11.5用一元一次不等式解决问题（题型专练）数学新教材苏科版七年级下册

**基本信息** 该同步练习以一元一次不等式解决问题为核心，通过基础抽象、情境应用到综合方案设计的三层递进题型，构建从概念理解到实际问题解决的完整路径，培养抽象能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|不等式（组）抽象|选择填空形式，聚焦数量关系转化（如轮船航行、硬币数量问题）| |情境应用|简单实际问题|生活情境题，强化建模能力（如购物满减、电梯超重、玻璃球体积测量）| |综合拓展|多模块综合应用|方案优化与跨知识整合（如利润最大化、程序框图、数轴与绝对值综合）|

11.5用一元一次不等式解决问题 题型一 由实际问题抽象出一元一次不等式（组） 1．（2023·锡山区·校级月考）若一艘轮船沿江水顺流航行120km用时少于3小时，它沿江水逆流航行60km也用时少于3小时，设这艘轮船在静水中的航速为xkm/h，江水的流速为ykm/h，则根据题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 2．（2024·泰兴市·月考）小明有1元和5角的硬币■，问小明可能有几枚1元的硬币？ 解：设小明有1元硬币x枚，根据题意得不等式组．■是被污染的部分，根据以上信息推测出被污染的部分内容有：①1元和5角的硬币15枚；②1元的硬币不少于2枚；③这些硬币的总币值不足10元．对被污染的信息推测正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 题型二 一元一次不等式（组）的简单应用 1．（2025·丹阳市·校级期末）甲乙两人去超市购物，超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满100元可以拿到1张摸彩券．已知甲一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；乙一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券，若每盒饼干的售价为x元，每个蛋糕的售价为120元，则x的取值范围是（　　） A．56≤x＜76 B．56≤x＜80 C．60≤x＜76 D．60≤x＜80 2．（2025·玄武区·校级月考）如图是小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而响起“嘀嘀”警示音的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯承载的重量超过450公斤时响起警示音，小丽、小欧的体重分别为55公斤、70公斤．设小丽进入电梯前电梯已承载的重量为x公斤，则x的取值范围是（　　） A．325＜x≤380 B．325＜x≤395 C．380＜x≤395 D．380＜x≤450 3．（2025·邗江区·校级月考）如图是测量一物体体积的过程： 步骤一：将180cm3的水装进一个容量为300cm3的杯子中； 步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； 步骤三：再加入一个同样的玻璃球，结果水满溢出． 根据以上过程，请你推测一颗玻璃球的体积x（cm3）所在的范围是　　． 4．（2025·江苏·校级月考）用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是a cm，若铁钉总长度为10cm，则a的取值范围是　　． 5．（2025·玄武区·校级月考）某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件A商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件A商品与1件B商品，立减了30元．若B商品的单价是整数元，则它的最大值是　　． 6．（2025·靖江市校级·月考）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．则这个敬老院的老人最少有　　人． 题型三 程序框图与一元一次不等式（组）综合 1．（2025·扬州·期末）如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则x的取值范围为（　　） A．x＞1 B．1＜x≤5 C．1≤x≤5 D．1≤x＜5 2．（2025·镇江·期末）如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则x的取值范围为（　　） A．x＞4 B．4＜x≤8 C．4≤x≤8 D．4≤x＜8 3．（2025·崇川区·校级月考）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞75”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么x的取值范围是（　　） A． B． C． D．x＜38 4．（2025·姜堰区·校级月考）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了4次才停止，则满足x的整数为（　　） A．2 B．0 C．﹣2 D．1 题型四 方程与不等式（组）综合 1．（2025秋·南京·校级月考）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．温水和开水公用一个出水口．温水的温度为30℃，流速为20mL/s；开水的温度为100℃，流速为15mL/s，整个接水的过程不计热量损失． （1）用空杯先接7s温水，再接4s开水，接完后杯中共有水　　mL，水温为　　℃． （2）某学生先接了一会温水，又接了一会开水，得到一杯280mL温度为50℃的水，则该学生接温水的时间是多少？（列方程解决问题） （3）研究表明，蜂蜜的最佳冲泡温度是48℃～52℃（包含两端数值），某教师携带一个容量为500mL的水杯接水，用来泡蜂蜜，要使接满水时杯中水温在最佳冲泡温度范围内，设该学生接温水的时间为a秒，请直接写出a的取值范围． 2．（2025·扬州·期末）青少年读书行动启动后，某中学积极响应，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜2个、乙种书柜3个，共需资金900元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1250元． （1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4300元，则购买甲种书柜至少多少个？ 题型一 一元一次不等式（组）的应用——方案选择问题 1．（2025·江阴市·校级月考）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为3m2和1m2，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元． （1）该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ （2）若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 2．（2025·赣榆区·期末）吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．某商场看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查：“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元． （1）该商场在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求m、n的值； （2）该商场决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，问：有哪几种购买方案？ 3．（2025·沭阳县·期末）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为3m2和1m2．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元． （1）该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ （2）若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案； （3）现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过am2，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出a的取值范围． 4．（2025·虎丘区·校级月考）某文具店经销甲、乙两款品牌的笔记本，今年二、三月份销售情况如下表所示：（甲、乙款种笔记本的销售单价保持不变） 月份 销售数量（本） 销售数量（本） 销售额（元） 甲款 乙款 二月份 40 20 880 三月份 20 40 800 （1）求甲、乙两款笔记本的销售单价分别是多少元； （2）若甲款笔记本每本进价为10元，乙款笔记本每本进价为8元，文具店预计用不多于624元且不少于620元的资金购进这两款笔记本共70本，有几种进货方案； （3）为了促销甲款笔记本，文具店决定每售出一本甲款笔记本，返还顾客现金m元，要使（2）中所有的方案获利相同，求m的值． 5．（2025·启东市·期末）为庆祝“六一”儿童节，某校七年级学生举行趣味运动会，需要购买适合学生使用的跳绳和毽子，经调查，已知2条跳绳和5只毽子共需90元，5条跳绳和8只毽子共需189元． （1）求每条跳绳和每只毽子的价格各是多少元？ （2）学校预购买跳绳与毽子共50个，其中跳绳不能少于10条，若学校预算经费不能超过600元，请通过计算策划购买方案； （3）商场在“六一”期间开展促销活动，优惠方案如下表： 优惠活动一：（打折促销） 跳绳九折优惠，毽子八五折优惠 优惠活动二：（买一赠一） 买一条跳绳赠送一只毽子 根据（2）中的购买方案，选用哪一种优惠活动更合适？ 题型一 一元一次不等式（组）的应用——费用最低/最大利润问题 1．（2025·宿城区·期末）某公司计划购买A，B两种型号的打印机共20台，通过市场调研发现，购买3台A型打印机和4台B型打印机需6180元，购买4台A型打印机和6台B型打印机需8840元． （1）购买A，B两种型号打印机每台的价格分别是多少元？ （2）根据公司实际情况，要求购买A型打印机的数量不超过B型打印机数量的一半，且购买这两种型号打印机的总费用不能超过17800元，该公司按计划购买A，B两种型号打印机共有几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，哪种方案费用最低？并求出最低费用． 2．（2025·南京·期末）某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元． （1）求购买一台电脑和一台电子白板各需多少万元？ （2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不高于30万元，但电脑的数量低于20台，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低？ 3．（2025·鼓楼区·校级月考）“天青色等烟雨”形容的就是青花瓷中最上等的天青色，古时只能在下雨天烧制，不同釉色的瓷器价格也是大不相同，下表是某瓷器专卖店近两个月两款瓷器的销售情况： 销售时间 釉色A销售数量 釉色B销售数量 总售价 第1个月 7套 6套 6530元 第2个月 9套 5套 6550元 （1）求釉色A，B两款瓷器每套的售价分别为多少元？ （2）若釉色A瓷器的进价为300元，釉色B瓷器的进价为600元，现专卖店计划用不超过8500元购进釉色A，B两款瓷器一共20套，且釉色B瓷器的数量不少于釉色A瓷器数量的一半，请你帮忙计算有哪几种进货方案？（瓷器数量为整数） （3）在（2）的条件及进货方案下，求该商店卖出这些瓷器的最大利润． 4．（2025·高新区·校级月考）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 （1）若工厂计划获利14万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ （2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？ （3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润． 题型二 数轴与一元一次不等式（组）综合 1．（2023·丹徒区·期末）【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离．例如|x|＝|x﹣0|表示数轴上表示x这个数的点到原点的距离，那么式子|x﹣1|可理解为：数轴上表示x这个数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式|x﹣1|≤2则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在﹣1和3之间（包含﹣1和3两个点），这样我们就可以得到不等式|x﹣1|≤2的解集为：﹣1≤x≤3； 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： （1）不等式|x|≤5的解集为　　； （2）不等式|x﹣2|≥2的解集为　　； （3）不等式2|x+1|﹣3＜5的解集为　　； （4）不等式|x﹣3|+|x+4|＜8的解集为　　； （5）对于任意数x，若不等式|x+3|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.5用一元一次不等式解决问题 题型一 由实际问题抽象出一元一次不等式（组） 1．【答案】B 2．【答案】D 题型二 一元一次不等式（组）的简单应用 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】30＜x＜40 4．【答案】 5．【答案】199 6．【答案】30 题型三 程序框图与一元一次不等式（组）综合 1．【答案】D 2．【答案】D 3．【答案】B 4．【答案】A 题型四 方程与不等式（组）综合 1． 【答案】（1）200，51；（2）10s；（3）a． 【详解】解：（1）由题意可得：接完后杯中共有水20×7+15×4＝200（mL）， 接完后杯中水温为51（℃）， 故答案为：200，51； （2）设该学生接温水的时间是x s，则接温水的体积为20xml，开水的体积为（280﹣20x）mL， 由题意可得：30×20x+100（280﹣20x）＝280×50，解得：x＝10． 答：该学生接温水的时间是10s； （3）设该学生接温水的时间为a秒，则接温水的体积为20a mL，开水的体积为（500﹣20a）mL， 由题意可得：，解得：a． 答：a的取值范围为a． 2． 【答案】（1）甲种书柜每个的价格是150元，乙种书柜每个的价格是200元； （2）购买甲种书柜至少10个． 【详解】解：（1）设甲种书柜每个的价格是x元，乙种书柜每个的价格是y元， 由题意可得：，解得：， 答：甲种书柜每个的价格是150元，乙种书柜每个的价格是200元； （2）设购买甲种书柜m个，则购买乙种书柜（24﹣m）个， 由题意可得：，解得：10≤m≤12， 又∵m为正整数， ∴m的最小值为10， 答：购买甲种书柜至少10个． 题型一 一元一次不等式（组）的应用——方案选择问题 1． 【答案】（1）该小区新建一个地上充电桩需要0.2万元，一个地下充电桩需要0.3万元； （2）共有4种建造方案， 方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩； 方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案3：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案4：新建17个地上充电桩，43个地下充电桩． 【详解】解：（1）设该小区新建一个地上充电桩需要x万元，一个地下充电桩需要y万元， 由题意可得：，解得：， 答：该小区新建一个地上充电桩需要0.2万元，一个地下充电桩需要0.3万元； （2）设新建m个地下充电桩，则新建（60﹣m）个地上充电桩， 由题意可得：，解得：40≤m≤43， 又∵m为正整数， ∴m可以为40，41，42，43， ∴共有4种建造方案， 方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩； 方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案3：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案4：新建17个地上充电桩，43个地下充电桩． 2． 【答案】（1）m的值为10，n的值为14； （2）共有3种购买方案： 方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个； 方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个； 方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个． 【详解】解：（1）由题意可得：，解得：， 答：m＝10，n＝14； （2）设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，则设购买“妮妮”造型钥匙扣挂件（100﹣x）个， 由题意可得：，解得：58≤x≤60， 又∵x为正整数， ∴x可以为58，59，60， ∴共有3种购买方案： 方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个； 方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个； 方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个． 3． 【答案】（1）该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元； （2）共有3种建造方案， 方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩； （3）98≤a＜100． 【详解】解：（1）设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元， 由题意可得：，解得：， 答：该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元； （2）设新建m个地上充电桩，则新建（60﹣m）个地下充电桩， 由题意可得：，解得：18≤m≤20， 又∵m为正整数， ∴m可以为18，19，20， ∴共有3种建造方案， 方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩； （3）选择方案1时新建充电桩的总占地面积为3×18+1×42＝96（m2）； 选择方案2时新建充电桩的总占地面积为3×19+1×41＝98（m2）； 选择方案3时新建充电桩的总占地面积为3×20+1×40＝100（m2）． ∵在（2）的条件下，仅有两种方案可供选择， ∴98≤a＜100． 4． 【答案】（1）甲款笔记本的销售单价是16元、乙款笔记本的销售单价是12元；（2）有3种进货方案；（3）m＝2． 【详解】解：（1）设甲款笔记本的销售单价是x元、乙款笔记本的销售单价是y元： 由题意可得：，解得：， 答：甲款笔记本的销售单价是16元、乙款笔记本的销售单价是12元； （2）设购进甲款笔记本a本， 由题意可得：，解得：30≤a≤32， ∵a为30，31，32， ∴共有3种进货方案； （3）设购进甲款笔记本a本， 则总获利为：（16﹣10﹣m）a+（12﹣8）（70﹣a）＝（2﹣m）a+280， ∵获利相同， ∴2﹣m＝0，即当m＝2，方案获利相同． 5． 【答案】（1）每条跳绳25元，每只毽子8元； （2）购买方案是：购买跳绳10条，毽子40只或跳绳11条，毽子39只； （3）选择优惠活动二更合适． 【详解】解：（1）设每条跳绳x元，每只毽子y元， 由题意可得：，解得：， 答：每条跳绳25元，每只毽子8元； （2）设学校购买跳绳m条， 由题意可得：25m+8（50﹣m）≤600，解得：， ∵m≥10， ∴m取10或11，购买方案是：购买跳绳10条，毽子40只或跳绳11条，毽子39只； （3）活动一：25×0.9×m+8×0.85（50﹣m）＝15.7m+340， 活动二：25m+8（50﹣m﹣m）＝9m+400， 若15.7m+340＞′9m+400，解得：m＞8， ∴选择优惠活动二更合适． 题型一 一元一次不等式（组）的应用——费用最低/最大利润问题 1． 【答案】（1）购买A种型号打印机每台的价格是860元，购买B种型号打印机每台的价格是900元； （2）共有两种购买方案： 购买A种型号打印机5台，购买B种型号打印机15台； 购买A种型号打印机6台，购买B种型号打印机14台． （3）购买A种型号打印机6台，购买B种型号打印机14台，费用最低，最低费用为17760元． 【详解】解：（1）设购买A种型号打印机每台的价格是x元，购买B种型号打印机每台的价格是y元， 由题意可得：，解得：， 答：购买A种型号打印机每台的价格是860元，购买B种型号打印机每台的价格是900元； （2）设购买A种型号打印机m台，则购买B种型号打印机（20﹣m）台， 由题意可得：，解得：5≤m． ∴共有两种购买方案： 购买A种型号打印机5台，购买B种型号打印机15台； 购买A种型号打印机6台，购买B种型号打印机14台； （3）若购买A种型号打印机5台，购买B种型号打印机15台，费用为860×5+900×15＝17800（元）； 若购买A种型号打印机6台，购买B种型号打印机14台，费用为860×6+900×14＝17760（元）； ∵17800＞17760， ∴购买A种型号打印机6台，购买B种型号打印机14台，费用最低，最低费用为17760元． 2． 【答案】（1）每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元； （2）有5种购买方案，当购进电脑19台，购进电子白板11台时，费用最低为26万元． 【详解】解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元． 由题意可得：，解得：， 答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元； （2）设购买m台电脑，则购买电子白板（30﹣m）台，设总费用为w万元． 由题意可得：0.5m+1.5（30﹣m）≤30，解得：m≥15， 又∵m＜20且m为整数， ∴m的所有可能取值有：15，16，17，18，19， ∵费用w＝0.5m+1.5（30﹣m）＝45﹣m， ∴w＝45﹣m的值随着m的增大而减小， ∴m＝19时，费用最低是26万元． 答：有5种购买方案，当购进电脑19台，购进电子白板11台时，费用最低为26万元． 3． 【答案】（1）釉色A款瓷器每套的售价为350元，釉色B款瓷器每套的售价为680元； （2）有两种进货方案： ①购进釉色A瓷器12套，釉色B瓷器8套； ②购进釉色A瓷器13套，釉色B瓷器7套； （3）该商店卖出这些瓷器的最大利润是1240元． 【详解】解：（1）设釉色A款瓷器每套的售价为a元，釉色B款瓷器每套的售价为b元， 由题意可得：，解得：， 答：釉色A款瓷器每套的售价为350元，釉色B款瓷器每套的售价为680元； （2）设购进釉色A款瓷器为m套，则釉色B款瓷器为（20﹣m）套， 由题意可得：，解得：11m≤13， ∵m为整数， ∴m的值为12或13， ∴有两种进货方案： ①购进釉色A瓷器12套，釉色B瓷器8套； ②购进釉色A瓷器13套，釉色B瓷器7套； （3）按方案①进货时，其利润为：（350﹣300）×12+（680﹣600）×8＝1240（元）， 按方案②进货时，其利润为：（350﹣300）×13+（680﹣600）×7＝1210（元）， ∵1210＜1240， ∴该商店卖出这些瓷器的最大利润是1240元． 4． 【答案】（1）A种产品应生产8件，B种产品应生产2件； （2）生产方案有3种： ①生产A种产品2件，B种产品8件； ②生产A种产品3件，B种产品7件； ③生产A种产品4件，B种产品6件； （3）生产A种产品2件，B种产品8件时可获得最大利润，其最大利润为2×1+8×3＝26（万元）． 【详解】解：（1）设A种产品应生产x件，则B种产品应生产（10﹣x）件， 由题意可得：x+3（10﹣x）＝14，解得：x＝8， ∴10﹣x＝2， 答：A种产品应生产8件，B种产品应生产2件． （2）设A种产品应生产m件，则B种产品应生产（10﹣m）件， 由题意可得：，解得：2≤m＜5， ∵m为正整数，m可以取2或3或4； ∴生产方案有3种： ①生产A种产品2件，B种产品8件； ②生产A种产品3件，B种产品7件； ③生产A种产品4件，B种产品6件； （3）设总利润为y万元，生产A种产品x件，则生产B种产品（10﹣x）件， ∴利润y＝x+3（10﹣x）＝﹣2x+30， ∴y随x的增大而减小，即A产品生产越少，获利越大， ∴当生产A种产品2件，B种产品8件时可获得最大利润，其最大利润为2×1+8×3＝26（万元）． 题型二 数轴与一元一次不等式（组）综合 1． 【答案】（1）﹣5≤x≤5；（2）x≤0或x≥4；（3）﹣5＜x＜3；（4）﹣4.5＜x＜3.5；（5）a≤5． 【详解】解：（1）不等式|x|≤5的解集为：﹣5≤x≤5， 故答案为：﹣5≤x≤5； （2）不等式|x﹣2|≥2的解集为：x≤0或x≥4， 故答案为：x≤0或x≥4； （3）不等式2|x+1|﹣3＜5的解集为：﹣5＜x＜3， 故答案为：﹣5＜x＜3； （4）不等式|x﹣3|+|x+4|＜8的解集为：﹣4.5＜x＜3.5， 故答案为：﹣4.5＜x＜3.5； （5）当x≤﹣3时，|x+3|+|x﹣2|＝﹣x﹣3﹣x+2＝﹣2x﹣1≥5， 当﹣3＜x≤2时，|x+3|+|x﹣2|＝x+3+2﹣x＝5， 当x＞2时，|x+3|+|x﹣2|＝x+3+x﹣2＝2x+1＞5， ∴|x+3|+|x﹣2|≥5， ∴a≤5． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.5用一元一次不等式解决问题 题型一 由实际问题抽象出一元一次不等式（组） 1．（2023·锡山区·校级月考）若一艘轮船沿江水顺流航行120km用时少于3小时，它沿江水逆流航行60km也用时少于3小时，设这艘轮船在静水中的航速为xkm/h，江水的流速为ykm/h，则根据题意可列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可得：． 故选：B． 2．（2024·泰兴市·月考）小明有1元和5角的硬币■，问小明可能有几枚1元的硬币？ 解：设小明有1元硬币x枚，根据题意得不等式组．■是被污染的部分，根据以上信息推测出被污染的部分内容有：①1元和5角的硬币15枚；②1元的硬币不少于2枚；③这些硬币的总币值不足10元．对被污染的信息推测正确的是（　　） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【详解】解：由x≥2，得1元的硬币不少于2枚，故②正确； 由0.5（15﹣x）+x＜10，得1元和5角的硬币15枚，这些硬币的总币值不足10元，故①③正确； 综上，对被污染的信息推测正确的是①②③． 故选：D． 题型二 一元一次不等式（组）的简单应用 1．（2025·丹阳市·校级期末）甲乙两人去超市购物，超市正在举办摸彩活动，单次消费金额每满100元可以拿到1张摸彩券．已知甲一次购买5盒饼干拿到3张摸彩券；乙一次购买5盒饼干与1个蛋糕拿到4张摸彩券，若每盒饼干的售价为x元，每个蛋糕的售价为120元，则x的取值范围是（　　） A．56≤x＜76 B．56≤x＜80 C．60≤x＜76 D．60≤x＜80 【答案】C 【详解】解：由题意可得：，解得：60≤x＜76． 故选：C． 2．（2025·玄武区·校级月考）如图是小丽和小欧依次进入电梯时，电梯因超重而响起“嘀嘀”警示音的过程，且过程中没有其他人进出．已知当电梯承载的重量超过450公斤时响起警示音，小丽、小欧的体重分别为55公斤、70公斤．设小丽进入电梯前电梯已承载的重量为x公斤，则x的取值范围是（　　） A．325＜x≤380 B．325＜x≤395 C．380＜x≤395 D．380＜x≤450 【答案】B 【详解】解：由题意可得：，解得：325＜x≤395． 故选：B． 3．（2025·邗江区·校级月考）如图是测量一物体体积的过程： 步骤一：将180cm3的水装进一个容量为300cm3的杯子中； 步骤二：将三个相同的玻璃球放入水中，结果水没有满； 步骤三：再加入一个同样的玻璃球，结果水满溢出． 根据以上过程，请你推测一颗玻璃球的体积x（cm3）所在的范围是　　． 【答案】30＜x＜40 【详解】解：由题意可得：，解得：30＜x＜40． 故答案为：30＜x＜40． 4．（2025·江苏·校级月考）用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大．当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击3次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是a cm，若铁钉总长度为10cm，则a的取值范围是　　． 【答案】 【详解】解：由题意可得：，解得：． 故答案为：． 5．（2025·玄武区·校级月考）某商场促销方案规定：单笔消费金额每满100元立减10元．例如，单笔消费金额为208元时，立减20元．甲在该商场单笔购买2件A商品，立减了20元；乙在该商场单笔购买2件A商品与1件B商品，立减了30元．若B商品的单价是整数元，则它的最大值是　　． 【答案】199 【详解】解：由题意可得：，解得：100≤x＜200， ∵B产品的单价为整数， ∴B商品的单价的最大值为199元． 故答案为：199． 6．（2025·靖江市校级·月考）某校学生志愿服务小组在“学雷锋”活动中购买了一批牛奶到敬老院慰问老人．如果分给每位老人4盒牛奶，那么剩下28盒牛奶；如果分给每位老人5盒牛奶，那么最后一位老人分得的牛奶不足4盒，但至少1盒．则这个敬老院的老人最少有　　人． 【答案】30 【详解】解：设这个敬老院的老人有x人， 由题意可得：，解得：29＜x≤32， ∵x为整数， ∴x可取值30，31，32， ∴x最少为30． 故答案为：30． 题型三 程序框图与一元一次不等式（组）综合 1．（2025·扬州·期末）如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则x的取值范围为（　　） A．x＞1 B．1＜x≤5 C．1≤x≤5 D．1≤x＜5 【答案】D 【详解】解：由题意可得：，解得：1≤x＜5． 故选：D． 2．（2025·镇江·期末）如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则x的取值范围为（　　） A．x＞4 B．4＜x≤8 C．4≤x≤8 D．4≤x＜8 【答案】D 【详解】解：由题意可得：，解得：4≤x＜8． 故选：D． 3．（2025·崇川区·校级月考）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞75”为一次程序操作，如果程序操作进行了两次才停止，那么x的取值范围是（　　） A． B． C． D．x＜38 【答案】B 【详解】解：由题意可得：，解得：x≤38． 故选：B． 4．（2025·姜堰区·校级月考）如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于28”为一次运算．若运算进行了4次才停止，则满足x的整数为（　　） A．2 B．0 C．﹣2 D．1 【答案】A 【详解】解：由题意可得：，解得：x≤2， 又∵x为整数， ∴x＝2． 故选：A． 题型四 方程与不等式（组）综合 1．（2025秋·南京·校级月考）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．温水和开水公用一个出水口．温水的温度为30℃，流速为20mL/s；开水的温度为100℃，流速为15mL/s，整个接水的过程不计热量损失． （1）用空杯先接7s温水，再接4s开水，接完后杯中共有水　　mL，水温为　　℃． （2）某学生先接了一会温水，又接了一会开水，得到一杯280mL温度为50℃的水，则该学生接温水的时间是多少？（列方程解决问题） （3）研究表明，蜂蜜的最佳冲泡温度是48℃～52℃（包含两端数值），某教师携带一个容量为500mL的水杯接水，用来泡蜂蜜，要使接满水时杯中水温在最佳冲泡温度范围内，设该学生接温水的时间为a秒，请直接写出a的取值范围． 【答案】（1）200，51；（2）10s；（3）a． 【详解】解：（1）由题意可得：接完后杯中共有水20×7+15×4＝200（mL）， 接完后杯中水温为51（℃）， 故答案为：200，51； （2）设该学生接温水的时间是x s，则接温水的体积为20xml，开水的体积为（280﹣20x）mL， 由题意可得：30×20x+100（280﹣20x）＝280×50，解得：x＝10． 答：该学生接温水的时间是10s； （3）设该学生接温水的时间为a秒，则接温水的体积为20a mL，开水的体积为（500﹣20a）mL， 由题意可得：，解得：a． 答：a的取值范围为a． 2．（2025·扬州·期末）青少年读书行动启动后，某中学积极响应，计划购进甲、乙两种规格的书柜放置新购进的图书，调查发现，若购买甲种书柜2个、乙种书柜3个，共需资金900元；若购买甲种书柜3个，乙种书柜4个，共需资金1250元． （1）甲、乙两种书柜每个的价格分别是多少元？ （2）若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，学校至多能够提供资金4300元，则购买甲种书柜至少多少个？ 【答案】（1）甲种书柜每个的价格是150元，乙种书柜每个的价格是200元； （2）购买甲种书柜至少10个． 【详解】解：（1）设甲种书柜每个的价格是x元，乙种书柜每个的价格是y元， 由题意可得：，解得：， 答：甲种书柜每个的价格是150元，乙种书柜每个的价格是200元； （2）设购买甲种书柜m个，则购买乙种书柜（24﹣m）个， 由题意可得：，解得：10≤m≤12， 又∵m为正整数， ∴m的最小值为10， 答：购买甲种书柜至少10个． 题型一 一元一次不等式（组）的应用——方案选择问题 1．（2025·江阴市·校级月考）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为3m2和1m2，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元，新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元． （1）该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少万元？ （2）若该小区计划用不超过16.3万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于40个，则共有几种建造方案？并列出所有方案． 【答案】（1）该小区新建一个地上充电桩需要0.2万元，一个地下充电桩需要0.3万元； （2）共有4种建造方案， 方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩； 方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案3：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案4：新建17个地上充电桩，43个地下充电桩． 【详解】解：（1）设该小区新建一个地上充电桩需要x万元，一个地下充电桩需要y万元， 由题意可得：，解得：， 答：该小区新建一个地上充电桩需要0.2万元，一个地下充电桩需要0.3万元； （2）设新建m个地下充电桩，则新建（60﹣m）个地上充电桩， 由题意可得：，解得：40≤m≤43， 又∵m为正整数， ∴m可以为40，41，42，43， ∴共有4种建造方案， 方案1：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩； 方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案3：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案4：新建17个地上充电桩，43个地下充电桩． 2．（2025·赣榆区·期末）吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．某商场看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查：“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元． （1）该商场在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求m、n的值； （2）该商场决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，问：有哪几种购买方案？ 【答案】（1）m的值为10，n的值为14； （2）共有3种购买方案： 方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个； 方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个； 方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个． 【详解】解：（1）由题意可得：，解得：， 答：m＝10，n＝14； （2）设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，则设购买“妮妮”造型钥匙扣挂件（100﹣x）个， 由题意可得：，解得：58≤x≤60， 又∵x为正整数， ∴x可以为58，59，60， ∴共有3种购买方案： 方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个； 方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个； 方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个． 3．（2025·沭阳县·期末）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为3m2和1m2．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元． （1）该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？ （2）若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案； （3）现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过am2，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出a的取值范围． 【答案】（1）该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元； （2）共有3种建造方案， 方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩； （3）98≤a＜100． 【详解】解：（1）设该小区新建1个地上充电桩需要x万元，1个地下充电桩需要y万元， 由题意可得：，解得：， 答：该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元； （2）设新建m个地上充电桩，则新建（60﹣m）个地下充电桩， 由题意可得：，解得：18≤m≤20， 又∵m为正整数， ∴m可以为18，19，20， ∴共有3种建造方案， 方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩； 方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩； 方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩； （3）选择方案1时新建充电桩的总占地面积为3×18+1×42＝96（m2）； 选择方案2时新建充电桩的总占地面积为3×19+1×41＝98（m2）； 选择方案3时新建充电桩的总占地面积为3×20+1×40＝100（m2）． ∵在（2）的条件下，仅有两种方案可供选择， ∴98≤a＜100． 4．（2025·虎丘区·校级月考）某文具店经销甲、乙两款品牌的笔记本，今年二、三月份销售情况如下表所示：（甲、乙款种笔记本的销售单价保持不变） 月份 销售数量（本） 销售数量（本） 销售额（元） 甲款 乙款 二月份 40 20 880 三月份 20 40 800 （1）求甲、乙两款笔记本的销售单价分别是多少元； （2）若甲款笔记本每本进价为10元，乙款笔记本每本进价为8元，文具店预计用不多于624元且不少于620元的资金购进这两款笔记本共70本，有几种进货方案； （3）为了促销甲款笔记本，文具店决定每售出一本甲款笔记本，返还顾客现金m元，要使（2）中所有的方案获利相同，求m的值． 【答案】（1）甲款笔记本的销售单价是16元、乙款笔记本的销售单价是12元；（2）有3种进货方案；（3）m＝2． 【详解】解：（1）设甲款笔记本的销售单价是x元、乙款笔记本的销售单价是y元： 由题意可得：，解得：， 答：甲款笔记本的销售单价是16元、乙款笔记本的销售单价是12元； （2）设购进甲款笔记本a本， 由题意可得：，解得：30≤a≤32， ∵a为30，31，32， ∴共有3种进货方案； （3）设购进甲款笔记本a本， 则总获利为：（16﹣10﹣m）a+（12﹣8）（70﹣a）＝（2﹣m）a+280， ∵获利相同， ∴2﹣m＝0，即当m＝2，方案获利相同． 5．（2025·启东市·期末）为庆祝“六一”儿童节，某校七年级学生举行趣味运动会，需要购买适合学生使用的跳绳和毽子，经调查，已知2条跳绳和5只毽子共需90元，5条跳绳和8只毽子共需189元． （1）求每条跳绳和每只毽子的价格各是多少元？ （2）学校预购买跳绳与毽子共50个，其中跳绳不能少于10条，若学校预算经费不能超过600元，请通过计算策划购买方案； （3）商场在“六一”期间开展促销活动，优惠方案如下表： 优惠活动一：（打折促销） 跳绳九折优惠，毽子八五折优惠 优惠活动二：（买一赠一） 买一条跳绳赠送一只毽子 根据（2）中的购买方案，选用哪一种优惠活动更合适？ 【答案】（1）每条跳绳25元，每只毽子8元； （2）购买方案是：购买跳绳10条，毽子40只或跳绳11条，毽子39只； （3）选择优惠活动二更合适． 【详解】解：（1）设每条跳绳x元，每只毽子y元， 由题意可得：，解得：， 答：每条跳绳25元，每只毽子8元； （2）设学校购买跳绳m条， 由题意可得：25m+8（50﹣m）≤600，解得：， ∵m≥10， ∴m取10或11，购买方案是：购买跳绳10条，毽子40只或跳绳11条，毽子39只； （3）活动一：25×0.9×m+8×0.85（50﹣m）＝15.7m+340， 活动二：25m+8（50﹣m﹣m）＝9m+400， 若15.7m+340＞′9m+400，解得：m＞8， ∴选择优惠活动二更合适． 题型一 一元一次不等式（组）的应用——费用最低/最大利润问题 1．（2025·宿城区·期末）某公司计划购买A，B两种型号的打印机共20台，通过市场调研发现，购买3台A型打印机和4台B型打印机需6180元，购买4台A型打印机和6台B型打印机需8840元． （1）购买A，B两种型号打印机每台的价格分别是多少元？ （2）根据公司实际情况，要求购买A型打印机的数量不超过B型打印机数量的一半，且购买这两种型号打印机的总费用不能超过17800元，该公司按计划购买A，B两种型号打印机共有几种购买方案？ （3）在（2）的条件下，哪种方案费用最低？并求出最低费用． 【答案】（1）购买A种型号打印机每台的价格是860元，购买B种型号打印机每台的价格是900元； （2）共有两种购买方案： 购买A种型号打印机5台，购买B种型号打印机15台； 购买A种型号打印机6台，购买B种型号打印机14台． （3）购买A种型号打印机6台，购买B种型号打印机14台，费用最低，最低费用为17760元． 【详解】解：（1）设购买A种型号打印机每台的价格是x元，购买B种型号打印机每台的价格是y元， 由题意可得：，解得：， 答：购买A种型号打印机每台的价格是860元，购买B种型号打印机每台的价格是900元； （2）设购买A种型号打印机m台，则购买B种型号打印机（20﹣m）台， 由题意可得：，解得：5≤m． ∴共有两种购买方案： 购买A种型号打印机5台，购买B种型号打印机15台； 购买A种型号打印机6台，购买B种型号打印机14台； （3）若购买A种型号打印机5台，购买B种型号打印机15台，费用为860×5+900×15＝17800（元）； 若购买A种型号打印机6台，购买B种型号打印机14台，费用为860×6+900×14＝17760（元）； ∵17800＞17760， ∴购买A种型号打印机6台，购买B种型号打印机14台，费用最低，最低费用为17760元． 2．（2025·南京·期末）某学校计划购进一批电脑和电子白板，经过市场考察得知，购买1台电脑和2台电子白板需要3.5万元，购买2台电脑和1台电子白板需要2.5万元． （1）求购买一台电脑和一台电子白板各需多少万元？ （2）根据学校实际，需购进电脑和电子白板共30台，总费用不高于30万元，但电脑的数量低于20台，请你通过计算求出有几种购买方案，哪种方案费用最低？ 【答案】（1）每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元； （2）有5种购买方案，当购进电脑19台，购进电子白板11台时，费用最低为26万元． 【详解】解：（1）设每台电脑x万元，每台电子白板y万元． 由题意可得：，解得：， 答：每台电脑0.5万元，每台电子白板1.5万元； （2）设购买m台电脑，则购买电子白板（30﹣m）台，设总费用为w万元． 由题意可得：0.5m+1.5（30﹣m）≤30，解得：m≥15， 又∵m＜20且m为整数， ∴m的所有可能取值有：15，16，17，18，19， ∵费用w＝0.5m+1.5（30﹣m）＝45﹣m， ∴w＝45﹣m的值随着m的增大而减小， ∴m＝19时，费用最低是26万元． 答：有5种购买方案，当购进电脑19台，购进电子白板11台时，费用最低为26万元． 3．（2025·鼓楼区·校级月考）“天青色等烟雨”形容的就是青花瓷中最上等的天青色，古时只能在下雨天烧制，不同釉色的瓷器价格也是大不相同，下表是某瓷器专卖店近两个月两款瓷器的销售情况： 销售时间 釉色A销售数量 釉色B销售数量 总售价 第1个月 7套 6套 6530元 第2个月 9套 5套 6550元 （1）求釉色A，B两款瓷器每套的售价分别为多少元？ （2）若釉色A瓷器的进价为300元，釉色B瓷器的进价为600元，现专卖店计划用不超过8500元购进釉色A，B两款瓷器一共20套，且釉色B瓷器的数量不少于釉色A瓷器数量的一半，请你帮忙计算有哪几种进货方案？（瓷器数量为整数） （3）在（2）的条件及进货方案下，求该商店卖出这些瓷器的最大利润． 【答案】（1）釉色A款瓷器每套的售价为350元，釉色B款瓷器每套的售价为680元； （2）有两种进货方案： ①购进釉色A瓷器12套，釉色B瓷器8套； ②购进釉色A瓷器13套，釉色B瓷器7套； （3）该商店卖出这些瓷器的最大利润是1240元． 【详解】解：（1）设釉色A款瓷器每套的售价为a元，釉色B款瓷器每套的售价为b元， 由题意可得：，解得：， 答：釉色A款瓷器每套的售价为350元，釉色B款瓷器每套的售价为680元； （2）设购进釉色A款瓷器为m套，则釉色B款瓷器为（20﹣m）套， 由题意可得：，解得：11m≤13， ∵m为整数， ∴m的值为12或13， ∴有两种进货方案： ①购进釉色A瓷器12套，釉色B瓷器8套； ②购进釉色A瓷器13套，釉色B瓷器7套； （3）按方案①进货时，其利润为：（350﹣300）×12+（680﹣600）×8＝1240（元）， 按方案②进货时，其利润为：（350﹣300）×13+（680﹣600）×7＝1210（元）， ∵1210＜1240， ∴该商店卖出这些瓷器的最大利润是1240元． 4．（2025·高新区·校级月考）某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 （1）若工厂计划获利14万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ （2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？ （3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润． 【答案】（1）A种产品应生产8件，B种产品应生产2件； （2）生产方案有3种： ①生产A种产品2件，B种产品8件； ②生产A种产品3件，B种产品7件； ③生产A种产品4件，B种产品6件； （3）生产A种产品2件，B种产品8件时可获得最大利润，其最大利润为2×1+8×3＝26（万元）． 【详解】解：（1）设A种产品应生产x件，则B种产品应生产（10﹣x）件， 由题意可得：x+3（10﹣x）＝14，解得：x＝8， ∴10﹣x＝2， 答：A种产品应生产8件，B种产品应生产2件． （2）设A种产品应生产m件，则B种产品应生产（10﹣m）件， 由题意可得：，解得：2≤m＜5， ∵m为正整数，m可以取2或3或4； ∴生产方案有3种： ①生产A种产品2件，B种产品8件； ②生产A种产品3件，B种产品7件； ③生产A种产品4件，B种产品6件； （3）设总利润为y万元，生产A种产品x件，则生产B种产品（10﹣x）件， ∴利润y＝x+3（10﹣x）＝﹣2x+30， ∴y随x的增大而减小，即A产品生产越少，获利越大， ∴当生产A种产品2件，B种产品8件时可获得最大利润，其最大利润为2×1+8×3＝26（万元）． 题型二 数轴与一元一次不等式（组）综合 1．（2023·丹徒区·期末）【阅读材料】 我们知道，一个数的绝对值是指在数轴上表示这个数的点到原点的距离．例如|x|＝|x﹣0|表示数轴上表示x这个数的点到原点的距离，那么式子|x﹣1|可理解为：数轴上表示x这个数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式|x﹣1|≤2则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点，观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在﹣1和3之间（包含﹣1和3两个点），这样我们就可以得到不等式|x﹣1|≤2的解集为：﹣1≤x≤3； 【解决问题】 参考阅读材料，借助数轴，解答下列问题： （1）不等式|x|≤5的解集为　　； （2）不等式|x﹣2|≥2的解集为　　； （3）不等式2|x+1|﹣3＜5的解集为　　； （4）不等式|x﹣3|+|x+4|＜8的解集为　　； （5）对于任意数x，若不等式|x+3|+|x﹣2|≥a恒成立，求a的取值范围． 【答案】（1）﹣5≤x≤5；（2）x≤0或x≥4；（3）﹣5＜x＜3；（4）﹣4.5＜x＜3.5；（5）a≤5． 【详解】解：（1）不等式|x|≤5的解集为：﹣5≤x≤5， 故答案为：﹣5≤x≤5； （2）不等式|x﹣2|≥2的解集为：x≤0或x≥4， 故答案为：x≤0或x≥4； （3）不等式2|x+1|﹣3＜5的解集为：﹣5＜x＜3， 故答案为：﹣5＜x＜3； （4）不等式|x﹣3|+|x+4|＜8的解集为：﹣4.5＜x＜3.5， 故答案为：﹣4.5＜x＜3.5； （5）当x≤﹣3时，|x+3|+|x﹣2|＝﹣x﹣3﹣x+2＝﹣2x﹣1≥5， 当﹣3＜x≤2时，|x+3|+|x﹣2|＝x+3+2﹣x＝5， 当x＞2时，|x+3|+|x﹣2|＝x+3+x﹣2＝2x+1＞5， ∴|x+3|+|x﹣2|≥5， ∴a≤5． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $