浙江省杭州学军中学2025-2026学年高二下学期阶段测试（二）数学试题

高二下数学测试（二）参考答案 题 号 1 2 3 4 5 6 1 8 9 10 答 C A D C A B D B ABD ABC 案 题 号 11 答 ABD 案 1.C 【详解】由AcB,得m+1=5或m2+1=5, 得m=4或m=±2， 经检验，m=-2不合题意，故实数m的取值集合为{2,4)， 故选：C 2.A 【详解】由=1，可得Va+1)2+(-a2=1,解得a=-1或0， 所以a=-1是z=1的充分不必要条件 故选：A 3.D ex,x≤0 【详解】由函数f(x)= -x2-2x+1,x>0' 作出函数fx)的大致图象，如图： 3 -2-10 23 即函数在R上单调递减， 由f(a-1)2f-a)可得a-1≤-a, 答案第1页，共2页 解得a≤2' 所以实数a的取值范围是 故选：D. 4.C 5.A 【详解】南西、P川四C)-A图由4,6是面际事件 P((AUB)C)=P(AC)+P(BC), 所以4q-Puac-PaG-} 故选：A. 6.B 【详解】因为b+2 acosC=0,由正弦定理得：sinB+2 sin AcosC=0, 又A+B+C=x,则B=π-(A+C),所以sinπ-(A+C)]+2 sin AcosC=0, 即sinA+C）+2 sin AcosC=0→sin Acos C+cos Asin C+2 sin AcosC=0, 所以cos A sin C=-3 sin AcosC, 由b+2ac0sC=0,则b=-2ac0sC, 因为a,b为边长，所以a>0,b>0,所以cosC<0, 所以角C为钝角，〈 所以角4为锐角即4e0引，此时cos420,c0C0, 所以由cos Asin C=-3 sin AcosC→tanC=-3tanA, 所以tanB=tan[π-(A+C]=-tan(A+C)=- tan +(-3tan 4) 1-tan 40-3tan 4) 2tan A 即tanB= 1+3tan2 4' 因为40》 所以tanA>0, 2tan A 13 所以tanB= 2tanA ≤ 1+3tan2A2x1×√3tanA√331 当且仅当1=3am'A即anA=5时，等号成立， 3 答案第1页，共2页 所以nB的最大值为y 3 7.D 【详解】由抛物线定义可得x2=2py(p>0)的准线为y=-, 则=+号，BF=+号，BF-AF6, 又4B中点纵坐标为5，即4十=5，得y4+y。=10, 2 联立y=6 少+a=10'解得 y4=2 0yg=8’ 又因为A,B在第一象限且在抛物线上， 所以：x号=2py4=4p→x4=2√p,x日=2pyB=16p→xg=4VP, 得x。-x4=2VD,由两点距离公式AB=(xa-x)2+(ya-yA2, 代入AB=210:(2√D+6=(21o→4p+36=40→p=1, 8.B 【详解】由a,a=a+aa,得_=l, 又三=2，所以 是首项为2，公差为1的等差数列，所以型=2+(n-)=n+1,又 a' a a,>0,所以8型=n+1, a 所以当n≥2时， a,=a×aLx×xa,=mxn-1××2x1=Vnn-…x2=Vm, an-1 an-2 a 又a=1,也符合上式，故a。=√n!, 吸m0品-a n×n! 所以S,=(2-)+(3-√2)+（④！-√3）+…+(V+0-V=√m+-1, 由<5，得+2四<5，所以n+2<5,解得<2， S+1 V(n+1)！ 答案第1页，共2页 所以正整数n的最大值为22. 9.ABD 【详解】因为函数y= 和函数y=-logx均为0，+0)减函数，所以函数fx)= -log;x 为减函数，若实数x是函数f(x)的一个零点，则f(x)=0,由题设fa小·∫(bf(c<0 知，f(a>0,fb)>0,fc<0或f(a<0,f(b)<0,fc<0,根据零点存在定理有： 0<a<b<x<c或0<x<a<b<c 故选：ABD. 10.ABC 【详解】过B点作Bx/儿，根据题意，以B为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示， 设P叫a2.Q10a0,易知4a2.o侣，厄=(-a6-2. 若AP=2,则a=±2，由Pg=Va2+b2+4=4, 此时b2=8,所以b=±2√2； 对于A,易知BQ=b=2W2,故A正确： BA·PQ 对于B,cos BA,Pg= 41 8P2×42 所以直线AB,PQ所成角为60，故B正确； 对于C,易知BO= 水e+=12 则点O到直线AB的距离 -8o BA =V,故C正确： 对于Dw=-x2=s时 2 =2， 当且仅当a=b时取得等号，故D错误」 答案第1页，共2页 ZA A P 2h立 11.ABD 【详解】当a≤0时，fx)=e-ax2>0,不合题意； 当a>0时，分别画出y=e*与y=ax的图象，如图： y-ax y-e 所以x1<0<-x<x2<x3; 对A、C:由题得e=e-e的 x2x ，即e 无2=2=2·所以，=0 若x,2,x成等差数列，则2x2=x+x3,所以x2·x=, 所以6度等比数列由<0，则5=后（佰兰 2 即-6xx=x2+x,所以 65+1=0, 由5<-山，解得=-3-25，因为=c54, x 所以-与=-2n÷-2n3+2)=2hg-2=4nN5-, 则x2-x=-2n(N2-,即数列x,x,x的公差为-2n(V2-1, 故A正确、C错误； 答案第1页，共2页 对B、D:由c=e 写若成等比数列，则写=好， 则e+西=e2,即有2x2=x+x,故x,x2,x3成等差数列， 又5=-3-22，则S=(-3-22-(3+2, 故管-3+2可-3+25，即数列。的公比为3+2， 故B、D正确， 12.5 【详解】由二项式系数之和与系数之和相等可得2=(a+1)°→a=1 因为T,=C(ax =Cix5-2r 所以令5-2r=3→r=1 所以系数是C,=5 故答案为：5 13 23 【详解】法1：双曲线C:若若=a>0b>0的右顶点0. 不妨取渐近线方程为y=bx,设Mm,m bm 由5=0：得a-m8a-m+me0,整g1 b2 a2 m2-4ma+3a2=0 由题意知该关于m的方程有解，所以△=16a b2 41 "a2 3a2≥0，b2=c2-a2 化简可得a2≥3b2=3c2-a2),即3c2≤4a2, 所以e=s V3 ,又e>1 所以1<e≤2y5,即C的离心率的取值范围是 3 法2：由MA.MB=0知，点M在以AB为直径的圆D:(x-2a)2+y2=a2上 由题意知C的渐近线与圆D有公共点，所以D到C的渐近线bx±ay=0的距离满足 答案第1页，共2页 12ab1≤a,即2b≤c, Vb2+a2 所以4c2-a2)≤c2,所以3c2≤4a2 所以e2,又e>1,所以1<e625,即C的离心率的取值范到为2 3 3 14.3 【详解】PX=)=P(X≤k)-PX≤k-)=°-《-1少，k=L2,34. 4m 则X0=4[+22”-1)+33-2）+44-3] -r+2+川-4国+ ◆0异目+-s4日 又m)-(日++目)在meN上单调啦减。 且0=33 161 4 故m的最小值为3. 15.【详解】(1)证明：因为数列{a,的前项和S-,-, 3 所以当n=1时，S=a=-1,解得a=2,所以a+1=3: 当n22时，S=20-(n-, 由-3=，将a层-小- 33 201-1, 化简得a=)a.)a1-1→-)4三、3 所以an=3an-1+2,两边加1得a,+1=3(a-1+1, 所以数列a,+是首项为3、公比为3的等比数列； (2)由(1)知，an+1=3”,所以an=3"-1, 集合Mn中的元素形如a,a,+a,+aj, 因式分解得：a,a,+a,+a,=(a+1)a,+1-1=33-1, 答案第1页，共2页 因此Mn的元素对应3+/-1，其中i,je{1,2…,n}, 则i+j的取值范围为2≤i+j≤2n,且对任意整数k∈{2,3，，2n}, 均存在i,方使得i+j=k, 所以i+j的不同值个数为2n-1,从而b,=2n-1; 16.【详解】(1)取PB的中点为G,连接AG,GN,因为N是PC的中点， 所以GN1IBC,GN=BC 2 因为四边形ABCD为菱形，所以BCIIAD,BC=AD, 又M是AD的中点，所以AM/1GN,AM=GN,所以四边形AMNG为平行四边形， 所以MN/IAG,又AGc平面PAB,而MN不在平面PAB内， 所以MNII平面PAB (2)①因为PA⊥平面ABCD,AB,ADC平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD 因为AB⊥AD,所以以A为原点，以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0,P(0,0,2,D(0,2,0),B(2,0,0),M(0,1,0),N1,1,1 所以PD=(0,2,-2,BM=(-2,1,0),BN=(-1,1,1) 设平面BMN的一个法向量为m=(x,y,z,则有 BMm=0 BNm=0' 即 [-2x+y=0 -x+y+2=0令x=1，则y=2,2=-1山，所以m=山，2- PDu 所以直线PD与平面BMN所成角的正弦值为cosPD,m 6V5 PDm22x√6 2 E D B 延长BM交CD的延长线于点E,连接NE交PD于点F, 答案第1页，共2页 易知 3 3*2*2x4-1x1 yR小=F-cDv=r-cE-V-nE-3×乞 11 3×3x1x2x2-42.10 32 3-39-9 17.【详解】(1)因为点M,N是圆O与椭圆C的公共点.所以r=1,b=1. 又M,N和椭圆的一个焦点是等腰直角三角形的三个顶点 所以c=1,a=2,所以椭圆C的方程为号+y=1 ，由m=弓n,得出mk=-3 1 3 (2)解法一：根据题意可知NA⊥MA,设k4=k,则n=- 2 2 y=kx+1 由x 2*2= 得(2k2+)r2+4c=0.则可得B,二46，二2k2+马 2k2+1’2k2+1 同理得P(-4m-2m2+1 2m2+1’2m2+1 由对称性可得PB经过y轴上一定点T(O,),由P,B,T三点共线可得： -2k2+11- -2m2+1 t km=kp,从而2k2+L=二2m2+1 4k 4m 2k2+1 2m2+1 整理可得：(2k2+1)+2k2-1_2m2+)+2m2-1 m 化简可得：(k-m)(2mkt-1+2mk+1=0, 因为m,成=多所以1=名所以直线PB过定点0宁 13 设P(y),B(,乃)，则SMa=2×-,显然PB斜率存在，设a=S 1 y=Sx- 名 x2 .得22+-2x0,k-66 2+y2=1 2s2+1 8 令6+6=9g2O所以2s+19+2,所以-2 .2 8 ?之6时9+乙单调递塔g=6,即，=0时，三角形面积有最大值26， 综上：当PB斜率为0时三角形MPB面积有最大值V6 解法二：根据巡意可知41M,设，=t,则m=名由m=,得出mk= 3 2 答案第1页，共2页 方程(y-1-kx)y-1-mx)=0表示直线MP,MB, 上式可化为(y-1)2-(k+m)x(y-1)+kmx2=0() 由+y1得x=2-y,代入)式，则有0--k+m)x0-)+2m-三 即(y-1)[y-1)-(k+m)x-2km(1+y)]=0 则点P,B的坐标满足方程(y-1)-(k+m)x-2km(I+y)=0, 又过点PB的直线唯，且mk=-乏，所以直线PB方程为(4y+2)-k+mx=0 令x=0,测直线PB过定点(Q之》 下同解法一 18.【详解】(1)当a=时，fy=x-1-1nxx>0, 2 x 2 所以f(x)=1+ 15_(2x-1x-2 2-2x 2x2 当e02+时，>0：当xe22时，川到<0， 所以在0，)和2，+a上单调递增，在（2上单调递减， 所以的极大值为f)n2-极小值为12=}h2. 所以/}2-s2-3-92g-2小 因此f(x是极值可差比函数， 其中k=2- (2②）由烟的定义线为Q+e,八=1+草名即r=￡-1， x2 假设f(x)是极值可差比函数，且极值差比系数为2-a, 设∫x)的极大值点为x,极小值点为x △=a2-4>0 则x+x2=a,得a>2,由(1)分析可得x<x2, xx3=1 又xx2=1,则0<x<1<x2 由于fx)-fs)=x-an5 .-alnx2 答案第1页，共2页 X2 由题则有：2-a=2-an士 -x22 从面，经-华-1-b瑞 结合5=1，得-2n%=上-%→-1-21n,=0(). X2 令8=x-2h>,则g时=-2xl_=,0 x2 x 所以gx)在1，+∞)上单调递增，有gx)>g(1=0, 因此(*)方程在x2>1时无解，即不存在a使∫(x)的极值差比系数为2-a; (3)由(2)知fx极值差比系数为2-.0。h立，又x+x,=a, x-x2 x2 则f()极值差比系数为2-+五1n生 X1-X2 x2 令1=立，1e0,,则极值差比系数可化为2-1+n1, X, t-1 注。5++之2-2,29a可 2 4 3 -咖片传小0子420 12 2 所以在[别上单通递减， 当[别时，02h=-0,从而p>0, 所以在引上单调递赠，所以日}p≤P), 即2-101n2≤pd≤2-3n2. 3 故/冈的极值差比系数的取雀花超为2-号n22-3h2 答案第1页，共2页 【点晴】关键点晴：本题首先需读懂题意，随后灵活运用代数式处理技巧， 将需研究表达式化简为只含一个未知数；对于某些复杂函数的性质，我们也可 通过多次求导来研究，但要注意书写格式 答案第1页，共2页 高二下数学测试（二） 命题人：吴力田 审题人：徐政 一、选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，若，则实数的取值集合为（   ） A． B． C． D． 2．已知复数，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数f(x)=，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．已知向量，满足，，则向量，的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．已知事件A，B，C满足A，B是互斥事件，且，，，则的值等于（    ） A． B． C． D． 6．已知的内角的对边分别为，，则的最大值为（   ） A． B． C． D．3 7．已知抛物线的焦点为，第一象限内的两点在抛物线上，且满足，若线段中点的纵坐标为，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．2 8．在正项数列中，，，，若，为数列的前n项和，若，则正整数n的最大值为（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．已知的零点为，有使得满足＜0，则下列结论有可能成立的是（    ） A． B． C． D． 10．已知异面直线，四点不共面，是线段的中点，，则（   ） A．当时， B．当时，直线所成角为 C．点到直线的距离为 D．三棱锥的体积的最大值为3 11．已知函数有三个零点，则（   ） A．若成等差数列，则成等比数列 B．若成等比数列，则成等差数列 C．若成等差数列，则数列的公差为 D．若成等比数列，则数列的公比为 三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 12．若的展开式中，二项式系数之和与系数之和相等，则展开式中项的系数是______（用数字作答） 13．已知双曲线的右顶点为，点．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是________． 14．不透明的口袋中装有编号分别为1，2，3，4的4个小球，小球除编号外完全相同．现从中有放回地任取m次，每次取1个球，记取出的m个球的最大编号为随机变量，且，则m的最小值为________． 四、解答题：共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（15分）已知数列的前项和为，且. (1)证明：数列是等比数列； (2)定义集合且，记的元素个数为，求； 16．（17分）如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，， 平面，是的中点，是的中点. (1)求证：平面； (2)若， ①求直线与平面所成角的正弦值； ②平面将四棱锥分成两部分，求较小部分的体积. 17．（17分）已知点，是圆与椭圆的公共点，且点M，N和椭圆的一个焦点相连构成一个等腰直角三角形． (1)求r的值和椭圆C的方程； (2)过点M的直线l分别交圆O和椭圆C于A，B两点．P是C上一点，直线MP斜率为m，直线NA斜率为n，，求面积的最大值． 18．（17分）定义：如果函数在定义域内，存在极大值和极小值，且存在一个常数，使成立，则称函数为极值可差比函数，常数称为该函数的极值差比系数．已知函数． (1)当时，判断是否为极值可差比函数，若是求极值差比系数，若不是说明理由； (2)是否存在使的极值差比系数为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)若，求的极值差比系数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $