学易金卷：高二数学下学期第三次月考（浙江专用，人教A版选二+选三全部：数列、导数、计数原理、随机变量及其分布列、统计）

2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选2-选3全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．从集合中任取1个数，则这个数是奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据古典概型概率公式求出事件概率. 【详解】共有1，2，3，4，5五个数，奇数有1，3，5三个数，则任取一个数是奇数的概率为. 故选：C. 2．在等差数列中，为其前项和，，则（   ） A．55 B．65 C．15 D．60 【答案】B 【分析】根据利用基本量求得值，利用性质即可求. 【详解】设公差为，因为， 所以 故选：B. 3．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求得函数的定义域及，求解即可得到结论. 【详解】已知函数，则函数的定义域为：， 则， 令，解得， 即函数的单调递增区间是， 故选：D． 4．已知是函数的导函数，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】由题可得，所以 5．函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出与直线平行的切线，切线到直线的距离即为最小距离. 【详解】，令，即， 令，，恒成立， 故函数在上单调递增，且，故函数仅有一个零点， 令，，即切点横坐标为， 代入，切点坐标为，切线方程为：， 切线与直线之间的距离. 故选：C 6．已知数列是首项为4，公比为的等比数列，若成等差数列，则（    ） A．4 B．8 C．-4 D．-8 【答案】A 【详解】由数列是首项为4，公比为的等比数列，得， 由成等差数列，得，即， 则，而，解得， 所以. 7．下列各式正确的是（    ） A． B．C．D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用排列数、组合数的计算公式，以及组合数的性质，逐项计算，即可求解. 【详解】对于A，由，，所以，故A不正确； 对于B，由，，所以，所以B不正确； 对于C，由， 又由，所以，所以C正确； 对于D，由组合数的性质，可得， 所以，所以D不正确. 8．某校组织包含甲在内的7名大学生前往观看足球､篮球､排球三场比赛，每场比赛至少有2名学生观看且每个人只观看一场比赛，则甲同学不去观看足球比赛的方案种数为（    ） A．420 B．600 C．840 D．960 【答案】A 【详解】将名大学生分为三组：第一组个人，第二组2个人，第三组个人，共有 种分组方法； 由于甲不去看足球比赛，故甲所在的组只有种选择，剩下的组任意选，有 种分配方法； 所以甲同学不去观看足球比赛的方案种数为共有 种方法. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．在区间和上，函数均是减函数B．为函数的零点 C．为函数的极小值点 D．为函数的最大值 【答案】AC 【分析】分别在每一段区间上讨论的正负，由此可得的正负，从而得到单调性；结合极值点、零点和最值的定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，当时，，又，； 当时，，又，； 在和上均为减函数，A正确； 对于B，根据图象可知是的零点，但无法确定，B错误； 对于C，由A知：在上为减函数； 当时，，又，； 在上单调递增，又，， 是的极小值点，C正确； 对于D，当时，，又，； 在上单调递减，又在上单调递增， 是的极大值，无法确定是最大值，D错误. 故选：AC. 10．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球．第四层有10个球．．．设第层有个球，从上往下层球的总数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据题意，归纳可得，由此求出数列的通项公式，据此分析选项，即可得答案. 【详解】根据题意，， 则有， 当时， ， 也满足，所以， ，A选项错误； ，B选项正确； ，， C选项正确； ， ，D选项正确. 11．某校计划安排五位老师（包含甲､乙､丙）负责2026年5月1日至5月5日的值班工作，每人值班一天，每天都有人值班，则下列说法正确的是（    ） A．若甲､乙必须在相邻的两天值班，则不同的安排方法共有48种 B．若甲､乙值班的两天不相邻，则不同的安排方法共有72种 C．若甲､乙､丙三人值班的先后顺序不变（不一定相邻），则不同的安排方法共有60种 D．若甲5月1日不值班，乙5月5日不值班，则不同的安排方法共有78种 【答案】ABD 【分析】由相邻问题捆绑法、不相邻插空法以及定序问题倍缩法即可求解判断ABC；由全排列减去甲5月1日值班以及乙5月5日值班的情况数，加上甲5月1日值班且乙5月5日值班的安排方法即可求解判断D. 【详解】若甲､乙必须在相邻的两天值班，则不同的安排方法共有种，A正确； 若甲､乙值班的两天不相邻，则不同的安排方法共有种，B正确； 若甲､乙､丙三人值班的先后顺序不变（不一定相邻），则不同的安排方法共有种，C错误； 甲5月1日值班与乙5月5日值班不同的安排方法数之和为种，甲5月1日值班且乙5月5日值班的安排方法有种， 所以若甲5月1日不值班，乙5月5日不值班，则不同的安排方法共有种，D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数，则______． 【答案】/ 【详解】因为，所以， 所以， 所以，所以， 所以. 13．已知数列的前项和为，且满足，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【分析】根据题意，求得数列的通项公式为，得到，转化为，分为奇数和为偶数，两种情况讨论，进而求得的取值范围. 【详解】由数列满足， 当时，可得； 当时，， 两式相减得，所以， 所以数列的通项公式为， 当时，； 当时，， 当时，适合上式，所以 由不等式，即， 当为奇数时，不等式恒成立，即为， 可得，所以， 当时，可得取得最大值，所以； 当为偶数时，不等式恒成立，即为， 可得，所以， 设， 令，因为是不小于2的偶数，所以为正奇数，且， 当时，即时，取得最小值，最小值为，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 14．甲、乙、丙、丁四人玩踢毽子游戏，第一次由甲踢出，每次踢出时，踢出者都等可能地将毽子踢给另外三个人中的任何一人．若第二次踢出后恰好踢给乙，则此毽子是由丙踢出的概率为__________，第次踢出后，毽子恰好踢给乙的概率为__________． 【答案】 / 【分析】（1）根据条件概率公式可得第二次毽子由丙踢出的概率； （2）若第次踢出后，毽子恰好踢给乙，则第次踢出后，毽子恰好不踢给乙，再由其踢给乙，即可根据马尔科夫链求出概率的递推关系，进而可得概率. 【详解】由已知条件可知，前两次踢出的毽子被接到的情况有（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙），共种， 设事件：第二次踢出后恰好踢给乙，事件：第二次的毽子由丙踢出，乙接到， 则事件包含：（丙，乙），（丁，乙）两种情况；事件包含（丙，乙）一种情况， 则，， 则； 设第次踢出后，毽子恰好踢给乙的概率为， 易知若第次踢出后，毽子恰好踢给乙，则第次踢出后，毽子恰好不踢给乙，再由其踢给乙， 则，且， 则， 则数列是以为首项，为公比的等比数列， 则，即. 故答案为：；. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．手机用户可通过某软件查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的比较和点赞.若某人一天的行走步数超过8000，则评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”.从小王的男性和女性好友中各随机抽取了50名，统计其一天的步数并给出评定，得到如下数据： (1)能否有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？ (2)以样本数据估计总体数据，且以频率估计概率.若从小王的所有男性好友中抽取3人，记其中评定为“积极型”的人数为，求随机变量的数学期望. 积极型 懈怠型 合计 男 女 10 合计 70 0.050 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 附：，其中. 【答案】(1)有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关 (2) 【分析】（1）先利用题目数据完善列联表，利用公式求出，根据临界值表进行判定； （2）先求出评定为“积极型”的概率，由二项分布求解概率，列表得到分布列，利用期望公式进行求解. 【详解】（1）列联表如下： 积极型 懈怠型 合计 男 20 30 50 女 10 40 50 合计 30 70 100 则的观测值为， 所以有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关. （2）从小王的男性好友中任选一人，评定为“积极型”的概率为， 随机变量的可能值为，， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以随机变量的数学期望. 16．设函数，其中． (1)当时，求函数的极值； (2)若函数在区间上有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2)或 【分析】（1）求出，讨论导数的符号后可判断并求出函数的极值. （2）在区间上有两个零点等价于直线与曲线，有且只有两个公共点，后者可利用导数讨论其单调性，从而可求实数的取值范围. 【详解】（1）由题设，则， 令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，而， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）由，得. 问题等价于直线与曲线，有且只有两个公共点，              又，令，解得，.      当时，；当或时，， ∴在，上单调递减，在上单调递增.       又因为，，，， 所以或时，直线与曲线，有且只有两个公共点.                                            ∴当或时，函数在区间上有两个零点 17．已知圆，点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，动点P满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)斜率存在且不过的直线l与曲线C相交于M、N两点，BM与BN的斜率之积为. ①证明：直线l过定点；②求面积的最大值. 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）利用相关点法，结合向量的坐标运算即可得解； （2）①联立直线与椭圆方程，利用韦达定理与已知条件得到关于的方程，解之即可得解；②利用三角形面积公式，结合韦达定理与基本不等式即可得解. 【详解】（1）依题意，设，则， 因为，所以， 则，解得， 因为圆上， 所以，则，即， 所以曲线的方程为. （2）①依题意，设直线的方程为，， 联立，消去，得， 则，即， 所以， 则 ， 则， 则， 整理得，解得或（此时直线过点，舍去）， 所以直线过定点； ②由①得，， 则， 所以， 令，则， 则， 当且仅当，即，时，等号成立，满足， 所以面积的最大值为. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 18．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当时，若对任意，求的取值范围； (3)证明：对任意. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (2) (3)证明见解析. 【分析】（1）利用导数分和两种情况研究导函数的正负情况即可求解； （2）首先分离常数，再利用导数研究的单调性，进而得到的取值范围，或利用局部保号性也可求参数的取值范围. （3）根据（2）问的结论，以及数列的前n项和公式进行化简证明即可. 【详解】（1）函数的定义域为，. 当时恒成立，函数在上单调递增， 当时，令得， 则当时，当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）法1：当时，对任意，等价于当时，对任意成立，. 令，则大于的最小值或下确界， ， 则对任意恒成立， 所以函数在上单调递增， 又函数在时函数图象是连续的，且， 所以对任意恒成立，所以对任意恒成立， 所以函数在上单调递增. 因为，所以. 法2：设，，则，， 若，则，故存在，使得，， 故在上为减函数，故恒成立， 故在上恒成立，与题设矛盾； 若，设，则， 故在上为增函数，故， 故在上为增函数，故， 故在上恒成立，故. （3）左边是首项为、公比为的等比数列前项和， 即 右边是裂项求和结果.​ 由（2）结论，时对任意有， 令得变形得， 对累加得，即原不等式得证. 19．若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列满足，且． (1)证明：数列是“平方递推数列”； (2)设数列的前项乘积为，即． ①求；②若，数列的前项和为，求使得的的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)① ；② 【分析】（1）根据“平方递推数列”的定义可求解. （2）（i）先求得，然后结合对数运算、等比数列前项和公式来求得；. （ii）先求得，利用分组求和法求得，由此化简不等式来求得的最小值. 【详解】（1）由题知， 所以数列是“平方递推数列”． （2）（i）由（1）知，又，有，同时， 由，得， 因此数列是等比数列，首项为，公比为， 所以， 因此． （ii）由（i）知， ； 由，即，， 因为对任意的，，所以数列是递增数列， 又知，当时，，当时，， 因此使得的的最小值为． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选2-选3全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．从集合中任取1个数，则这个数是奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 2．在等差数列中，为其前项和，，则（   ） A．55 B．65 C．15 D．60 3．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 4．已知是函数的导函数，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．已知数列是首项为4，公比为的等比数列，若成等差数列，则（    ） A．4 B．8 C．-4 D．-8 7．下列各式正确的是（    ） A． B．C．D． 8．某校组织包含甲在内的7名大学生前往观看足球､篮球､排球三场比赛，每场比赛至少有2名学生观看且每个人只观看一场比赛，则甲同学不去观看足球比赛的方案种数为（    ） A．420 B．600 C．840 D．960 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．在区间和上，函数均是减函数B．为函数的零点 C．为函数的极小值点 D．为函数的最大值 10．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球．第四层有10个球．．．设第层有个球，从上往下层球的总数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．某校计划安排五位老师（包含甲､乙､丙）负责2026年5月1日至5月5日的值班工作，每人值班一天，每天都有人值班，则下列说法正确的是（    ） A．若甲､乙必须在相邻的两天值班，则不同的安排方法共有48种 B．若甲､乙值班的两天不相邻，则不同的安排方法共有72种 C．若甲､乙､丙三人值班的先后顺序不变（不一定相邻），则不同的安排方法共有60种 D．若甲5月1日不值班，乙5月5日不值班，则不同的安排方法共有78种 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数，则______． 13．已知数列的前项和为，且满足，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 14．甲、乙、丙、丁四人玩踢毽子游戏，第一次由甲踢出，每次踢出时，踢出者都等可能地将毽子踢给另外三个人中的任何一人．若第二次踢出后恰好踢给乙，则此毽子是由丙踢出的概率为__________，第次踢出后，毽子恰好踢给乙的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．手机用户可通过某软件查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的比较和点赞.若某人一天的行走步数超过8000，则评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”.从小王的男性和女性好友中各随机抽取了50名，统计其一天的步数并给出评定，得到如下数据： (1)能否有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？ (2)以样本数据估计总体数据，且以频率估计概率.若从小王的所有男性好友中抽取3人，记其中评定为“积极型”的人数为，求随机变量的数学期望. 积极型 懈怠型 合计 男 女 10 合计 70 0.050 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 附：，其中. 16．设函数，其中． (1)当时，求函数的极值； (2)若函数在区间上有两个零点，求的取值范围． 17．已知圆，点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，动点P满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)斜率存在且不过的直线l与曲线C相交于M、N两点，BM与BN的斜率之积为. ①证明：直线l过定点；②求面积的最大值. 18．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当时，若对任意，求的取值范围； (3)证明：对任意. 19．若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列满足，且． (1)证明：数列是“平方递推数列”； (2)设数列的前项乘积为，即． ①求；②若，数列的前项和为，求使得的的最小值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C B D D C A C A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC BCD ABD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）【详解】（1）列联表如下： 积极型 懈怠型 合计 男 20 30 50 女 10 40 50 合计 30 70 100 则的观测值为， 所以有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关.（6分） （2）从小王的男性好友中任选一人，评定为“积极型”的概率为， 随机变量的可能值为，， 则，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以随机变量的数学期望.（7分） 16．（15分）【详解】（1）由题设，则， 令，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以，而， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （6分） （2）由，得. 问题等价于直线与曲线，有且只有两个公共点，              又，令，解得，.      当时，；当或时，， ∴在，上单调递减，在上单调递增.       又因为，，，， 所以或时，直线与曲线，有且只有两个公共点.                                            ∴当或时，函数在区间上有两个零点（9分） 17．（15分）【详解】（1）依题意，设，则， 因为，所以， 则，解得， 因为圆上， 所以，则，即， 所以曲线的方程为.（4分） （2）①依题意，设直线的方程为，， 联立，消去，得， 则，即， 所以， 则 ， 则， 则， 整理得，解得或（此时直线过点，舍去）， 所以直线过定点；（6分） ②由①得，， 则， 所以， 令，则， 则， 当且仅当，即，时，等号成立，满足， 所以面积的最大值为.（5分） 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 18．（17分）【详解】（1）函数的定义域为，. 当时恒成立，函数在上单调递增， 当时，令得， 则当时，当时， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （5分） （2）法1：当时，对任意，等价于当时，对任意成立，. 令，则大于的最小值或下确界， ， 则对任意恒成立， 所以函数在上单调递增， 又函数在时函数图象是连续的，且， 所以对任意恒成立，所以对任意恒成立， 所以函数在上单调递增. 因为，所以.（5分） 法2：设，，则，， 若，则，故存在，使得，， 故在上为减函数，故恒成立， 故在上恒成立，与题设矛盾； 若，设，则， 故在上为增函数，故， 故在上为增函数，故， 故在上恒成立，故. （3）左边是首项为、公比为的等比数列前项和， 即 右边是裂项求和结果.​ 由（2）结论，时对任意有， 令得变形得， 对累加得，即原不等式得证. （7分） 19．（17分）【详解】（1）由题知， 所以数列是“平方递推数列”． （3分） （2）（i）由（1）知，又，有，同时， 由，得， 因此数列是等比数列，首项为，公比为， 所以， 因此．（5分） （ii）由（i）知， ；（4分） 由，即，， 因为对任意的，，所以数列是递增数列， 又知，当时，，当时，， 因此使得的的最小值为．（5分） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■ 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 n 0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 典 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5.正确填涂■ 一、 选择题（每小题5分，共40分） 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C]D] 口 3[A][B][C][D] 7[A][B][C[D] 4[A][B][C][D] 8[A][B][CI[D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分， 有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A][B][C][D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12 射 14 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年高二数学下学期第三次月考卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教A版选2-选3全部。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．从集合中任取1个数，则这个数是奇数的概率是（    ） A． B． C． D． 2．在等差数列中，为其前项和，，则（   ） A．55 B．65 C．15 D．60 3．函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 4．已知是函数的导函数，，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．函数的图象上的点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．已知数列是首项为4，公比为的等比数列，若成等差数列，则（    ） A．4 B．8 C．-4 D．-8 7．下列各式正确的是（    ） A． B．C．D． 8．某校组织包含甲在内的7名大学生前往观看足球､篮球､排球三场比赛，每场比赛至少有2名学生观看且每个人只观看一场比赛，则甲同学不去观看足球比赛的方案种数为（    ） A．420 B．600 C．840 D．960 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（    ） A．在区间和上，函数均是减函数B．为函数的零点 C．为函数的极小值点 D．为函数的最大值 10．如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中，后人称为“三角垛”．“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球．第四层有10个球．．．设第层有个球，从上往下层球的总数为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 11．某校计划安排五位老师（包含甲､乙､丙）负责2026年5月1日至5月5日的值班工作，每人值班一天，每天都有人值班，则下列说法正确的是（    ） A．若甲､乙必须在相邻的两天值班，则不同的安排方法共有48种 B．若甲､乙值班的两天不相邻，则不同的安排方法共有72种 C．若甲､乙､丙三人值班的先后顺序不变（不一定相邻），则不同的安排方法共有60种 D．若甲5月1日不值班，乙5月5日不值班，则不同的安排方法共有78种 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数，则______． 13．已知数列的前项和为，且满足，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围为__________. 14．甲、乙、丙、丁四人玩踢毽子游戏，第一次由甲踢出，每次踢出时，踢出者都等可能地将毽子踢给另外三个人中的任何一人．若第二次踢出后恰好踢给乙，则此毽子是由丙踢出的概率为__________，第次踢出后，毽子恰好踢给乙的概率为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．手机用户可通过某软件查看自己每天行走的步数，同时也可以和好友进行运动量的比较和点赞.若某人一天的行走步数超过8000，则评定为“积极型”，否则评定为“懈怠型”.从小王的男性和女性好友中各随机抽取了50名，统计其一天的步数并给出评定，得到如下数据： (1)能否有95%的把握认为“评定类型”与“性别”有关？ (2)以样本数据估计总体数据，且以频率估计概率.若从小王的所有男性好友中抽取3人，记其中评定为“积极型”的人数为，求随机变量的数学期望. 积极型 懈怠型 合计 男 女 10 合计 70 0.050 0.025 0.010 0.005 3.841 5.024 6.635 附：，其中. 16．设函数，其中． (1)当时，求函数的极值； (2)若函数在区间上有两个零点，求的取值范围． 17．已知圆，点在圆上，过作轴的垂线，垂足为，动点P满足，设动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)斜率存在且不过的直线l与曲线C相交于M、N两点，BM与BN的斜率之积为. ①证明：直线l过定点；②求面积的最大值. 18．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)当时，若对任意，求的取值范围； (3)证明：对任意. 19．若数列满足，则称数列为“平方递推数列”．已知数列满足，且． (1)证明：数列是“平方递推数列”； (2)设数列的前项乘积为，即． ①求；②若，数列的前项和为，求使得的的最小值． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试题 第1页（共4页） 试题 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $