精品解析：山东日照市五莲县2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

2025-2026学年度下学期期中学业水平监测 八年级数学试题 （满分：120分 时间：120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；共120分． 2．答卷前务必将自己的姓名、座号和准考证号按要求填写在答题卡上的相应位置． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4．第Ⅱ卷必需用0.5毫米黑色签字笔书写到答题卡题号所指示的答题区域，不得超出预留范围． 5．在草稿纸、试卷上答题均无效． 第Ⅰ卷（选择题　30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 如果是二次根式，则x的取值范围是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件， 分式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，分式有意义的条件是分母不为0进行求解即可． 【详解】解：∵是二次根式， ∴， ∴， 故选：C． 2. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的性质与运算，根据二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据二次根式的性质对C、D进行判断． 【详解】解：A． 与不能合并，所以A选项错误，不符合题意； B． ，选项B中结果未化为最简，所以B选项错误，不符合题意； C． ，所以C选项错误，不符合题意； D． ，所以D选项正确，符合题意； 故选：D． 3. 下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理的逆定理逐一分析各选项，从而可得答案． 【详解】解： 故不符合题意； 故不符合题意； 故符合题意； 故不符合题意； 故选： 【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理，掌握“利用勾股定理的逆定理判断三角形是不是直角三角形．”是解题的关键 4. 如图，点P是以A为圆心，AB为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点P表示的实数是（ ） A. －2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在△AOB中，利用勾股定理求出AB的长，即可确定出AP的长，得到P表示的实数． 【详解】解：在Rt△AOB中，OA＝1，OB＝3， 根据勾股定理得：AB＝， ∴AP＝AB＝， ∴OP＝AP﹣OA＝－1． ∵点P在原点的左边， ∴P表示的实数为﹣（－1）＝1﹣． 故选：C． 【点睛】此题考查了勾股定理，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 5. 已知是整数，则正整数的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简二次根式，根据二次根式为整数的条件，得出被开方数为完全平方数，结合为正整数，即可求出的最小值． 【详解】解：∵，且是整数， ∴是整数，即为完全平方数， ∵是正整数， 当时，，不是完全平方数， 当时，，是完全平方数， ∴正整数的最小值是． 6. 在剪纸活动中，小花同学想用一张长方形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正五边形的内角和公式和邻补角的性质即可得到结论． 【详解】解：． 7. 如图，在长方形内，正方形和正方形的面积分别为20和5，则长方形的面积为（ ） A. 27 B. 30 C. 32 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方形的面积公式可求出两个正方形的边长，进而可求出长方形的长和宽，再由长方形的面积公式可得答案． 【详解】解：∵正方形和正方形的面积分别为20和5， ∴正方形和正方形的边长分别为， ∴， ∴长方形的面积． 8. 如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A. 1 B. 2 C. 4 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】取斜边中点，得，设，则，由勾股定理得代入变形求解即可． 【详解】解：取斜边中点， ∵是等腰直角三角形， 则，且， 设，则， 在中，由勾股定理：， 则， 即：， 故． 9. 如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点B，D的坐标分别为，，且各边都与坐标轴平行．一只瓢虫从点A出发以1个单位长度／秒的速度沿循环爬行，则第2027秒瓢虫的位置坐标及其与原点O的距离分别为（ ） A. ； B. ； C. ；2 D. ； 【答案】D 【解析】 【分析】根据点B、D的坐标得出A、C的坐标，从而求出矩形的周长，利用总路程除以周长得到余数，确定瓢虫的位置，最后利用勾股定理求出该点到原点的距离． 【详解】解：∵长方形的顶点，D的坐标分别为，，且各边都与坐标轴平行， ，，  ，，，， ∴长方形的周长为， ∵瓢虫的速度为1个单位长度/秒， ∴瓢虫爬行一周需要10秒，  ， ∴第2027秒时，瓢虫爬了202周，且继续前进7个单位长度，  ∵从点A出发，沿的路径，，  ∴第2027秒瓢虫所在位置为点D，坐标为， ∴该点与原点O的距离为． 10. 如图，正方形按如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点在边上，且，连接交于点，连接，则下列结论中，不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，正方形的性质，等腰直角三角形的性质与判定等待，对于A选项，可证明得到；对于B选项，延长到，使得，连接，证明，得到，，再证明，得到，则可证明是等腰直角三角形，得到；对于C选项，设，则，求出，再由，得到，据此可得，则，同A选项可证明；对于D选项，可证明，由B选项的证明过程可知，只有当时才能证明结论，故D选项结论错误，符合题意． 【详解】解：当时，则，即， ∵四边形和四边形都是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，故A结论正确，不符合题意； 当时，如图所示，延长到，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，故B结论正确，不符合题意； 当时，设，则， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴同A选项可证明，故C结论正确，不符合题意； 由正方形的性质可得， ∴， ∵， ∴， 由B选项的证明过程可知，只有当时才能证明结论， 故D选项结论错误，符合题意； 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题　90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上．） 11. 已知实数在数轴上对应的点如图所示，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】由数轴可得，即；再根据绝对值、二次根式的性质化简，然后再运算即可． 【详解】解：由数轴可得：， ∴， ∴． 12. 如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和，已知，且，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先求得，再求出，利用勾股定理可得出答案． 【详解】解：在中，， ∴，，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 13. 如图，在中，，将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点，测得的周长为12，，则边__________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据折叠的性质可得，，由的周长及的长可求出的长，设，则，在中利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点， ， ， 的周长为12， ， ， ， ，即， 设，则，， 在中，， 由勾股定理得 ∴，解得：， ． 14. 如图，在平行四边形中，，于点，与交于点．若，则的度数是________． 【答案】##66度 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据平行四边形的性质求出，根据三角形的内角和定理求出，根据直角三角形斜边上的中线求出，推出，根据三角形的内角和定理求出即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，三角形的外角性质，平行四边形的性质，直角三角形斜边上的中线，平行公理及推论等知识点的理解和掌握，能求出是解此题的关键． 15. 如图1所示的中国结内包含两个全等的正方形，将其抽象成如图2所示的几何图形．若两个大正方形，的面积均为，重叠部分的小正方形为的面积为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据正方形面积公式求出大正方形和小正方形的边长，再结合图形中线段的和差关系，用大正方形的边长减去小正方形的边长，即可得到的长度． 【详解】解：∵正方形的面积为， ∴大正方形的边长； ∵重叠部分的小正方形的面积为， ∴小正方形的边长， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）． （2） 【答案】（1）2； （2）． 【解析】 【分析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简，再利用二次根式的除法运算法则化简得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及结合绝对值的性质、负整数指数幂、零次幂化简，最后利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【小问1详解】 解： =2； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算以及实数运算，正确化简二次根式是解题关键． 17. 已知a、b、c满足． （1）求a、b、c的值． （2）试问：以a、b、c为三边长能否构成三角形，如果能，请求出这个三角形的周长，如不能构成三角形，请说明理由． 【答案】（1），， （2）能构成三角形，周长为 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质，求出a、b、c的值； （2）根据三角形三边关系，实数大小的比较方法，二次根式加减运算法则进行解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，， 解得：，，； 【小问2详解】 解：能构成三角形，理由如下： 由（1）知：，，， ∵， ∴， ∴能构成三角形， 三角形的周长为：． 18. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的论证方法有多种．小颖受“赵爽弦图”的启发，给出了如图2的拼图：两个全等的直角三角板和，顶点在边上，顶点，重合，，，，，也利用“双求法”验证了勾股定理． 证明：连接，，则． 则 （1）请借助图2补全勾股定理的验证过程． （2）如图3，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为________ （3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证； （2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； （3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解： ， ， ； 【小问3详解】 解：是高， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得． 19. 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则______+______的线段和； （2）在（1）的条件下，已知，求的最小值； 【应用拓展】 （3）应用数形结合思想，求的最大值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理即可解答； （2）如图：作点D关于的对称点，连接，与交于点P，则，此时的值最小，且，即的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可； （3）如图：设点是x轴上的动点，点，，即；再利用三角形的三边关系以及勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意得：． 【小问2详解】 解：如图：作点D关于的对称点，连接，与交于点P，则，， 此时的值最小，且，即的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 【小问3详解】 解：∵，， ∴如图：设点是x轴上的动点，点，， ∴， ∵， ∴当且仅当、A、B三点共线，且B在与A之间时，等号成立，即的最大值为， ∵， ∴的最大值为，即的最大值为． 20. 如图，在矩形中，延长AO到点D，使，延长到点E，使，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）详见解析 （2）120 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再结合矩形的性质得，故四边形是菱形； （2）先运用勾股定理算出，再根据菱形的性质求出面积，即可作答． 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ∴， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：， ， ，， ， ， 四边形的面积． 21. 如图，在等边中，AB＝24cm．射线，点E从点A出发沿射线AG以的速度运动．同时点F从点B出发沿射线BC以5cm/s的速度运动，设点E的运动时间为t（s）．解答下列问题： （1）点F在线段BC上运动时，CF＝______cm；当点F在线段BC的延长线上运动时，CF＝______cm（用含t的式子表示）． （2）在整个的运动过程中，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，求t值； （3）在整个的运动过程中，是否存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小，若存在，求出t值：若不存在，说明理由． 【答案】（1）（24－5t），（5t－24） （2）t值为3或者12 （3）存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小，此时t＝6． 【解析】 【分析】（1）根据题意得：点F在线段BC上运动时CF＝24－5t；当点F在线段BC的延长线上运动时，CF＝5t－24． （2）当点F在C的左侧时（含点C），用 t把CF、AE表示出来，当AE＝CF时四边形AECF是平行四边形，CF＝AE，求得t． 当点F在C的右侧时，用 t把CF、AE表示出来，当AE＝CF时四边形AECF是平行四边形，CF＝AE，求得t． （3）存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小，平行线之间垂线最短则EF⊥BC，再利用矩形和等边三角形得性质找出BD＝DF． 【小问1详解】 （24－5t），（5t－24）． 【小问2详解】 当点F在C的左侧时（含点C），根据题意得， CF＝24－5t，AE＝3t， ∵，∴当AE＝CF时四边形AECF是平行四边形， 3t＝24－5t，解得t＝3． 当点F在C的右侧时，根据题意得，CF＝5t－24，AE＝3t， ∵，∴当AE＝CF时四边形AECF是平行四边形， 3t＝5t－24，解得t＝12． 综上可得，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，t值为3或者12． 【小问3详解】 存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小． 若E、F两点间的距离最小，则EF⊥BC． 过A作AD⊥BC于D，可得四边形AEFD为矩形，此时AE＝FD， 在等边三角形ABC中，AB＝24， ∴BD＝12，DF＝5t－12， ∴3t＝5t－12解得t＝6 ∴存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小，此时t＝6． 【点睛】此题考查了用含t的式子表示线段，平行四边形、矩形和等边三角形的性质，解题的关键是应用平行四边形、矩形和等边三角形的性质找出相等的边长，求得t． 22. 问题情境： 在菱形中，，．点是对角线上的动点，连接，以为边作菱形，且． 特例感知： （1）如图①，当点落在上时，试判断与的数量关系，并说明理由； 深入研究： （2）当点运动到如图②所示的位置上时，即点落在上方时，连接，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 解决问题： （3）在点的运动过程中，当点、、在同一条直线上时，直接写出此时的长． 【答案】（1），理由见解析； （2）成立，证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据菱形的性质和，，可推出，是等边三角形，从而得到，，则，所以，即； （2）连接，，，由菱形中，可推出，，，然后由菱形中，可推出，，从而得到，可证，所以，即； （3）连接，，，由，得，由点、、在同一条直线上，可推出，，则，最后利用勾股定理，即可求得答案． 【小问1详解】 解：，理由如下： 连接，如图 四边形是菱形， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形 ， 【小问2详解】 解：成立，证明如下， 连接，，，如图 四边形是菱形， ，，垂直平分 是等边三角形， ， 四边形是菱形， 是等边三角形 ， 【小问3详解】 解：连接，，，如图 由（2）可知， ，点、、在同一条直线上 ， ， 是等边三角形 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，30度所对直角边等于斜边的一半，勾股定理等，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键． 23. 【项目式学习】 【项目主题】合理规划，绿色家园 【项目背景】某小区有栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动． 任务一：实地测绘 小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），测得，，根据比例测算出了某些道路的长度并抽象成图3，其中与交于点，，米，米，米． 根据图3及相关数据，请完成下列计算： （1）任务二：数学计算 求道路和的长； （2）任务三：方案设计 根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），画出需要增设的小路，，并求出此时距离之和的最小值．（结果保留整数，参考数据） 【答案】（1）米，米 （2）图见解析，点到栋住宅楼的距离之和最短为米 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得到，，结合推出米，根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出； （2）过点作于点，连接，，，根据题意可推出垂直平分，得到，当点、、共线时，点到栋住宅楼的距离之和最短为，证明四边形为矩形，得到米，米， 再根据勾股定理求出和，即可求解． 【小问1详解】 解：， ，， ， ， 米， 米，米， 米， 米； 【小问2详解】 如图，过点作于点，连接，，， ，， 垂直平分， ， 点到栋住宅楼的距离之和为， 当点、、共线时，点到栋住宅楼的距离之和最短为， 米，米， 米， ， 四边形为矩形， 米，米， 米， 米， 米， 即点到栋住宅楼的距离之和最短为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期期中学业水平监测 八年级数学试题 （满分：120分 时间：120分钟） 注意事项： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，30分；第Ⅱ卷为非选择题，90分；共120分． 2．答卷前务必将自己的姓名、座号和准考证号按要求填写在答题卡上的相应位置． 3．第Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号（ABCD）涂黑，如需改动，必须先用橡皮擦干净，再改涂其它答案． 4．第Ⅱ卷必需用0.5毫米黑色签字笔书写到答题卡题号所指示的答题区域，不得超出预留范围． 5．在草稿纸、试卷上答题均无效． 第Ⅰ卷（选择题　30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上．） 1. 如果是二次根式，则x的取值范围是（） A. B. C. D. 2. 下列运算中正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列几组数中，能作为直角三角形三边长度的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，点P是以A为圆心，AB为半径的圆弧与数轴的交点，则数轴上点P表示的实数是（ ） A. －2 B. C. D. 5. 已知是整数，则正整数的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 在剪纸活动中，小花同学想用一张长方形纸片剪出一个正五边形，其中正五边形的一条边与矩形的边重合，如图所示，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在长方形内，正方形和正方形的面积分别为20和5，则长方形的面积为（ ） A. 27 B. 30 C. 32 D. 40 8. 如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A. 1 B. 2 C. 4 D. 不能确定 9. 如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的顶点B，D的坐标分别为，，且各边都与坐标轴平行．一只瓢虫从点A出发以1个单位长度／秒的速度沿循环爬行，则第2027秒瓢虫的位置坐标及其与原点O的距离分别为（ ） A. ； B. ； C. ；2 D. ； 10. 如图，正方形按如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点在边上，且，连接交于点，连接，则下列结论中，不能使的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题　90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上．） 11. 已知实数在数轴上对应的点如图所示，则___________． 12. 如图，在中，，以和为边向两边分别作正方形，面积分别为和，已知，且，则的长为___________． 13. 如图，在中，，将的一部分折叠，点落在边上的点处，折痕交于点，测得的周长为12，，则边__________． 14. 如图，在平行四边形中，，于点，与交于点．若，则的度数是________． 15. 如图1所示的中国结内包含两个全等的正方形，将其抽象成如图2所示的几何图形．若两个大正方形，的面积均为，重叠部分的小正方形为的面积为，则的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，满分75分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）． （2） 17. 已知a、b、c满足． （1）求a、b、c的值． （2）试问：以a、b、c为三边长能否构成三角形，如果能，请求出这个三角形的周长，如不能构成三角形，请说明理由． 18. 综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．图①是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的论证方法有多种．小颖受“赵爽弦图”的启发，给出了如图2的拼图：两个全等的直角三角板和，顶点在边上，顶点，重合，，，，，也利用“双求法”验证了勾股定理． 证明：连接，，则． 则 （1）请借助图2补全勾股定理的验证过程． （2）如图3，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为________ （3）如图4，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 19. 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则______+______的线段和； （2）在（1）的条件下，已知，求的最小值； 【应用拓展】 （3）应用数形结合思想，求的最大值． 20. 如图，在矩形中，延长AO到点D，使，延长到点E，使，连接，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求四边形的面积． 21. 如图，在等边中，AB＝24cm．射线，点E从点A出发沿射线AG以的速度运动．同时点F从点B出发沿射线BC以5cm/s的速度运动，设点E的运动时间为t（s）．解答下列问题： （1）点F在线段BC上运动时，CF＝______cm；当点F在线段BC的延长线上运动时，CF＝______cm（用含t的式子表示）． （2）在整个的运动过程中，当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，求t值； （3）在整个的运动过程中，是否存在某一时刻，使E、F两点间的距离最小，若存在，求出t值：若不存在，说明理由． 22. 问题情境： 在菱形中，，．点是对角线上的动点，连接，以为边作菱形，且． 特例感知： （1）如图①，当点落在上时，试判断与的数量关系，并说明理由； 深入研究： （2）当点运动到如图②所示的位置上时，即点落在上方时，连接，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由； 解决问题： （3）在点的运动过程中，当点、、在同一条直线上时，直接写出此时的长． 23. 【项目式学习】 【项目主题】合理规划，绿色家园 【项目背景】某小区有栋住宅楼：栋，栋，栋，栋，处为小区入口．为方便小区居民传递爱心，物业管理处准备在小区的一条主干道上增设一个“爱心衣物回收箱”（如图1），现需设计“爱心衣物回收箱”的具体位置，使得它到栋住宅楼的距离之和最短．某数学兴趣小组成员开展了如下探究活动． 任务一：实地测绘 小组成员借助无人机航测技术绘制了小区平面图（如图2），测得，，根据比例测算出了某些道路的长度并抽象成图3，其中与交于点，，米，米，米． 根据图3及相关数据，请完成下列计算： （1）任务二：数学计算 求道路和的长； （2）任务三：方案设计 根据以上探究，请你在主干道上画出“爱心衣物回收箱”的具体位置（用点表示），画出需要增设的小路，，并求出此时距离之和的最小值．（结果保留整数，参考数据） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $