广东广州大学附属中学2026届高中毕业班综合测试(三) 数学试卷

2026届广州大学附属中学高中毕业班综合测试（三） 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ） A．2 B． C． D． 3．某市连续8天的AQI（空气质量指数）分别为66，32，50，48，34，26，45，36，则这组数据的上四分位数为（ ） A．32 B．33 C．48 D．49 4．已知圆台的上下底面半径分别为1和2，母线与底面夹角的余弦值为，则该圆台的体积为（ ） A． B． C． D． 5．某班联欢会原定5个节目，已排成节目单，开演前又增加了2个节目，现将这2个新节目插入节目单中，要求新节目既不排在第一位，也不排在最后一位，那么不同的插法种数为（ ） A．12 B．18 C．20 D．60 6．已知数列的各项均不为0，其前项积为，且，记数列的前项和为，则（ ） A． B． C． D． 7．函数所有零点的和等于（ ） A．6 B．7.5 C．9 D．12 8．已知椭圆的左焦点为，为坐标原点，为椭圆上任意一点，以为直径作圆，若圆上有一动点（不在轴上），则面积的最大值为（ ） A．1 B． C．2 D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 10．甲箱中有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和2个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（ ） A． B． C． D． 11．双曲线具有光学性质：从双曲线一个焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．如图，双曲线的左、右焦点分别为，，从发出的两条光线经过的右支上的，两点反射后，分别经过点和，其中，共线，则（ ） A．若直线的斜率存在，则的取值范围为 B．当点的坐标为时，光线由经过点到达点所经过的路程为 C．当时，的面积为 D．当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．设，则_________． 13．2025年春晚，一场别开生面的机器人舞蹈表演震撼了观众．现在编排一个动作，机器人从原点出发，每一次等可能地向左或向右或向上或向下移动一个单位长度，共移动次．则该机器人在有且仅有一次经过（含到达）点的条件下，水平方向移动次的概率为_________． 14．实数，满足，则的最小值是_________． 四、解答题：本题共3小题，共47分．解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（13分）如图，在三棱柱中，，为上的点，且． （1）证明：平面； （2）若底面是等边三角形，侧面是菱形，，且平面平面，求平面与平面夹角的余弦值． 16．（15分）某市高三学生学习强度指数的概率分布情况如下表所示． 学习强度指数 概率 应对情况 轻松应对 勉强应对 困难应对 （1）从该市随机选取名高三的学生，记学习强度指数的人数为，求及的数学期望． （2）定义为在事件发生的条件下事件发生的优势．记事件“该学生学习有压力”（勉强应对和困难应对都被认为是学习有压力，轻松应对被认为是学习无压力），事件“该学生困难应对”，求在事件发生的条件下事件发生的优势． 17．（15分）中角，，的对边分别为，，，满足，． （1）证明： （2）求的内切圆半径的取值范围； （3）若，的内切圆上有一点，求点到，，三点的距离的平方和的最大值． 18．（17分）已知函数． （1）讨论在的单调性； （2）证明：当时，； （3）设，为正数，若点关于直线的对称点在曲线上，证明： 19．（17分）在平面直角坐标系中，若圆与抛物线有公共点，且圆与抛物线在点处有相同的切线，则称为抛物线的和谐数，圆为的和谐圆． （1）试判断是否为抛物线的和谐数．若是，求出的和谐圆；否则，请说明理由． （2）设，，…，均为抛物线的和谐数，且，记，，…，的和谐圆分别为圆，，…，，设圆，，…，与抛物线的公共点分别为，，…，，已知，且，圆与外切． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）设点，记的面积为，证明：． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $