精品解析：江苏南通市启东市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

2024~2025学年度第二学期高一年级期中考试 数学试卷 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，且，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. （ ） A. 2 B. 4 C. D. 4. 在中，若点满足，点为中点，则= A. B. C. D. 5. 设非零向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 7. 记的内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系xOy中，，，若点是线段AB上的动点，设，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分. 9. 已知复数，是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 10. 在中，记角的对边分别为，，，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 的面积为 11. 在中，为的中点，为的中点，延长交线段于点，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在方格边长为1的方格纸中，向量的起点和终点均在格点上，则_______. 13. 已知，则_____________． 14. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，，，，则两点的距离为_______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）当且时，求; （2）当时，求与夹角的余弦值. 16. 如图，在中，点在线段上，且，. （1）若是正三角形，求的长； （2）若，，求的值. 17. （1）已知，且．求的值； （2）已知，且．求的值． 18. 在中，，，为中点，设，. （1）当，时，若，求边的长； （2）当，时，与相交于点，设，求实数的值； （3）若，且，求的最大值. 19. 已知平面四边形中，对角线为钝角的平分线，与相交于点，，，. （1）求的值； （2）求的长； （3）若，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年度第二学期高一年级期中考试 数学试卷 总分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的乘法、除法运算，和虚部概念即可求解 【详解】，则， 其虚部为. 2. 已知向量，且，则实数的值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，根据平行得到方程，求出答案. 【详解】， 由可得，解得. 故选：D 3. （ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由两角差的正切公式变形即可得解. 【详解】 ， 故选：B 4. 在中，若点满足，点为中点，则= A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 作出图形，结合平面向量的线性运算，用基底表示. 【详解】作出图形如下， ,故选A. 【点睛】本题主要考查平面向量的线性运算，利用基底向量表示目标向量注意向量方向和模长之间的关系. 5. 设非零向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示结合二倍角公式即可求解； 【详解】因为， 所以， 所以，因为非零向量， 所以，所以， 所以， 故选：D 6. 若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为 所以可化为， 所以 7. 记的内角的对边分别为，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦定理得，再利用余弦定理有，由正弦定理得到的值，最后代入计算即可. 【详解】因为，则由正弦定理得. 由余弦定理可得:， 即:，根据正弦定理得， 所以， 因为为三角形内角，则，则. 故选：C. 8. 在平面直角坐标系xOy中，，，若点是线段AB上的动点，设，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的数量积运算求得，由数量积坐标表示得出，然后利用两角和的正弦公式及正弦函数的性质得最大值． 【详解】由已知， ∵，且，∴， ∵为线段AB上的动点，则,， ∵，， 则． 所以，其中，且为锐角，则， 所以时，的最大值为， 故选D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，至少有两项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选错或不选得0分. 9. 已知复数，是方程的两根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数范围内的根可得，即可结合选项，由复数的四则运算以及模长公式求解. 【详解】由题意可得，所以，所以，A错误； ，B正确 ，所以，C错误； 由于，所以，D正确， 故选：BD 10. 在中，记角的对边分别为，，，，下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 的面积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】正弦定理结合二倍角公式可得，可判断A；二倍角公式结合平方关系可求得，可判断B；利用余弦定理可求得c，并结合已知验证可判断C；根据面积公式直接求解，可判断D. 【详解】由正弦定理可得， 所以，即， 因为，所以，A正确； 因为， 所以，B正确； 由余弦定理得：，即， 解得或，若，则， 又因为，所以， 则有，故，故C错误； 由上可得，，D正确. 故选：ABD 11. 在中，为的中点，为的中点，延长交线段于点，则（ ） A. B. C. 的面积为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由两边平方，并求出，即可求解；对于B，设，可得，根据三点共线的性质即可求解；对于C，根据为靠近的四等分点，为靠近的三等分点，可得，求即可；对于D，由，化简可得答案. 【详解】因为中，， 对于A，由题可得，因为为的中点，为的中点，所以，则 所以，故A正确； 对于B，由，设，所以， 因为，，三点共线，则，解得，则，所以，故B正确； 对于C，由于，所以为靠近的四等分点，由于，所以为靠近的三等分点，故 由于，，所以， 则， 所以，故C不正确； 对于D, ，故D正确； 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图，在方格边长为1的方格纸中，向量的起点和终点均在格点上，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将向量移入坐标系，分别求出相关向量的坐标，利用向量运算的坐标公式计算即得. 【详解】 如图将向量放入平面直角坐标系中， 则，，， 则，故. 故答案为：. 13. 已知，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二倍角公式和诱导公式计算. 【详解】，则. 故答案为：. 14. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，测得，，，，则两点的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意在，中，分别计算出其角度值，再利用正弦定理可计算出，由余弦定理可得. 【详解】由题意可知，在中，， 又，所以， 即，所以, 在中，, 又，所以， 由正弦定理可得，即，解得 在中，由余弦定理可得， 所以可得. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量. （1）当且时，求; （2）当时，求与夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直坐标表示求出，再利用那个向量模的坐标公式求解； （2）根据向量共线的坐标运算求出，再利用向量的夹角公式求解. 【小问1详解】 当且时, ,即， 所以，解得（负值舍去）， 所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 ，， 则，又，， 所以，解得，所以， 则， 即与夹角的余弦值为. 16. 如图，在中，点在线段上，且，. （1）若是正三角形，求的长； （2）若，，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可求得的长； （2）利用两角差的正弦公式可求得的值，利用正弦定理可求得的长，可得出的长，再利用三角形的面积公式及可求得结果. 【小问1详解】 解：因为，， 由余弦定理可得. 【小问2详解】 解：因为，则为锐角，则， 则， 由正弦定理得，则， 因此，. 17. （1）已知，且．求的值； （2）已知，且．求的值． 【答案】（1）.（2）. 【解析】 【分析】（1）把题目给的两角和看成一个整体，则，结合已知条件再运用和差公式化简求值即可. （2）把看成一个整体，把条件变形为，再运用和差公式化简求值即可. 【详解】（1），， ，， ，， . 故答案为：. （2）， ，即， ，又， ， ，即. 故答案为：. 18. 在中，，，为中点，设，. （1）当，时，若，求边的长； （2）当，时，与相交于点，设，求实数的值； （3）若，且，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）用向量来表示向量，然后根据即可求解； （2）根据平面向量共线定理即可求解； （3）通过向量垂直以及基本不等式即可求解. 【小问1详解】 当，时，，， 因为为中点，所以， 所以， ， 因为，且，， 所以 ， 即 ，解得，即； 【小问2详解】 当，时，由（1）知，， 所以， 因为，，三点共线，所以，解得； 【小问3详解】 因为， ， 由知： ， 化简整理得：， 因为，所以， 解得，即， 当且仅当时取等号，此时，符合题意， 所以的最大值为. 19. 已知平面四边形中，对角线为钝角的平分线，与相交于点，，，. （1）求的值； （2）求的长； （3）若，求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式计算； （2）利用余弦定理求出，再利用可得； （3）根据以及余弦定理求出，再利用两角和差的正弦公式求出即可利用面积公式求出. 【小问1详解】 因为，对角线为钝角的平分线， 所以，解得或（舍）， 所以； 【小问2详解】 在中由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得或（舍去）， 因为，所以， 又因为， 所以， 即， 解得； 【小问3详解】 在中，由正弦定理可得， 即，所以， 因为为钝角，所以， 因为，所以， 所以，所以， 在中由余弦定理可得， 解得， 因为 ， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $