辽宁沈阳市东北育才学校2025-2026学年高三下学期第二阶段考试数学试题

**基本信息** 以长征精神传承、建筑美学等真实情境为载体，通过选择、填空、解答题的梯度设计，考查统计、导数、立体几何等核心知识，注重数学眼光观察现实、数学思维解决问题的能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/60|统计（第1题）、复数（第2题）、双曲线（第6题）等|结合热带风暴路径（第5题）考查解三角形，体现现实应用| |多选题|3/18|等比数列性质（第9题）、函数奇偶性（第10题）、椭圆性质（第11题）|椭圆光学性质（第11题D项）渗透学科本质| |填空题|3/15|向量投影（第12题）、导数极值（第13题）、立体几何体积（第14题）|正方体中心构成四棱锥（第14题）考查空间想象| |解答题|5/77|三角函数（第15题）、抛物线（第16题）、导数综合（第18题）、概率策略（第19题）|长征90周年主题（第19题）融合概率与决策，落实文化传承|

2025-2026学年高三下学期第二阶段考试数学试题 答题时间：120分钟 满分：150分 命题人、校对人：高三备课组 第Ⅰ卷 （选择题，共58分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的） 1．某同学在某星期一至星期五在学校练习投篮的时间（单位：分钟）分别为30，40，32，m，n．若这5天平均每天练习31分钟，则m+n＝（　　） A．49 B．50 C．53 D．55 2．已知复数，且有，则实数a＝（　　） A． B． C． D． 3．不等式的解集是（　　） A．{x|1＜x＜4} B．{x|﹣1＜x＜4} C．{x|x＞4或x＜1} D．{x|x＞4或x＜﹣1} 4．设x为实数，A＝{1，2，3}，B＝{x，x+2}，若B⊆A，则x的值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5．根据气象部门提醒，在距离某基地正北方向588km处的热带风暴中心正以21km/h的速度沿南偏东45°方向移动，距离风暴中心441km以内的地区都将受到影响，则该基地受热带风暴中心影响的时长为（　　） A．7h B．14h C． D． 6．数学与建筑的结合造就了许多建筑艺术品，如西安交通大学的校门就是充满数学之美的建筑物，如图．若将该大学的校门内轮廓（忽略水泥建筑的厚度）近似看成双曲线的一部分，且点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（　　） A． B． C．2 D． 7．已知数列{an}为等差数列，a4+a5+a6＝6，a7+a8+a9＝11，则a10+a11+a12＝（　　） A．16 B．19 C．25 D．29 8．若，则sinαsinβ＝（　　） A． B． C． D． 二．多选题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．记Sn为正项数列{an}的前n项和，Tn为正项数列{an}的前n项积，则（　　） A．若数列{an}是等比数列，则数列{lgan}是等差数列 B．若数列{an}是等比数列，则数列是等比数列 C．若数列是等差数列，则数列是等比数列 D．若数列是等比数列，则数列{an}是等比数列 10．下列说法正确的是（　　） A．偶函数f（x）的定义域为[2a﹣1，a]，则 B．f（x）＝|x|与表示同一个函数 C．奇函数f（x）在[2，4]上单调递增，且最大值为8，最小值为﹣1，则2f（﹣4）+f（﹣2）＝﹣15 D．若y＝x2﹣3x+4的定义域为[0，m]，值域为，则m的取值范围是[1，3] 11．已知P是椭圆上的一动点，离心率为e，椭圆与x轴的交点分别为A、B，左、右焦点分别为F1，F2，下列关于椭圆的四个结论中正确的是（　　） A．若PA、PB的斜率存在且分别为k1，k2，则 B．若椭圆C上存在点M使， C．若△F1PF2的面积最大时，∠F1PF2＝120°，则 D．根据光学现象知道：从F1发出的光线经过椭圆一次反射后恰好经过F2．若一束光线从F1发出经椭圆反射，当光线第n次到达F2时，光线通过的总路程为4na 第Ⅱ卷 （非选择题，共92分） 三．填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上） 12．已知向量．若网格纸上小正方形的边长为1，向量在向量方向上的投影向量的坐标为 　 　 ． 13．若函数f（x）＝﹣x3+ax2﹣4在x＝2处取得极值，则a＝　 　 ． 14．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，除面ABCD外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M（如图），则四棱锥M﹣EFGH的体积为 　 　 ，四棱锥M﹣EFGH的表面积是 　 　 ． 四．解答题（本大题共5小题，共77分. 请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）函数的相邻两条对称轴之间的距离为，且． （1）求f（x）的单调递减区间； （2）当时，方程f（x）﹣a＝0有解，求实数a的取值范围． 16．（15分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝2px（p＞0）与过点E（4，0）的直线l交于A，B两点，且OA⊥OB． （1）求抛物线C的方程； （2）过点Q（1，﹣4）且不过点P（4，4）的直线与抛物线交于C，D两点，若直线PC，PD的斜率都存在且分别为k1，k2，试问k1k2是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 17．（15分）平面四边形是指在同一个平面内，由四条线段首尾顺次连接围成的封闭图形，它有四个顶点、四条边和四个内角．如图1，在平面四边形ABCD中，，AD＝1，∠A＝90°，CD＝2，，将△BCD沿BD折起，形成如图2所示的三棱锥C﹣DAB，且． （1）证明：平面ACD⊥平面ABD． （2）在三棱锥C﹣DAB中，点E，F，G分别为线段AB，BD，AD的中点． （i）证明：AD∥平面CEF． （ii）设，求平面GEF与平面QGE夹角的余弦值的取值范围． 18．（17分）已知函数． （1）讨论f（x）的单调性； （2）当x＞1时，g（lnx）+x＞k（x﹣1）（k∈Z），求实数k的最大值． （3）当a＞0时，设f（x）的极大值为φ（a），求证：． 19．（17分）1934年﹣1936年红军完成伟大长征，该壮举实现了中国革命事业从挫折到胜利的伟大转折，是中华民族复兴进程中的丰碑．2026年恰逢红军长征胜利90周年，为传承长征精神，某校计划开展以“传承长征精神，续写时代华章”为主题的观影活动．同学们通过参加三个不同的游戏可以获得观影票，每个游戏需各玩一次且结果互不影响，每位同学可以自主安排参加这三个游戏的先后顺序，连胜两个游戏可以获得一张观影票，连胜三个游戏可以获得两张观影票，否则无法获得观影票．已知一个盒子中有5个大小质地完全相同的小球（编号为“1，2，3，4，5”），这三个游戏的规则如下： 游戏一：从盒子中随机摸出一个小球，若这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号均不小于“4”，则获胜； 游戏三：从盒子中不放回地依次随机摸出两个小球，若这两个小球的编号之和为m，则获胜． （1）分别求出同学参加游戏一，游戏二获胜的概率； （2）当m＝4时，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大？ （3）根据m的不同取值，同学如何安排游戏顺序，获得观影票的概率最大？ 参考答案 一．选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 C A D B B D A B 2． 多选题 9 10 11 ABD ABC AC 三．填空题 12．（2，2）． 13．3． 14．；． 四．解答题 15．解：（1）由题意可知，函数的周期，得ω＝2，f（x）＝cos（2x+φ）． 所以，|φ|，可得， 所以． 令，解得：，k∈Z， 所以函数的单调递减区间是，k∈Z． （2）方程f（x）﹣a＝0有解，即a＝f（x），， ，所以， 所以实数a的取值范围是． 16．解：设直线l的方程为x＝my+4，A（x1，y1），B（x2，y2）， 联立，消去x并整理得y2﹣2pmy﹣8p＝0， 由韦达定理得y1+y2＝2pm，y1y2＝﹣8p， 所以， 易知，， 因为OA⊥OB， 所以， 解得p＝2， 则抛物线C的方程为y2＝4x； （2）显然过点Q（1，﹣4）的直线斜率不为0， 设直线AB方程为x＝t（y+4）+1，C（x3，y3），D（x4，y4）， 联立，消去x并整理得y2﹣4ty﹣16t﹣4＝0， 此时Δ＝16t2﹣4（﹣16t﹣4）＝16（t2+4t+1）＞0， 解得或， 由韦达定理得y3+y4＝4t，y3y4＝﹣16t﹣4， 所以， ＝16t2+8t+1， 因为直线PC，PD的斜率都存在且分别为k1，k2， 所以，， 此时 ． 17．（1）证明：在平面四边形ABCD中，，AD＝1，∠A＝90°，所以BD＝2， 在△BCD中，由余弦定理知，BC2＝BD2+CD2﹣2BD•CDcos∠BDC＝4+4﹣26， 翻折后，，AB，BC， 所以AC2+AB2＝BC2，即AC⊥AB， 又AD⊥AB，AC∩AD＝A，AC、AD⊂平面ACD， 所以AB⊥平面ACD， 而AB⊂平面ABD， 所以平面ACD⊥平面ABD． （2）（i）证明：因为E，F分别为线段AB，BD的中点， 所以EF∥AD， 又EF⊂平面CEF，AD⊄平面CEF， 所以AD∥平面CEF． （ii）解：在三棱锥C﹣DAB中，AD＝1，AC，CD＝2， 所以AD2+AC2＝CD2，即AD⊥AC， 由（1）知AC⊥AB， 而AB∩AD＝A，AB、AD⊂平面ABD， 所以AC⊥平面ABD， 又AD⊥AB， 故以A为原点，AB，AD，AC所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A（0，0，0），C（0，0，），D（0，1，0），G（0，，0），E（，0，0），F（，，0）， 而λ（0，1，0）， 则（0，，）+λ（0，1，0）＝（0，，），（，，0）， 设平面QGE的法向量为（x，y，z），则， 取x＝1，则y，z，所以（1，，）， 易知平面GEF的一个法向量为（0，0，1）， 设平面GEF与平面QGE夹角为θ， 则cosθ＝|cos，|， 因为， 所以∈（64，144），cosθ∈（，）， 故平面GEF与平面QGE夹角的余弦值的取值范围为（，）． 18．解：（1）f'（x）＝ex+xex﹣ax﹣a＝（x+1）（ex﹣a）， ①当a≤0时，令f′（x）＞0，可得x＞﹣1；令f'（x）＞0，可得x＜﹣1， 所以f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增． ②当时，令f′（x）＞0，可得x＜lna或x＞﹣1；令f'（x）＜0，可得lna＜x＜﹣1， 所以f（x）在（﹣∞，lna）和（﹣1，+∞）上单调递增，在（lna，﹣1）上单调递减． ③当时，f'（x）≥0，f（x）在R上单调递增． ④当时，令f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞lna；令f'（x）＜0，可得﹣1＜x＜lna， 所以f（x）在（﹣∞，﹣1）和（lna，+∞）上单调递增，在（﹣1，lna）上单调递减． 综上，当a≤0时，f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递减，在（﹣1，+∞）上单调递增． 当时，f（x）在（﹣∞，lna）和（﹣1，+∞）上单调递增，在（lna，﹣1）上单调递减． 当时，f（x）在R上单调递增． 当时，f（x）在（﹣∞，﹣1）和（lna，+∞）上单调递增，在（﹣1，lna）上单调递减． （2）g（lnx）+x＞k（x﹣1）在x∈（1，+∞）恒成立， 即xlnx+x＞k（x﹣1）对任意x∈（1，+∞）恒成立， 所以在（1，+∞）恒成立， 所以， 令m（x）， ， 令h（x）＝x﹣lnx﹣2，，h（x）在（1，+∞）上单调递增， 因为h（3）＝1﹣ln3＜0，h（4）＝2﹣ln2＞0， ∃x0∈（3，4），使得h（x0）＝0，即x0﹣lnx0﹣2＝0，lnx0＝x0﹣2， 当x＞x0时，h（x）＞0，此时m'（x）＞0， 当1＜x＜x时，h（x）＜0，此时m'（x）＜0， 所以m（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增， 所以m（x）min＝m（x0）x0∈（3，4）， k∈Z，k＜x0， 所以k的最大整数值为3． （3）证明：由（1）知，当时，f（x）的极大值为； 当时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，f（x）无极大值； 当时，f（x）的极大值为， 令φ（x），0＜x，所以φ'（x）， φ（x）在上，φ'（x）＜0，在上，φ'（x）＞0， 所以φ（x）在上单调递减，在上单调递增， 所以， 综上所述，． 19．解：（1）记事件A＝“同学参加游戏一获胜”，事件B＝“同学参加游戏二获胜”，事件C＝“同学参加游戏三获胜”， 因为游戏一为从盒子中随机摸出一个小球，这个小球的编号为“4”或“5”，则获胜，所以； 游戏二：从盒子中有放回地依次随机摸出两个小球，这两个小球的编号均不小于“4”，则获胜，即第一次摸出“4”或“5”，第二次也摸出“4”或“5”， 所以； （2）游戏三的所有样本点为（1，2），（1，3）（1，4），（1，5），（2，1）．（2，3）．（2，4），（2，5），（3，1）（3，2），（3，4）．（3，5），（4．，1）（4，2），（4，3），（4，5），（5，1），（5，2），（5，3）．（5，4），共20个， 当m＝4 时，获胜的样本点为（1，3），（3，1），有2个，所以． 记事件E＝“同学按自己选定的顺序参加三个游戏，获得观影票”，事件M＝“同学按自己选定的顺序参加第一个游戏，获胜”， 事件N＝“同学按自己选定的顺序参加第二个游戏，获胜”，事件T＝“同学按自己选定的顺序参加第三个游戏，获胜”， 且第一个游戏、第二个游戏、第三个游戏为游戏一、二、三的一个排列， 则事件，依次表示这位同学按自己选定的顺序参加第一个游戏、第三个游戏没有获胜． 所以，其中M，N，T相互独立，，MNT，MNT两两互斥， 则 P（E）＝P（MNT）+P（MN）+P（MNT）＝P（M）P（N）P（T）+P（M）P（N）P（T）+P（M）P（N）P（T）， 无论同学参加这三个游戏的先后顺序如何，都有． 所以． 所以，根据乘法交换律，第一个游戏和第三个游戏的位置不影响获得观影票的概率的大小，其大小取决于第二个游戏的选择， 下面以第二个游戏的选择为研究对象分三种情况进行讨论： ①若第二个游戏选择游戏一，则获得观影票的概率为； ②若第二个游戏选择游戏二，则获得观影票的概率为； ③若第二个游戏选择游戏三，则获得观影票的概率为． 因为P1（E）＞P2（E）＞P3（E）， 所以为使获得观影票的概率最大，同学应将游戏一放在第二个游戏的位置，第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏； （3）考虑游戏三中m的所有取值情况，如下表所示： 由表格知，P（m＝3）＝P（m＝4）＝P（m＝8）＝P（m＝9），， 当m＝3，4，8，9时，同学按（2）将游戏一放在第二个游戏的位置，第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏． 当 m＝5，6，7时，， ①若第二个游戏选择游戏一，则获得观影票的概率为 ； ②若第二个游戏选择游戏二，则获得观影票的概率为 ； ③若第二个游戏选择游戏三，则获得观影票的概率为 ． 因为P1'（E）＞P3'（E）＞P2'（E）， 所以为使获得观影票的概率最大，同学仍应将游戏一放在第二个游戏的位置（中间位置），第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏． 综上，无论m取何值，都应将游戏一置于第二个游戏的位置（中间位置），第一个游戏可在游戏二、三中任选，进而确定第三个游戏 1 学科网（北京）股份有限公司 $