精品解析：山东省济南市平阴县第四中学2025-2026学年下学期八年级数学期中试题

平阴四中八年级数学期中试题 温馨提示：1. 本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,考试时间120分钟,满分150分. 2. 答题前，考生务必认真阅读答题纸中的注意事项，并按要求进行填、涂和答题. 第Ⅰ卷 选择题（40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶．下列四幅标识图，其中文字上面图案是中心对称图形的是（ ） A. 惊蛰 B. 芒种 C. 立秋 D. 大雪 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是中心对称图形，故本选项不合题意； D、是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 如图，将沿向右平移得到，若，，则的长是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】利用平移的性质得到，即可得到的长． 【详解】解：∵沿方向平移至处． ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等． 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　 　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是因式分解，故本选项不符合题意； B、不是因式分解，故本选项不符合题意； C、不是因式分解，故本选项不符合题意； D、是因式分解，故本选项符合题意； 故选：D． 4. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、由“AB//DC，AD//BC”可知，四边形ABCD的两组对边互相平行，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； B、由“AB=DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的两组对边相等，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； C、由“AO=CO，BO=DO”可知，四边形ABCD的两条对角线互相平分，则该四边形是平行四边形．故本选项不符合题意； D、由“AB//DC，AD=BC”可知，四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，据此不能判定该四边形是平行四边形．故本选项符合题意． 故选D． 5. 要使分式有意义，则x的取值应满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：∵ 在实数范围内有意义， ∴． ∴ 故选A． 【点睛】本题考查分式有意义的条件，解题的关键是熟练运用分式有意义的条件，本题属于基础题型． 6. 如图，将含的直角三角板绕点逆时针旋转到处（点在一条直线上），则本次旋转的旋转角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转求角度，涉及旋转性质，根据题意，理解本次旋转的旋转角度等于，数形结合，由已知角度即可得到，熟记旋转性质，数形结合表示出旋转角是解决问题的关键． 【详解】解：如图，将含的直角三角板绕点逆时针旋转到处， 边旋转到边，即本次旋转的旋转角度等于， 点在一条直线上， ， ， 故选：C． 7. 根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质分别计算判断即可． 【详解】解：A．分子分母同时加上同一个数，分式值不一定相等，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意． C．∵，当，，当时，，∴不一定等于，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意； 故选：B． 8. 某中学八年级举行春季远足活动，两小组匀速前进，第一小组的步行速度是第二小组的1.2倍，第一小组比第二小组早到达目的地，求两个小组的步行速度．若设第二小组的步行速度为，则可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查列分式方程，设第二小组的步行速度为，则第一小组的步行速度为，根据第一小组比第二小组早到达目的地，列出分式方程即可，读懂题意，找准等量关系列方程是解决问题的关键． 【详解】解：设第二小组的步行速度为，则第一小组的步行速度为， ， 故选：A． 9. 如图，在正方形网格中，三角形①绕某点旋转一定角度得到三角形②，其旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，旋转中心的确定． 根据旋转的性质，找出两组对应顶点的连线的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：如图：作出三角形①和三角形②两组对应点所连线段的垂直平分线，交于点B， ∴点B为旋转中心． 故选：B． 10. 如图，四边形是平行四边形，点E是边上一点，且，交于点F，P是延长线上一点，下列结论：①平分；②平分；③；④．其中正确的个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，根据平行线及等腰三角形的性质即得答案； 对于②，根据三角形内角和等于及平行线的性质，即可得到答案； 对于③，通过举反例，即可判断结论错误； 对于④，根据等腰三角形三线合一性质及线段的垂直平分线的性质，即可证明结论． 【详解】四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 即平分， 所以①正确； 设与相交于点G， ， ， ， ， ， ， 即平分， 所以②正确； 取，则， ， 即， ， ， ， 所以③错误； ，， ， ， 所以④正确； 所以正确结论的个数为为3． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，举反例等知识及方法，熟练掌握相关性质及方法是解答本题的关键． 二、填空题（每小题4分，共20分．） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握平方差公式． 12. 已知分式的值为0，则的值为 _______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查分式的值为0的条件．直接利用分式的值为零，分子为零，分母不为零，进而得出答案． 【详解】解：分式的值为0， 且， 解得：． 故答案为：2． 13. 已知，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】先对所求式子进行化简，然后整体代入求值． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，注意整体思想的应用． 14. 若关于x的分式方程有增根，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到，据此求出x的值，最后再代入整式方程求出k的值即可． 【详解】解： 去分母，得：． 由分式方程有增根，得到， 解得：． 把代入整式方程，得： 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式方程的增根．解答此题的关键是要明确：（1）化分式方程为整式方程；（2）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 15. 在四边形中，，，M是上一点，且，点E从A出发以1的速度向D运动，点F从点B出发以2的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 _________时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】或4 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，一元一次方程的应用．分情况求解是解题的关键． 由题意知，，，运动时间，当时，；当时，；由以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，且，可得，分情况求解即可． 【详解】解：由题意知，，，运动时间， 当时，； 当时，； ∵以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形，且， ∴， ∴当时，， 解得，； 当时，， 解得，； 综上所述，当t的值为或4时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：或4． 三、解答题（写出必要的解答过程，共90分） 16. 因式分解 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接运用完全平方公式分解即可； （2）变形为平方差形式后，利用平方差公式分解，合并同类项后提取公因式即可得到结果． 【小问1详解】 解：   【小问2详解】 解：原式      17. 计算 （1）． （2）（且）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 通分得，， ， ； 【小问2详解】 解：， 通分得，， ， ， 化简得，， ． 18. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1）原方程无解 （2）原方程无解 【解析】 【小问1详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 经检验：当时，， ∴原方程无解； 【小问2详解】 解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 经检验：当时，， ∴原方程无解． 19. 先化简，再求值：，在四个数中选一个适合的数，代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可． 【详解】原式， 当时，原分式无意义 取时，， 也可取时，． 20. 如图，在平行四边形中，E，F分别是，边上的点，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】只要证明，即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，即， 又， ，即， 四边形是平行四边形． 21. 在边长为个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； （2）作出关于原点对称的，并写出点的坐标； （3）可看作以点（ ， ）为旋转中心，旋转得到的． 【答案】（1）作图见解析， （2）作图见解析， （3）， 【解析】 【分析】本题主要考查图形的平移、旋转以及中心对称： （1）根据图形平移的性质分别求得点，，平移后的对应点，，，依次连接点，，即可． （2）分别求得点，，关于原点的对应点，，，依次连接点，，即可． （3）根据图形旋转的性质，连接和中任意两个对应点，线段的中点即为旋转中心． 【小问1详解】 如图所示，点的坐标为 ． 【小问2详解】 如图所示， ． 【小问3详解】 可看作以点为旋转中心，旋转得到的． 故答案为：， 22. 习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多万元，用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同． （1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共件，且购买的总费用不超过万元，则甲种农机具最多能购买多少件？ 【答案】（1）购买1件甲种农机具需万元，购买1件乙种农机具需万元 （2）甲种农机具最多能购买件 【解析】 【分析】（1）设购买1件甲种农机具需x万元，则购买1件乙种农机具需万元，根据“用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同”列出方程，即可解答； （2）设购买甲种农机具件，则购买乙种农机具件，根据“购买的总费用不超过万元”列出不等式，结合是正整数，即可解答． 【小问1详解】 解：设购买1件甲种农机具需x万元，则购买1件乙种农机具需万元， 由题意可得，， 解得， 检验，当时， ，故是方程的解， ， 答：购买1件甲种农机具需万元，购买1件乙种农机具需万元； 【小问2详解】 解：设购买甲种农机具件，则购买乙种农机具件， 由题意得， ， 解得， 是正整数， 最大能取到6， 答：甲种农机具最多能购买件． 23. 【阅读材料】 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决些问题． ①用配方法分解因式 例1：分解因式． 解：． ②用配方法求值 例2：已知，求的值． 解：原方程可化为：，即． ∵，， ∴，， ∴． ③用配方法确定范围 例3：，利用配方法求M的最小值． 解：． ∵， ∴当时，M有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： （1）如果（______）是一个完全平方式，则括号内的常数应为______． （2）已知，当_______，______时，y有最小值，最小值是_______． （3）已知，，试比较P，Q的大小． 【答案】（1）9 （2）4；5；2 （3） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握配方法是解题的关键． （1）根据配方法分解答即可； （2）把配方，根据非负数的性质得到a，b的值，根据函数的最值即可得到结论； （3）根据配方法即可得到结论． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵ ， ∴当，时y有最小值， ∴，， ∴当，时，最小值是2； 【小问3详解】 解： ， ∴． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，直线经过点B且交x轴正半轴于点C，已知面积为10． （1）点C的坐标是 ，直线的表达式是 ； （2）如图2，若G为线段上一点，且满足，求G点坐标和直线的表达式； （3）在（2）的条件下，点M为直线上一动点，在x轴上是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在，N点坐标为或或 【解析】 【分析】此题考查了一次函数的应用，求一次函数的解析式，平行四边形的性质， （1）利用面积为10求出点C的坐标，根据待定系数法求出解析式； （2）连接，由得到，求出的解析式，得到的解析式为，求出交点，再根据待定系数法求出解析式； （3）分情况：①当分别为对角线时，②当分别为对角线时，③当分别为对角线时，根据平行四边形的性质解答． 【小问1详解】 解：∵面积为10， ∴， ∴， ∵， ∴， 将点B与C的坐标代入，可得 ， ∴， ∴， 故答案为，； 【小问2详解】 连接， ∵， ∴， 设的解析式为， 将点，代入，得 ， 解得， ∴， ∴的解析式为， ∴， ∴， ∴， 设的解析式为， 将点A、G代入可得 ， 解得， ∴； 【小问3详解】 ∵点M为直线上动点，点N在x轴上， 则可设，， ①当分别为对角线时， 的中点为，的中点为， ∴，， ∴，， ∴； ②当分别为对角线时， 的中点为，的中点为， ∴，， ∴，， ∴； ③当分别为对角线时， 的中点为，的中点为， ∴，， ∴，， ∴； 综上所述：以点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形时，N点坐标为或或． 25. （一）猜测探究 在等边中，点是直线上的一个动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． （1）如图1，当点在边上运动时，线段，和的关系是 ___________； （2）如图2，当点运动到线段的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （二）拓展应用 （3）如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，交于点，连接，若，，，求线段的长． 【答案】（1） （2）不成立，见解析； （3）线段的长为10． 【解析】 【分析】（1）结合旋转的性质可得是等边三角形，进而证明，由全等三角形的性质可得，即可证明结论； （2）结合旋转的性质可得是等边三角形，进而证明，由全等三角形的性质可得，即可证明，可得结论； （3）在上取一点，使，证明，由全等三角形的性质可得，，进而证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得，然后由求解即可． 【小问1详解】 解：∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ； 【小问2详解】 解：不成立，应为， ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， 即； 【小问3详解】 解：在上取一点，使， 由题意得，，， ∴， ∴，， 由题意得，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 即线段的长为10． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 平阴四中八年级数学期中试题 温馨提示：1. 本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分,考试时间120分钟,满分150分. 2. 答题前，考生务必认真阅读答题纸中的注意事项，并按要求进行填、涂和答题. 第Ⅰ卷 选择题（40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求． 1. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶．下列四幅标识图，其中文字上面图案是中心对称图形的是（ ） A. 惊蛰 B. 芒种 C. 立秋 D. 大雪 2. 如图，将沿向右平移得到，若，，则的长是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5 3. 下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　 　） A. B. C. D. 4. 四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. AB//DC，AD//BC B. AB=DC，AD=BC C. AO=CO，BO=DO D. AB//DC，AD=BC 5. 要使分式有意义，则x的取值应满足（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将含的直角三角板绕点逆时针旋转到处（点在一条直线上），则本次旋转的旋转角度为（ ） A. B. C. D. 7. 根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 某中学八年级举行春季远足活动，两小组匀速前进，第一小组的步行速度是第二小组的1.2倍，第一小组比第二小组早到达目的地，求两个小组的步行速度．若设第二小组的步行速度为，则可列出方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在正方形网格中，三角形①绕某点旋转一定角度得到三角形②，其旋转中心是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 10. 如图，四边形是平行四边形，点E是边上一点，且，交于点F，P是延长线上一点，下列结论：①平分；②平分；③；④．其中正确的个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题4分，共20分．） 11. 因式分解：______． 12. 已知分式的值为0，则的值为 _______． 13. 已知，则__________． 14. 若关于x的分式方程有增根，则___________． 15. 在四边形中，，，M是上一点，且，点E从A出发以1的速度向D运动，点F从点B出发以2的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 _________时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 三、解答题（写出必要的解答过程，共90分） 16. 因式分解 （1） （2） 17. 计算 （1）． （2）（且）． 18. 解方程： （1）． （2）． 19. 先化简，再求值：，在四个数中选一个适合的数，代入求值． 20. 如图，在平行四边形中，E，F分别是，边上的点，且，求证：四边形是平行四边形． 21. 在边长为个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，请解答下列问题： （1）作出向左平移个单位长度后得到的，并写出点的坐标； （2）作出关于原点对称的，并写出点的坐标； （3）可看作以点（ ， ）为旋转中心，旋转得到的． 22. 习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多万元，用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同． （1）求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共件，且购买的总费用不超过万元，则甲种农机具最多能购买多少件？ 23. 【阅读材料】 配方法是数学中一种重要的思想方法．它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决些问题． ①用配方法分解因式 例1：分解因式． 解：． ②用配方法求值 例2：已知，求的值． 解：原方程可化为：，即． ∵，， ∴，， ∴． ③用配方法确定范围 例3：，利用配方法求M的最小值． 解：． ∵， ∴当时，M有最小值． 请根据上述材料解决下列问题： （1）如果（______）是一个完全平方式，则括号内的常数应为______． （2）已知，当_______，______时，y有最小值，最小值是_______． （3）已知，，试比较P，Q的大小． 24. 如图1，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点，交y轴于点，直线经过点B且交x轴正半轴于点C，已知面积为10． （1）点C的坐标是 ，直线的表达式是 ； （2）如图2，若G为线段上一点，且满足，求G点坐标和直线的表达式； （3）在（2）的条件下，点M为直线上一动点，在x轴上是否存在点N，使以点B，C，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 25. （一）猜测探究 在等边中，点是直线上的一个动点，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． （1）如图1，当点在边上运动时，线段，和的关系是 ___________； （2）如图2，当点运动到线段的延长线上时，（1）中结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （二）拓展应用 （3）如图3，将绕点逆时针旋转得到，连接，交于点，连接，若，，，求线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $