精品解析：2026年安徽省宿州市埇桥区多校九年级教学质量检测第三次学情自测数学试题

数学 （试题卷） 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 我国“天问二号”探测器成功发射，将对小行星进行伴飞探测．已知该小行星距地球最远距离约为46000000千米，将46000000用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 3. 由7个大小相同的正方体拼成的几何体如下，则该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. 6 B. C. D. 6. 某智能仓库共有个储物箱，编号分别为，，，，，管理软件随机分配取货任务，每次分配任务时每个箱子被选中的概率相同，则连续两次分配任务中（每个储物箱可以被重复选择），恰有一次分配到奇数编号储物箱的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 定义：若一个三角形的三个内角的度数是正整数，且满足最大角是最小角的两倍，则称这个三角形为“二倍角三角形”．在中，三个内角的度数是正整数，给出以下命题： ①若，则一定是“二倍角三角形”； ②若且，则一定是“二倍角三角形”； ③若最大角与最小角的差为40°，则一定是“二倍角三角形”； ④若三个内角的比为，则一定是“二倍角三角形”． 其中是真命题的是（ ） A. ①④ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④ 9. 平移二次函数的图象得到一个新的二次函数图象，使其对称轴为直线，最大值为，且经过点，对平移前、后的两个二次函数图象有以下四个结论： ；将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度可得到新的二次函数图象；平移后的二次函数图象与原函数图象的交点的横坐标为；平移后的二次函数图象与轴的交点纵坐标为．其中结论正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 10. 如图，在矩形中，，，点E为中点，点F在边上运动（包括C，D两个端点），连接，将绕点E逆时针旋转得到，则以下四个结论错误的是（ ） A. 的最小值为3 B. 的最大值为 C. 若与相交于点G，则的最小值为 D. 的最小值为 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：______． 12. 有一正六边形的内切圆半径为，则与这个正六边形的外接圆半径之比为___________． 13. 如图，，，，则_______． 14. 在量子计算科普活动中，某兴趣小组设计了如下数字游戏：对正整数n，反复将当前数的各位数字求和作为新数，直到得到一个一位数为止，称该一位数为n的“量子态”，记为，例如：，，则，，，，则．若两个正整数x，y满足，则称x与y“量子纠缠”． （1）___________； （2）下列说法中，正确的有___________（写出所有正确结论的序号）： ①对任意正整数n，若n是9的倍数，则； ②若，，则； ③若x是两位数，且，则所有这样的两位数x共有5个； ④若，且y是三位数，满足，则与x“量子纠缠”的y共有11个． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均为格点（网格线的交点）．已知三个顶点坐标分别为，，． （1）利用无刻度直尺作出中边的中线； （2）以原点O为位似中心在第一象限画出，使它与的相似比为2． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 【情境】2026年，某校新建校园文化广场，广场中央矗立着一座主题雕塑．数学兴趣小组的同学利用周末时间，用测角仪和皮尺对雕塑高度进行测量． 【数据】 ●观测点B，C距地面的高度均为1.62米， ●观测点B距雕塑底座中心的距离为8.88米，， ●观测点C在B的正后方， ●在B处测得雕塑顶端的仰角为， ●在C处测得雕塑顶端的仰角为， （参考数据：，，，，，．） 根据已知数据计算雕塑的高度及观测点B与C的距离（精确到0.1米）． 18. 某工厂用合肥本地生产的钢材加工甲、乙两种产品．现有20吨钢材，计划全部用于加工这两种产品．经市场调研发现： 加工甲产品的利润p（元）与使用钢材量x（吨）的关系为：， 加工乙产品的利润q（元）与使用钢材量y（吨）的关系为：， （1）若用x吨钢材加工甲产品，用剩余钢材加工乙产品，求总利润W与x的函数关系式； （2）如何分配钢材，可使总利润最大？最大利润是多少？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某市为了解中学生使用辅助学习工具的情况，从全市随机抽取100名中学生进行抽样调查，统计他们每周使用工具的时长（单位：小时），得到如下频数分布表和扇形统计图： 组别 A B C D E 使用时长（小时） 频数（人） 18 28 15 7 请根据以上信息，完成下列问题： （1）_________； （2）在扇形统计图中，求D组对应的扇形圆心角的度数； （3）如果全市有15000名中学生，估计每周使用工具3小时及以上的学生有多少人？ 20. 如图，在等腰中，，为的中线，D为边上一点，以为直径作交于点E，与相切于点G． （1）求证：； （2）若，的半径为，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 某校科技节将举办机器人表演展示活动，学校购置的小型智能机器人可按预设程序排列成各种方阵表演，数学科技社团需要从数学角度研究方阵的排列规律和优化设计． 机器人排成一个正方形方阵进行展示，如下图所示，方阵一般有实心方阵和空心方阵两种形式． 【项目启动·基础探究】 机器人第一环节排成实心方阵，已知最外层每边有个机器人． （1）当时，这个方阵共有机器人 个； （2）用含的代数式表示实心方阵中机器人的总数为 个； 【项目深入·规律探究】 第二环节是“空心方阵”造型．空心方阵是指最外层每边有个机器人，中间留出一个空心区域． （3）当空心区域为，且时，空心方阵的机器人总数为 个； （4）当空心区域为，且时，用含的代数式表示空心方阵机器人总数为 个； 【项目拓展·实际应用】 学校共有个机器人，现要排出一个空心方阵（中间留出的空心区域），要求： （i）最外层每边机器人数必须是偶数（便于对称排列）， （ii）最外层每边机器人数不少于个且不超过个， （5）满足条件的方阵方案共有 种，其中使用机器人数量最多的方案需要 个机器人． 七、（本题满分12分） 22. 已知抛物线（a为常数），与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）． （1）当时，求抛物线的解析式及点A，B的坐标； （2）已知点在该抛物线上． （i）若，求a的值； （ii）当时，设抛物线的顶点为P，点Q在抛物线的对称轴上，若是等腰三角形，求点Q的坐标． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，正方形中，E，F分别是射线，上的点（点E不与点A，B重合），，垂足为点P，与交于点O，与交于点M，与交于点N． （1）求证：； （2）若， （i）如图2，当点E为中点时，求的值； （ii）当，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 （试题卷） 注意事项： 1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 3.考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 下列各数中，比小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴， 即比小的数是． 2. 我国“天问二号”探测器成功发射，将对小行星进行伴飞探测．已知该小行星距地球最远距离约为46000000千米，将46000000用科学记数法表示为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 3. 由7个大小相同的正方体拼成的几何体如下，则该几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：该几何体的左视图有两列，小正方形的个数分别为，，如图所示， 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A：∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，A错误． 选项B：∵根据完全平方公式展开，，B错误． 选项C：∵算术平方根的结果为非负数，先计算根号内的式子，，C错误． 选项D：∵表示3个相乘，即，，D正确． 5. 若反比例函数的图象经过点，则k的值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将已知点的坐标代入解析式即可求出的值． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将点代入解析式得，， ． 6. 某智能仓库共有个储物箱，编号分别为，，，，，管理软件随机分配取货任务，每次分配任务时每个箱子被选中的概率相同，则连续两次分配任务中（每个储物箱可以被重复选择），恰有一次分配到奇数编号储物箱的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】画树状图表示出所有可能结果，然后确定恰有一次分配到奇数编号储物箱的结果数，再用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有种等可能结果，其中恰有一次分配到奇数编号储物箱的有，，，，，，，，，，，，共种结果， 恰有一次分配到奇数编号储物箱的概率为． 7. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则以下结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用一元二次方程有两个相等实数根可得判别式，展开化简判别式即可得到正确结论． 【详解】解：∵方程是一元二次方程，且有两个相等的实数根 ∴，且． 即 ∴ ∴， 即． 8. 定义：若一个三角形的三个内角的度数是正整数，且满足最大角是最小角的两倍，则称这个三角形为“二倍角三角形”．在中，三个内角的度数是正整数，给出以下命题： ①若，则一定是“二倍角三角形”； ②若且，则一定是“二倍角三角形”； ③若最大角与最小角的差为40°，则一定是“二倍角三角形”； ④若三个内角的比为，则一定是“二倍角三角形”． 其中是真命题的是（ ） A. ①④ B. ②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】先明确“二倍角三角形”的定义：三个内角为正整数，且最大角是最小角的2倍，依次对四个命题通过计算验证或举反例判断即可． 【详解】解：根据定义，“二倍角三角形”要求三个内角为正整数，最大角是最小角的2倍，依次判断： ①若，举反例：令，，则，此时最小角为，最大角为，，不符合定义，故①是假命题． ②若，，则，，三个角从小到大是，最大角，符合定义，故②是真命题． ③若最大角与最小角差为，设最小角为，则最大角为，第三个角为，由得，取，则三个角为，最大角，存在反例，故③是假命题． ④若三个内角比为，总份数为，每份角度为，三个角为，最大角，符合定义，故④是真命题． 综上，真命题为②④． 9. 平移二次函数的图象得到一个新的二次函数图象，使其对称轴为直线，最大值为，且经过点，对平移前、后的两个二次函数图象有以下四个结论： ；将二次函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度可得到新的二次函数图象；平移后的二次函数图象与原函数图象的交点的横坐标为；平移后的二次函数图象与轴的交点纵坐标为．其中结论正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】先根据平移性质和平移后函数的条件写出顶点式，代入已知点求出，再逐个判断四个结论． 【详解】解：平移后二次函数对称轴为直线，最大值为，且由平移得到， 平移后二次函数顶点式为， 将点代入得：，解得，故结论错误； 根据二次函数平移规则“左加右减，上加下减”，将向右平移个单位得，再向下平移个单位得，即新函数，故结论正确； 联立，即， 解得， 即两函数图象的交点的横坐标为，故结论正确； 对于，令，得， 即平移后的二次函数图象与轴的交点纵坐标为，故结论错误． 综上，正确结论有，共个． 10. 如图，在矩形中，，，点E为中点，点F在边上运动（包括C，D两个端点），连接，将绕点E逆时针旋转得到，则以下四个结论错误的是（ ） A. 的最小值为3 B. 的最大值为 C. 若与相交于点G，则的最小值为 D. 的最小值为 【答案】C 【解析】 【分析】如图1，过点作交于点H，则，所以为定值，则点的运动轨迹为一条与垂直且到的距离为1的直线．如图2，设这条直线与相交于点K，则的最小值为，选项A正确；如图3，当点F与点C重合时，取到最大值为，选项B正确；如图3，若与相交于点G，则当点F与点C重合时，取到最小值，此时，则，所以的最小值为，选项C错误；如图4，作点C关于轨迹直线的对称点，，最小值为，选项D正确． 【详解】解：如图1，过点作交于点H，则， ∵在矩形中，，，点E为中点， ∴，， 由旋转的性质得， ∴， ∴， ∴， ∴为定值，则点的运动轨迹为一条与垂直且到的距离为1的直线； 如图2，设这条直线与相交于点K， 则的最小值为，选项A正确，不符合题意； 如图3， 当点F与点C重合时，取到最大值 此时，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴，即的最大值为，选项B正确，不符合题意； 如图3，与相交于点G，则当点F与点C重合时，取到最小值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，选项C错误，符合题意； 如图4，作点C关于轨迹直线的对称点， 则，， ∴最小值为，选项D正确，不符合题意． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 因式分解：______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了综合提公因式和公式法因式分解，解题的关键是正确找出公因式，熟练掌握平方差公式． 12. 有一正六边形的内切圆半径为，则与这个正六边形的外接圆半径之比为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出． 【详解】解：如图所示，过点作，垂足为，连接， 则正六边形的内切圆半径为， 外接圆半径为， ， ． 与这个正六边形的外接圆半径之比为． 13. 如图，，，，则_______． 【答案】10 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：10 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是关键． 14. 在量子计算科普活动中，某兴趣小组设计了如下数字游戏：对正整数n，反复将当前数的各位数字求和作为新数，直到得到一个一位数为止，称该一位数为n的“量子态”，记为，例如：，，则，，，，则．若两个正整数x，y满足，则称x与y“量子纠缠”． （1）___________； （2）下列说法中，正确的有___________（写出所有正确结论的序号）： ①对任意正整数n，若n是9的倍数，则； ②若，，则； ③若x是两位数，且，则所有这样的两位数x共有5个； ④若，且y是三位数，满足，则与x“量子纠缠”的y共有11个． 【答案】 ①. 1 ②. ①②④ 【解析】 【分析】（1）根据“量子态”的定义计算即可； （2）根据“量子态”和“量子纠缠”逐一判断即可． 【详解】解：（1）当时，则，， ∴； （2）①∵9的倍数的各位数字之和也是9的倍数，反复求和最终会得到9， ∴对任意正整数n，若n是9的倍数，则，故①正确； ②根据“量子态”的性质可知，， ∵， ∴， ∴，，则，故②正确； ③∵，x是两位数， ∴x的各位数字和为大于等于1小于等于， ∴x的各位数字和为5或14，数字和为5的两位数：14，23，32，41，50；数字和为14的两位数：59，68，77，86，95，共10个，故③错误； ④∵，则，， ∴， ∵x与y“量子纠缠”， ∴， ∵， 设，即， ∴或16， 当时，，此时的组合为，，，，，，，共7个， 当时，，此时的组合为，，，共4个， ∴总计个，故④正确． 综上，正确的有①②④． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ， 当，原式． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的三个顶点均为格点（网格线的交点）．已知三个顶点坐标分别为，，． （1）利用无刻度直尺作出中边的中线； （2）以原点O为位似中心在第一象限画出，使它与的相似比为2． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）取格点，连接，与相交，交点即为点，连接，则即为中线．由可得，那么即为中线． （2）根据位似图形的性质画图即可; 【小问1详解】 解：如图所示，中线即为所求： 【小问2详解】 如图所示，即为所求： 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 【情境】2026年，某校新建校园文化广场，广场中央矗立着一座主题雕塑．数学兴趣小组的同学利用周末时间，用测角仪和皮尺对雕塑高度进行测量． 【数据】 ●观测点B，C距地面的高度均为1.62米， ●观测点B距雕塑底座中心的距离为8.88米，， ●观测点C在B的正后方， ●在B处测得雕塑顶端的仰角为， ●在C处测得雕塑顶端的仰角为， （参考数据：，，，，，．） 根据已知数据计算雕塑的高度及观测点B与C的距离（精确到0.1米）． 【答案】雕塑的高度约为9.6米，观测点B与C的距离约为4.9米 【解析】 【分析】在中和中，分别根据三角函数求出、的值，进而求出、的值即可． 【详解】解：由题可知，米，米， 在中，（米）， 在中，，则（米）， ∴（米）， （米）， 答：雕塑的高度约为9.6米，观测点B与C的距离约为4.9米． 18. 某工厂用合肥本地生产的钢材加工甲、乙两种产品．现有20吨钢材，计划全部用于加工这两种产品．经市场调研发现： 加工甲产品的利润p（元）与使用钢材量x（吨）的关系为：， 加工乙产品的利润q（元）与使用钢材量y（吨）的关系为：， （1）若用x吨钢材加工甲产品，用剩余钢材加工乙产品，求总利润W与x的函数关系式； （2）如何分配钢材，可使总利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）20吨钢材全部用于加工乙产品时，可使总利润最大，最大利润是60000元 【解析】 【分析】（1）根据题意可得加工乙产品用吨钢材，由 即可解答； （2）利用二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：用x吨钢材加工甲产品，则加工乙产品用吨钢材， ； 【小问2详解】 解： ， ∵， ∴当时，W取最大值，最大值为60000元， 答：20吨钢材全部用于加工乙产品时，可使总利润最大，最大利润是60000元． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某市为了解中学生使用辅助学习工具的情况，从全市随机抽取100名中学生进行抽样调查，统计他们每周使用工具的时长（单位：小时），得到如下频数分布表和扇形统计图： 组别 A B C D E 使用时长（小时） 频数（人） 18 28 15 7 请根据以上信息，完成下列问题： （1）_________； （2）在扇形统计图中，求D组对应的扇形圆心角的度数； （3）如果全市有15000名中学生，估计每周使用工具3小时及以上的学生有多少人？ 【答案】（1）32 （2）D组对应的扇形圆心角的度数为； （3）估计每周使用工具3小时及以上的学生有人． 【解析】 【分析】（1）用100减去组，组，组，组的人数，即可求解； （2）用乘以D组人数占总人数的比例即可求解； （3）用15000乘以组，组，组的人数和所占总人数的比例即可解答． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：， 答：D组对应的扇形圆心角的度数为； 【小问3详解】 解：（人） 答：估计每周使用工具3小时及以上的学生有人． 20. 如图，在等腰中，，为的中线，D为边上一点，以为直径作交于点E，与相切于点G． （1）求证：； （2）若，的半径为，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形三线合一的性质可得，再根据切线的性质可得 ，即可证明结论； （2）由题意设，则，由（1）知 ，证明 ，推出，在中，，求出，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵为等腰三角形且，为的中线， ∴， ∵与相切于点G， ∴ ， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设，则， ∵的半径为 ， 由（1）知 ， ∴ ， 则，即，则， 在中，，即， 解得， ∴． 六、（本题满分12分） 21. 某校科技节将举办机器人表演展示活动，学校购置的小型智能机器人可按预设程序排列成各种方阵表演，数学科技社团需要从数学角度研究方阵的排列规律和优化设计． 机器人排成一个正方形方阵进行展示，如下图所示，方阵一般有实心方阵和空心方阵两种形式． 【项目启动·基础探究】 机器人第一环节排成实心方阵，已知最外层每边有个机器人． （1）当时，这个方阵共有机器人 个； （2）用含的代数式表示实心方阵中机器人的总数为 个； 【项目深入·规律探究】 第二环节是“空心方阵”造型．空心方阵是指最外层每边有个机器人，中间留出一个空心区域． （3）当空心区域为，且时，空心方阵的机器人总数为 个； （4）当空心区域为，且时，用含的代数式表示空心方阵机器人总数为 个； 【项目拓展·实际应用】 学校共有个机器人，现要排出一个空心方阵（中间留出的空心区域），要求： （i）最外层每边机器人数必须是偶数（便于对称排列）， （ii）最外层每边机器人数不少于个且不超过个， （5）满足条件的方阵方案共有 种，其中使用机器人数量最多的方案需要 个机器人． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5）； 【解析】 【分析】（1）实心方阵的机器人总数量等于每边数量的平方； （2）实心方阵的机器人总数量等于每边数量的平方； （3）空心方阵的机器人总数量等于每边数量的平方减去空心区域的数量； （4）空心方阵的机器人总数量等于每边数量的平方减去空心区域的数量，再根据平方差公式化简即可； （5）先根据条件确定的取值范围，然后列出所有满足条件的，依次求出对应的机器人总数量． 【小问1详解】 解：当时，这个方阵共有机器人个； 【小问2详解】 解：阶实心方阵中机器人的总数为个； 【小问3详解】 解：当时，空心方阵的机器人总数为个； 【小问4详解】 解：当时，空心方阵机器人总数为个； 【小问5详解】 解：根据题意得，为偶数且， 学校共有个机器人， ，解得， 满足条件的，，，，， 当时，个， 当时，个， 当时，个， 当时，个， 当时，个， 满足条件的方阵方案共有种，其中使用机器人数量最多的方案需要个机器人． 七、（本题满分12分） 22. 已知抛物线（a为常数），与x轴交于A，B两点（A在B的左侧）． （1）当时，求抛物线的解析式及点A，B的坐标； （2）已知点在该抛物线上． （i）若，求a的值； （ii）当时，设抛物线的顶点为P，点Q在抛物线的对称轴上，若是等腰三角形，求点Q的坐标． 【答案】（1）；； （2）（i）或；（ii）或或或． 【解析】 【分析】（1）由题意得到抛物线解析式为，令，解方程即可解答； （2）（ⅰ）令 ，解方程即可解答；（ⅱ）由题意得抛物线解析式为 ，得到顶点，，求出，设点，分，，，三种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：当时，抛物线解析式为， 当，则，解得或， ∴，； 【小问2详解】 解：（ⅰ）∵点在该抛物线上， ∴， 当，则， 解得或； （ⅱ）当时，抛物线解析式为 ， ∴顶点， ， ∴， ∴， 设点， ∵是等腰三角形，分三种情况讨论： 情形一：， ∴， ∴， ∴或； 情形二：， ∴， ∴ ， ∴， ∴或， 当时，， 当时，，与顶点P重合，舍去； 情形三：， ∴，即， 解得，此时； 综上所述，满足条件的点Q的坐标为或或或． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，正方形中，E，F分别是射线，上的点（点E不与点A，B重合），，垂足为点P，与交于点O，与交于点M，与交于点N． （1）求证：； （2）若， （i）如图2，当点E为中点时，求的值； （ii）当，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得出结论； （2）（ⅰ）证明，推出，由 ，求出，利用勾股定理求出，再求出，即可求解；（ⅱ）分点E在线段上（不与点A，B重合）时，点E在线段的延长线上时，两种情况讨论即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 在和中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：（ⅰ）∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∵点E为中点， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ，即 ， 解得， 在中，，即 ， 解得， ∵， ∴， ∴； （ⅱ）如图2，当点E在线段上（不与点A，B重合）时， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴ ， 又∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，不存在，则这种情况舍去； 当点E在线段的延长线上时，如图， ∵， ∴， 同理得： ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ， ∴，即， ∴， ∴，， 同理得：， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， 综上所述， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $