图2，连接并延长，交于点．通过推理还能得到新的发现．请写出两条新发现，并证明其中的一条． 四、解答题（二）：本大题共3个小题，每小题9分，共27分． 19. 木棉花是广东省花，早期民间应用（清代及以前）木棉花作为药食同源的植物，最早在岭南民间被广泛使用．清代何克谏的《生草药性备要》中明确记载木棉花“治痢症，祛湿热”，表明当时人们已认识到其清热利湿的功效，并开始将其用于缓解湿热引起的腹泻、痢疾等症状．某药店经营的木棉花茶有全花茶与花瓣茶两种，据了解，一盒全花茶的价格是一盒花瓣茶的价格的2倍，用600元购进全花茶的盒数比花瓣茶少6盒． （1）分别求出购进的木棉花全花茶、花瓣茶每盒的价格． （2）该茶叶店购进这两种木棉花茶共100盒，且全花茶的盒数不少于花瓣茶的盒数的，求本次采购的最少花费． 20. 年春晚名为《秧》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． （1）求的度数； （2）机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（结果保留小数点后一位，参考数据：） 21. 二次函数的图象的对称轴为直线，点在二次函数的图像上． （1）求二次函数的表达式． （2）若该二次函数图象上的点向左平移8个单位长度后，所得的点也在该二次函数的图象上，求点的坐标． （3）将该二次函数的图象平移，使其顶点始终在直线上，则平移后所得二次函数的图象与轴交点的纵坐标是否存在最大值或者最小值？若存在，请求出该值；若不存在，请说明理由． 五、解答题（三）：本大题共2个小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 已知是的高，是的外接圆． （1）请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，作的外接圆（保留作图痕迹，不写作法）； （2）如图2，若的半径为，求证：； （3）如图3，延长交于点，过点的切线交的延长线于点．若，，，求的长． 23. 一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）求m，k的值． （2）D为反比例函数图象上的一点且横坐标大于m． ①如图1，若点D的横坐标为4，连接，E为线段上一点，且，求点E的坐标； ②如图2，M为线段上一点，且，四边形是平行四边形，连接，若，求点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $