11.5 用一元一次不等式解决问题同步练习2025-2026学年七年级下册数学苏科版

**基本信息** 初中数学新授课同步练，聚焦“用一元一次不等式解决问题”，含选择10题、填空8题、解答6题，分层梯度清晰，强化从实际问题抽象不等式模型的数学眼光与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|列不等式组解决分配、购物等简单情境|如选择1-5题，直接对应“实际问题→不等关系”建模，巩固概念理解| |中档|含参数不等式组、程序操作、新定义问题|如选择7题程序操作三次停止、填空17题“[x）”新定义，培养逻辑推理| |提高|方案设计与优化、多变量最值问题|如解答19题购买方案最省钱、23题生产方案利润对比，发展数学应用与模型意识|

11.5 用一元一次不等式解决问题 一．选择题（共10小题） 1．野生兰草适宜生长在温度为18℃～22℃的山区．已知海拔每升高1000m，气温下降5℃，现测得某地区的气温为24℃，海拔为100m．设野生兰草在海拔高度为xm的山区较适宜，则所列下面不等式组中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球70元，每个足球60元．求共有几种购买方案？设购买篮球x个，可列不等式组（　　） A． B． C． D． 3．现在有住宿生若干名，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还有19人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，若设宿舍间数为x，则可以列得不等式组为（　　） A． B． C． D． 4．八年级某班级部分同学去植树，若每人平均植树7棵，还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1名同学植树的棵数不到8棵．若设同学人数为x人，下列各项能准确的求出同学人数与种植的树木的数量的是（　　） A．7x+9﹣9（x﹣1）＞0 B．7x+9﹣9（x﹣1）＜8 C． D． 5．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为（　　） A．8（x﹣1）＜5x+12＜8 B．0＜5x+12＜8x C．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．8x＜5x+12＜8 6．不等式组的解集为x＜2，则k的取值范围为（　　） A．k＞1 B．k＜1 C．k≥1 D．k≤1 7．运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞95”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是（　　） A．x≥11 B．11≤x＜23 C．11＜x≤23 D．x≤23 8．把一些笔分给几名学生，如果每人分5支，那么余7支；如果前面的学生每人分6支，那么最后一名学生能分到笔但分到的少于3支，则共有学生（　　） A．11人 B．12人 C．11或12人 D．13人 9．已知非负数a，b，c满足条件a+b＝7，c﹣a＝5，设S＝a+b+c的最大值为m，最小值为n，则m﹣n的值（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 10．某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．则这个敬老院的老人最少有（　　） A．29人 B．30人 C．31人 D．32人 二．填空题（共8小题） 11．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是　 　 ，小朋友的人数是　 　 ． 12．若干名学生住宿舍，每间住4人，2人无处住；每间住6人，空一间还有一间不空也不满，问多少学生多少宿舍？设有x间宿舍，则可列不等式（组）为　 　 ． 13．把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人就分不到3本，那么这些书共有　 　 本． 14．武汉东湖高新开发区某企业新增了一个项目，为了节约资源，保护环境，该企业决定购买A、B两种型号的污水处理设备共8台，具体情况如下表： A型 B型 价格（万元/台） 12 10 月污水处理能力（吨/月） 200 160 经预算，企业最多支出89万元购买设备，且要求月处理污水能力不低于1380吨．设购买A种型号的污水处理设备x台，可列不等式组　 　 ． 15．某班男女同学分别参加植树劳动，要求男女同学各种8行树，男同学种的树比女同学种的树多，如果每行都比预定的多种一棵树，那么男女同学种树的数目都超过100棵；如果每行都比预定的少种一棵树，那么男女同学植树的数目都达不到100棵．这样原来预定男同学种树 　 　 棵；女同学种树 　 　 棵． 16．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品50件．生产一件A产品需要甲种原料9千克，乙种原料3千克；生产一件B产品，需要甲种原料4千克，乙种原料10千克．设生产x件A种产品，x应满足的不等式组是：　 　 ． 17．设[x）表示大于x的最小整数，如[3）＝4，[﹣1.2）＝﹣1，则下列结论中正确的是 　 　 ．（填写所有正确结论的序号）①[0）＝0；②[x）﹣x的最小值是0；③[x）﹣x的最大值是0；④存在实数x，使[x）﹣x＝0.5成立． 18．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否＞487？”为一次操作．如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 　 　 ． 三．解答题（共6小题） 19．为响应“阳光体育”号召，某中学决定将排球和足球作为校园特色运动项目．学校计划从体育用品商店一次性购买若干个排球和足球．已知购买2个排球和3个足球共需390元，购买3个排球和2个足球共需410元． （1）求排球、足球的单价各是多少元； （2）根据实际需要，学校需一次性购买排球和足球共60个，且购买足球的数量不多于排球数量的．若总费用不超过5200元，请设计一个最省钱的购买方案，并求出此时的总费用． 20．剪纸是我国著名的非物质文化遗产，学校准备购进A，B两种样式的剪纸用于课外拓展课，A种剪纸每幅10元、B种剪纸每幅8元，计划购进A，B两种类型剪纸共100幅，购买预算不超过900元，且购进的B种剪纸数量不大于A种剪纸数量的2倍，则至少购进A种剪纸多少幅？ 21．去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件． （1）求饮用水和蔬菜各有多少件？ （2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来； （3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？ 22．某商店需要购进甲、乙两种商品共160件，其进价和售价如下表： 甲 乙 进价（元/件） 15 35 售价（元/件） 20 45 （1）若商店计划销售完这批商品后能获利1100元，问甲、乙两种商品应分别购进多少件？ （2）若商店计划投入资金少于4300元，且销售完这批商品后获利多于1260元，请问有哪几种购货方案？并直接写出其中获利最大的购货方案． 23．某工厂现有甲种原料3600kg，乙种原料2410kg，计划利用这两种原料生产A，B两种产品共500件，产品每月均能全部售出．已知生产一件A产品需要甲原料9kg和乙原料3kg；生产一件B种产品需甲种原料4kg和乙种原料8kg． （1）设生产x件A种产品，写出x应满足的不等式组． （2）问一共有几种符合要求的生产方案？并列举出来． （3）若有两种销售定价方案，第一种定价方案可使A产品每件获得利润1.15万元，B产品每件获得利润1.25万元；第二种定价方案可使A和B产品每件都获得利润1.2万元；在上述生产方案中哪种定价方案盈利最多？（请用数据说明） 24．某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元． （1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？ （2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，应选择哪种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？ 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．【解答】解：根据题意得：， 即18≤2422． 故选：D． 2．【解答】解：设购买篮球x个，则购买足球（50﹣x）个， 根据题意，得． 故选：C． 3．【解答】解：∵若每间住4人，则还有19人无宿舍住， ∴学生总人数为（4x+19）人， ∵一间宿舍不空也不满， ∴学生总人数﹣（x﹣1）间宿舍的人数在1和5之间， ∴列的不等式组为： 故选：D． 4．【解答】解：（x﹣1）位同学植树棵数为9×（x﹣1）， ∵有1位同学植树的棵数不到8棵．植树的棵数为（7x+9）棵， ∴可列不等式组为：， 即． 故选：C． 5．【解答】解：设有x人，则苹果有（5x+12）个，由题意得： 0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8， 故选：C． 6．【解答】解：解不等式组，得 ． ∵不等式组的解集为x＜2， ∴k+1≥2， 解得k≥1． 故选：C． 7．【解答】解：由题意得，， 解不等式①得，x≤47， 解不等式②得，x≤23， 解不等式③得，x＞11， 所以，x的取值范围是11＜x≤23． 故选：C． 8．【解答】解：假设共有学生x人，根据题意得出：， 解得：10＜x≤12． 因为x是正整数，所以符合条件的x的值是11或12． 观察选项，选项C符合题意． 故选：C． 9．【解答】解：∵a，b，c为非负数； ∴S＝a+b+c≥0； 又∵c﹣a＝5； ∴c＝a+5； ∴c≥5； ∵a+b＝7； ∴S＝a+b+c＝7+c； 又∵c≥5； ∴c＝5时S最小，即S最小＝12，即n＝12； ∵a+b＝7； ∴a≤7； ∴S＝a+b+c＝7+c＝7+a+5＝12+a； ∴a＝7时S最大，即S最大＝19，即m＝19； ∴m﹣n＝19﹣12＝7． 故选：C． 10．【解答】解：设这个敬老院的老人有x人，依题意得： ， 解得：29＜x≤32， ∵x为整数， ∴x可取值30，31，32， ∴x最少为30， 故选：B． 二．填空题（共8小题） 11．【解答】解：设有x位小朋友，则苹果为（5x+12）个， 依题意得：0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜5， 可化为：， 解得：5＜x， ∵x是正整数， ∴x＝6， 当x＝6时，5x+12＝42； ∴这一箱苹果有42个，小朋友有6位， 故答案为：42，6． 12．【解答】解：设有x间宿舍，则学生有（4x+2）人，由题意得： 1≤4x+2﹣6（x﹣2）＜6， 故答案为：1≤4x+2﹣6（x﹣2）＜6． 13．【解答】解：设共有x名学生，则图书共有（3x+8）本， 由题意得：， 解得：5＜x≤6.5， ∵x为非负整数， ∴x＝6． ∴这些书共有：3×6+8＝26（本）． 故答案为：26． 14．【解答】解：设购买污水处理设备A型号x台，则购买B型号（8﹣x）台， 根据题意，得， 故答案为：． 15．【解答】解：设原来每行树的棵数为x． ， 解得11.5＜x＜13.5， ∵x为整数， ∴x为12，13． ∵男同学种的树比女同学种的树多， ∴男同学每行种13棵树，女同学每行种12棵树． ∴男同学种了13×8＝104棵树，女同学种了12×8＝96棵树． 故答案为：104；96． 16．【解答】解：设生产x件A种产品，则生产B产品（50﹣x）件，共需要甲种原料[9x+4（50﹣x）]千克，乙种原料[3x+10（50﹣x）]千克， 由题意，得， 故答案为：． 17．【解答】解：①[0）＝1，故本项错误； ②[x）﹣x＞0，但是取不到0，故本项错误； ③[x）﹣x≤1，即最大值为1，故本项错误； ④存在实数x，使[x）﹣x＝0.5成立，例如x＝0.5时，故本项正确． 故答案为：④． 18．【解答】解：前四次操作的结果分别为 3x﹣2； 3（3x﹣2）﹣2＝9x﹣8； 3（9x﹣8）﹣2＝27x﹣26； 3（27x﹣26）﹣2＝81x﹣80； 由已知得：， 解得：7＜x≤19． 容易验证，当7＜x≤19时，3x﹣2≤487 9x﹣8≤487， 故x的取值范围是：7＜x≤19． 故答案为：7＜x≤19． 三．解答题（共6小题） 19．【解答】解：（1）设排球的单价为a元，足球的单价为b元， 由题意可得：， 解得， 答：排球的单价为90元，足球的单价为70元； （2）设购买足球x个，则购买排球（60﹣x）个， ∵学校计划用不超过5200元的总费用一次性购买这款排球和足球共60个，且购买足球的数量不多于排球数量的， ， 解得10≤x≤15， ∵x为整数， ∴x＝10，11，12，13，14，15， 由于足球单价（70元）低于排球单价（90元），要使总费用最低，应尽可能多买足球，即x＝15， 此时：足球数量：15个， 排球数量：60﹣15＝45个， 总费用：45×90+15×70＝4050+1050＝5100元， 答：最省钱的方案是购买排球45个、足球15个，总费用为5100元． 20．【解答】解：设购进A种剪纸x幅， 根据题意列一元一次不等式组得，， 由①得，x≤50， 由②得，， ∴不等式组解集为， ∵x为整数， ∴34≤x≤50， ∴最小整数解为34， 答：至少购进A种剪纸34幅． 21．【解答】解：（1）设饮用水有x件，则蔬菜有（x﹣80）件． x+（x﹣80）＝320， 解这个方程，得x＝200． ∴x﹣80＝120． 答：饮用水和蔬菜分别为200件和120件； （2）设租用甲种货车m辆，则租用乙种货车（8﹣m）辆． 得： ， 解这个不等式组，得2≤m≤4． ∵m为正整数， ∴m＝2或3或4，安排甲、乙两种货车时有3种方案． 设计方案分别为： ①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆； （3）3种方案的运费分别为： ①2×400+6×360＝2960（元）； ②3×400+5×360＝3000（元）； ③4×400+4×360＝3040（元）； ∴方案①运费最少，最少运费是2960元． 答：运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元． 22．【解答】解：（1）设甲种商品应购进x件，乙种商品应购进y件． 根据题意得：． 解得：． 答：甲种商品购进100件，乙种商品购进60件． （2）设甲种商品购进a件，则乙种商品购进（160﹣a）件． 根据题意得． 解不等式组，得65＜a＜68． ∵a为非负整数，∴a取66，67． ∴160﹣a相应取94，93． 方案一：甲种商品购进66件，乙种商品购进94件． 方案二：甲种商品购进67件，乙种商品购进93件． 答：有两种购货方案，其中获利最大的是方案一． 23．【解答】解：（1）由题意． （2）解第一个不等式得：x≤320， 解第二个不等式得：x≥318， ∴318≤x≤320， ∵x为正整数， ∴x＝318、319、320， 500﹣318＝182， 500﹣319＝181， 500﹣320＝180， ∴符合的生产方案为①生产A产品318件，B产品182件； ②生产A产品319件，B产品181件； ③生产A产品320件，B产品180件； （3）第一种定价方案下：①的利润为318×1.15+182×1.25＝593.2（万元）， ②的利润为：319×1.15+181×1.25＝593.1（万元） ③的利润为320×1.15+180×1.25＝593（万元） 第二种定价方案下：①②③的利润均为500×1.2＝600（万元）， 综上所述，第二种定价方案的利润比较多． 24．【解答】解：（1）设每个气排球的价格是x元，每个篮球的价格是y元． 根据题意得： 解得： 所以每个气排球的价格是50元，每个篮球的价格是80元． （2）设购买气排球a个，则购买篮球（50﹣a）个． 根据题意得：50a+80（50﹣a）≤3200 解得a≥26， 又∵排球的个数小于30个， ∴排球的个数可以为27，28，29， ∵排球比较便宜，则购买排球越多，总费用越低， ∴当购买排球29个，篮球21个时，费用最低． 29×50+21×80＝1450+1680＝3130元 学科网（北京）股份有限公司 $