2026年山东青岛市中考数学第二轮复习练习

**基本信息** 2026年青岛中考数学二轮复习练习，以AI技术、神舟发射等科技热点及《算法统宗》文化素材为情境，覆盖数与代数、图形与几何等核心知识，梯度设计兼顾基础巩固与创新应用，适配中考综合能力提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|倒数、三视图、科学记数法、整式运算、二元一次方程组、矩形性质、圆的性质、旋转、阴影面积、二次函数|结合AI日活用户数考查科学记数法（抽象能力），引用《算法统宗》问题考查方程建模（模型意识）| |填空题|6/18|二次根式计算、一元二次方程根的判别式、正五边形与扇形面积、函数图像应用、平行四边形折叠、圆与弧面积|正五边形内扇形面积计算（空间观念），长方体水槽注水函数图像分析（数据观念）| |解答题|7/72|尺规作图、不等式组与分式化简、数据分析、新定义运算、分式方程与一次函数、抛物线应用、四边形动态问题|神舟发射竞赛成绩分析（数据观念），洗手液抛物线轨迹求解（应用意识），四边形动态几何探究（推理能力）|

2026年山东青岛市中考数学第二轮复习练习 一、单选题 1．的倒数是（   ） A． B． C．6 D． 2．下列几何体中，三视图的三个视图完全相同的几何体是（    ） A．   B．   C．   D．   3．由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内产品榜统计数据，这款推理型AI聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 5．我国明代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤．试问各位善算者，多少人分多少银？”译文：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知道有多少人，多少银两．若每人分两，则还多两；若每人分两，则还差两．请问：有多少客人？分多少银两？”设客人为人，银两为两．根据题意可列方程组为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在矩形中，，，是上的动点，于点，于点，则的值为（   ） A． B． C． D． 7．如图，是的直径，是的弦，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，绕点逆时针旋转得到，且经过点C，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，中，，，，以为半径画弧，交延长线于点，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 10．抛物线的对称轴是直线，且过点，其部分图象如图所示，给出以下判断：①；②；③；④；⑤，（），其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．计算：______． 12．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为___________． 13．如图，在正五边形内，以为边作等边，再以点A为圆心，长为半径画弧．若，则图中阴影部分的面积是________． 14．如图1，在底面积为，高为20cm的长方体水槽内放入一个圆柱形烧杯，以恒定不变的速度先向烧杯中注水，注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽为止，此过程中，烧杯本身的质量、体积忽略不计，烧杯在大水槽中的位置始终不变，水槽中水面上升的高度h与注水时间t之间的函数关系如图2，则烧杯的底面积是______ 15．如图，把平行四边形纸片沿对角线折叠，点B落在点处，与相交于点E，此时恰为等边三角形．若，则______． 16．如图，是边长为3的等边三角形，是它的外接圆，以点B为圆心，长为半径作弧，与围成一个漂亮的“月亮”，则图中阴影部分“月亮”的面积是___________（结果保留）． 三、解答题 17．已知：是上一点． 求作：以为一个顶点，作，为上一点，使，且斜边等于线段． 18．解不等式组及化简求值： (1)解不等式组：． (2)化简求值：，其中． 19．2025年11月25日，搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心发射取得圆满成功，激发了同学们的爱国热情．某校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，组织七、八年级学生参加航空航天知识竞赛(百分制)．现分别从两个年级中各随机抽取15名参赛选手的成绩，并进行整理与分析，过程如下： 【收集数据】 七年级：69，87，76，80，74，68，94，87，98，77，87，94，92，77，70 八年级：86，90，90，84，80，62，99，97，87，84，78，90，96，78，89 【整理数据】 成绩 年级 七年级 2 a b 4 八年级 1 2 6 6 【描述数据】 七年级15名参赛选手成绩的频数分布直方图 【分析数据】 统计量年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 82 c 87 92.13 八年级 86 87 d 79.73 根据以上信息解决下列问题： (1)补全频数分布直方图； (2)填空：_______，_______； (3)若将八年级15名参赛选手的成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是_____，本次竞赛成绩更整齐的是_____年级； (4)七年级共有750名学生参加此次竞赛，如果成绩不低于85分可以参加第二轮比赛，请估计七年级能参加第二轮比赛的人数． 20．定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1)_____； (2)若有理数m、n满足，且． ①求的值； ②如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积． 21．2026年马年春节联欢晚会中《武》《奶奶的最爱》等机器人表演节目火爆全网，让机器人成为新春热点．某文化演艺公司计划采购A，B两种型号的表演机器人，用于各类文艺演出的舞台呈现．据了解，A型机器人的单价比B型机器人的单价低3000元，用580000元购买A型机器人的数量和用640000元购买B型机器人的数量相同． (1)求A，B两种型号表演机器人的单价各是多少元； (2)该文化演艺公司计划购买A，B两种型号的表演机器人共25台，且A型机器人的购买数量不超过B型机器人购买数量的3倍，购买A型机器人多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 22．学校的洗手台上放了一瓶抑菌洗手液（如图1），按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口A点喷出（如图2）．以吸液管底为原点，吸液管所在直线为y轴，建立如图3所示的平面直角坐标系，已知喷口A点到台面高度为，为，喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线形，其关系式为，这滴洗手液在水平方向喷出时，到台面高度为． (1)求这滴洗手液轨迹的函数关系式； (2)当这滴洗手液落到台面上时，落点离喷口A点的水平距离是多少？ (3)小明洗手时手心向上平行于台面接洗手液，他的手心约为，现在点M到喷口A点的水平距离为．若小明恰好能接到这滴洗手液，求手心到台面的高度h的取值范围． 23．如图，四边形中，，，对角线，，，点从点出发沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发沿方向匀速运动，速度为．为中点，与交于点．设运动时间为，解答下列问题： (1)取何值时，点在和夹角的平分线上？ (2)设五边形的面积为，求与之间的函数关系式； (3)是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在求出的值，若不存在，说明理由； (4)取何值时，是直角？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年山东青岛市中考数学第二轮复习练习》参考答案 1．B 【分析】需根据倒数的概念计算出的倒数即可得到答案． 【详解】解：∵乘积为的两个数互为倒数， 又 ， 的倒数是． 2．D 【分析】找到从物体正面、左面和上面看得到的图形完全相同的几何体即可． 【详解】解：A．四棱柱的俯视图与主视图和左视图都不同，故此选项错误； B．圆锥的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误； C．圆柱的俯视图与主视图和左视图不同，故此选项错误； D．球的三视图完全相同，都是圆，故此选项正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了三视图的有关知识，掌握三视图都相同的常见的几何体有球和正方体是解答本题的关键． 3．B 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，将数据22150000用科学记数法表示为， 故选：B． 4．C 【分析】根据整式的加减乘除运算法则逐个判断即可． 【详解】解：选项A：，故选项A错误； 选项B：，故选项B错误； 选项C：，故选项C正确； 选项D：，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减乘除运算法则，属于基础题，熟练掌握运算法则即可求解． 5．D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设客人为人，银两为两，根据题意列出方程即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设客人为人，银两为两， 根据题意得， 故选：． 6．C 【分析】设相交于点，连接，可得，即得，再利用解答即可求解． 【详解】解：如图，设相交于点，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵，， ∴， ∴， ∵于点，于点， ∴， 又∵， ∴， ∴． 7．A 【分析】连接，根据圆周角定理进行求解即可. 【详解】解：连接，则，， ∵是的直径， ∴， ∴. 8．C 【分析】先根据旋转的性质得到，，，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，从而得到的度数． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴． 9．A 【分析】先解直角三角形求出，，再用扇形的面积减去的面积即可得出答案． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 10．C 【分析】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据抛物线对称轴为直线，且经过点，即可得出，根据图象可得，，即可判断①，根据和关于对称轴对称，得出，即可判断③，根据，代入，即可判断④，根据抛物线与轴有两个交点，得出，即可判断②，根据当时，，即可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线对称轴，经过点， ， ， 根据图象可得，， ∴，故①正确， ∵抛物线对称轴为直线，经过点， ∴和关于对称轴对称， 时，， ∴，故③错误， ， ∴，故④错误， ∵抛物线与轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴，，故②正确， 当时，， 当时，， ∴， ∴， 即，（），故⑤正确， 故正确的有3个， 故选：C． 11． 【分析】本题主要考查了二次根式的运算， 先根据二次根式的乘法法则计算，再根据二次根式的加减法法则计算即可. 【详解】解：原式. 故答案为：. 12． 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，根据方程有两个不相等的实数根求解即可得到答案； 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查正多边形的内角问题，等边三角形的性质，求扇形的面积，熟练掌握相关公式是解题的关键．先求出正五边形的一个内角的度数，根据等边三角形的性质，结合角的和差关系，求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积即为扇形的面积：； 故答案为：． 14．20 【分析】设烧杯的底面积为cm²，高为cm，注水速度为cm3/s，根据当注水时间为18s时，烧杯刚好注满；当注水时间为90s时，水槽内的水面高度恰好与烧杯中的水面齐平，列出方程组，即可求出烧杯的底面积． 【详解】解：设烧杯的底面积为cm²，高为cm，注水速度为cm3/s 由图1、图2分析可得：当注水时间为18s时，烧杯刚好注满；当注水时间为90s时，水槽内的水面高度恰好与烧杯中的水面齐平． 由此可得： ∵ ∴ ∴ 故答案为：20． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，解答本题的关键是读懂函数图象中每个拐点的实际意义． 15．10 【分析】由折叠得到，利用平行线的性质得到，进而得到，等边三角形的性质，结合三角形的外角推出，进而得到，再根据含30度角的直角三角形的性质，得到即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∵平行四边形纸片， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴. 16． 【分析】连接，并延长交于点，连接，先求出，，再在中，利用扇形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接，并延长交于点，连接， ∵是边长为3的等边三角形， ∴， ∵是等边的外接圆， ∴垂直平分，，， ∴， ∴在中，，， ∴， 同理可得：， 又∵， ∴图中阴影部分“月亮”的面积是． 17．见解析 【分析】由题意可得，为斜边，，此时我们可以先画，再画，因为，所以，最后画出线段． 【详解】作法：1.过点作直线平行于； 2.过点作垂直于； 3.以点为圆心，线段长度为半径作弧交于； 4.连接． 则即是所要作的直角三角形． 18．(1) (2)， 【分析】（1）分别解两不等式，即可求出不等式组的解集； （2）先根据分式的运算法则化简，再将代入化简结果计算即可． 【详解】（1）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． （2）解： ， 当时，原式． 19．(1)见解析 (2)80；90 (3)48；八 (4)人 【分析】（1）将七年级的数据进行整理，求出a，b的值，即可补全频数分布直方图； （2）根据中位数和众数的定义求解即可； （3）将乘以八年级成绩在这一组的比例，即可求出相应扇形的圆心角度数．根据方差的比较即可得到本次竞赛成绩更整齐的年级； （4）将750乘以样本中七年级的成绩不低于85分的比例即可解答． 【详解】（1）解：将七年级的数据进行排序为：68，69，70，74，76，77，77，80，87，87，87，92，94，94，98， 数据整理如下： 成绩 年级 七年级 2 5 4 4 八年级 1 2 6 6 即，， 补全频数分布直方图为： （2）解：对于七年级的成绩排序后，处于中间位置（第8个）的数据是80，故中位数是80， 所以． 对于八年级的成绩，出现次数最多的是90，故众数为90，所以． （3）解：八年级成绩在这一组的有2人，对应的扇形圆心角为． 由于八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，因此本次竞赛成绩更整齐的是八年级． （4）解：（人） 答：估计七年级能参加第二轮比赛的有350人． 20．(1)11 (2)①；② 【分析】（1）利用新定义的运算法则计算即可求解； （2）①利用新定义的运算法则化简，再整体代入求解即可； ②利用矩形面积公式和三角形面积公式计算得到图中阴影部分的面积为，再将①中数据整体代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∴， 整理得， ∵， ∴， ∴， ∴； ②图中阴影部分的面积 ， ∵，， ∴原式． 21．(1)A型机器人的价格为29000元，则B型机器人的价格为32000元 (2)故购买A型机器人18台，购买B型机器人7台时，费用最低，最低费用746000元 【分析】（1）设A型机器人的价格为x元，则B型机器人的价格为元，根据用580000元购买A型机器人的数量和用640000元购买B型机器人的数量相同，列出方程进行求解即可； （2）根据题意，A型机器人买了台，采购费用为，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数的解析式，利用一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设A型机器人的价格为x元，则B型机器人的价格为元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的根且符合题意， 此时， 答：A型机器人的价格为29000元，则B型机器人的价格为32000元． （2）解：根据题意，A型机器人买了台，则购买B型机器人的数量为台， 根据题意，得，解得， 采购费， 由得w随a的增大而减小， ∵a为整数，故当时，w取得最小值，最小值为（元） 故购买A型机器人18台，购买B型机器人7台时，费用最低，最低费用746000元． 22．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）令，解一元二次方程即可； （3）分当洗手液恰好落到手心左端M和洗手液恰好落到手心右端N两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：由题意，抛物线过、两点． 把、代入， 得： 解得： 所以洗手液轨迹的函数关系式为． （2）解：令，得． 解得或（舍去）． 与喷口水平距离为cm． 故洗手液最远能喷射到离喷口水平距离的位置． （3）解：由题意得，点M横坐标为，点N横坐标为． 当洗手液恰好落到手心左端M时： 令，得， 当洗手液恰好落到手心右端N时： 令，得， ∵，抛物线开口向下； ∴在时，y随x增大而减小． ∴手心离台面的高度h的范围是． 23．(1) (2) (3)存在，5 (4) 【分析】（1）先求得，过作于点，由点在和夹角的平分线上，可得，由，为中点，可得，再证明，即可求解； （2）过作于点，过点作于点，可求得，再可证明四边形是矩形，可得，再证明，即可求解； （3）利用（2）的结论，将代入即可求解； （4）由是直角，为中点，可得，再证明，可得，则，在中，利用勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 过作于点， ，， ，即， 点在和夹角的平分线上， ， ∵，为中点， ∴，则， ∵，， ∴， ∴， ，即， ， ． （2）解：过作于点，过点作于点， ∵， ∴， ，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ， ， ∴． （3）解：存在． 由题意，得， 解得：（舍去），． （4）解：如图，连接， ∵是直角， ∴， ∵是的中点， ， ∵， ，， ， ∴， ∴， ， ， 在中，， ， 解得． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $