2026年宁夏中考数学模拟卷（人教版）

2025-2026学年度宁夏中考数学模拟卷（人教版） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（共24分） 1．（本题3分）的绝对值是（    ） A．2026 B． C． D． 2．（本题3分）氢被认为是21世纪理想的清洁能源，在助力北京2022年冬奥会实现碳中和目标的过程中扮演了重要角色．北京和延庆两大赛区，312辆氢燃料电池汽车自2月4日到2月14日，累计用氢约．将数据42040用科学记数法表示，其结果是（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）若实数a，b满足，则函数的图象不可能是（    ） A．B． C． D． 4．（本题3分）如图，中，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，点，分别为反比例函数（）与（）图象上的点，轴，点在轴上，连接、，则的面积为（   ）． A．6.5 B．8.5 C．11 D．13 6．（本题3分）如图，直角三角形中，，，，点D是上的一个动点，过点D作于E点，于F点，连接，则线段的最小值为（   ） A．2.4 B．5 C．4.8 D．2.5 7．（本题3分）如图，在菱形中，，，动点E从点A出发沿边匀速运动，运动到点C时停止，过点E作的垂线l，在点E运动过程中，垂线l扫过菱形（即阴影部分）的面积为y，点E运动的路程为．下列图象能反映y与x之间函数关系的是（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤若点，在二次函数的图象上，则．其中正确的是（    ） A．①②④ B．①③⑤ C．①④⑤ D．①③④⑤ 二、填空题（共24分） 9．（本题3分）若点在第二象限，则的取值范围是_____． 10．（本题3分）天干地支纪年法起源于古代中国的历法制定，用于记录年份、月份、时间等，由十个天干（甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸）和十二个地支（子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥）依次组合而成．小李从全部的十个天干和十二个地支中各随机选取一个，组成一组天干地支纪年，求该纪年恰好为 2026 年（丙午年）的概率为_______． 11．（本题3分）如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为____________． 12．（本题3分）将一个正方体木块静止放置在斜面上，其受力分析如图所示，重力的方向竖直向下，摩擦力的方向与斜面平行，支持力的方向与斜面垂直．若斜面的坡角，则支持力与重力方向的夹角的度数为____________． 13．（本题3分）已知⊙O是正六边形的外接圆，正六边形的边心距为3，将图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则该圆锥的底面圆的半径为______． 14．（本题3分）斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数1，1，2，3，5…作为正方形的边长拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为的圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．如图所示是斐波那契螺旋线的一部分，其中最小的正方形边长为1，则这一部分螺旋线的长度为_______． 15．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，其两个锐角的外角平分线相交于点，若点恰好在反比例函数的图象上，则的面积是________ ． 16．（本题3分）如图，在平面直角坐标系中，将正方形绕点顺时针旋转后，得到正方形，正方形以此方式绕点连续旋转2026次得到正方形，如果点坐标为，那么点的坐标为_____． 三、解答题（共72分） 17．（本题6分）按要求完成下列计算： (1)计算： (2)解一元二次方程： 18．（本题6分）下面是小童解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解：去分母，得，……………第一步 去括号，得，…………………第二步 移项，得，……………………第三步 合并同类项，得，………………………第四步 系数化为1，得．……………………………第五步 (1)第一步去分母的依据是__________________________； (2)在解答过程中，第_____步出现了错误，原因是____________________； (3)请写出原不等式的正确解集_______________． 19．（本题6分）如图，在四边形中，是延长线的一点，连接交于点，若，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 20．（本题6分）新春佳节临近，吉祥灯笼和剪纸窗花等传统春节装饰品相继上市．某校八年级年级组打算采购一批吉祥灯笼和剪纸窗花分发给各班装饰教室．通过市场调研得知：若同时买20个吉祥灯笼和50套剪纸窗花共需1100元，若同时买40个吉祥灯笼和30套剪纸窗花共需1500元． (1)一个吉祥灯笼和一套剪纸窗花的价格分别是多少元？ (2)本次采购打算购买两种物品共60个（套），其中购买吉祥灯笼的数量不少于剪纸窗花的，且不超过剪纸窗花的2倍，怎样购买两种物品最省钱？最少的费用是多少元？ 21．（本题6分）综合与实践 【问题背景】 “数形结合”是数学中重要的思想方法之一，在遇到一些具备一定特征的代数问题时，有时会将其转化为更直观的几何问题解决．例如：已知，是正数，且，求的最小值．如图，令线段，其中，，然后构造和，使，，则，，因此，当点、、三点共线时，如图，的值最小． (1)【解决问题】已知，是正数，且，则的最小值为 ； (2)【实践探究】已知，是正数，且，求的最小值；（请画出示意图并求解） (3)【拓展应用】求的最小值为 （直接写出答案）． 22．（本题6分）近年来，根据最新公开资料，初中学生肥胖占比在全国范围内呈现上升趋势，具体数据因地区和统计口径略有差异，中小学生总体超重肥胖率为，其中初中阶段是高发学段之一； 国际上常用身体质量指数（．缩写）来衡量人体肥胖程度以及是否健康，其计算公式是（体重单位：，身高单位：m）例如：某人身高，体重，则他的．中国成人的数值标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖． 某校为了解初中生的健康情况，随机抽取了一部分学生的体检数据，通过计算得到他们的值并绘制了两幅不完整的统计图．    根据以上信息回答下列问题： (1)补全条形统计图，在扇形统计图中肥胖程度所在圆心角的度数为______； (2)基于上述统计结果，学校提议加强体育锻炼，制定健身计划，九年级学生小张身高，值为27，他想通过健身减重使自己的值达到正常，请你通过计算说明他的体重至少需要减掉多少？（结果精确到） (3)学校从中抽取了2名正常程度和2名偏胖程度共4名学生，计划在4名学生中随机抽取两名学生进行综合体能检测，请你通过计算判断正好抽取两名正常程度学生的概率． 23．（本题8分）如图，已知四边形为菱形，点是边的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)在图1中作出边的中点； (2)在图2中作出矩形，使得点分别在边上． 24．（本题8分）在中，，以为直径的分别与、交于点、，过点作于点． (1)求证：是的切线； (2)如图，若的半径为，，求阴影部分的面积． 25．（本题10分）2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 26．（本题10分）在等腰直角中，点A在的延长线上，点G是的中点． (1)如图1，若且，求的长； (2)如图2，E在直线上点C右侧，将绕点E顺时针旋转得到，点F恰好在的延长线上，求证：； (3)如图3，点E是直线上一点，以为腰作等腰直角，，连接，若，当为直角三角形时，请直接写出的值． 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年度宁夏中考数学模拟卷（人教版）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C C D A A D B 1．A 【分析】根据负数的绝对值是它的相反数，进行计算即可． 【详解】解：∵ 负数的绝对值等于它的相反数，且， ∴ ． 2．C 【分析】科学记数法的表示形式为，要求满足，为整数，且等于原数的整数位数减1． 【详解】解：将数据42040用科学记数法表示为． 3．C 【详解】解：∵，∴， 当，则，不可能是选项C； 当，则，函数的图象可能是选项A； 当，则，函数的图象可能是选项B； 当，则，函数的图象可能是选项D． 4．D 【分析】先根据等腰三角形的性质求出，再根据三角形内角和定理求出，最后根据同弧所对的圆周角相等，得出答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 5．A 【分析】连接，，设与轴交于点，将 面积转化为 的面积，然后结合反比例函数系数 的几何意义求解． 【详解】解：如图，连接 ，，设 与 轴交于点 ， 轴， ， 点 ， 分别为反比例函数 ，的图象上的点， ，， ． 6．A 【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵，，， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短，可得当时，最短，即线段的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴线段的最小值为． 7．D 【分析】根据点的运动位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用锐角三角函数求出当和时 y与x的函数关系式，即可解答． 【详解】解：当时，，设的垂线l，交于点， 由题意得，，， ∴,， ∴，开口向上； 当时，， 过点B作，交于H， ∵，， 则，， ∵在菱形中，，，是的垂线， ∴四边形是直角梯形， ∴， ∴， ∴， 当时，过点B作，交于H，设的垂线l交于点， ∵在菱形中，，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ，开口向下； 选项D符合条件要求． 8．B 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，二次函数的对称轴为直线，则，，即可判断①②；二次函数与x轴有两个交点即可判断③；根据当时，，即可判断④；根据抛物线开口向上，在抛物线上离对称轴越远的点对应的函数值越大，即可判断⑤． 【详解】解：二次函数的图象开口向上，与轴负半轴交于一点， ∴，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故结论①正确； ∵， ∴， ∴， 故结论②错误； ∵二次函数与x轴有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴； 故结论③正确； 由函数图象可知，当时，， ∴， ∵， ∴，即， 故结论④错误； ∵，，， ∴点，在二次函数的图象上，， 故结论⑤正确； 综上所述，正确的有①③⑤． 9． 【分析】根据平面直角坐标系中第二象限内点的坐标特征，列出关于的不等式求解即可． 【详解】解：点在第二象限，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于， ，解得． 10． 【分析】先求出所有等可能的结果总数，再找出满足条件的结果数，利用概率公式计算即可得． 【详解】解：由题意得：从个天干中随机选取个，从个地支中随机选取个，所有等可能的结果共有种，其中，恰好为丙午年的结果只有种， 则该纪年恰好为 2026 年（丙午年）的概率为． 11． 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，利用函数图象确定不等式的解集是解题的关键．先将交点代入直线：求出的值，再结合函数图象，找出直线在直线上方（含交点）时对应的的取值范围，进而得到不等式的解集． 【详解】解：将点坐标代入直线，得， 从图中直接看出，当时，， 故答案为：． 12．/155度 【分析】过作，先求，再由两直线平行，同位角相等得到，结合求解． 【详解】如图，过作， 根据题意可知，， ， ， ， ， ． 13． 【分析】根据边心距求得外接圆的半径，根据圆锥的底面圆周长等于扇形的弧长，计算圆锥的半径即可． 【详解】解：如下图，过点O作，垂足为G，连接， 六边形是正六边形， 是3个全等的等边三角形， ， 正六边形的边心距为3，即， ， ， ，即， 解得：， 设圆锥的半径为r，根据题意，得：， 解得：． 14． 【分析】根据题意得出由内往外扇形的半径，再求出每个扇形的弧长，最后相加求和即可． 【详解】解：由题意可知，由内往外第一个扇形的半径为1，第二个扇形的半径为1，第三个扇形的半径为2，第四个扇形的半径为3，第五个扇形的半径为5，这五个扇形的圆心角都为， 根据弧长计算公式可得：第一个扇形的弧长为， 第二个扇形的弧长为：， 第三个扇形的弧长为：， 第四个扇形的弧长为：， 第五个扇形的弧长为：， 则这一部分螺旋线的长度为：． 15． 【分析】过点分别作轴、轴和的垂线，垂足为、、，设点的坐标为，由角平分线的性质可得，，结合反比例函数的解析式可得点．容易证明四边形是正方形，用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得到的面积． 【详解】解：如图，过点分别作轴、轴和的垂线，垂足为、、，设点的坐标为， 由题意可知，平分，平分， ∵轴，轴，， ∴，， ∴， 解得（负根舍去）， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ， ， ， ， ． 16． 【分析】根据点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现，据此即可得到答案． 【详解】解：四边形是正方形，且点C坐标为， 点的坐标为，则， 点的坐标为， 依次类推， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， 点的坐标为， ， 由此可见，旋转后点的对应点的坐标按，，，，，，，循环出现， 由，得到点的坐标为． 17．(1) (2)， 【分析】（1）原式根据算术平方根运算法则、零指数幂、负整数指数幂运算法则、绝对值的代数意义以及特殊锐角三角函数值进行化简后，再进行加减运算即可得到结果； （2）方程运用因式分解法解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， 或， 解得：，． 18．(1)不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变 (2)五，不等式的两边同时除以负数后不等号的方向未改变 (3) 【分析】（1）根据不等式的性质作答即可； （2）根据不等式的性质作答即可； （3）根据解不等式的步骤求解即可． 【详解】（1）解：第一步去分母的依据是不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变； （2）解：在解答过程中，第五步出现了错误，原因是不等式的两边同时除以负数后不等号的方向未改变； （3）解：解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 19．(1)见解析； (2) 【分析】（1）根据，，得出，再根据平行线的判定方法进行求解即可； （2）由平行线的性质可得，根据，得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．(1)一个吉祥灯笼的价格是30元，一套剪纸窗花的价格是10元 (2)购买24个吉祥灯笼，36套剪纸窗花时最省钱，最少费用为1080元 【分析】（1）设一个吉祥灯笼的价格是x元，一套剪纸窗花的价格是y元，列出二元一次方程组即可求解； （2）设购买m个吉祥灯笼，则购买剪纸窗花为套，总费用为w元，列出不等式、一次函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：设一个吉祥灯笼的价格是x元，一套剪纸窗花的价格是y元， 由题意得， 解得， ∴一个吉祥灯笼的价格是30元，一套剪纸窗花的价格是10元． （2）解：设购买m个吉祥灯笼，则购买剪纸窗花为套，总费用为w元， 由题意可得：， 解得， 由题意得， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w取得最小值为， 此时，， ∴购买24个吉祥灯笼，36套剪纸窗花时最省钱，最少费用为1080元． 21．(1) (2) (3) 【分析】（1）将和分别转化为两个直角三角形的斜边，再根据两点之间线段最短，当三点共线时，两条线段的和取最小值，通过勾股定理计算出最小值； （2）先构造直角三角形，把和转化为两条线段，利用“三点共线时线段和最小”的原理，用勾股定理计算出最小值； （3）先构造直角三角形，把和转化为两条线段，利用“三点共线时线段和最小”的原理，用勾股定理计算出最小值． 【详解】（1）解：根据题意可知，、、三点共线时，的值最小，即为可取到的最小值， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故的最小值为． （2）解：如图，构造和，使，，， 过点作，交的延长线于点， 设，， ，， ， 据图可知，当点、、三点共线时，的值最小，最小值为， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故的最小值为． （3）解：如图，构造和，使，，，过点作，交的延长线于点， 设，则， ，， ， 据图可知，当点、、三点共线时，的值最小，最小值为， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故的最小值为． 22．(1)补全条形统计图见详解， (2) (3) 【分析】（1）根据正常类别的人数和占比求出抽取的学生人数，即可求得偏胖人数，即可补全条形统计图； （2）分别计算出小张的实际体重值与正常体重的最大值，两者的差即是至少需要减掉的体重； （3）根据列表法解答即可． 【详解】（1）解：抽取的学生人数为：（人）， 则偏胖人数为：（人）， 补全条形统计图如下：    扇形统计图中肥胖程度所在圆心角的度数． （2）解：小张实际体重为：， 小张正常体重的最大值为：， 则他的体重至少需要减掉：． （3）解：令2名正常程度的学生为A、B，2名偏胖程度的学生为C、D， 列表如下： A B C D A A，B A，C A，D B B，A B，C B，D C C，A C，B C，D D D，A D，B D，C 根据表格可知，共有12种情况，其中正好抽取两名正常程度学生有2种情况， 故正好抽取两名正常程度学生的概率． 23．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接菱形的对角线交于点，连接并延长与的交点即为点，根据菱形的性质得到，即可证明，则； （2）连接菱形的对角线交于点，连接并延长与交于点，连接与交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点，则四边形即为所求．首先由得到，同理，则四边形为平行四边形，由点分别为的中点可得，继而可证明四边形为平行四边形，则，由点为中点得到点为的重心，则点为中点，同理可得四边形为平行四边形，则，再由菱形的邻边得到，故四边形为矩形． 【详解】（1）解：如图1，点即为所求； （2）解：如图2，矩形即为所求； 24．(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接，根据，，得出，证明，根据平行线的性质进一步证明，根据切线的判定求出即可； （2）连接，过作于，则，求出、的长和的度数，最后根据，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ，， ，， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：连接，过作于，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ． 25．(1)， (2)存在，Q的坐标为或或或 (3)3 【分析】（1）求出的顶点坐标，进而求出第二条抛物线的顶点坐标，求出函数解析式，再求出时的函数值和时的自变量的值，即可求出三点的坐标； （2）分，，三种情况进行讨论求解即可； （3）易得点P在以为直径的上，且不与重合，连接，证明，得到，进而得到， 得到点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为 ∵第二个机器人花绢运动轨迹与抛物线关于直线对称 ∴第二个机器人花绢运动轨迹的顶点为 ∴， 当时，，当时，．则， ∴； （2）解：∵ ∴对称轴是直线，设， ∵ ∴，， 当时，， 解得 ∴Q的坐标为或； 当时，， 解得， 若点Q坐标为时，点A、C、Q三点共线，不符合题意； ∴； 当时，， 解得， ∴ 综上所述， Q的坐标为或或或； （3）解：∵， ∴，， 又∵ ∴点P在以为直径的上，且不与重合， 如图，连接， 则， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长， ∵， ∴ ∴的最小值为3． 26．(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（1）设，则，进而求得，即；再根据等腰直角三角形的性质以及勾股定理求解即可； （2）如图2，过点E作，取，连接CH，HF，则，易得为等腰直角三角形，再证明可得、，进而证明可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可证明结论； （3）分、、三种情况，分别作出辅助线，利用等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∴，解得：， ∴， ∵等腰直角， ∴， ∴． （2）证明：如图2，过点E作，取，连接CH，HF，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 在与中 ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴点C，H，F三点共线， ∴， ∴， ∵G为的中点， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∴，即． （3）解：如图：当时，过点D作于点H，于点L，过点F作于点K，连接，则， ∵，G为的中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 设，则，， ∴，， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴； 如图：当时，过点D作于点L，过点F作于点K，连接，则， ∵，G为的中点， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴； 当时，点F在以为直径的圆上，而此时不可能是以点E为直角顶点，为直角边的等腰直角三角形，因此不可能为； 综上，的值为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $