7.3.1 离散型随机变量的均值-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册同步辅导与测试(人教A版)

数学 选择性必修第三册 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.(多选)已知随机变量X的分布列如下表（其中a:3.若离散型随机变量X的分布列为P(X=k)= 为常数)： +1(1≤≤7，k∈Z,则P(2<X≤5)=（) alog2k 2 3 P 0.1 0.2 0.4 0.2 A.4 R号 则下列计算结果正确的有 5 A.a=0.1 c B.P(X≥2)=0.7 4.设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱 C.P(X≥3)=0.4 中任取两条，当两条棱相交时，=0：当两条棱平 D.P(X≤1)=0.3 行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面 2.已知离散型随机变量X的分布列服从两点分布，： 时，=1，则随机变量ξ的分布列为 且P(X=0)=3-4P(X=1)=a,则a=( 5.设随机变量X的分布列P(X=)=会(：=1,2， ) A.3 B.2 3),则P(X≥2)= 1 C. 1 D.4 温馨提示 请做课时分层检测（十二） 7.3.1 离散型随机变量的均值 【素养要求】通过研究离散型随机变量的分布列及均值，发展数学抽象及数据分析素养. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 离散型随机变量的均值 则其均值E(X)的值为 ( 1.离散型随机变量的均值的概念 A.2.4 B.1.9 C.1.5 D.1.4 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 2.随机变量X的概率分布为 T2 2 P P2 P 0.4 0.3 0.3 则称E(X)= =空xp,为随机 则E(5X+4)等于 A.11 B.15 C.35 D.39 变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机 变量取值的平均水平 :3.已知X的分布列为 2.离散型随机变量均值的性质 -1 0 2 若X与Y都是随机变量，且Y=aX+b,则E(Y) 2 3 [即学即练] 且Y=2X十1，则Y的数学期望E(Y)= 1.随机变量X的分布列为： 4.随机抛掷一枚骰子，则所得骰子点数ξ的均值为 0.5 0.2 36 第七章随机变量及其分布 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 题点一离散型随机变量均值的性质及应用 :2.已知随机变量ξ和7，其中7=12ξ十7，且 [典例](1)随机变量X的分布列如表，则E(5X: E(7)=34,若的分布列如表所示，则m的值为 十4)= 0 4 0.3 0.2 0.5 1 4 72 12 A.16 B.11 C.2.2 D.2.3 (2)某射手射击所得环数的分布列如表： A B c D.g 7 8 9 10 题点二两点分布的均值 Px0.1 0.3 y [典例门某运动员投篮命中率为=0.6，求投篮1 已知ξ的均值E()=8.9,则y的值为 次时命中次数X的均值。 听课记录 听课记录 /方法技巧/ 两点分布的均值 /方法技巧/ 若随机变量X服从两点分布，则其分布列为 与离散型随机变量均值的性质有关问题的解题 0 思路 1一p 若给出的随机变量ξ与X的关系为=aX十b, a,b为常数.一般思路是先求出E(X),再利用 ∴.E(X)=p: 公式E(aX十b)=aE(X)十b求E().也可以利 对点训练 用X的分布列得到的分布列，关键是由X的 取值计算ξ￡的取值，对应的概率相等，再由定义 在掷一枚图钉的随机试验中，令X= 法求得E(). 1,针尖向上， 0,针尖向下. 如果针尖向上的概率为，那么 对点训练 试写出随机变量X的分布列并求其均值. 1.设的分布列为 1 2 3 4 6 又设=2十5，则E(7)等于 A. 号 D32 3 37 数学选择性必修第三册 题点三离散型随机变量均值的应用 : 对点训练 [典例]某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发 新产品成功的概率分别为号和现安排甲组研 随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中 有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次 发新产品A,乙组研发新产品B.设甲、乙两组的 品4件.已知生产1件一、二、三等品获得的利润 研发相互独立. 分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2 (1)求至少有一种新产品研发成功的概率； 万元，设1件产品的利润（单位：万元）为X. (2)若新产品A研发成功，预计企业可获利润 (1)求X的分布列： 120万元；若新产品B研发成功，预计企业可获： (2)求1件产品的平均利润（即X的均值）； 利润100万元.求该企业可获利润的分布列与 (3)经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品 均值. 率降为1%，一等品率提高为70%.若此时要求1 听课记录 件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品 率最多是多少？ /方法技巧/ 求离散型随机变量的均值的一般步骤 (1)确定取值：理解随机变量的意义，写出随机 变量的所有可能的取值； (2)求概率：计算出P(X=k); (3)写分布列：写出X的分布列： (4)求均值：利用E(X)的计算公式计算E(X). 其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的 关键所在 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.某市教育厅宣布，为应对高考、中考期间高温天 当周的利润（单位：元）.则当周的平均利润为 气，给学生创造舒适的考场环境，全部地市将在： ( 中考、高考考场安装空调.某商场销售某种品牌： A.10000元 B.9400元 的空调器，每周初购进一定数量的空调器，商场 C.8800元 D.9860元 每销售一台空调器可获利500元，若供大于求， :2.在一次射击训练中，每位士兵最多可射击3次， 则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不 应求，则可从其他商店调剂供应，此时调剂的每： 一旦命中目标，则停止射击，否则一直射击到3 台空调器仅获利润200元.该商场记录了去年夏 次为止.设士兵甲一次射击命中目标的概率为 天（共10周）空调器需求量n(单位：台)，整理如 p(0<p<1),射击次数为X,若X的数学期望 表所示： E(X)> 4,则力的取值范围是 周需求量 18 19 20 21 22 频数 1 3 以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发 生的概率，若商场周初购进20台空调器，X表示 c》 .合 38 第七章随机变量及其分布 3.甲、乙两工人在同样的条件下生产某产品，两人：4.某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览 的日产量相等，每天生产出废品的情况如表 这三个景点的概率分别是0.4,0.5,0.6，且此人 所示： 是否游览哪个景点互不影响，设X表示客人离开 工人 甲 乙 该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之 废品数 0 2 3 0 差的绝对值，则E(X)等于 ( 3 概率 0.40.30.20.10.30.50.2 0 A.1.48 B.0.76 C.0.24 D.1 则下列结论正确的是 ( A.甲的产品质量比乙的产品质量好一些 5.随机变量X的取值为0,1,2，若P(X=0)= B.乙的产品质量比甲的产品质量好一些 E(X)=1,则P(X=1)= C.两人的产品质量一样好 温馨提示 请做课时分层检测（十三） D.无法判断谁的产品质量好一些 7.3.2 离散型随机变量的方差 【素养要求】通过研究离散型随机变量的方差，发展数学抽象及数据分析素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.离散型随机变量的方差、标准差 :[即学即练] 设离散型随机变量X的分布列如下表所示， 1.判断正误 X … (1)离散型随机变量的方差越大，随机变量越 p2 稳定 (2)若a是常数，则D(a)=0. ( 则称D(X)=(知一E(X)21十(.2一E(X)22十… (3)离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离 +u,-E(X)Ph,=2(x-EX)PA为随机变量 于期望的平均程度. X的方差，有时也记为Var(X),并称D(X)为：2.已知随机变量X的分布列为 随机变量X的标准差，记为σ(X) X -1 0 1 2.方差与标准差的意义 0.5 0.3 0.2 (1)离散型随机变量的方差和标准差反映了随机： 则D(X)等于 变量取值偏离于均值的平均程度， A.0.7 B.0.61 C.-0.3D.0 (2)离散型随机变量的方差越小，随机变量越 :3.D(X-D(X))的值为 稳定 A.无法求 B.0 (3)方差与期望之间的关系： C.D(X) D.2D(X) D(X)=E(X2)-[E(X)]2. :4.已知X的分布列为 3.离散型随机变量方差的性质 (1)设a,b为常数，则D(aX十b) X -1 0 (2)D(c)=0(其中c为常数) 1 1 1 P 4.服从两点分布的随机变量的方差 3 6 若X服从两点分布，则D(X)= (其中饣： 若)=2X+2,则D(7)的值为 为成功概率). 39对点训练 14.3.5[抛掷骰子所得点数的分布列为 解(1)X的可能取值为0,1,2,3. 1 2 3 4 56 X=0表示取5个球全是红球： X=1表示取1个白球，4个红球： X=2表示取2个白球，3个红球： X=3表示取3个白球，2个红球. 所以，E()=1× +2× -十3X6 +4× +5×日 十6× (2)X的可能取值为3,4,5. X=3表示取出的球编号为1,2,3. 1+2+3+4+5+6)×合=3.5.] X=4表示取出的球编号为1,2,4；1,3,4或2,3,4. X=5表示取出的球编号为1,2,5：1,3,5：1,4,5：2,3,5：2,4,5或3， :关键能力·合作探究 !题点一 4,5. 1典例解析(1)由题意得E(X)=0×0.3十2×0.2十4×0.5=2.4， 素养演练·提升技能 故E(5X十4)=5E(X)十4=5×2.4十4=16.故选A. 1.ABD[因为0.1十0.2十0.4十0.2十a=1,解得a=0.1,故A正确：由分 布列知P(X≥2)=0.4十0.2十0.1=0.7，P(X≥3)=0.2+0.1=0.3， (2)依题意得+0.1+0.3+y=1, 17x+0.8+2.7+10y=8.9, P(X≤1)=0.1十0.2=0.3，故B、D正确，C错误.] 2.C[因为X的分布列服从两点分布，所以P(X=0)十P(X=1)=: 即{行04好特0 (y=0.4. 1,因为P(X=0)=3-4P(X=1)=a,所以P(X=0)=3-4[1一{ 答案(1)A(2)0.4 P(X=0]PX=0)=号a=子] !对点训练 &.c[国为Px=利=abs史-g:+)-bs:aS≤，1.D[E=1x专+2x言+3X号+x号g, k∈Z),P(X=1)十P(X=2)+…十P(X=7)=-1,所以a(Iog22- )=2+5=2(0+5=2x号+5=号J 16g1+og3-b:2++6:8-16g7)=3a=1,解得a=号，所2.A用为12+7，)=34. 则E()=12E()十7， 以P(2<X≤5)=P(X=3)十P(X=4)十P(X=5)= 中列=12×1X号+2Xa+3Xa+4X合)+1=34 所以2m十3a=号，0 4.解析的可能取值为0,1，√2. 若两条棱相交，则交点必在正方体的项点处，过任意一个顶点的棱 又+十叶立=1，所以十号，@ 有3条， 由①②，解得m= mgo)是立 号] 题点二 若两条棱平行，则它们的距离为1或√2，而距离为√2的共有6对， !典例解法一 投篮1次，命中次数X的分布列为 期是 0 1 P 0.40.6 于是P(=1)=1-P(=0)-P(=√2)=1- 则E(X)=0×0.4+1×0.6=0.6. 所以随机变量：的分布列为 法二由题意，命中次数X服从两点分布， 0 1 √2 ∴.E(X)=p=0.6. :对点训练 P 6 11 11 了 解根据分布列的性度，针尖向下的概率是1一子-子 答案 则随机变量X的分布列为 0 X 4 5 5 5. [因为P(X=i)= 2(i=1,2,3),可得长十 2 =0，解得EX)=0×号+1X号-号 222 !题点三 k=号，因比P(X≥2》=PX=2)十PX=3》=宁十g=号，故典例解记E=甲组环发新产品成动，F=(乙组牙发新产品成 3 答案为号 功由题设知P(E)=号P(E)=子，P(F)=是，PF)=号，且 7.3.1离散型随机变量的均值 事件E与F,E与F,E与F,E与F都相互独立. 必备知识·自主梳理 (1)记H={至少有一种新产品研发成功}，则H=EF,于是P(H)= 1.x1p1十2p2十…+xp;+…+xnpn2.aE(X)+b 即学即练 1.D[由分布列的性质，得m=0.3,由均值的定义，得E(X)=一1×： 故所求的概率为P(D)1-PH)=1是号 0.5+3×0.3+5×0.2=1.4.] (2)设企业可获利涧为X万元，则X的可能取值为0,100,120,220. 2.B[由题意得E(X)=1×0.4十2×0.3+4×0.3=2.2，所以E(5X+4)! =5E(X)+4=5×2.2+4=15,故选：B] 图为PX=0)=P(EF)=×号- [徐题意，E(X)=-1X号+0×+2×号-又Y- 4 3. 2X+1,故E(Y)=2E(X)+1=子故答案为： pX=120)=P(EF)=号×号- 166 P(X=220)=P(EF)=2X 3 3. 故所求X的分布列为 4.2 2[B(x0=-1X+0X号+1=号 0 100 120 220 D(X)= 合×(1+号)+子×(+号)广+合×(+号)广 15 gtDx0=2×吾-9] 均值为E(X)=0X5 +100× +120×15 关键能力·合作探究 +220× 5 =140. 题点一 对点训练 解(1)X的所有可能取值有6,2,1，一2， 典例解析由题意知，E(X)=-1×十0X号+1×-一子 P(X=6)=26=0.68. 200 数Dx)=（1+安)广×合+(+宁)×号+(+号)）× P(X-2)品-5， 吉-号D0)=D2x+2)=4D0=4X号-9 px=D2品-a.1. 答案D :对点训练 4 P(X=-2)=200=0.02, CD[因为0.2十m=1,所以m=0.8,由两点分布，知E(X)=0.8, D(X)=0.8X0.2=0.16.因为Y=aX十b(a,b∈R),E(Y)=10, 故X的分布列为 D(Y)=4,所以aE(X)十b=0.8a十b=10,a2D(X)=0.16a2=4,解 6 2 1 -2 之得a=5,b=6或a=-5,b=14.」 题点二 P 0.63 0.25 0.1 0.02 (2)E(X)=6×0.63+2×0.25+1×0.1+(-2)×0.02=4.34(万元). 典例解析（①由题意知，(X0=1X+2×号+3×+4× (3)设技术革新后的三等品率为工，则此时]件产品的平均利润为！ 2 E(X)=6×0.7十2×(1-0.7-0.01-x)+1×x十(-2)×0.01= 器故Dx)=(登)×+（器）×+()× 4.76-x(0x0.29), 29 依题意，知E(X)≥4.73，即4.76-x≥4.73， (2)依题意知，X服从两点分布，所以D(X)=0.8X(1一0.8)=0.16. 解得x≤0.03，所以三等品率最多为3%. 答案(1)C(2)0.16 素养演练·提升技能 ·对点训练 1.D[当n≥20时，X=500×20+200×(n-20)=200n+6000,当 ≤19时，X=5000(20)=6001”200,射可知X的可能1.D[由题意知E()=0X1号+1X号+2×号=+号 2 取值为8800,9400,10000,10200,10400，∴.P(X=8800)=0.1, P(X=9400)=0.2,P(X=10000)=0.3,p(X=10200)=0.3, )=[-(+])x学+-(+])x+ P(X=10400)=0.1,E(X)=0.1×8800十0.2×9400十0.3× 10000+0.3×10200十0.1×10400=9860（元）.] [2-(+2])×号 2.C[依题意X的可能取值为1,2,3，P(X=1)=p,P(X=2)=(1 p)p,P(X=3)=(1-p)2,.E(X)=p+2(1-p)p+3(1-p)2= (+)广×2+()x安+(2-)×名 g-30十8>子，解得B<号或p>吾又0<<1，所以0<p< ++=-(0合）广+号 之.故选C] ∴D)在(0，受)上递增，在（受1）上递减，即当力在(01）内增 3.B[由题知，甲生产废品的期望是0×0.4十1×0.3十2×0.2十3× 大时，D()先增大后减小，] 0.1=1,乙生产废品的期望是0×0.3十1×0.5十2×0.2十3×0= :2.D[随机变量的分布列为 0.9,所以甲生产废品的期望大于乙生产废品的期望，故乙的产品质 0 量比甲的产品质量好一些，故选B.」 P 一77 4.A[X的可能取值为1,3，X=3表示这三个景点都游览了或都没 有游览，所以P(X=3)=0.4×0.5×0.6十0.6×0.5×0.4=0.24,1 .E()=0×(1-m)十1×m=. P(X=1)=1-0.24=0.76, .D()=(0-m)2×(1-m)十(1-m)2×m=m(1-m).] 所以X的分布列为 题点三 典例解E()=0×0.7+1×0.2十2×0.06+3×0.04=-0.44， E(2)=0×0.8十1×0.06十2×0.04+3×0.10=0.44. 0.760.24 它们的期望相同，再比较它们的方差。 所以E(X)=1×0.76+3×0.24=1.48.故选A.] D(6)=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2×0.06+ 3 1 (3-0.44)2×0.04=0.6064, 5.6 [设P(X=1)=p:国为P(X=0)=号，B(X)=1,故0X D()-(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2× 1×p+2×(1-号-p）=1,即p计号-2p=1,解得p=号] 0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264. 因为D()<D(2),所以A机床加工零件较稳定，质量较好 7.3.2离散型随机变量的方差 :对点训练 必备知识·自主梳理 解(1)由离散型随机变量的分布列的性质可知 3.a2D(X)4.p(1-p) a+0.1+0.6=1,∴.a=0.3. 即学即练 同理0.3十b十0.3=1，∴.b=0.4. 1.(1)×(2)√(3)/ (2)E()=1×0.3十2×0.1+3×0.6=2.3 2.B[E(X)=-1×0.5+0×0.3+1×0.2=-0.3, E(7)=1×0.3+2×0.4+3×0.3=2, .D(X)=(-1+0.3)2×0.5+(0+0.3)2×0.3+(1+0.3)2×1 D()=(1-2.3)2×0.3+(2-2.3)2×0.1+(3-2.3)2×0.6= 0.2=0.61.] 、 0.81, 167