精品解析：江苏盐城市响水县清源高级中学、滨海县东坎高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

2026年春学期高二年级期中考试 数学试题 考试时间：120分 钟分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中四点共面的推论可求的值. 【详解】由条件可知，四点共面， 又因为， 所以，解得， 故选：D. 2. 用数字1，2，3组成一个四位数，数字最多用次（其中），则满足条件四位数的个数是（ ） A. 14 B. 26 C. 38 D. 48 【答案】C 【解析】 【分析】就3的使用次数分类讨论后可求 【详解】因为数字最多用次（其中），故至少出现1次. 若出现次，则不同的四位数的个数为， 若出现次，则1和2各出现1次，或2出现2次，则不同的四位数的个数为， 若出现次，则必然1出现1次，2出现2次，则不同的四位数的个数为， 故满足条件四位数的个数为， 故选：C. 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由已知，正态曲线的对称轴是，由，可得，根据正态分布的对称性即可求得答案. 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线的对称轴是， 则，又， 所以， 所以， 故选：A. 4. 已知向量，，则向量 在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得. 【详解】向量，， 则，， 所以向量 在向量上的投影向量为. 故选：C. 5. 已知则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件概率的定义，利用条件分别求得和，从而求得. 【详解】由题知，，， ， 又， 则. 故选：C 【点睛】关键点点睛：利用条件概率的定义分别求得事件同时发生的概率，再利用求得. 6. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 【答案】D 【解析】 【分析】根据共线向量、单位向量、空间向量夹角公式、法向量的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，由 ，，，所以与不共线，所以A错误； 对于B，的单位向量为，所以B错误； 对于C，，所以， 所以C错误； 对于D，设平面的法向量是， 则，将，，代入验证满足方程组，所以D正确． 故选：D 7. 某户外探险俱乐部组织10名成员（7名男性，3名女性）前往某无人岛进行野外生存挑战.为了便于管理和保障安全，需将这10人分成两组（不区分两组的顺序），要求每组至少4人，且3名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有（ ） A. 105种 B. 168种 C. 210种 D. 273种 【答案】D 【解析】 【分析】利用平均分组与不平均分组法计算可求得总的分组方法. 【详解】将10人平均分成两个组有种，其中3名女生在同一组的分法有， 故将10人平均分成两个组，3名女生不在同一组的分法有种， 将10人按一组4人，一组6人分成两个组有， 其中3名女生在4人组中的分法有，其中3名女生在6人组中的分法有， 故故将10人按一组4人，一组6人分成两个组，3名女生不在同一组的分法有种， 综上所述：将这10人分成两组（不区分两组的顺序），要求每组至少4人， 且3名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有. 故选：D. 8. 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板．上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入④号球槽的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】小球落下要经过5次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，并且相互独立，最终落入④号球槽要经过两次向左，三次向右，根据独立重复事件发生的概率公式，即可求解. 【详解】解：设这个球落入④号球槽为时间，落入④号球槽要经过两次向左，三次向右， 所以. 故选：D. 【点睛】本题主要考查独立重复试验，属于基础题. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示: 0 1 2 则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用分布列的性质，即可判断出选项A和B的正误；再利用期望和方差的计算公式，即可判断出选项C和D的正误. 【详解】由题知，解得，所以选项A错误，选项B正确， 对于选项C，，所以选项C正确， 对于选项D，因为，所以选项D正确， 故选：BCD. 10. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 向量，．若夹角为钝角，则实数t的取值范围为 B. 在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是 C. 平行四边形ABCD中，，，沿着它的对角线AC将折起，使得AB与CD成，此时B，D间的距离为2 D. 在空间四边形ABCD中，，，则在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】应用向量夹角为钝角列式计算判断A，应用点关于面对称判断B，利用空间向量线性运算可得，结合数量积的运算律可求得，进而得到所求结果判断C，应用投影向量计算判断D. 【详解】向量，，若夹角为钝角，则 且不共线，所以且， 则实数t的取值范围为，A选项错误； 在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是，B选项正确； 平行四边形ABCD中，，，沿着它的对角线AC将折起，使得AB与CD成， 四边形为平行四边形，，又， ， ，， 因为在空间四边形中，与成角，或， 又，， 当时， ， ，即此时两点间的距离为； 当时， ，，即此时两点间的距离为； 综上所述：两点间的距离为或，C选项错误； 在空间四边形ABCD中，，，则与的夹角为， 则在上的投影向量为，D选项正确； 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用二项式定理及多项式乘法法则求出展开式中含项的系数判断A，利用赋值法判断BC，对式子两边求导，令即可判断D. 【详解】A.的展开式中含的项为， 所以，A正确； B.令，得， 令，得， 两式相加得，，B错误； C.令，得， 所以，C正确； D.等式两边对求导得：， 令，得，D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从6人中任选4人排成一排，其中甲、乙必入选，且甲必须排在乙的左边（可以不相邻），则所有不同排法的种数是________． 【答案】72 【解析】 【分析】先从剩余的4人中任选2人，再对选出的4人进行全排列，结合对称性运算求解即可. 【详解】因为甲、乙必入选，则从剩余的4人中任选2人，可知不同的选法种数为， 对选出的4人进行全排列，不同排法的种数为， 且甲在乙左侧与甲在乙右侧的排列数相等，则符合甲在乙左边的不同排法的种数为， 所以排法种数为. 13. 计算______. 【答案】35 【解析】 【分析】根据组合数的性质计算可得； 【详解】解： 故答案为： 【点睛】本题考查组合数的性质，属于中档题. 14. 在菱形中，，线段，的中点分别为，．现将沿对角线翻折，则异面直线与所成角的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，可得，进而利用夹角公式即可结合求解. 【详解】设菱形的边长为，则， ，， ， ． 因为,所以，所以， 即， 故异面直线与所成角的取值范围是． 故答案为： 【点睛】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在棱长为1的正方体中，P为的中点，，，分别是平面、平面平面ABCD的中心． （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用空间向量法求出点的坐标，再应用向量垂直的坐标运算计算证明； （2）应用异面直线夹角余弦公式计算求解； （3）应用向量坐标模长公式计算求解. 【小问1详解】 以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，， ，， ， ； 【小问2详解】 ，， ， ， ∴异面直线与所成的角的余弦值为； 【小问3详解】 ，，． 16. 在一盒中装有大小形状相同的10个球，其中5个红球，3个黑球，2个白球. （1）若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽1个球，每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列； （2）若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽取1个球，每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为，求的分布列和均值. 【答案】（1）分布列见解析 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据题意，由二项分布的概率计算公式代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由超几何分布的概率计算公式代入计算，即可得到结果； 【小问1详解】 若每次抽取后最放回，则每次取到黑球的概率均为， 取到小球的个数 ∴ ∴的分布列为 0 1 2 3 【小问2详解】若每次抽取后都不放回，取到小球的个数服从超几何分布 ∴的分布列为 0 1 2 3 17. 有4名男生、3名女生，其中包括甲、乙两人，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数（列式--最后用数字作答）． （1）排成前后两排，前排3人，后排4人； （2）全体排成一排，女生必须站在一起； （3）全体排成一排，女生互不相邻； （4）全体排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾； 【答案】（1）5040 （2）720 （3）1440 （4）3720 【解析】 【分析】（1）应用排列数，全排列公式及分步乘法原理计算求解； （2）应用排列数，全排列公式及捆绑法计算求解； （3）应用排列数，全排列公式及插空法计算求解； （4）分类讨论甲的位置应用排列数及特殊位置优先计算求解； 【小问1详解】 先选3人站前排有种方法，余下4人站后排有种方法， 共有 （种）． 【小问2详解】 捆绑法，将3名女生看成一个整体有种，再与4名男生进行全排列有种， 共有 （种）． 【小问3详解】 插空法，先排男生，再在5个空位中插入3名女生，有种， 所以共有 （种）． 【小问4详解】 分为两种情况： ①甲在排尾时有种， ②甲不在排尾时有，从非甲乙5人中选1人排尾，甲从中间5个位置中安排一个，剩下5人排列，则种， 所以共有 （种）． 18. 如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，，，M是AB的中点． （1）求证:; （2）求二面角的余弦值; （3）在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 在线段EC上存在点P,理由见解析. 【解析】 【分析】（1）推导出，从而平面ABCD，由此能证明． （2）推导出，，从而MB、MC、ME两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值． （3）求出和平面ABE的法向量，利用向量法能示出在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，且． 【详解】证明：Ⅰ，M是AB的中点，， 平面平面ABCD， 平面平面，平面ABE， 平面ABCD，平面ABCD， 解：（2） 平面ABCD，，是正三角形， 、MC、ME两两垂直． 建立如图所示空间直角坐标系 则0，，0，，0，，，0，， ，0，， 设y，是平面BCE的一个法向量， 则， 令，得， 轴与平面ABE垂直，1，是平面ABE的一个法向量 ， 二面角的余弦值为 （3）假设在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为． 0，，， 设，， 则， 直线AP与平面ABE所成的角为， ， 由，解得， 在线段EC上存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，且 【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，考查创新意识、应用意识，是中档题． 19. 甲､乙两人参加某答题挑战赛，规则如下：每次由其中一人答题，若答对了，则此人继续答题，若未答对，则换对方答题，每次答题系统都会随机地给出一道文学题或科学题，给出文学题的概率为，给出科学题的概率为.已知甲答对文学题与科学题的概率分别为，，乙答对文学题与科学题的概率均为，且各轮答题正确与否相互独立.由抽签确定第1次答题的人选，第1次答题的人是甲､乙的概率各为. （1）已知第1次甲答题，求甲答对题目的概率； （2）求第2次答题的人是乙的概率； （3）求第次答题的人是甲的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式求解即可； （2）利用全概率公式求出乙答对题目的概率，再根据独立事件与互斥事件的概率公式求解； （3）先根据全概率公式求出递推关系，再构造等比数列，结合等比数列的通项公式求解即可. 【小问1详解】 甲答对题目的概率为. 【小问2详解】 乙答对题目的概率为. 记“第次答题的人是甲”为事件，“第次答题的人是乙”为事件， 所以 . 【小问3详解】 设，依题可知，，则， 即. 设，解得，则. 又， 所以是首项为，公比为的等比数列， 即. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期高二年级期中考试 数学试题 考试时间：120分 钟分值：150分 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 2. 用数字1，2，3组成一个四位数，数字最多用次（其中），则满足条件四位数的个数是（ ） A. 14 B. 26 C. 38 D. 48 3. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，，则向量 在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知则（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间中三点，，，则（ ） A. 与是共线向量 B. 的单位向量是 C. 与夹角的余弦值是 D. 平面的一个法向量是 7. 某户外探险俱乐部组织10名成员（7名男性，3名女性）前往某无人岛进行野外生存挑战.为了便于管理和保障安全，需将这10人分成两组（不区分两组的顺序），要求每组至少4人，且3名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有（ ） A. 105种 B. 168种 C. 210种 D. 273种 8. 如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板．上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰撞，最后掉入下方的某一个球槽内．若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入④号球槽的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知离散型随机变量的分布列如下表所示: 0 1 2 则下列选项中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 给出下列命题，其中正确的是（ ） A. 向量，．若夹角为钝角，则实数t的取值范围为 B. 在空间直角坐标系中，点关于x轴的对称点的坐标是 C. 平行四边形ABCD中，，，沿着它的对角线AC将折起，使得AB与CD成，此时B，D间的距离为2 D. 在空间四边形ABCD中，，，则在上的投影向量为 11. 已知，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 从6人中任选4人排成一排，其中甲、乙必入选，且甲必须排在乙的左边（可以不相邻），则所有不同排法的种数是________． 13. 计算______. 14. 在菱形中，，线段，的中点分别为，．现将沿对角线翻折，则异面直线与所成角的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 在棱长为1的正方体中，P为的中点，，，分别是平面、平面平面ABCD的中心． （1）求证：； （2）求异面直线与所成角的余弦值； （3）求的长． 16. 在一盒中装有大小形状相同的10个球，其中5个红球，3个黑球，2个白球. （1）若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽1个球，每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，求的分布列； （2）若从这10个球中随机连续抽取3次，每次抽取1个球，每次抽取后都不放回，设取到红球的个数为，求的分布列和均值. 17. 有4名男生、3名女生，其中包括甲、乙两人，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数（列式--最后用数字作答）． （1）排成前后两排，前排3人，后排4人； （2）全体排成一排，女生必须站在一起； （3）全体排成一排，女生互不相邻； （4）全体排成一排，甲不站在排头，乙不站在排尾； 18. 如图，正三角形ABE与菱形ABCD所在的平面互相垂直，，，M是AB的中点． （1）求证:; （2）求二面角的余弦值; （3）在线段EC上是否存在点P，使得直线AP与平面ABE所成的角为，若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 19. 甲､乙两人参加某答题挑战赛，规则如下：每次由其中一人答题，若答对了，则此人继续答题，若未答对，则换对方答题，每次答题系统都会随机地给出一道文学题或科学题，给出文学题的概率为，给出科学题的概率为.已知甲答对文学题与科学题的概率分别为，，乙答对文学题与科学题的概率均为，且各轮答题正确与否相互独立.由抽签确定第1次答题的人选，第1次答题的人是甲､乙的概率各为. （1）已知第1次甲答题，求甲答对题目的概率； （2）求第2次答题的人是乙的概率； （3）求第次答题的人是甲的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $