江苏南京师范大学附属中学2025-2026学年第二学期高二期中考试数学试卷

南京师大附中2025—2026学年度第2学期 高二年级期中考试数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】D 8．【答案】C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得分，部分选对得部分分，不选或有选错的得分． 9．【答案】ABD 10．【答案】BCD 11．【答案】BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 【解析】（1） 乐观 不乐观 合计 国内代表 60 40 100 国外代表 40 60 100 合计 100 100 200 （2）：假设对该品牌服饰的态度与国内外差异无关， 则， 答：有99.5%的把握认为对该品牌服饰的态度与国内外差异有关． 16．（本小题满分15分） 【解析】（1）展开式的第项为，所以由题意得，解得； （2）由（1）得展开式的第项为，所以由题意得，解得，2，4，6，8， 所以k的取值集合为{1，3，5，7，9}； （3）由（1）得， 所以有， ， 设，则，， 所以时有，时有，即． 17．（本小题满分15分） 【解析】（1）的可能取值为2，3，4，则，（注：前3步都走1，则第4步走什么都能结束游戏），所以， 2 3 4 因此的分布列为，的期望； （2）要满足题意则乙必须两步完成游戏，且其中一步必抛到3，另一步抛到1或2或3均可，设此事件为，则． 18．（本小题满分17分） 【解析】 （1）在面内，过点作的垂线，设垂足为，即有，因为，面，面面，面面，所以面，又因为面，所以，因为四边形是矩形，所以，，因为，，所以，因为，，，面，面，所以面； （2）因为面，面，所以，又因为，所以是二面角的平面角，即，所以可以以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，由已知得，，设，，则，，且由得， ①设面的法向量为，则有 即有 令，则，，所以，又，所以点到平面的距离 即，又因为，所以可解得，因此； ②设，则，即有，且，设面的法向量为，则有 即有 令，则，，即，由已知是面的一个法向量，所以 解得． 19．（本小题满分17分） 【解析】 （1）设是第个盒子中有一黑一白的情况的事件，则第1个盒子：放入黑球后共3个球（2黑1白），摸出1个球后剩余2个球；若摸出黑球（概率），剩余1黑1白；若摸出白球（概率），剩余2黑，即，所以； 第2个盒子：放入的球来自第1个盒子（黑概率，白概率），剩余1黑1白的条件是放入的球与摸出的球同色：放入黑球时，盒子变为2黑1白，摸出黑球的概率为；放入白球时，盒子变为1黑2白，摸出白球的概率为，即，所以， 因此； （2）①由已知得，即，所以有，解得； ②分析：每一轮操作中，每个盒子最终成为一黑一白的概率为，因此经过三轮后仍是一黑一白的概率为，即可以理解为三轮后剩余盒子数服从二项分布，故只剩一个盒子的概率为． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京师大附中2025—2026学年度第2学期 高二年级期中考试数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．下列图中，相关系数最大的是（ ） A． B． C． D． 2．若向量是直线的方向向量，向量是平面的法向量，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 3．已知随机变量，，且，，则（ ） A． B． C． D． 4．的展开式中含项的系数为（ ） A．1 B．6 C．15 D．20 5．某校人工智能社团有小李、小赵等5位同学，他们计划对通义千问、DeepSeek、豆包这3种人工智能模型展开学习调研，要求：每种模型至少有1人负责，每人必须且只能选择1种模型．若小李和小赵不能调研同一种模型，则不同的安排方案总数为（ ） A．144 B．114 C．94 D．78 6．如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上．若，则线段的长度为（ ） A．   B．1 C．   D．2 7．生活中常常会因为谐音闹误会，数学课上，某同学会把“复数”和“负数”听混淆．已知老师说“复数”时，学生理解为“负数”的概率为；老师说“负数”时，学生理解为“复数”的概率为．假设在评讲试卷时，老师说“复数”和“负数”是等可能的，已知学生理解的是“负数”，则此时老师说的是“复数”的概率为（ ） A．   B．   C．   D． 8．若向量是平面的一个法向量，且平面经过点，则平面的方程为．已知球经过点，且与平面相切，则球的表面积的最小值为（ ） A．   B．   C．   D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分． 9．市物价部门对五家商场的某商品一天的线上销售量及其价格进行调查，5家商场的售价（元）和销售量（件）之间的数据如表所示： 9 9.5 10 10.5 11 120 100 70 60 50 用最小二乘法求得经验回归方程为，相关系数，则（ ） A．   B．变量，相关性较强 C．相对于点的残差为   D．当时，的估计值为152 10．已知100只灯泡中存在只不合格品，从中一次任取10只，记取出的灯泡中不合格品的个数为，恰含有2只不合格品的概率为，则下列说法正确的是（ ） A．   B． C．若，则   D．当时，取到最大值 11．在棱长为2的正方体中，点为棱的中点，动点满足，，则下列说法正确的是（ ） A．若，，则平面与平面夹角的余弦值为 B．若，则平面平面 C．若，则点到直线的距离的最小值为 D．存在唯一有序实数对，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知空间向量，，若在上的投影向量是，则的值为__________． 13．圆台轴截面是等腰梯形，若，，点在上，，则异面直线和所成角的余弦值为__________． 14．五声音阶是中国传统音乐的基础音阶结构，按音高从低到高的顺序分别是宫、商、角、徵、羽．甲、乙两位同学进行“辨音”练习，甲随机弹奏五声音阶中的3个不同音符，乙按顺序说出是哪三个音符．由于乙是初学者，不能正确分辨绝对音高及相差音程（指音高间的差距），只能正确分辨所听音符的相对音高．已知甲依次弹奏了徵、角、羽三个音，乙根据听到的相对音高关系，按顺序猜测这三个音．用表示乙的猜测结果与甲弹奏的音在相同位置一致的个数，则__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 某中国服装品牌为了解国内、外客户对该品牌服饰的态度，在国内和国外分别选择100人开展抽样调查，绘制了如图所示的等高条形图．等高条形图是一种用于展示两个分类变量之间关系的统计图表，其核心特点是所有条形的高度相同，通过颜色或图案区分不同类别，从而直观反映各组内百分比的差异． （1）填写下面的列联表： 乐观 不乐观 合计 国内代表 国外代表 合计 （2）判断是否有99.5%的把握认为对该品牌服饰的态度与国内外差异有关． 附：， 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 16．（本小题满分15分） 已知在的展开式中，第6项系数与第4项系数之比为． （1）求的值； （2）若展开式的第项是有理项，求的取值集合； （3）记展开式中所有奇数项的系数之和为，偶数项的系数之和为，求． 17．（本小题满分15分） 甲、乙两人进行“跳跳棋”游戏，游戏规则如下：每人制作一个质地均匀的正四面体骰子，每面上自己写一个非负整数，每个数字代表棋子前进的步数．游戏开始后，每人掷骰子，根据底面的点数移动棋子，直至棋子到达或超过终点格后结束游戏，以最终掷骰子次数少的获胜．已知甲的骰子上写着“1、1、2、2”，乙的骰子上写着“0、1、2、3”，游戏开始时，棋子的起点均在第0格，终点均设在第4格． （1）记表示甲在游戏结束时的抛掷次数，求的概率分布列及数学期望； （2）求在甲掷3次骰子结束游戏的条件下，乙获胜的概率． 18．（本小题满分17分） 如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，四边形是矩形，平面平面，． （1）证明：平面； （2）已知二面角是，，点到平面的距离为． ①求； ②在棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19．（本小题满分17分） 已知个盒子排成一排，每个盒子中均装有除颜色以外完全相同的1个黑球和1个白球，备用盒子中装有除颜色以外完全相同的个黑球和个白球．试验规则如下：先从备用盒子中，随机摸出一球，放入第1个盒子，再从第1个盒子中随机摸出一球放入第2个盒子，接着从第2个盒子中随机摸出一球放入第3个盒子，…，以此类推，直至从第个盒子中随机摸出一球，第一轮试验结束． （1）若，，，记第一轮试验结束时装有1个黑球和1个白球的盒子的数量为，求； （2）若，记从第个盒子中摸出黑球的概率为，其中，，，． ①求； ②当第一轮试验结束后，将含有同色球的盒子取走，剩下的盒子按原来的顺序重新排成一排，若盒子全部取走，则试验结束，否则将备用盒的黑、白球数量复原，重复第一轮操作，以此类推，求第三轮试验结束且只剩一个盒子的概率． 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $