精品解析：江苏南京市第一中学2025-2026学年高一下学期5月期中数学试题

南京一中2025－2026学年第二学期期中试卷 高一数学 2026.05 命题人：蒋文化，唐颖杰 校对人：唐颖杰 审核人：雷蕾 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 复数下列说法正确的是（ ） A. z的模为 B. z的虚部为 C. z的共轭复数为 D. z的共轭复数表示的点在第四象限 6. 已知的边长均为1，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，若是纯虚数，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 8. 已知锐角，角的对边分别，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. ，，是空间三条不同的直线，则下列结论错误的是（ ） A. ， B. ， C. ，，共面 D. ，，共点，，共面 10. 关于非零向量，，下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 11. 下列计算正确的选项有（　　） A. B. C. D. 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_______． 13. 如图所示，是线段外一点，若中，相邻两点间的距离相等，，则 _________用表示 14. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，是的中线，且，则的最大值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. （1）求证：； （2）求证：平面. 16. 已知三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且. （1）求角A； （2）若，，求的面积. 17. 已知，，且，，求： （1）的值； （2）的值． 18. 如图所示，在中，是边的中点，在边上，与交于点． （1）以为基底表示； （2）若，求的值． 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，点为的费马点，且满足，. （1）求； （2）求的值； （3）求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京一中2025－2026学年第二学期期中试卷 高一数学 2026.05 命题人：蒋文化，唐颖杰 校对人：唐颖杰 审核人：雷蕾 注意事项： 1.本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷. 2.本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分. 3.答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上. 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】. 2. 已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由投影向量计算公式，可得答案. 【详解】在上的投影向量. 故选：C. 3. 在中，内角、、所对的边分别为、、，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由角度比例关系，可以算出每个角度，再根据正弦定理的推论，即可求得边长之比. 【详解】因为，故可得， 故可得 由正弦定理可得. 故选：D. 【点睛】本题考查正弦定理的推论，属基本知识点的考查. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由两角和的正切公式可得，再将所求式子弦化切得解. 【详解】因为，所以，即， ， . 故选：B. 5. 复数下列说法正确的是（ ） A. z的模为 B. z的虚部为 C. z的共轭复数为 D. z的共轭复数表示的点在第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法运算可得，然后求出模长、共轭复数可判断选项. 【详解】， z的模为，故A正确； z的虚部为，故B错误； z的共轭复数为，故C错误； z的共轭复数表示的点为在第一象限，故D错误. 故选：A. 6. 已知的边长均为1，点为边的中点，点为边上的动点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，利用坐标法计算数量积，结合的取值范围，即可得解. 【详解】如图以为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，，， 设，则， 所以，， 所以. 故选：B 7. 已知，若是纯虚数，则（ ） A. 1 B. -1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的运算法则和是纯虚数，求得，结合虚数单位的计算规律，即可求解. 【详解】由复数，可得， 因为是纯虚数，可得且，解得，所以， 因为， 所以 . 故选：B. 8. 已知锐角，角的对边分别，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理化简已知条件，由此求得的值，进而求得B的大小.再利用正弦定理和两角差的正弦公式，求得的表达式，进而求得的取值范围. 【详解】由题设知，， 由正弦定理得， 即, 又，所以，所以，得，所以， 又， 即，又锐角，所以，所以， 所以，即， 所以的取值范围是. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. ，，是空间三条不同的直线，则下列结论错误的是（ ） A. ， B. ， C. ，，共面 D. ，，共点，，共面 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线线的位置关系，结合平面的基本性质判断各选项正误即可. 【详解】解：由，，则、平行、异面都有可能，故A错误； 由，得，故B正确； 当时，，，不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，互相平行但不共面，故C错误； 当，，共点时，，，不一定共面，如三棱柱共顶点的三条棱不共面，故D错误； 故选：ACD. 10. 关于非零向量，，下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量的模、向量共线等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，向量的模相等，可能方向不相等，所以A选项错误. B选项，两个向量互为相反向量，则这两个向量平行，所以B选项正确. C选项，非零向量，，若，，则成立，所以C选项正确. D选项，向量不能比较大小，所以D选项错误. 故选：BC. 11. 下列计算正确的选项有（　　） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用由两角和的正切公式化简即可判断A；化切为弦结合辅助角公式、诱导公式化简即可判断B；利用两角和与差的正弦公式化简可判断C；先化切为弦再通分结合余弦的二倍角公式化简可判断D，进而可得正确选项. 【详解】对于A：，故选项A正确； 对于B： ，故选项B不正确； 对于C： ，故选项C不正确； 对于D： ，故选项D正确； 故选：AD. 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式计算可得； 【详解】解：因为，所以； 故答案为： 13. 如图所示，是线段外一点，若中，相邻两点间的距离相等，，则 _________用表示 【答案】 【解析】 【分析】取线段的中点，再利用中点向量公式求解. 【详解】设为线段的中点，则也为线段的中点， 则， 所以. 14. 在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，是的中线，且，则的最大值为_______． 【答案】4 【解析】 【分析】由题意得，两边平方化简后得，然后结合基本不等式可求得的最大值. 【详解】由题意得，， 因为是的中线，所以， 所以， 所以， 所以，当且仅当时取等号， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 所以，得，当且仅当时取等号， 所以的最大值为4， 故答案为：4 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. （1）求证：； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的性质推理得证. （2）取的中点，利用平行公理及线面平行的判定推理得证. 【小问1详解】 在四棱锥中，平面，平面，平面平面， 所以. 【小问2详解】 在四棱锥中，取的中点，连接， 由是的中点，得，由（1）知，而， 因此，四边形是平行四边形，则， 而平面，平面，所以平面. 16. 已知三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且. （1）求角A； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过条件得到，再通过向量的坐标运算计算，然后利用正弦定理边化角整理可得答案； （2）先利用余弦定理求出，再利用三角形的面积公式求面积. 【小问1详解】 ，，， ， 由正弦定理得，又， ， ，又， ； 【小问2详解】 由余弦定理， 解得，负值舍去， . 17. 已知，，且，，求： （1）的值； （2）的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用两角和的正切公式求出，再利用二倍角的正弦公式结合商数关系化弦为切即可得解； （2）先利用利用二倍角的余弦公式结合商数关系化弦为切求出，再利用两角差的正弦公式求出的正弦值，并求出的范围，即可得解. 【小问1详解】 由， 解得， 所以； 【小问2详解】 ， 由，，得， 所以 ， 因为，， 所以，所以， 又，， 所以，所以， 所以， 所以． 18. 如图所示，在中，是边的中点，在边上，与交于点． （1）以为基底表示； （2）若，求的值． 【答案】（1）； （2）1. 【解析】 【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理即可求解； （2）利用向量数量积的运算律计算求解. 【小问1详解】 由题意，设， 是边的中点， ，则， 与交于点，即三点共线，则可设， ， 所以， 根据平面向量基本定理，则有，解得， 所以. 【小问2详解】 ， , ， 因为，所以， 化简整理可得，所以. 19. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于120°时，使得的点即为费马点；当有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，点为的费马点，且满足，. （1）求； （2）求的值； （3）求的取值范围. 【答案】（1） （2）-2 （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可得，利用三角恒等变换可得，可求； （2）利用余弦定理可求得，结合三角形的面积关系可求得，利用向量的数量积的定义可求结论； （3）设，则，，，其中，利用正弦定理可得，，利用三角恒等变换和正弦曲线可求得的取值范围. 【小问1详解】 由，得， 所以， 所以.， 所以， 因为，所以， 可得，又，所以； 【小问2详解】 由，可得的三个内角均小于120°，又点为的费马点， 则， 由可得， 由余弦定理可得， 所以，所以， 又， 故， 可得. 所以； 【小问3详解】 设，则，，， 其中， 在中，由正弦定理可得，即， 则， 在中，由正弦定理可得，即， 则， ， 又 ， 又， 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $