7.3.1 离散型随机变量的均值 同步练习-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.3.1 离散型随机变量的均值 同步练习 解答 细目表 南宁市第三中学 命题教师：陶新军 一、单选题 1．从一批含有8件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则（    ） A．2 B．1 C．3 D．4 2．篮球比赛中每次发球命中得1分，不中得0分.已知某运动员罚球命中率为0.7，则他一次罚球得分的期望为（   ） A．0.3 B．0.7 C．0.49 D．0.21 3．2024年5月中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》（5枚）、《鄱阳湖》（3枚）、《洞庭湖》（4枚）后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖.现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为，则（    ） A． B． C．1 D． 4．设随机变量的分布列如下表格，且随机变量的数学期望，则（    ） 0 1 2 A． B． C． D． 二、多选题 5．已知随机变量的分布列为 1 2 3 下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．袋内有大小完全相同的2个黑球和3个白球，从中不放回地每次任取1个小球，直至取到白球后停止取球，则（    ） A．抽取2次后停止取球的概率为 B．停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为 C．取球次数ξ的期望为2 D．取球3次的概率为 7．一个口袋中有大小相同的2个白球和4个黑球，从中随机取出3个球，记取出的黑球个数为，则下列结论正确的是（    ） A．的可能取值为0，1，2，3 B． C． D． 三、填空题 8．已知离散型随机变量的概率分布如下表，则其数学期望 __________； P 9．已知随机变量X的分布列为： X 1 2 3 4 P p 其中，随机变量X的期望为，则当取得最小值时，_________． 10．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用表示4人中的团员人数，则＝________；＝________． 四、解答题 11．某品牌专卖店准备在国庆期间举行促销活动.根据市场调查，该店决定从2种不同型号的洗衣机､2种不同型号的电视机和3种不同型号的空调中（不同种商品的型号不同），选出4种不同型号的商品进行促销，该店对选出的商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格提高150元，同时，若顾客购买任何一种型号的商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得元奖金.假设顾客每次抽奖时获奖概率都是. (1)求选出的4种不同型号商品中，洗衣机､电视机､空调都至少有1种型号的概率； (2)设顾客在3次抽奖中所获得的奖金总额（单位：元）为随机变量X，请写出X的分布列，并求X的均值； (3)该店若想采用此促销方案获利，则每次中奖奖金要低于多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《7.3.1 离散型随机变量的均值 同步练习 解答 细目表 》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D B A D ABC BD BC 1．D 【分析】根据题意，得到变量的取值分别为，求得相应的概率，得到,再结合，即可求解. 【详解】由题意，随机变量的取值分别为， 可得； ， 所以,可得. 故选：D. 2．B 【分析】要求罚球1次得分的期望，需要先确定得分的所有可能取值以及对应的概率，然后根据期望的计算公式来求解. 【详解】设该运动员一次罚球的得分为随机变量，的取值为1和0， 已知罚球命中得分，命中概率为0.7，所以时的概率. 罚球命不中得分，那么命不中的概率就是，即时的概率. 根据期望的计算公式（这里是随机变量的取值，是对应取值的概率）. 对于本题，只有和两个取值，所以. 故他罚球次得分的期望为0.7. 故选：B. 3．A 【分析】利用超几何分布概率公式，分别求出，再求. 【详解】依题意，的可能取值有0，1，2. 则，，， 则. 故选:A. 4．D 【分析】利用分布列性质以及期望值性质计算可得结果. 【详解】易知，解得； 因此. 故选：D 5．ABC 【分析】先应用概率和为1得出，再计算数学期望，利用期望的性质判断各个选项. 【详解】由，得，故A正确； 则故B正确； 因，故C正确； 因故D错误. 故选：ABC. 6．BD 【分析】根据离散型随机变量的分布列,求出随机变量的所有可能取值以及对应的概率,即可求解. 【详解】设 为取球的次数,则可取1,2,3,故可知 ， ， ， 对于A，抽取2次后停止取球的概率为：，故A错误； 对于B，停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为：故B正确； ，故C错误； 取球三次的概率为，故D正确. 故选:BD 7．BC 【分析】由题可知服从超几何分布，且，，，，，即可判断选项A；根据离散型随机变量分布列概率的性质即可判断选项B；超几何分布的均值公式即可判断选项C；由离散型随机变量均值的性质即可判断选项D. 【详解】由题可知服从超几何分布，且，，，，. 易知的可能取值为1，2，3，故选项A错误； ，故选项B正确； 由，，，结合超几何分布的均值公式可得，故选项C正确； 由离散型随机变量均值的性质可得，故选项D错误. 故选：BC. 8． 【分析】根据分布列的性质，求得，求得，结合，即可求解. 【详解】由分布列的性质，可得，解得， 所以，则. 故答案为：. 9． 【分析】根据随机变量的均值计算公式可得，利用导数研究 的单调性，进而即可得出结果. 【详解】由题意得， ， 令，则， 令，令， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得最小值， 即当时取得最小值. 故答案为：. 10． 2 【分析】根据题设知服从超几何分布，再利用超几何分布的分布列和性质即可求出结果. 【详解】依题意服从参数为的超几何分布， 所以，. 故答案为：，2 11．(1)； (2)分布列见解析，均值为； (3)100元 【分析】（1）由组合计数及古典概型直接计算概率即可； （2）列出的所有可能取值，分别计算所对应的概率，列出分布列，求出均值即可； （3）结合（2）中的均值，由求解即可. 【详解】（1）设选出的4种不同型号商品中，洗衣机､电视机､空调都至少有1种型号为事件，则； （2）的所有可能取值为，， ，则分布列如下： 则X的均值为； （3） 若想采用此促销方案获利，应使顾客获奖奖金总额低于商场的提价数额，则，即，故每次中奖奖金要低于100元. 考查范围：7.3.1 离散型随机变量的均值 双向细目表 题号 难度 知识点 一、单选题 1 容易 求离散型随机变量的均值 2 较易 两点分布的均值 3 适中 超几何分布的均值 4 适中 均值的性质 二、多选题 5 较易 均值的性质,由离散型随机变量的均值求参数 6 适中 求离散型随机变量的均值 7 较难 两点分布的均值,超几何分布的均值 三、填空题 8 容易 均值的性质 9 适中 由离散型随机变量的均值求参数 10 较难 超几何分布的均值 四、解答题 11 较难 超几何分布的均值,均值的性质,由离散型随机变量的均值求参数 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $