精品解析：浙江温州市平阳县万全综合高级中学等校2025-2026学年高二下学期第一次联考数学试题

2025学年第二学期高中联考高二数学试卷 考生须知： 1.本卷共四大题， 小题，满分100分，时间150分钟。 2.试卷分为试卷(共4页)和答题卡(共2页)。请在答题卷上写上考生姓名、学校、班级、考号。 3.请考生将所有答案写在答题卷上，写在其他上无效。 4.本次考试不得使用计算器，请耐心解答.祝你成功！ 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则在复平面内，复数对应的点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下表统计了某同学一周内每天体育活动时长（单位：h）： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 时长/h 1.5 2.0 1.4 1.2 1.8 1.6 3.0 则体育活动时长的第60百分位数是（ ） A. 2.0 B. 1.8 C. 1.7 D. 1.6 4. 定义新运算“”如下：，已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（ ） A. B. C. D. 6. 在中，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知等差数列的前n项和为，若和的等差中项为6，则（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 8. 若函数在区间上有两个零点，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 一个质地均匀的正四面体4个表面上分别有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件发生的概率为 C. 事件与事件相互独立 D. 事件发生的概率为1 10. 如图，在棱长均为1的四棱锥中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，则（ ） A. PC与MO是异面直线 B. 直线NO与PC的夹角为 C. D. 四棱锥的外接球的表面积为 11. 设是定义在上的偶函数，且对于恒有，已知当时，，则下列判断正确的是（    ） A. 的周期是2 B. 在上递减，在上递增 C. 的最大值是2，最小值是1 D. 当时， 三、填空题 12. 设，若圆的面积为，则__________． 13. 函数的定义域是____________（用区间表示） 14. 已知双曲线的左､右焦点分别是.点为左支上的一点，过作与轴垂直的直线，若到的距离满足，则的离心率的取值范围为___________. 四、解答题 15. 现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营． （1）若从中选1人作为总负责人，共有多少种不同的选法？ （2）若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？ （3）若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种不同的选法？ 16. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． （1）求证：平面； （2）已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 18. 已知抛物线，点为的焦点，是上任意不重合的两点，当直线过点且垂直轴时，. （1）求的方程； （2）若直线过点且的面积为，求的方程. 19. 函数，，为自然对数的底数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明函数存在唯一的极值点； （3）若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期高中联考高二数学试卷 考生须知： 1.本卷共四大题， 小题，满分100分，时间150分钟。 2.试卷分为试卷(共4页)和答题卡(共2页)。请在答题卷上写上考生姓名、学校、班级、考号。 3.请考生将所有答案写在答题卷上，写在其他上无效。 4.本次考试不得使用计算器，请耐心解答.祝你成功！ 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义计算即可. 【详解】因为，，所以. 故选：B. 2. 若复数满足，则在复平面内，复数对应的点所在象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则求出，进而判断即可. 【详解】由，则， 则复数对应的点为，在第三象限. 故选：C. 3. 下表统计了某同学一周内每天体育活动时长（单位：h）： 日期 周一 周二 周三 周四 周五 周六 周日 时长/h 1.5 2.0 1.4 1.2 1.8 1.6 3.0 则体育活动时长的第60百分位数是（ ） A. 2.0 B. 1.8 C. 1.7 D. 1.6 【答案】B 【解析】 【分析】先将数据从小到大排列，再利用百分位数的计算定义和计算方法，即可求解. 【详解】将体育活动时长按从小到大的顺序排列为1.2，1.4，1.5，1.6，1.8，2.0，3.0， 因为，所以体育活动时长的第60百分位数是1.8. 故选：B. 4. 定义新运算“”如下：，已知函数，则满足的实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据新定义，得到的表达式，判断函数在定义域的单调性，可得结果. 【详解】当时， ； 当时， ； 所以， 易知，在单调递增， 在单调递增， 且当时，， 当时，， 则在上单调递增， 所以 得，解得. 故选：C 【点睛】本题考查对新定义的理解，以及分段函数的单调性，重点在于写出函数以及判断单调性，难点在于满足的不等式，属中档题. 5. 已知椭圆的左右焦点分别为，点在椭圆上，若的面积为1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形的面积确定点坐标，再结合向量数量积的坐标表示即可求解. 【详解】由椭圆，得，，即， 因此左右焦点，， 因为面积为，故，得，即， 将代入椭圆方程：，解得.  ，， 则 . 6. 在中，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先判断是否能推出，再判断能否推出即可求解. 【详解】由，，所以，所以，所以， 所以，即， 由有，由余弦定理有，即，又， 所以，所以，， 所以“”是“”的充分必要条件， 故选：C. 7. 已知等差数列的前n项和为，若和的等差中项为6，则（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 【答案】C 【解析】 【详解】设等差数列的公差为， 由题意得，， 则. 8. 若函数在区间上有两个零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简函数的解析式，并求出其在区间上的对称轴，结合函数图像的对称性，单调性和中点坐标公式可求，从而可得结论. 【详解】因为， 化简可得， 令，得， ， 直线为函数在的对称轴， 且当时，函数单调递减， 当时，函数单调递增， 所以， ． 故选：D 二、多选题 9. 一个质地均匀的正四面体4个表面上分别有数字1，2，3，4，抛掷该正四面体两次，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件互斥 B. 事件发生的概率为 C. 事件与事件相互独立 D. 事件发生的概率为1 【答案】BC 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式判断B，利用特例说明A，计算、、，即可判断C，根据判断D. 【详解】由题意可得，故B正确； 当两次抛掷的点数为时，事件与事件同时发生，所以事件与事件不互斥，故A错误； 事件与事件同时发生的情况有共4种，所以， 又，所以，故事件与事件相互独立，故C正确； ，故D错误. 故选：BC. 10. 如图，在棱长均为1的四棱锥中，O为底面正方形的中心，M，N分别为侧棱PA，PB的中点，则（ ） A. PC与MO是异面直线 B. 直线NO与PC的夹角为 C. D. 四棱锥的外接球的表面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先连结，利用中位线可判断，，再根据四棱锥的性质，即可判断选项. 【详解】对于A,连接AC，BD，PO，分别是的中点，所以，A错误； 对于B，，故所求为直线PD与PC的夹角，为，B正确； 对于C，由于，，所以，又，故，C正确； 对于D，易知，故四棱锥的外接球的表面积为.D正确. 故选：BCD 11. 设是定义在上的偶函数，且对于恒有，已知当时，，则下列判断正确的是（    ） A. 的周期是2 B. 在上递减，在上递增 C. 的最大值是2，最小值是1 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由即可判断A选项；利用和函数的对称性可判断B，C的正误；结合周期性和奇偶性可求当时，，故可判断D的正误． 【详解】对于A，对于恒有，则的周期为2，故A正确； 对于B，时，，，则函数在上是减函数， 因为且为偶函数，故，故的图象关于对称， 函数在上是增函数，结合的周期为2可得在上是减函数，故B不正确； 对于C，由B的分析可得在,的最大值是， 最小值为，结合函数的周期性可得的最大值为2，最小值为1，故C正确； 对于D，设，则，故，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12. 设，若圆的面积为，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】将圆化成标准方程得出半径为，根据面积建立等式即可求解． 【详解】由题意得圆的标准方程为， 则圆的半径为， 圆的面积为， 解得：， 故答案为：． 13. 函数的定义域是____________（用区间表示） 【答案】 【解析】 【分析】结合幂函数与对数函数性质计算即可得. 【详解】由题意得，即，解得， 即定义域为：. 故答案为： 14. 已知双曲线的左､右焦点分别是.点为左支上的一点，过作与轴垂直的直线，若到的距离满足，则的离心率的取值范围为___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，表达出，，从而得到关于的一元二次方程，转化为关于的一元二次方程在上有解问题，结合根的判别式和特殊点的函数值，得到，求出离心率的取值范围. 【详解】设，，则， 由题意得，，， 则， 两边平方得，整理得， 又， 所以， 变形得到， 即上式在上有解， 其中， 令， 则， ， 要想使得在上有解， 只需要开口向上，即， 即，所以，，解得 故离心率的取值范围是. 故答案为： 【点睛】本题考查双曲线的几何性质及其应用，对于双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 四、解答题 15. 现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营． （1）若从中选1人作为总负责人，共有多少种不同的选法？ （2）若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？ （3）若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种不同的选法？ 【答案】（1）122 （2）63000 （3）4860 【解析】 【分析】（1）利用分类加法计数原理将三个年级人数相加即可； （2）利用分步乘法计数原理将三个年级人数相乘即可； （3）结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理分为三类，每一类分成两步相乘再求和即可. 【小问1详解】 从高一选1人作为总负责人有50种选法； 从高二选1人作为总负责人有42种选法； 从高三选1人作为总负责人有30种选法． 由分类加法计数原理，可知共有50（种）选法． 【小问2详解】 从高一选1名负责人有50种选法； 从高二选1名负责人有42种选法； 从高三选1名负责人有30种选法． 由分步乘法计数原理，可知共有（种）选法． 【小问3详解】 ①从高一和高二中各选1人作为中心发言人，有（种）选法； ②从高二和高三中各选1人作为中心发言人，有（种）选法； ③从高一和高三中各选1人作为中心发言人，有（种）选法． 故共有（种）选法． 16. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． （1）求证：平面； （2）已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理、线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，结合向量法求线面角求解即可. 【小问1详解】 在三棱柱中，，， ，则. 又四边形是正方形，则，，所以. 又，平面，因此平面. 又平面，所以. 在等边中，为中点，则， 又，平面，所以平面. 【小问2详解】 取中点为，中点为，则，. 由（1）知，平面，平面，则.又，故. 又，平面，则平面. 即两两垂直. 以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为为线段中点，所以. ，，. 设平面的法向量为， 则，即，故可取. 设直线与平面所成角为， 则 所以直线与平面所成角的正弦值为. 17. 已知等差数列的前n项和为，且，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，可得， 解得，所以； 【小问2详解】 由（1）知， 所以， 所以 所以 所以． 18. 已知抛物线，点为的焦点，是上任意不重合的两点，当直线过点且垂直轴时，. （1）求的方程； （2）若直线过点且的面积为，求的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）当直线垂直轴时，可求出、的坐标进而求出的值； （2）根据三角形的面积公式，弦长公式，点到直线的距离公式即可求出. 【小问1详解】 设点，， 因为抛物线，所以. 当直线过点且垂直轴时，直线的方程为， 把代入可得， 故，所以，所以方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，易知直线的斜率不为零，设直线方程为， 联立得， 则，， 所以， 又点到直线距离， 所以， 令，所以，所以，解得或， 所以直线方程为或. 19. 函数，，为自然对数的底数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，证明函数存在唯一的极值点； （3）若存在，使得对任意成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线方程； （2）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解； （3）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值. 【小问1详解】 当时，，则， 所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即； 【小问2详解】 ， 当时，令，则， 令，所以， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，，当时，， 画出大致图象如下： 所以当时，与仅有一个交点，令，则， 且， 当时，，则，单调递增； 当时，，则，单调递减； 为的极大值点，故存在唯一的极值点； 【小问3详解】 由（2）知，此时， 所以， 令， 若存在，使得对任意成立，等价于存在， 使得，即， ， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，所以，故， 所以实数b的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $