精品解析：宁夏吴忠市青铜峡市第五中学2025-2026学年九年级数学二模 试卷

2025—2026学年度第二学期 青铜峡市第五中学期中学业质量测评 九年级数学试卷（120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体、若去掉上层的任意一个小正方体，三视图的变化为（ ） A. 只有主视图和左视图不变 B. 只有主视图和俯视图不变 C. 只有左视图和俯视图不变 D. 都不变 4. 为了提升学生的人文素养，某校九年级1班开展了朗诵经典文学作品活动，现抽取7位同学的成绩（单位：分），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，关于这7位同学的成绩，下列描述正确的是（ ） A. 众数为85分 B. 中位数为88分 C. 平均数为81分 D. 方差为0 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下结论错误的是（ ） A. 由图象可知； B. 方程组的解为； C. 方程的解为； D. 当时． 6. 关于抛物线，下列说法中错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 7. 如图，点A，B在数轴上，其对应的有理数分别是a和b．下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 分解因式：______ 10. 不等式组的解集为_____． 11. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 12. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O．已知，则的对应点的坐标是______． 13. 为探究平行线的有关性质，小明用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，，．当时，的大小为______． 14. 某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按的比例计算最终成绩．参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如上表：由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A______B．（填“”“”或“”） 员工 听 说 读 写 最终成绩 甲 A 70 80 90 82 乙 B 90 80 70 82 15. 风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝较短的那条对角线长度为______． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点A在x轴上，，，．将绕点A顺时针旋转得到，则的坐标为______． 三、解答题（72分） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，试从1，2，3三个数中选取一个你喜欢的数代入求值． 19. 学习了等腰三角形和尺规作图后，小云进行了拓展性研究，她发现“任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形”．下面是小云设计的尺规作图过程． 已知：如图，，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 作法：①作直角边的垂直平分线，交斜边于点D； ②连接，则线段即为所求． 根据小云设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（只保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴①________， ∴（②________）（填推理的依据）， ∵， ∴，③________， ∴， ∴④________， ∴和都是等腰三角形． 20. 为深入落实“健康第一”的教育理念，践行“身上有汗、眼里有光”的育人目标，育英中学在阳光大课间开展了4分钟跳绳比赛活动，随机抽取50名九年级女生进行测试，并对成绩进行了整理，信息如下： 成绩频数分布表： 组别 A B C D E 成绩x（个） 频数 2 6 10 8 频率 0.04 0.12 0.2 0.16 成绩在C组的数据是（单位：个）： 386 390 391 393 396 396 396 399 402 403 根据以上信息，回答下列问题： （1）_____，______，这次测试成绩的中位数在_______组，C组的众数是_____； （2）如果在平时训练中，4分钟跳绳成绩不低于405个，中考体育时在“4分钟跳绳”项目中就能获得满分．该校九年级共有325名女生，请你估计能得满分的女生有多少人？ 21. 如图，在中，，点M为的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． （1）求证：； （2）当时，四边形是________形，请证明． 22. 某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． （1）求点离水平地面的高度． （2）求电线塔的高度（结果保留根号）． 23. 某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台． （1）求A，B型设备单价分别是多少元； （2）该企业计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用． 24. 【综合与实践】 问题情境 小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价（元/盆） 日销售量（盆） A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 数据整理 （1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 售价（元/盆） 日销售量（盆） 模型建立 （2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系； 拓展应用 （3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，若定价为18元，则日销售量为54盆， ①小莹妈妈要想每天获得400元的利润，应涨价多少元？ ②涨价为多少元时，每天能够获得最大利润？最大利润是多少？ 25. 已知：以为直径的交的边于点D，，连接DE，，且． （1）求证：为的切线． （2）若，且，求的半径． 26. 【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线经过原点，顶点D坐标为且与x轴的另一交点为C．求C点坐标及抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点，点C，是叶片上的一对对称点，线段交直线AB于点G．证明是等腰直角三角形并求出线段的长度； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期 青铜峡市第五中学期中学业质量测评 九年级数学试卷（120分） 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 下列实数中，最小的数是（ ） A. B. 0 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查比较实数的大小，首先确定各数的正负性，再按负数小于0小于正数的顺序比较大小即可． 【详解】解：∵， ∴最小的数为； 故选：A 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据合并同类二次根式判断A，根据零次幂判断B，根据积的乘方判断C，根据同底数幂的除法判断D． 【详解】解：A.不是同类二次根式，不能合并，此选项运算错误，不符合题意； B.，此选项运算错误，不符合题意； C.，此选项运算正确，符合题意； D.，此选项运算错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的加法、零次幂、积的乘方、同底数幂相除，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3. 如图是由6个相同的小正方体搭成的几何体、若去掉上层的任意一个小正方体，三视图的变化为（ ） A. 只有主视图和左视图不变 B. 只有主视图和俯视图不变 C. 只有左视图和俯视图不变 D. 都不变 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是由小正方体堆砌而成的图形的三视图，掌握“三视图的含义”是解本题的关键. 根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，从上边看得到的图形是俯视图，再从分别去掉上层的一个正方体，看到的小正方形的个数与排列方式两个方面逐一分析可得答案． 【详解】如果去掉上层的最左边的正方体，则主视图发生改变，左视图和俯视图不变； 如果去掉上层的最右边的正方体，则主视图发生改变；左视图和俯视图不变； ∴去掉上层的任意一个小正方体，主视图发生改变；左视图和俯视图不变； 故选：C. 4. 为了提升学生的人文素养，某校九年级1班开展了朗诵经典文学作品活动，现抽取7位同学的成绩（单位：分），并制作了如图所示的统计图．根据统计图，关于这7位同学的成绩，下列描述正确的是（ ） A. 众数为85分 B. 中位数为88分 C. 平均数为81分 D. 方差为0 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数、方差，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数据．分别根据平均数、众数、中位数和方差的定义解答即可． 【详解】解：将数据重新排列76，82，85，85，86，88，90， A、众数为85分，此选项符合题意； B、中位数为85分，此选项不符合题意； C、平均数为分，此选项不符合题意； D、方差为，此选项不符合题意； 故选：A． 5. 在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则下结论错误的是（ ） A. 由图象可知； B. 方程组的解为； C. 方程的解为； D. 当时． 【答案】D 【解析】 【分析】先观察直线与y轴交点的位置在直线与y轴交点的上方，可判断；再根据两条直线的交点可得方程组的解；然后根据直线与x轴交点的坐标可判断C；最后根据直线在直线的上方，确定自变量的取值范围解答D即可． 【详解】解：因为直线与y轴交点的位置在直线与y轴交点的上方，所以； 则A正确； 因为直线与直线的交点坐标是， 所以方程的解是， 则B正确； 因为直线与x轴交点的坐标是， 所以方程的解是， 则C正确； 因为从交点向左时直线在直线的上方， 所以当时，， 则D不正确． 故选：D． 6. 关于抛物线，下列说法中错误的是（ ） A. 抛物线开口向上 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 抛物线的顶点坐标为 D. 当时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，正确理解二次函数的性质是解题的关键． 将一般式配方化为顶点式，再根据二次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵，二次项系数， ∴抛物线开口向上，A选项说法正确，不符合题意， ∴抛物线对称轴是直线，顶点坐标为，B，C选项说法正确，不符合题意， ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，因此D选项说法错误，符合题意， 故选：D． 7. 如图，点A，B在数轴上，其对应的有理数分别是a和b．下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据数轴确定、的取值范围，再结合有理数的加减运算、绝对值的性质，逐一分析选项的正误． 【详解】解：由数轴可知：，，且． 选项A： ， ，故A项错误． 选项B： ， ， ，故B项错误． 选项C： ，且 ， ， 故C项正确． 选项D： ， ， 又 ， ，故D项错误． 8. 《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1、图2．图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是，类似地，图2所示的算筹图我们可以表述为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知的等式的意义列方程组即可． 【详解】解：图2所示的算筹图我们可以表述为， 故选：B． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的应用，正确理解图形的含义是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 分解因式：______ 【答案】． 【解析】 【详解】提取公因式法和应用公式法因式分解． 【分析】． 10. 不等式组的解集为_____． 【答案】x＞1 【解析】 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 故答案为：x＞1． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 11. 关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程有实数根时，根的判别式大于或等于零，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴，解得． 12. 如图，在平面直角坐标系中，与位似，位似中心是原点O．已知，则的对应点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． 根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：∵与位似，位似中心是原点O，， ∴位似比为， ∵， ∴，即． 故答案为：． 13. 为探究平行线的有关性质，小明用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，，．当时，的大小为______． 【答案】##15度 【解析】 【分析】先说明，再根据平行线的性质得到，最后利用三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 14. 某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按的比例计算最终成绩．参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如上表：由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A______B．（填“”“”或“”） 员工 听 说 读 写 最终成绩 甲 A 70 80 90 82 乙 B 90 80 70 82 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得：，， 解得，， 则． 15. 风筝古称纸鸢，起源于春秋战国时期，风筝制作技艺已被列入国家非物质文化遗产名录，小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，风筝的形状如图所示，其中对角线．已知大、小风筝的对应边之比为，如果小风筝两条对角线的长分别为和，那么大风筝较短的那条对角线长度为______． 【答案】90 【解析】 【分析】先说明大风筝和小风筝相似，且相似比为，再利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵小言和哥哥制作了一大一小两个形状相同的风筝，大、小风筝的对应边之比为， ∴大风筝和小风筝相似，相似比为， ∴大风筝两条对角线长：小风筝两条对角线长， ∴大风筝较短的那条对角线长度为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点A在x轴上，，，．将绕点A顺时针旋转得到，则的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】如图：过点作轴于，则，根据旋转的性质得，，利用平角的定义求得，在中利用三角函数的知识求出和的长，进而完成解答． 【详解】解：如图：过点作轴于，则， ∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， 在中，， ， ∴， ∴点的坐标为． 三、解答题（72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先利用有理数乘方、特殊角的三角函数值、立方根、绝对值化简，然后再运用二次根式乘法法则计算，进而完成解答． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，试从1，2，3三个数中选取一个你喜欢的数代入求值． 【答案】；当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件以及完全平方公式，先将除法化为乘法，用完全平方公式约分化简，通过分母不为0，排除部分数值，最后代入即可． 【详解】解： ， ∵分母不为0， ，， 即， 当时， 原式． 19. 学习了等腰三角形和尺规作图后，小云进行了拓展性研究，她发现“任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形”．下面是小云设计的尺规作图过程． 已知：如图，，． 求作：线段，使得线段将分割成两个等腰三角形． 作法：①作直角边的垂直平分线，交斜边于点D； ②连接，则线段即为所求． 根据小云设计的尺规作图过程， （1）使用直尺和圆规，补全图形（只保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴①________， ∴（②________）（填推理的依据）， ∵， ∴，③________， ∴， ∴④________， ∴和都是等腰三角形． 【答案】（1）见解析 （2）①；②等边对等角；③；④ 【解析】 【分析】（1）根据作法补全图形即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得，再根据角的等量代换得，进而可证得，由等腰三角形的判定即可求证结论． 【小问1详解】 解：补全的图形如图所示； 【小问2详解】 解：∵直线是线段的垂直平分线，点D在直线上， ∴， ∴（等边对等角）． ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴和都是等腰三角形． 20. 为深入落实“健康第一”的教育理念，践行“身上有汗、眼里有光”的育人目标，育英中学在阳光大课间开展了4分钟跳绳比赛活动，随机抽取50名九年级女生进行测试，并对成绩进行了整理，信息如下： 成绩频数分布表： 组别 A B C D E 成绩x（个） 频数 2 6 10 8 频率 0.04 0.12 0.2 0.16 成绩在C组的数据是（单位：个）： 386 390 391 393 396 396 396 399 402 403 根据以上信息，回答下列问题： （1）_____，______，这次测试成绩的中位数在_______组，C组的众数是_____； （2）如果在平时训练中，4分钟跳绳成绩不低于405个，中考体育时在“4分钟跳绳”项目中就能获得满分．该校九年级共有325名女生，请你估计能得满分的女生有多少人？ 【答案】（1）24，0.48，D，396 （2）208人 【解析】 【分析】（1）用测试总人数减去A、B、C、E组对应的频数确定的值，根据频率频数总数，求出的值，再根据中位数和众数的定义即可求解； （2）先求出4分钟跳绳成绩不低于405个的女生人数所占比例，再乘以325即可求解． 【小问1详解】 解：D组的频数为， D组的频率为， 将测试成绩从小到大排列，第25位和第26位的数据都在D组， ∴这次测试成绩的中位数在D组； 成绩在C组的数据中，396出现次数最多，共3次， ∴C组的众数是396； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计能得满分的女生有208人． 21. 如图，在中，，点M为的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． （1）求证：； （2）当时，四边形是________形，请证明． 【答案】（1）见解析 （2）正方，见解析 【解析】 【分析】（1）平行四边形的性质，得到证明，得到，根据，等量代换，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，进而得到四边形是菱形，再根据，即可得到四边形是正方形. 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，四边形是正方形． 证明：由（1）知，， 又， 四边形是平行四边形， ∵ ∴是直角三角形， 由（1）可知，， ， 四边形是菱形， ∵， ， ， ∴菱形是正方形． 22. 某兴趣小组开展了测量电线塔高度的实践活动．如图所示，斜坡的坡度，，在处测得电线塔顶部的仰角为，在处测得电线塔顶部的仰角为． （1）求点离水平地面的高度． （2）求电线塔的高度（结果保留根号）． 【答案】（1）； （2）电线塔的高度． 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用． （1）由斜坡的坡度，求得，利用正切函数的定义得到，据此求解即可； （2）作于点，设，先解得到，解得到米，进而得到方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵斜坡的坡度， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：作于点，则四边形是矩形，，， 设， 在中，， ∴， 在中，， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 答：电线塔的高度． 23. 某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买A，B两种型号直播设备．已知A型设备价格是B型设备价格的倍，用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台． （1）求A，B型设备单价分别是多少元； （2）该企业计划购买两种设备共60台，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半，设购买A型设备a台，购买总费用为w元，求w与a的函数关系式，并求出最少购买费用． 【答案】（1）A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元； （2），最小购买费用为12800元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设B型设备的单价为x元，A型设备的单价为元，根据用4800元购买A型设备的数量比用3000元购买B型设备的数量多5台列出方程求解即可； （2）根据A型设备数量不少于B型设备数量的一半列出不等式求出a的取值范围，再列出w关于a的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设B型设备的单价为x元，A型设备的单价为元； 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A型设备的单价为240元，B型设备的单价为200元； 【小问2详解】 解：∵，要求A型设备数量不少于B型设备数量的一半， ∴， ∴， 由题意得，， ∵， ∴w随a增大而增大， ∴当时，w有最小值，最小值为， ∴，最小购买费用为12800元． 24. 【综合与实践】 问题情境 小莹妈妈的花卉超市以15元/盆的价格新购进了某种盆栽花卉，为了确定售价，小莹帮妈妈调查了附近A，B，C，D，E五家花卉店近期该种盆栽花卉的售价与日销售量情况，记录如下： 售价（元/盆） 日销售量（盆） A 20 50 B 30 30 C 18 54 D 22 46 E 26 38 数据整理 （1）请将以上调查数据按照一定顺序重新整理，填写在下表中： 售价（元/盆） 日销售量（盆） 模型建立 （2）分析数据的变化规律，找出日销售量与售价间的关系； 拓展应用 （3）根据以上信息，小莹妈妈在销售该种花卉中，若定价为18元，则日销售量为54盆， ①小莹妈妈要想每天获得400元的利润，应涨价多少元？ ②涨价为多少元时，每天能够获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）见解析 （2）售价每涨价1元，日销售量减少2盆，日销售量与售价的关系式为y=-2x+90 （3）①应涨价7元或17元．②涨价12元时，每天能够获得最大利润，最大利润为450元． 【解析】 【分析】（1）将已知数据按照售价从小到大排序整理即可； （2）观察整理后的数据变化，总结日销售量和售价的变化规律； （3）①设涨价为a元，根据利润为400元列出一元二次方程求解； ②列出利润关于涨价a的二次函数解析式，利用二次函数的性质求解最大利润即可． 【小问1详解】 解：将数据按售价从小到大顺序整理如下： 售价（元/盆） 18 20 22 26 30 日销售量（盆） 54 50 46 38 30 【小问2详解】解：观察整理后的数据可得，售价每增加2元，日销售量减少4盆， 即售价每涨价1元，日销售量减少2盆， 设售价为元，日销售量为盆， 则可得 【小问3详解】 解：①设涨价元， 由题意得，每盆利润为元，日销售量为盆， 因此， 整理得， 解得， 答：应涨价7元或17元． ②设每天获得的利润为元， 由题意得， 配方得， ， 当时，取得最大值，最大值为． 答：涨价12元时，每天能够获得最大利润，最大利润是450元． 25. 已知：以为直径的交的边于点D，，连接DE，，且． （1）求证：为的切线． （2）若，且，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）2.5 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质和相似三角形的判定与性质； （1）根据等腰三角形的性质得和，即可证明，进一步得到，进而得证； （2）由得到，可得，结合题意得，可求得，即可求的半径． 【小问1详解】 ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的切线； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故的半径． 26. 【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线经过原点，顶点D坐标为且与x轴的另一交点为C．求C点坐标及抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线与坐标轴交于A，B两点，点C，是叶片上的一对对称点，线段交直线AB于点G．证明是等腰直角三角形并求出线段的长度； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求的最大值． 【答案】（1）C点坐标为，；（2）；（3）2 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标公式列方程组求解，得到函数解析式，再令解方程得到点坐标； （2）先求出，得到，得，求得，根据对称性得； （3）运用待定系数求出右侧幼苗上方轮廓线表达式为，设M点坐标为，则，得，运用二次函数的性质可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为， ∴ 解得：，， ∴抛物线的解析式为． 当时，． 解得，， ∴C点坐标为； （2）∵直线与坐标轴交于，两点， ∴令，得，令，则，， ∴，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵直线是心形叶片的对称轴，且点，是叶片上的一对对称点， ∴，， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵C点坐标为， ∴， ∴， ∴； （3）∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反， 设右侧幼苗上方轮廓线表达式为，代入、得 ， 解得， ∴， 设M点坐标为，则， ， ∵，， ∴当时，的最大值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $