内蒙古自治区呼和浩特市土默特左旗第二中学2025-2026学年八年级下学期5月期中数学试题

**基本信息** 2025~2026学年初二下期期中数学试卷，以购物小票自变量、足球正五边形内角等真实情境为载体，通过动点最值、折叠变换等问题设计，体现数学眼光观察现实世界、数学思维分析问题的核心素养，适配期中阶段性能力评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|函数自变量、黄金分割估算、平行四边形判定、勾股定理应用|第1题购物小票情境考查变量关系，第8题动点EF最小值体现动态几何思维| |填空题|6/18|正五边形内角、函数取值范围、正方形与等边三角形综合、折叠问题|第14题动点PQ截平行四边形，融合运动与分类讨论思想| |解答题|6/58|二次根式计算、平行四边形证明、等腰三角形函数关系、矩形判定与面积、动态菱形存在性|第17题等腰三角形函数解析式及图像，第20题折叠与动点菱形存在性，梯度覆盖基础与创新应用|

2025~2026学年度第二学期初二年级期中数学测试题 答案与解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B B B B B C A 二．填空题（共6小题） 9．如图，足球图片正中的黑色正五边形的每一个内角是　108°　 ． 10．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 x≥﹣3　 ． 11．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE,则∠BED的度数为　45°　 12．如图，矩形纸片ABCD的长AD＝6cm，宽AB＝2cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长　　 cm． 13．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AB＝8，AD＝10，点E为BC上的一点，连接DE，F为DE的中点，若OF＝3，则CF的长为　　 ． 14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6cm，AD＝10cm，P，Q分别从A、C两点同时出发，P以2cm/s的速度由A向D运动，Q以1cm/s的速度由C向B运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过　2或　 秒，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形． 三．解答题（共6小题） 15．计算： （1）； （2）． 【解答】解：（1）原式＝3﹣2 ＝； （2）原式＝3﹣1+2 ＝2+2 ＝4． 16．如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且∠AEB＝∠CFD．求证：四边形BFDE是平行四边形． 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF， ∴AD﹣AE＝BC﹣CF， 即DE＝BF， ∴四边形BFDE是平行四边形． 17．用8cm长的细铁丝围成一个等腰三角形，腰长为xcm，底边长为ycm． （1）求y关于x的函数解析式； （2）在如图的平面直角坐标系中画出该函数的图象． 【解答】解：（1）由题意，得2x+y＝8， ∴y＝﹣2x+8， 由2x＞﹣2x+8，得x＞2， 又y＞0， ∴x＜4， 故2＜x＜4， ∴y＝﹣2x+8（2＜x＜4）； （2）画图如下： 18．如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，BD，若DE＝AD． （1）求证：四边形BECD是矩形； （2）若BC＝5，AB＝3，求▱ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，BC＝AD，AB＝CD， ∵BE＝AB， ∴BE＝CD， ∵BE∥CD， ∴四边形BECD为平行四边形， ∵DE＝AD， ∴DE＝BC， ∴平行四边形BECD是矩形； （2）解：由（1）可知，四边形BECD是矩形， ∴∠DBE＝90°，即BD⊥AB， ∵AB＝3，AD＝BC＝5， ∴， ∴平行四边形ABCD的面积＝3×4＝12． 19．如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为线段AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF． （1）若AB＝AC，求证：四边形ADCF是矩形； （2）要使四边形ADCF为菱形，需要∠BAC＝　90　 °． 【解答】（1）证明：∵D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵点E是AD的中点， ∴AE＝ED， ∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE， 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）， ∴AF＝BD； ∴AF＝DC， 又∵AF∥BC， ∴四边形ADCF为平行四边形， ∵AB＝AC，AD为BC边上的中线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°， ∴四边形ADCF为矩形； （2）使四边形ADCF为菱形，需要∠BAC＝90°； 证明：∵AF∥BC， ∴∠AFE＝∠DBE， ∵E是AD的中点， ∴AE＝DE， ∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴BD＝CD， 在△AFE和△DBE中， ， ∴△AFE≌△DBE（AAS）， ∴AF＝DB， ∵DB＝DC， ∴AF＝CD， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴AD＝CD＝BC， ∴四边形ADCF是菱形， 故答案为：90． 20．如图1，已知矩形OABC的顶点A（a，0），C（0，c）．且a，c满足+（c﹣6）2＝0．连接对角线AC． （1）直接写出A，B，C三点的坐标：A　（8，0）　 ，B　（8，6）　 ，C　（0，6）　 ； （2）如图2，将矩形OABC沿对角线AC折叠，使点B落在点D处，CD、OA相交于点E．求折叠前后重合部分△ACE的面积； （3）如图3，点P是线段OC上的动点，点Q是射线AC上的动点，AQ＝3OP，分别以CQ和CP为边作▱CPMQ．在点P，Q运动的过程中，是否存在点P，使得▱CPMQ为菱形？若存在，请求出所有满足条件的P的坐标和菱形CPMQ的周长；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵， ∴a﹣8＝0，c﹣6＝0， ∴a＝8，c＝6， ∵矩形OABC的顶点A（a，0），C（0，c）， ∴A（8，0），C（0，6）， 则OA＝8，OC＝6， 四边形OABC是矩形，OA＝BC＝8，AB＝OC＝6， ∴B（8，6）； 故答案为：（8，0），（8，6），（0，6）； （2）由（1）得：OA＝BC＝8，OC＝BA＝6， 由折叠得：∠BCA＝∠ECA， ∵四边形ABCD为矩形， ∴CB∥OA， ∴∠BCA＝∠CAE， ∴∠ECA＝∠CAE， ∴EC＝EA， 设EC＝EA＝x， 则OE＝8﹣x， ∵Rt△OCE中，OE2+OC2＝CE2， ∴（8﹣x）2+62＝x2， 解得， ∴， ∴． （3）要使▱CPMQ为菱形，则需满足CP＝CQ． Rt△OAC中，， 设OP＝t，则AQ＝3OP＝3t，CP＝6﹣t， ①当Q在线段AC上时， 则CQ＝10﹣3t， ∵CP＝CQ， ∴6﹣t＝10﹣3t， 解得t＝2， ∴P（0，2），CP＝4， ∴C变形CPMQ＝4CP＝4×4＝16； ②当Q在AC的延长线上时， 则CQ＝3t﹣10， ∵CP＝CQ， ∴6﹣t＝3t﹣10， 解得t＝4， ∴P（0，4），CP＝2， ∴C变形CPMQ＝4CP＝4×2＝8； 综上，存在点P（0，2）和P（0，4）使▱CPMQ为菱形，菱形CPMQ的周长分别为16和8． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期初二年级期中数学测试题 一．选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1．小明同学到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购物数量的变化而变化，则其中的自变量是（　　） A．商品名称 B．数量 C．单价 D．金额 2．黄金分割数是一个很奇妙的数，大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面，请你估算的值（　　） A．0和1 B．1和2 C．2和3 D．3和4 3．下列运算正确的是（　　） A． B． C．＝2 D． 4．如图，在▱ABCD中，∠A+∠C＝80°，则∠D的度数是（　　） 4题图 5题图 A．100° B．140° C．70° D．40° 5．如图，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（　　） A．AB∥CD且AB＝CD B．AB∥CD，AD＝BC C．AB＝CD，AD＝BC D．AO＝CO，BO＝DO 6．如下图，AD是△ABC的边BC上的高，分别以线段AB，AC，BD，CD为边向外作正方形，正方形的面积分别为S1，S2，S3，S4．则它们之间存在的关系是（　　） A．S1+S2＝S3+S4 B．S1+S4＝S2+S3 C．S1+S3＝S2+S4 D．S1+S3+S4＝S2 7．如图，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（4，0），C（2，3），D是平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D不可能在（　　） 6题图 7题图 8题图 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．如上图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的最小值是（　　） A．4.8 B．5 C．3.6 D．4.5 二．填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9．如图，足球图片正中的黑色正五边形的每一个内角是　 　 ． 10．在函数y＝中，自变量x的取值范围是 　 　 ． 11．如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE,则∠BED的度数为__________. 9题图 11题图 12．如图，矩形纸片ABCD的长AD＝6cm，宽AB＝2cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长　 　 cm． 13．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AB＝8，AD＝10，点E为BC上的一点，连接DE，F为DE的中点，若OF＝3，则CF的长为　 　 ． 12题图 13题图 14．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6cm，AD＝10cm，P，Q分别从A、C两点同时出发，P以2cm/s的速度由A向D运动，Q以1cm/s的速度由C向B运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止．经过　 　 秒，直线PQ将四边形ABCD截出一个平行四边形． 三．解答题（共6小题，共58分） 15．计算：（8分） （1）； （2 16．（8分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且∠AEB＝∠CFD．求证：四边形BFDE是平行四边形． 17．（8分）用8cm长的细铁丝围成一个等腰三角形，腰长为xcm，底边长为ycm． （1）求y关于x的函数解析式；写出自变量的取值范围. （2）在如图的平面直角坐标系中画出该函数的图象． 18．（10分）如图，将▱ABCD的边AB延长至点E，使BE＝AB，连接DE，EC，BD，若DE＝AD． （1）求证：四边形BECD是矩形； （2）若BC＝5，AB＝3，求▱ABCD的面积． 19．（12分）如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为线段AD的中点，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，连接CF． （1）若AB＝AC，求证：四边形ADCF是矩形； （2）要使四边形ADCF为菱形，需要∠BAC＝　 　 °，请说明理由． 20． （12分）如图1，已知矩形OABC的顶点A（a，0），C（0，c）．且a，c满足 +（c﹣6）2＝0．连接对角线AC． （1）直接写出A，B，C三点的坐标：A　 　 ，B　 　 ，C　 　 ； （2）如图2，将矩形OABC沿对角线AC折叠，使点B落在点D处，CD、OA相交于点E．求折叠前后重合部分△ACE的面积； （3）如图3，点P是线段OC上的动点，点Q是射线AC上的动点，AQ＝3OP，分别以CQ和CP为边作▱CPMQ．在点P，Q运动的过程中，是否存在点P，使得▱CPMQ为菱形？若存在，请求出所有满足条件的P的坐标和菱形CPMQ的周长；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $