辽宁沈阳市东北育才2025-2026学年高三下学期考前模拟数学试卷

数学科目第九次模拟考试参考答案 题号 2 3 4 6 7 9 10 答案 、A B A D C C C C ABC ACD 题号 11 答案 ACD 12.-1 13.1 14.3x2-m-3 15.0）f0=5cwsr+ow-5n2x1中2x=sn2x+君片g分 2 2 +26ms2x +工s亚+2kx,k∈乙，解得+k≤x≤2亚+km,k∈Z所以f)的单调减区间为 62 3 [24a+如，e26分) 3…(8分) 因为0<A<元，所以A+6=2,即A=还 b=c=a-23 已知BC=a=2√5，由正弦定理sin B sinC sin A√3 4 2 所以b=4sinB,c=4simc.又C=元-A-B=2T-B,0<B<2 3 3 则瓶k1=a+c=25+4n8+46n侣-9 =2W3+4sinB+4× 2cosB+4x号sinB =2W5+6sinB+25cosB=25+45sin8+君.（12分) 由<8+，得sm8+君}1，所以5<L≤65. 66 即△ABC周长的取值范围是4V3,6V3 ..(13分) 16.(1)根据直方图可得，x=4×0.05+5×0.1+6×0.25+7×0.35+8×0.15+9×0.1=6.75,…(2分) 由题知4=x=6.75,o=s=1.25,则X~N(6.75,1.252),A等品的质量指标值不小于8， 即P(X≥8)=P(X≥u+a）=2l-P(u-G<X<u+o月*-0.6827)0I6(4分) (2)(i)指标值在[3.5,4.5)和[8.5,9.5]的总件数为100×(0.05+0.1)=15， 指标值在[8.5,9.5]的件数是100×0.1=10，由题知，7可能的取值是01,2,3.(5分) a=格员Ag=n尝-知 Ci45591 数学科目第九次模拟考试参考答案第1页，共7页 PI=2)=CS-25s45 455911 P()=3)= C0-120-24 C 45591' .(9分) 分布列为： 0 2 3 2 20 45 24 91 91 91 91 En)=0x2+1x2 +2x45 0 24 91 +3× 91 91 91 =2…(11分) (i)设每箱产品的利润为Z,其中有Y件A等品，由题知， Z=+(100-Y)ln(50-x)=(x-ln(50-x)Y+100ln(50-x),由(1)知，A等品的概率为0.16， 则Y~B(100,0.16),于是E(Y)=16,E(Z)=E(x-n(50-x)Y+100n(50-x)=16x+84ln(50-x), 记/=16+4(50-0.则f)=160471-1620<<49,则20<x1.f0>0/0选 50-x50-x 增，179<x<49,∫)<0，递减，故当x=172时利润最大.…（15) 4 4 17.(1)在△ABC中，取AB中点F,连接CF,MF,因为AB=4√3，所以BF=AF=2N5, 又AE=√，所以E是AF的中点，因为D是AC的中点，所以DE∥CF, 且BF=2EF,因为M是PB上靠近P的三等分点，所以BM=2PM,所以MF∥PE, 由DE∥CF,DEc平面PDE,CF丈平面PDE知CFI‖平面PDE, 由MF∥PE,PEC平面PDE,MFd平面PDE知MFII平面PDE, 因为MF∩CF=F,MF,CFc平面MCF,所以平面MCF∥平面PDE,因为CMc平面MCF,所以CM ∥平面PDE;.(5分) (2) ZA D M B 在△PBE中，作PO⊥BE,垂足为O, 在△ABC中，由AB=4V3,AC=BC=4,D是AC中点，AE=V5, 数学科目第九次模拟考试参考答案第2页，共7页 可得DE⊥AB,DE=1, 将△ADE沿DE折起，使点A至点P处，且二面角P-DE-C的大小为于， 则DE⊥PE,DE⊥BE,BE=3PE=3V3, 所以∠PEB是二面角P-DE-C的平面角，∠PEB=号所以P0= 因为PE∩BE=E,PE,BEC平面PBE,所以DE⊥平面PBE,又DEC平面BCDE, 所以平面PBE⊥平面BCDE,所以PO⊥平面BCDE,.(7分) 如图，以O为原点，过O平行于DE的直线为x轴，OB,OP分别为y轴和z轴， 建立空间直角坐标系O-z, -小c ag小Pag小 a25E05}正-(20.所=-a 设平面PDE的法向量为元=(a,bc),因为元-PE=0,元-DE=0,所以-5b-3c c=0,-a=0, 2 2 取b=-5得i=(0,-5,1..(10分) 同样可求得平面CEM的一个法向量m=(3,-25,8),…(12分) 设平面PDE与平面CEM所成二面角为a, m.n 则cosu= > m√85 ,.…(14分 故sina=V-cos'a_v85 ..(15) 85 18.1)因为椭圆c的离心率为6，可得 3 aV°a2 因为过点(1,0)的直线1垂直于x轴时截得弦长MW=2V5,所以椭圆C经过点1，√⑤)： 所以+51②O@样得=16-16 C的方思为后活-1：…4分 数学科目第九次模拟考试参考答案第3页，共7页 x=y+1 (2)由(1)可知A(-4,0),A(4,0),设直线1的方程为x=y+1,联立 +3y-1'可得 1616 2t 2+3)y2+2y-15=0,可得 八+y=2+3 15’…(6分) y2=-2+3 直线4以4N的斜率分别为，中女d 5+4,所以 k4wk4N=少X乃 yiy2 +4x+4(G+4)(+4)’ 因为M(,N()在直线：x=+1上，所以5=+1 (玉奶，+1'所以 (x+4)(x2+4)=(y+5)(y2+5)=y2+5(y+y2)+25 =(}5到325=及g代入式子可得w=子(10分 VA -2t y+y2= (3)由(2)知 2+3 ,可得少+=，所以。红=’直线AM的方程为 -15 y2=2+3 2 十4x+4,直线N的方程为4-功，两条直线联立可 15 t4-5+-+)-+5则+40+%)+-15y+252-5】 x-4y(x2-4)(y2-3)yy2-3y x-41 2(y+2)-35 9y+1523' 解得x=16,…(14分) 所以设点P的坐标为(16，m),因为过原点平行于A,N的直线斜率为片， 5=4'且点P(16,m在AN上， 则m产46-4户之4分。放该直我0的方程为p=后， 点P6m刚在4M上，则m产46+4到户十40 ”x+420 数学科目第九次模拟考试参考答案第4页，共7页 放直线4M的方程为y-%x+4). 11 y= x= 12 联立 (m≠0)，解得 m,所以点卫的坐标为6,2) m P 2 所以00.04-(6空}(4.0)=24…17分) 19.）已知eQ动/n2,即-n2x sin2x+x 因为x∈(0，，sinx>0,所以asin-x≤，sin2x台a≤2 1 即a≤ 2 ,x∈(0，元)， sinx sinx min 令 sin2x+x 8(x)=2 sinx 一，x∈(0，π)' 则 '(x)= eos2x+lsnx-{（n2x+xos×_2 oo i-sin rco+列eos sin2x sin2x 2cos'xsin x-sinxcos2x-xcosx_cos2xsinx-xcosx_cosx(cosxsinx-x) sin2x sinx sin2x 令h(x)=cosxsinx--x,x∈(0，π)，则h'(x)=cos2x-sin2x-1=cos2x-1≤0， 所以h(x)在(0，π)上单调递减，h(x)≤h(0)=0,即cosxsinx-x<0, 所以，当re0 时，cosx>0,sin2x>0,g'(x)<0,g(x)单调递减： 当x∈2元时，cosx<0,sinx>0,g()>0,g()单调递增： 1 π 所以，当x=时，g()取得最小值 2sinr+ 2= 、2 sin 2 2 sin2x+x 所以a≤ 即a的取值范围为 sinx -0,2…5分) min (2)(i)当a=1时，f(x)=sinx-x, 匪明：当x>0,82。即smx-x+父>0,0，令1心)=snx-x+ 6 6x>0,1(x)=cosx-1+ 2 令m)=创=es-l+子，>0，所以w)=-血r+,0 数学科目第九次模拟考试参考答案第5页，共7页 令s(x)=m'(x)=-sinx+x,x>0,则s'(x)=-cosx+1≥0恒成立，所以s(x)=m'(x)在(0，+oo)上单调递增， 所以s(x)>s(0)=0,即m'(x)>0在(0，+o)上恒成立，即x>sinx在(0，+∞)上恒成立， 所以m()=1()=cosx-1+在(0，+o)上单调递增， 2 所以m(x)>m(0)=0,即t(x)>0在(0，+o）上恒成立， 即es>芳在Q*)上恒设， 所以4国=加-+若>0在Qo)上单调道增。 所以)>0)=0，即sinr-x+￡>0，>0， 6 所以xs0.f小-名，逆华0分) 曲a女，令0-引 则a-2-20, 所以6，=fa）fa）_fo)-f20）_6m0-9)-n20-280) antl-an 0-20 -0 2(Sn0-sin20)+0（sin9-2sin0cos0+0-92cos0-=山，I2分)一 -0 下面先证明∑b<0, 由(i)知x>sinx在(0，+)上恒成立，即nx<1在(0，+o)上恒成立， x 所以，当∈0,2 时，0<sin -<1, 6 ,故当0E05时，g5=s<os≤cos0<1,V5<2s0<2,06-1<2s0-11, 。11 2」 2 6 2 g2(2cos0-1<1,即n2(2cos0-1）-1<0, 所以sing 所以6-0g2(2cs0-10, 所以2五<0，证毕：…(14分) 7<2b,由D知sin 再证明：一18 C>0和cosr>1-在(0，+w)上恒成立， 6 2 所以，当0c0引时，smg-0 1 6>0,即91 ->0 0 6 s01-分2m0-1>21-211-g0, 数学科目第九次模拟考试参考答案第6页，共7页 所以02(2a0->1-g)-=1-0-c 所以6-02em0-)-1名0+00=名八-名4 9 -g翩 6 +得八>旅上，辰017分 数学科目第九次模拟考试参考答案第7页，共7页2025一2026学年度下学期东北育才学校 高三年级数学科目第九次模拟考试试题 答题时间：120分钟满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.已知集合A={r2≤，B={xy=V,则AnB=() A.[0,] B.【-11] c.[-1,0] D.(0,1] 2.设，品}是平面内的一个基底，下列不可以作为平面内基底的是() A.-e和e+e2B.-e+2e,和4e-2eC.2g+e和e-e2D.2g+e,和g+2e2 3.已如双曲线C是号1a>06>0焦距为2c,风点到精近线的距为分，则离心*为() A.√5 B.2W5 C.4V2 D.2 3 4.己知数列{a}是等差数列，且4+4+4=-3,4+a4+4=9,则S=() A.1 B.2 C.3 D.5 5.已知直线：x+号+1-0与：a+1x+y+2=0,则a=2是%的〈） A.充分且不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件 6.已知f(x)=(2-x)3=4+4x+42x2+…+4x3,则下列说法正确的是() A.4=-28 B.4+42+…+4g=1 C.f(-1)除以5所得的余数是1 D.4|+|☑2+4+…+a=33 7.△16C中，ABC的对边分别为abc,若Sc=口+公-c2 AB BC=0,则△ABC的形状 AB Ac 是() A.顶角为120°的等腰三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.顶角为30°的等腰三角形 8.在一次数学考试中，有一道满分为15分的立体几何题.某学习小组6名同学这题的得分为x (年∈N,i=1,2,3,4,5,6),且有x1<x3<3=x4=x<x6,已知这6名同学的80%分位数和平均分都是12分， 则该6名同学答题得分的极差为() A.3 B.4 C.5 D.6 高三年级数学科试卷第1页，共4页 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知复数二=(a-i)(3+2i)(a∈R)的实部为-1，则下列说法正确的是() A.复数二的虚部为-5 B.二在复平面内对应的点位于第三象限 C.|z=26 D.复数=的共轭复数z=1-5i 10.已知函数)=则下列结论正确的是() A.e是函数f(x)定义域内的极小值点.B.f(x)的单调减区间是(O,e) C.f(x)在定义域内无最小值，无最大值.D.f(3)<f(2)<f(5) 11.在棱长为2的正方体ABCD-4B,CD,中，点P是棱BC的中点，点Q在正方形AABB内部（不含边界） 运动，若PQ∥平面ACC1A,则() A.点Q的轨迹经过线段AB,的中点 B.点Q的轨迹长度为√2 C.直线P2与直线AC为异面直线 D.三棱锥Q-ACC的体积为定值2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若定义在R上的奇函数f(x)满足x≥0时，f(x)=1og2(x+4)+a,则f(2= 13.己知抛物线C:y=4x的焦点为F,点M在C上.若|MF=2,则M到y轴的距离为 14.已知数列}满足a=1,a:a+3u+2=0,则1+1+1 ++1 4+1a2+1'a4+1 a.+1 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.设向量a=(V3cosx,cosx),i=(sinx,cosx),函数f(x)=a.b (1)求y=∫(x)的单调减区间； (②在ABC中，若角A满起/()子且边BC=25,求AAC周长的取值范用 16.2026年是农历马年，在春晚舞台上，宇树机器人的精彩表演赢得了全国观众的喝彩.某企业为宇树机 器人生产一种关键部件，此企业生产的部件质量按等级划分为六个层级，分别对应如下六组质量指标值： [3.5,4.5),[4.5,5.5),[5.5,6.5),[6.5,7.5),[7.5,8.5),[8.5,9.5].根据大量检测结果，得到部件的质量指 高三年级数学科试卷第2页，共4页 标值X服从正态分布N(,σ)，并把质量指标值不小于8的产品称为A等品，其它产品称为B等品现从该 部件的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据大量检测结果，该部件质量指标值的标准差s的近似值为1.25，用样本平均数x作为的近似值， 用样本标准差s作为。的估计值若从生产线中任取一个部件，试从质量指标值X服从正态分布N(山，σ)的 角度估计该部件为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）： ①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量专服从正态分布N(4,σ)，则 P(-σ<5<u+o)≈0.6827，P(u-2o<5<+2o)≈0.9545，P(u-3o<5<+3o)≈0.9973.) (2)(i)从样本的质量指标值在[3.5,4.5)和[8.5,9.5]的部件中随机抽取3件，记其中质量指标值在[8.5,9.5]的 部件件数为刀，求刀的分布列和数学期望： ()该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的部件按100件一箱包装.已知一件A等品部件 的利润是x(20<x<4)元，一件B等品部件的利润是(50-x)元，根据(1)的计算结果，试求x的值， 使得每箱产品的利润最大. 频率/组距 0.35 0.25 0.15 0.10 0.05 03.54.55.56.57.58.59.5质量指标值 17.如图，在△ABC中，AB=4V3,AC=BC=4,D是AC的中点，E是AB上的点，AE=√3.将△ADE沿DE 折起，使点A至点P处，且二面角P-DB-C的大小为，设M是PB上靠近P的三等分点 (I)求证：CM∥平面PDE; (2)求平面PDE与平面CEM所成二面角的正弦值. E B B D 图1 图2 高三年级数学科试卷第3页，共4页 1这已知圆C等+景=1a6>0的离心率为，箱周c的左，行贸点分别为4,4过点，0的直线 3 1与椭圆C的交点分别为M(:,,N(3,),当直线l垂直于x轴时，MW=2W5 (1)求椭圆C的方程： (2)直线AM的斜率与直线AN的斜率的乘积是否为定值？如果是，求出该定值；如果不是，请说明理由； (3)直线AM与直线A,N的交点为P,过坐标原点O作平行于直线A,N的直线与直线AM相交于点Q,求 O0OA的值 19.己知函数f(x)=asinx-x. (I)若x∈(0，π)，f(x)≤一sin2x,求a的取值范围； 2 (2)当a=1时， 《①D若x>0,求证：了)>， 60记a÷a-,*,g240 4+1-a 高三年级数学科试卷第4页，共4页