精品解析：江苏南京市第一中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试题

南京一中2025-2026学年第二学期期中考试 高二数学 2026.5 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的解析式得到不等式组，求解不等式组即可. 【详解】根据题意有：，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：C 2. 若，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】举例说明判断ACD；利用不等式性质推理判断B. 【详解】对于A，令，满足，而，A错误； 对于B，由，得，，则，B正确； 对于CD，令，满足，而，，CD错误. 故选：B 3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可. 【详解】对于A，因为在上单调递增，所以在上单调递减，故A错误； 对于B，因为在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减，故B错误； 对于C，因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递增，故C正确； 对于D，因为，， 显然在上不单调，D错误. 故选：C. 4. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合正态分布的对称性可得答案. 【详解】因为随机变量服从正态分布，即， 所以. 故选：B. 5. 已知，则“”是“与相互独立”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率公式、独立事件的乘法公式可分析命题之间的充要性. 【详解】， ，即与相互独立； 若与相互独立，则， ， 综上，“”是“与相互独立”的充要条件. 故选：C. 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 令，得到，所以. 7. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（ ） A. 24 B. 54 C. 72 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】安排方案可分3步完成，第一步先安排乙，再安排甲，最后安排其他同学完成，由分步乘法原理求满足条件的方案数. 【详解】满足要求的方案可分3步完成，第一步先安排乙，乙可以排在第2,3,4位，有3种安排方法，第二步安排甲，有3种安排方法，第三步再安排其他同学，有种安排方法，由分步乘法原理满足条件的安排方法有54种. 8. 已知函数为上的奇函数，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据奇函数性质及迭代法求出且时，，然后结合组合数的概念，利用二项式系数的性质求解即可. 【详解】函数为上的奇函数，，且， 所以当且时，，，所以， 所以， 所以 . 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据是公差不为零的等差数列，若去掉首末两项，则（ ） A. 平均数不变 B. 中位数不变 C. 方差不变 D. 极差变小 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合等差数列的性质，由平均数，中位数，方差以及极差的计算公式，逐一检验，即可得到结果. 【详解】对于A，的平均数为， 若去掉首末两项，则平均数为，故A正确； 对于B，的中位数为，若去掉首末两项， 则中位数为，故B正确； 对于C，设公差为，则，的平均数为， 则方差为 ， 若去掉首末两项，平均数为， 方差为 ， 因为，所以，故C错误； 对于D，设公差为，则，的极差为， 的极差为，因为，所以， 极差变小，故D正确. 故选：ABD. 10. 在正方体中，点，分别为棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，已知此截面是一个多边形，则（ ） A. 为梯形 B. 为五边形 C. 平面 D. 平面 【答案】BD 【解析】 【分析】以为原点建立边长为的空间直角坐标系确定各已知点坐标，确定截面形状后判断AB，通过空间向量的垂直关系判断C，通过 可判断D. 【详解】 如上图所示，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为，则各点坐标为: 选项A：延长交于点，交于， 连接交于，连接交于， 则共面， 由上图可知，截面是一个五边形，而非梯形，选项A错误，B正确； 选项C：若平面，则与平面中的每一条直线都是垂直的， ，， 此时，则与平面并不垂直，选项C错误； 选项D：由三角形中位线定理可知，平行于，且， 又因为平面，而平面，所以平面，选项D正确. 11. 数字1，2，3，4，5，6按如图形式随机排列，设第一行的数为，第二、三行中的最大数分别为，第二、三行中的最小数分别为，则（ ） A. 排列总数为720个 B. 的概率为 C. 的概率为 D. 满足的排列有120个 【答案】ABC 【解析】 【分析】A全排列即可；B利用排列组合知识求出所有情况，再结合古典概型的概率公式；C计算满足的所有情况；D根据分、、三种情况讨论. 【详解】共有种排法，故A正确； 若，则可取，共有种排法， 则的概率为，故B正确； 现讨论的所有情况， 若，则第三行其余两数从中选取，，，共有种； 若，则第三行其余两数是，共有种， 则的概率为，故C正确； 若，则，，， 若，则先将安排下去，再排列其他元素，共有种； 若，则在第三行，先另选一个元素与共同排在第三行，再安排元素，最后排列其他元素即可，共有种； 若，则须在第三行，共有种； 则满足的排列有个，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线是曲线的一条切线，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解. 【详解】设切点为， 由于，则，解得， 于是切点为，则，解得． 13. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动3次，设质点最终所在位置的坐标为X，则___________ 【答案】0 【解析】 【分析】确定的所有可能取值，再分别计算每个取值的概率，最后根据期望公式计算. 【详解】因为质点从出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动次，所以质点最终所在位置的坐标的可能取值为，，，. 表示质点次都向左移动，每次向左移动的概率为，由于每次移动是相互独立事件，根据独立事件同时发生的概率公式可得.  表示质点次移动中有次向左移动，次向右移动，从次移动中选次向左移动的组合数为，每次向左移动的概率为，每次向右移动的概率也为， 所以.  表示质点次移动中有次向右移动，次向左移动，从次移动中选次向右移动的组合数为每次向右移动的概率为，每次向左移动的概率为， 所以.  表示质点次都向右移动，每次向右移动的概率为，所以.  所以 故答案为：. 14. 随机将1，2，…，8这8个连续正整数分成A，B两组，每组4个数，记表示A组中最大的数与最小的数之和，表示B组中最大的数与最小的数之和．则______． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再求出且的概率，最后根据条件概率的计算公式可求. 【详解】1，2，…，8这个数中两个数和为9共有4种情况：， 不可能作为组中最大的数与最小的数，也不可能作为组中最大的数与最小的数， 故当4个不同的数中最大数与最小数和为时，最大数、最小数可为， 故，而且的概率为 故， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式化简集合A，进而可求交集； （2）分析可知，结合包含关系列式求解即可. 【小问1详解】 因为集合， 若，则集合，所以. 【小问2详解】 若“”是“”的充分条件，可知， 且集合，， 则，解得， 所以的取值范围是． 16. 中国是茶的故乡，茶文化源远流长，博大精深.某兴趣小组，为了了解当地居民对喝茶的态度，随机调查了100人，并将结果整理如下： 不喜欢喝茶 喜欢喝茶 合计 35岁以上（含35岁） 30 30 60 35岁以下 25 15 40 合计 55 45 100 （1）是否有90%的把握认为该地居民喜欢喝茶与年龄有关？ （2）以样本估计总体，用频率代替概率.该兴趣小组在当地喜欢喝茶的人群中，随机选出2人参加茶文化艺术节.抽取的2人中，35岁以下的人数记为，求的分布列与期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）没有90%的把握认为该地居民喜欢喝茶与年龄有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据列联表计算得出的值即可得出结论； （2）易知的所有取值可能为0，1，2，分别计算出对应概率可得分布列及其期望值. 【小问1详解】 零假设为：该地居民喜欢喝茶与年龄没有关系. 根据列联表中的数据，可以求得. 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为成立， 即没有90%的把握认为该地居民喜欢喝茶与年龄有关. 【小问2详解】 的取值可能为0，1，2. 则；；. 所以的分布列为： 0 1 2 所以的期望为. 17. 已知函数，为的导函数 （1）求的单调增区间； （2）记，.当时，证明：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，由求解即可； （2）令，通过求导，确定最值即可证明. 【小问1详解】 . 令，得， 得， 因此单调递增区间为. 【小问2详解】 ，记. 由题意知，则， 从而. 当时，，，则， 因此，在区间上单调递减，. 当时， . 18. 如图，在三棱锥中，为正三角形，是棱的中点，，，． （1）证明：； （2）点满足，且平面 （i）求的值； （ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见详解 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用几何性质求出PD、CD的长，利用勾股定理可得，再结合线面垂直的性质即可证明； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，（i）根据求出E点的坐标，再求出平面PAE的法向量，结合平面即可求出的值；（ii）进一步求出PBC的法向量，利用空间向量法即可求解． 【小问1详解】 已知，， 由勾股定理得， 又是AB中点，且由题意得为等腰直角三角形，故，且， 在正中，是AB中点，故，且， 在中，有，故， 又，且平面PAB，故平面PAB， 又平面PAB，因此． 【小问2详解】 （i）由（1）可知，PD、CD、AB三者之间两两互相垂直， 所以以为原点，建立空间直角坐标系，如下图所示， 由题意及（1）可得，，，，， 所以，，， 由，得，又，， 设平面PAE的法向量为，则可得， 解得（*），因为平面PAE，所以， 即，联立（*）可解得． （ii）由前述可知，所以对于平面PAE的法向量为， 有，令，则， 设平面PBC的法向量为，又， 则，可得，令，则， 所以两平面夹角的余弦值． 19. 一个微生物在如图所示方格的培养皿中随机移动，每次均以相等概率移动到相邻的方格．方格是初始位置，是营养丰富的角落，每次到达方格时，微生物进行一次繁殖．记该微生物第次繁殖时所经过的总移动步数为． （1）求； （2）求； （3）求． 参考公式： 1．若，对于，则； 2．若是离散型随机变量，则． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据事件的概率公式计算得到结果； （2）解法1，先根据题意分析得到，结合期望公式和错位相减法计算得到结果；解法2，根据期望的性质计算得到答案； （3）根据期望的性质公式计算得到结果； 【小问1详解】 微生物经历奇数次移动必然到达区域，之后有的概率到达区域，有的概率到达区域， 微生物在区域或者区域时，下一步必然到达区域． 【小问2详解】 解法1：微生物第1次到达区域所经历的步数必然为：， 若微生物经历次移动第1次到达区域，则前面步必然在区域与区域之间移动， 且最后2步是由区域到区域，接着到达区域，于是 ，则 不妨设， 于是 则 化简可得，， 由题意可知， ，所以； 解法2：由微生物在2次移动后，有的概率经过区域到达区域， 有的概率经过区域回到区域， 于是， 解得， ； 【小问3详解】 解法1：初始位置时微生物第次到达区域累计移动次数为， 设初始位置时微生物第次到达区域累计移动次数为， 初始位置为时粒子第次到达区域累计移动次数为（初始位置不记为到达）， 当时，于是：， 即， 化简有，又由，有 ， 即， 又由，于是． 解法2：不妨设微生物从区域出发，第一次到达区域，需要的次数为随机变量，当时，， 微生物由区域出发第1次到达区域所经历的步数必然为：， 若微生物经历次移动第1次到达区域，则前面步必然在区域与区域之间移动， 且最后2步是由区域到区域，接着到达区域，于是 ，则， 由（2）知 于是 又由，于是． 解法3：当时，易知微生物第次到达区域所经历的步数可能为： ， 当微生物通过步第次到达区域时，前面的步中， 在奇数步中，必然到达区域，偶数步中，有次到达区域，对应的概率为， 且最后2步移动以的概率回到． 于是，则 不妨记 于是 则， 又由，于是， 则． 又由时也符合上式，于是对于均有． 说明：视每2次移动为1次实验，易知1次实验中，必然有1次到达，有1次到达或者．即每次实验有的概率到达，有的概率不到达．于是为使到达事件次，平均需要进行实验次，于是需要移动次． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京一中2025-2026学年第二学期期中考试 高二数学 2026.5 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，在区间上单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则“”是“与相互独立”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某项竞赛，决出了第一名到第五名的5个名次.甲、乙两人去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军.”对乙说：“你当然不会是最差的.”从组织者的回答分析，这五名同学的名次排列的种数为（ ） A. 24 B. 54 C. 72 D. 120 8. 已知函数为上的奇函数，，且，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知一组数据是公差不为零的等差数列，若去掉首末两项，则（ ） A. 平均数不变 B. 中位数不变 C. 方差不变 D. 极差变小 10. 在正方体中，点，分别为棱，的中点，过，，三点作该正方体的截面，已知此截面是一个多边形，则（ ） A. 为梯形 B. 为五边形 C. 平面 D. 平面 11. 数字1，2，3，4，5，6按如图形式随机排列，设第一行的数为，第二、三行中的最大数分别为，第二、三行中的最小数分别为，则（ ） A. 排列总数为720个 B. 的概率为 C. 的概率为 D. 满足的排列有120个 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线是曲线的一条切线，则___________． 13. 如图，一个质点在随机外力的作用下，从0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动3次，设质点最终所在位置的坐标为X，则___________ 14. 随机将1，2，…，8这8个连续正整数分成A，B两组，每组4个数，记表示A组中最大的数与最小的数之和，表示B组中最大的数与最小的数之和．则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合． （1）若，求； （2）若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围． 16. 中国是茶的故乡，茶文化源远流长，博大精深.某兴趣小组，为了了解当地居民对喝茶的态度，随机调查了100人，并将结果整理如下： 不喜欢喝茶 喜欢喝茶 合计 35岁以上（含35岁） 30 30 60 35岁以下 25 15 40 合计 55 45 100 （1）是否有90%的把握认为该地居民喜欢喝茶与年龄有关？ （2）以样本估计总体，用频率代替概率.该兴趣小组在当地喜欢喝茶的人群中，随机选出2人参加茶文化艺术节.抽取的2人中，35岁以下的人数记为，求的分布列与期望. 参考公式：，其中. 参考数据： 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 17. 已知函数，为的导函数 （1）求的单调增区间； （2）记，.当时，证明：. 18. 如图，在三棱锥中，为正三角形，是棱的中点，，，． （1）证明：； （2）点满足，且平面 （i）求的值； （ⅱ）求平面与平面所成角的余弦值． 19. 一个微生物在如图所示方格的培养皿中随机移动，每次均以相等概率移动到相邻的方格．方格是初始位置，是营养丰富的角落，每次到达方格时，微生物进行一次繁殖．记该微生物第次繁殖时所经过的总移动步数为． （1）求； （2）求； （3）求． 参考公式： 1．若，对于，则； 2．若是离散型随机变量，则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $