天津市2026年中考数学二模模拟练习试卷03

**基本信息** 试卷注重核心素养考查，通过圆的切线证明（21题）、抛物线动点问题（25题）等综合题，体现几何直观、运算能力与推理能力，适配中考二模复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|6/18|二次根式运算、概率、一次函数性质|17题矩形折叠结合勾股定理，18题网格作图融合圆与几何最值| |解答题|7/66|统计分析、圆的切线证明、三角函数应用、函数图像、几何折叠、抛物线综合|21题切线性质与垂径定理综合，25题抛物线与等腰直角三角形存在性问题，梯度覆盖基础与创新应用|

天津市2026学年中考数学二模模拟练习试卷03 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分、第Ⅰ卷第1页至第3页， 祝各位同学考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果等于（ ） A. B. 2 C. D. 8 2. 的值等于（ ） A. 2 B. C. D. 3.下图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形；它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 杭州第19届亚运会开幕式于2023年9月23日晚在杭州奥体中心体育场举行，除现场观众外，最高有110000000人同时在线上参与活动，将数字110000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 5.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 方程的两个根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，将放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，顶点B，C在第一象限，若点，点，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在中，，把绕点C顺时针旋转，得到，点A，B的对应点分别为D，E，点B，C，D恰好在一条直线上，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 直线与直线互相垂直 12. 已知抛物线（a，b，c均是不为0的常数）经过点．有如下结论： ①若此抛物线过点（-3，0），则b＝2a； ②若，则方程一定有一根； ③点，在此拋物线上，若，则当时，．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 计算 的结果等于________． 14. 计算的结果是________． 15. 不透明袋子中装有10个球，其中有4个红球、3个绿球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是__________． 16. 若一次函数为常数，的函数值随的增大而减小，则的值可以是_________(写出一个即可)． 17. 如图，是矩形纸片的边上一点，沿折叠该纸片，使点的对应点恰好落在上，若，，则的长为_________． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等腰直角三角形的顶点A在格点上，，以为直径的半圆与边的交点D在网格线上． （1）的值等于______________； （2）若P为边上的动点，当．取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______________． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组， 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式的解集为______． 20. 某校为了解学生课外阅读的情况，随机调查了a名学生一个学期阅读课外书的册数．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为______________，图①中m的值为______________； （2）求统计的这组册数数据的平均数、众数和中位数． 21. 已知是的直径，点是上一点，点是外一点，是的切线，为切点，连接，． （1）如图①，若与相切，为切点，，求的大小； （2）如图②，若与相交于点，恰有，且，，求的长． 22. 如图，小明在楼前的空地上将无人机升至空中C处，在C处测得楼的顶部A处的仰角为，测得楼的底部B处的俯角为．已知楼的高度为30m，求此时无人机所在的C处与楼的水平距离（结果保留整数）．参考数据：，． 23. 甲、乙两人骑自行车同时从A地出发沿同一路线去B地，甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地；乙骑行直接到达B地，已知A，B两地相距．下面图中x表示时间，y表示离A地的距离，图象反映了这个过程中甲离A地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空： ①图中______； ②甲出发离A地的距离是______； ③乙骑行的速度为______． （2）请直接写出甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式，并指出x的取值范围． （3）当甲乙相距时，甲出发的时间是多少？（直接写出结果即可） 24. 将直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点，点，，点在边上（不与点，重合），折叠该纸质，使折痕所在的直线经过点，并与边交于点，且，点的对应点为点．设． （1）如图①，当时，求的大小和点的坐标； （2）如图②，若折叠后重合部分为四边形，，分别与交于点，，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； （3）请直接写出折叠后重合部分面积的最大值． 25. 抛物线 为常数，经过点和点，与轴相交于点，顶点为． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）是第一象限内该抛物线上的动点． ①当时，求点的坐标； ②与该抛物线的对称轴相交于点，是线段上一点，当点在对称轴的右侧时，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 天津市2026学年中考数学二模模拟练习试卷03 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）、第Ⅱ卷（非选择题）两部分、第Ⅰ卷第1页至第3页， 祝各位同学考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题 共36分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 计算的结果等于（ ） A. B. 2 C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据有理数加法解答即可． 【详解】解：， 故选：B． 2. 的值等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知30度角的正切值，60度角的正弦值是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：C． 3.下图是一个由6个相同的正方体组成的立体图形；它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三种视图及它的画法，熟知主视图是从正面看到的图形是解题的关键．在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图，理解看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线是解题关键．仔细观察图中几何体摆放的位置，根据主视图是从正面看到的图形判定则可． 【详解】解：从正面看，该立体图形的主视图为： 故选：A． 4. 杭州第19届亚运会开幕式于2023年9月23日晚在杭州奥体中心体育场举行，除现场观众外，最高有110000000人同时在线上参与活动，将数字110000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大数，一般形式为，其中，可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意的形式，以及指数的确定方法． 【详解】解： 故选：C． 5.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，利用轴对称图形的概念逐一进行识别即可． 【详解】解：轴对称图形的定义：如果一个图形沿某一条直线对折，对折后的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，据此可判断A、B、C都不符合轴对称图形的定义． 故选D． 6. 估计的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方法进行估值即可 【详解】解：∵， ∴ 故选：D 7. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用同分母分式相加减，分母不变分子相加减，进行运算即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选： 8. 已知点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把，，分别代入，求出对应的值，直接比较即可． 【详解】解：把，，分别代入得， ，，， 所以， 故选：A． 9. 方程的两个根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据直接开平方法求解即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：D． 10. 如图，将放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，顶点B，C在第一象限，若点，点，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形的对边平行且相等的性质，通过A、C两点的坐标，利用平移即可求出B点坐标． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，点，点， ∴，， 由平移的性质，O向右平移2个单位，向上平移3个单位得到点， ∴点向右平移2个单位，向上平移3个单位得到点，即， 故选：C． 11. 如图，在中，，把绕点C顺时针旋转，得到，点A，B的对应点分别为D，E，点B，C，D恰好在一条直线上，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 直线与直线互相垂直 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定，垂直的定义，掌握旋转的性质是本题的关键．根据绕点C顺时针旋转得到，且点B，C，D恰好在一条直线上，可以得到，，再根据三角形内角和，即可求出，，由此可以一一判定每个选项． 【详解】解： 绕点C顺时针旋转得到，且点B，C，D恰好在一条直线上， ，， ， ， ， 故选项C符合题意； ， ，故选项A不符合题意； ，， 直线与直线的夹角为，不垂直，故选项D不符合题意； ， ， ，又不为等边三角形， ，故选项B不符合题意； 故选：C． 12. 已知抛物线（a，b，c均是不为0的常数）经过点．有如下结论： ①若此抛物线过点（-3，0），则b＝2a； ②若，则方程一定有一根； ③点，在此拋物线上，若，则当时，．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】抛物线（a，b，c均是不为0的常数）经过点，则，将代入抛物线可得，故①正确；若，将代入，可得：，可知是方程的根，故②正确；因为，则，抛物线的对称轴，分析函数增减性即可知③正确． 【详解】解：抛物线（a，b，c均是不为0的常数）经过点 则， 将带入抛物线可得，联立可得： ， 解得：，故①正确； 将代入可得 ∵， ， ∴， 可知是方程一个根，故②正确； ∵，则， ∴抛物线的对称轴，且函数开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小；即： ，，故③正确； 综上所述：结论正确的有①②③． 故选：D． 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B铅笔）． 2．本卷共13题，共84分． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13. 计算 的结果等于________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意直接利用积的乘方运算法则进行计算即可得出答案． 【详解】解：=． 故答案为：． 14. 计算的结果是________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的乘法．根据平方差公式计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：5． 15. 不透明袋子中装有10个球，其中有4个红球、3个绿球、3个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率公式求解，用红球的个数除以球的总个数即可解答． 【详解】解：因为总的球数有10个，红球有4个， 所以红球的概率是． 故答案为：． 16. 若一次函数为常数，的函数值随的增大而减小，则的值可以是_________(写出一个即可)． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】根据一次函数的系数特点，若随的增大而减小，则都可满足． 【详解】解：根据一次函数一次项系数k的意义，若随的增大而减小，则只需， ∴ ∴取(答案不唯一)． 故答案为：(答案不唯一)． 17. 如图，是矩形纸片的边上一点，沿折叠该纸片，使点的对应点恰好落在上，若，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设则，，,勾股定理求得，则，在中，勾股定理求得，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵是矩形纸片的边上一点，沿折叠该纸片，使点的对应点恰好落在上， 设 ∴，，, 在中， ∴， ∴， 在中，， ∴ 解得： ∴， 在中，， 故答案为：． 18. 如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，等腰直角三角形的顶点A在格点上，，以为直径的半圆与边的交点D在网格线上． （1）的值等于______________； （2）若P为边上的动点，当．取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明）______________． 【答案】 ①. ②. 作图见解析，连接与网格线交于点，取与网格线交点，连接与网格线交于点，连接，与半圆相交于点，连接并延长，与相交于点，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）连接，根据直径所对圆周角为，得到，根据等腰三角形三线合一的性质，得到，即可求解， （2）由，当时，取得最小值，即取得最小值，找到中点，中点G，，，根据特殊角直角三角形的性质，通过的圆心角得到，的圆周角，即可求解， 本题考查了，直径所对圆周角为，等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线，圆周角定理，特殊角直角三角形，解题的关键是：将问题转化为． 【详解】解：（1）连接， ∵为直径， ∴， ∵等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （2）在左侧，作，， 则，当点、、三点共线的时候，取得最小值，即取得最小值， 此时 ， ， 则是等边三角形， 过点作，交于点，交于点， 则为中点，为中点， ∴过中点，作的平行线，与圆交于点，与的交点，即可确定点， 用无刻度直尺作图如下， 连接与网格线交于点，取与网格线交点，连接与网格线交于点，连接，与半圆相交于点，连接并延长，与相交于点，点即为所求． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 19. 解不等式组， 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得______； （2）解不等式②，得______； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式的解集为______． 【答案】（1） （2） （3）见解析 （4） 【解析】 【分析】本题主要考查解不等式组，分别解出不等式①和②，再把不等式①和②的解集在数轴上表示出来，求出不等式的解集即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 【小问3详解】 不等式①和②的解集在数轴上表示 【小问4详解】 原不等式的解集为： 故答案为：． 20. 某校为了解学生课外阅读的情况，随机调查了a名学生一个学期阅读课外书的册数．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：a的值为______________，图①中m的值为______________； （2）求统计的这组册数数据的平均数、众数和中位数． 【答案】（1）40，25 （2）这组册数数据的平均数为5、众数为5，中位数为5 【解析】 【分析】本题考查了扇形统计图与条形统计图的综合，中位数，众数，平均数的求解，熟练掌握相关定义是解题关键． （1）根据扇形统计图和条形统计图可知阅读3册课外书的学生有5人，占，用人数除以所占比例即可求出抽查学生人数，用1减去其他人数所占比例即可； （2）根据中位数，众数，平均数的定义进行求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知，阅读3册课外书的学生有5人，占， （人）， ， 故答案为：40，25； 【小问2详解】 平均数， 读5册数的学生人数最多， 众数为5， 第20，21名学生读的书都为5册， 中位数， 答：这组册数数据的平均数为5、众数为5，中位数为5． 21. 已知是的直径，点是上一点，点是外一点，是的切线，为切点，连接，． （1）如图①，若与相切，为切点，，求的大小； （2）如图②，若与相交于点，恰有，且，，求的长． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）连接，求得，再求得，即可解答； （2）作于点H，连接，由垂径定理得到，再证明四边形为矩形，求出的长，得到的长，即可解答． 小问1详解】 解：如图，连接， 是的切线，为切点， ， 与相切，为切点， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：如图，作于点H，连接， 是的切线，为切点， ， ，， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ． 22. 如图，小明在楼前的空地上将无人机升至空中C处，在C处测得楼的顶部A处的仰角为，测得楼的底部B处的俯角为．已知楼的高度为30m，求此时无人机所在的C处与楼的水平距离（结果保留整数）．参考数据：，． 【答案】无人机所在的C处与楼的水平距离为米． 【解析】 【分析】如图，过作于，设，则，可得，而，可得，利用，可得，再解方程即可． 【详解】解：如图，过作于， 设，则， ∴，而， ∴， ∴， ∴， 解得：，即， ∴此时无人机所在的C处与楼的水平距离为米． 23. 甲、乙两人骑自行车同时从A地出发沿同一路线去B地，甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地；乙骑行直接到达B地，已知A，B两地相距．下面图中x表示时间，y表示离A地的距离，图象反映了这个过程中甲离A地的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空： ①图中______； ②甲出发离A地的距离是______； ③乙骑行的速度为______． （2）请直接写出甲离A地的距离y关于时间x的函数解析式，并指出x的取值范围． （3）当甲乙相距时，甲出发的时间是多少？（直接写出结果即可） 【答案】（1）①40②7.5③0.2 （2）当时，；当时，；当时， （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数和一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用数形结合的思想解答． （1）①根据函数图象中的数据可以求得a的值；②根据函数图象中的数据可以求得甲出发离A地的距离；③由路程除以时间可以求得乙骑行的速度； （2）分段用待定系数法求出函数解析式； （3）根据函数图象中的数据结合函数关系式；可以求得当甲乙相距时，甲出发的时间． 【小问1详解】 ①甲骑行后因事停留了，然后继续按原速骑行到达B地， ， 故答案：40； ②甲骑行的速度为， 甲出发离A地的距离是， 故答案为：7.5； ③乙骑行的速度为， 故答案为：0.2； 【小问2详解】 ， 当时，设函数解析式为, 将代入得：,求得， 当时，函数解析式为； 当时，函数解析式为； 当时，设函数解析式为, 将代入得： ，解得：， 当时，， 综上所述，当时，；当时，；当时，； 【小问3详解】 由题意得，乙离A地的距离y关于时间x的函数解析式为， 由题意可得或， 解得：或70， 当甲乙相距时，甲出发的时间是或 24. 将直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上，点，点，，点在边上（不与点，重合），折叠该纸质，使折痕所在的直线经过点，并与边交于点，且，点的对应点为点．设． （1）如图①，当时，求的大小和点的坐标； （2）如图②，若折叠后重合部分为四边形，，分别与交于点，，试用含有的式子表示的长，并直接写出的取值范围； （3）请直接写出折叠后重合部分面积的最大值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，由折叠的性质得是等边三角形，，可得轴，延长交轴于点，根据直角三角形的性质求出的长即可得到答案； （2）证明四边形是菱形，则，，根据直角三角形的性质求出，由，即可求解； （3）分别求出当时，折叠后重合部分面积最大值为；当时，重叠部分是四边形，求出面积的最大值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：如图①中，过点作于， ，点， ， ， 是等边三角形， 点，， ， 由折叠的性质得是等边三角形， ， 轴，，， ， 延长交轴于点， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由折叠可知，， ， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 点， ， ， ； 【小问3详解】 解：当点落在上时，重叠部分是，如图所示， 由（2）可知，是等边三角形， 由折叠的性质可知也是等边三角形， ， ， ， 点， ， ， ， ， ，， 当时，折叠后重合部分面积最大， ， 当时，重叠部分是四边形折叠后重合部分面积， ， 由（2）知，， ， ，， ，， 折叠后重合部分面积： ， 当时，有最大值，为， ， 折叠后重合部分面积的最大值为． 25. 抛物线 为常数，经过点和点，与轴相交于点，顶点为． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）是第一象限内该抛物线上的动点． ①当时，求点的坐标； ②与该抛物线的对称轴相交于点，是线段上一点，当点在对称轴的右侧时，若是等腰直角三角形，求点的坐标． 【答案】（1） （2）①点的坐标为或；②或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可； （2）①当时，；则，进而求得直线的解析式为，过点作轴于点，交于点，设，则点，根据建立方程，解方程即可求解； ②设， ，分类讨论，，当时，则，当时，则，当时，过点作，垂足为，根据建立方程，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线 为常数，经过点和点， ∴ 解得： ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 ①由，当时，； ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得，，解得： ∴直线的解析式为， 过点作轴于点，交于点， 设，则点， ∴ ∵， ， ， 解得：， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或； ②由 ∴对称轴为直线， 直线的解析式为，当时，， ∴ 设， ， 1）如图所示，当时，则 又∵ ∴，即 ∴ 解得：（舍去） ∴， ∴， 2）如图所示，当时， ∴ 解得：（舍去） 又∵ ∴，即 ∴ ∴； 3)如图所示，当时，过点作，垂足为， ∵ ∴ 解得：（舍去） ∴ ∴ ∴， 综上所述，或或． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $