7.3.1 离散型随机变量的均值 同步练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦离散型随机变量的均值，以“基础认知-性质应用-综合拓展”分层设计，通过选择、填空、解答题梯度巩固知识，培养运算能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|两点分布均值、直接求均值|选择填空考查定义与公式，如两点分布成功概率计算| |性质应用|均值性质理解|通过分布列计算考查E(aX+b)，强化推理能力| |综合拓展|实际情境中的分布列与期望|结合摸球、比赛情境设计解答题，发展模型意识与数据观念|

高中数学同步课时一课一练 第七章 随机变量及其分布 课时4 离散型随机变量的均值 相关知识点 1.一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X … P … 称为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． 2.均值的性质：若，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，则 3.两点分布的均值公式 一般地，如果随机变量服从两点分布，那么: 1 0 题型一 两点分布的均值 1．已知随机变量服从两点分布，，则其成功概率为（    ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 【答案】D 【分析】根据两点分布的期望即可求解. 【解析】随机变量服从两点分布，设成功的概率为， ． 故选:D． 2．已知随机变量X的取值为0，1，若，则X的均值为 . 【答案】/ 【分析】X服从两点分布，结合两点分布的均值公式，即可求解. 【解析】由题意可得，X服从两点分布， ， 故. 故答案为：. 题型二 求离散型随机变量的均值 1．若随机变量X的概率分布如下表： X 1 P 则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】直接由期望公式计算求解即可. 【详解】由题意可得. 故选：D 2．现有6件大小和外形都相同的零件，其中2件次品，4件正品，现随机从中一次性抽取2件，则抽到次品的件数的数学期望为 . 【答案】 【分析】根据题意，写出服从的分布列，根据分布列求其数学期望即可. 【详解】由已知的所有可能取值为：0,1,2； 则 所以． 故答案为：. 题型三 均值的性质 1.已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 2 4 7 A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由离散型随机变量分布列的性质可得，解得，故A错误，B正确; 由期望公式可得，故C正确; 错误. 故选：BC. 2.已知随机变量的分布列为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由分布列的性质求出的值，再利用期望公式和性质可求得结果. 【详解】由分布列的性质可得，解得， 所以， 故. 故选：D. 题型四 综合应用 1.一个不透明的口袋中装有3个红球、2个黄球和2个绿球，这些球除颜色外其他完全相同，现从这个口袋中一次性地摸出3个球. (1)求摸出的红球个数比黄球个数多的概率； (2)记摸出的球的颜色种类为，求的分布列与期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式和古典概率公式计算即可； （2）确定的所有可能取值为1，2，3，分别求出对应事件的概率，列出分布列，求出数学期望即可. 【详解】（1）由摸出的红球个数比黄球个数多，可知摸出的球可能为3个红球，可能为2个红球和1个黄球（或1个绿球），可能为1个红球和2个绿球， 其中摸出3个红球的概率为， 摸出2个红球和1个黄球（或1个绿球）的概率为， 摸出1个红球和2个绿球的概率为， 故摸出的红球个数比黄球个数多的概率为. （2）由题可知，的所有可能取值为1，2，3， ，，， 则的分布列为 1 2 3 故. 2.已知甲、乙进行围棋比赛，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为，每局无平局，每局比赛结果互不影响．比赛规则如下：若一方先获胜3局，则该方获胜，比赛结束． (1)求比赛四局结束的概率； (2)在前两局比赛甲获胜的条件下，再比赛局结束，求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【分析】（1）分甲获胜和乙获胜两种情况求解即可； （2）由题意可得的可能取值为，并求出相应的概率，进而求解其分布列及数学期望． 【详解】（1）当比赛四局结束时，若甲获胜，则甲第四场胜，前三场胜两场输一场， 则甲获胜的概率为； 当比赛四局结束时，若乙获胜，则乙第四场胜，前三场胜两场输一场， 则乙获胜的概率为， 故比赛四局结束的概率为. （2）由题意，的可能取值为， 当时，比赛结束，因为前两局甲获胜，故此局必为甲胜， 则； 当时，比赛结束，因为前两局甲获胜，故这两局中第一局乙胜，第二局甲胜， 则； 当时，比赛结束，因为前两局甲获胜，故这三局中，要么乙全部胜，要么乙胜前两局，甲胜最后一局， 则； 所以的分布列为 1 2 3 故． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $高中数学同步课时一课一练 第七章随机变量及其分布 课时4离散型随机变量的均值 相关知识点 1.一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X X 士3 P p P2 Pa 称E(X)=xP,+xP2+…+x,Pn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了 离散型随机变量取值的平均水平， 2.均值的性质：若Y=aX+b,其中a,b为常数，则Y也是随机变量，则 E(ax+b)=aE(X)+b 3.两点分布的均值公式 般地，如果随机变量X服从两点分布，那么：E(X)=1×p+0×(1-p)=p 1 0 P 1-p 题型一两点分布的均值 1.已知随机变量X服从两点分布，E(X)=0.6,则其成功概率为()》 A.0.3 B.0.4 C.0.5 D.0.6 2.己知随机变量X的取值为0,1，若P(X=0)=5,则X的均值为 题型二求离散型随机变量的均值 1.若随机变量X的概率分布如下表： X 一1 1 心 25 35 则E(X)=(） A.1 B.青 C. D. 2.现有6件大小和外形都相同的零件，其中2件次品，4件正品，现随机从 中一次性抽取2件，则抽到次品的件数的数学期望为 题型三均值的性质 1.已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则() 2 X 7 1-2 9 2q A9月 B.g=6 C.E(X)=4 D.E(2-3X）=10 2.己知随机变量X的分布列为P(X=i)=音(i=1,2,3),则E(aX+4)= () A.10 B.12 C.14 D.18 题型四综合应用 1.一个不透明的口袋中装有3个红球、2个黄球和2个绿球，这些球除颜色 外其他完全相同，现从这个口袋中一次性地摸出3个球 (1)求摸出的红球个数比黄球个数多的概率； (2)记摸出的球的颜色种类为，求X的分布列与期望 2.已知甲、乙进行围棋比赛，甲每局获胜的概率为，乙每局获胜的概率为 ,每局无平局，每局比赛结果互不影响.比赛规则如下：若一方先获胜3局， 则该方获胜，比赛结束。 (1)求比赛四局结束的概率； (2)在前两局比赛甲获胜的条件下，再比赛X局结束，求X的分布列与数学期 望