江苏南京师范大学附属中学2025-2026学年第二学期高一年级期中考试数学试卷

南师附中2025-2026学年度第2学期 高一年级期中考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 已知复数z满足，则复数z的虚部为（ ） A. B. C. D. 2 2. 已知是空间两条直线，是一个平面，若”是“m∥n”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，已知，，则（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知向量，的夹角为钝角，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，，则为（ ） A. B. C. D. 或 7. 已知向量，满足，则在（为非零向量）上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，角 的对边分别为 ，且满足，的平分线交于点D，若，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，为复数，，分别是，的共轭复数，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则或 B. 若，，，则 C. 若，则 D. 一定为实数 10. 如图，在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱和棱AB上的动点，记过点，E，F的平面截正方体表面所得的图形为，则下列结论正确的有（ ） A. B. 若E，F分别是所在棱的中点，则平面 C. 若E，F分别是所在棱的中点，则为五边形 D. 存在点E，使得平面 11. 已知分别是斜三个内角的对边，且对恒成立．则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 若，则的面积最大值为3 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在锐角中，已知，，，则的面积等于______ 13. 在三棱锥中，底面是正三角形，且侧面均为正三角形．已知点E是棱的中点，则异面直线和所成角的余弦值为______ 14. 在平面直角坐标系xOy中，角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交于点，将角的终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆O于点，若，则的值为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，． （1）求证：； （2）若，且，求． 16. 如图，在四棱锥中，分别是的中点，且底面是菱形． （1）求证：平面； （2）若平面，且，求直线与平面的夹角． 17. 当今世界已步入人工智能时代，智能机器人已深度融入生产生活．“五一”假期，智能机器人“行知1号”登上某景区旁的山顶，俯瞰景区时观测到：该景区中央为一片湖泊，距离岸边不远处的湖面上有三座高出湖面、处在同一海拔高度的圆形观景台（与岸边有道路相连），记三个观景台的圆心分别为A，B，C，的下方均为湖面，且连接观景台与湖边的道路均不在内．“行知1号”机器人还观测到：圆形观景台的直径均为8m；为锐角三角形，它的三边满足关系式：．根据上述条件，解答下列问题： （1）定义：若三角形中存在两个角，，满足，则称该三角形为“倍角三角形”，称角为“幸运角”．试问是否为“倍角三角形”？若是，请求出“幸运角”的取值范围；若不是，请说明理由； （2）若观景台圆心间距，，求围成区域内湖面的面积（内观景台部分的面积，不计入湖面面积；结果保留）． 18. 在中，已知a，b，c分别三个内角A，B，C的对边，且，点D为边AB上一点． （1）求角C； （2）已知D是边AB上一点，． ①若，求的最小值； ②若存在，使得，且，求的周长． 19. 设函数． （1）求的值； （2）求方程的最小的9个正实数解之和； （3）已知a，b均为正实数，若对都有恒成立，求的最大值． 南师附中2025-2026学年度第2学期 高一年级期中考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】A 【7题答案】 【答案】C 【8题答案】 【答案】D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明见解析 （2） 【17题答案】 【答案】（1）是， （2） 【18题答案】 【答案】（1） （2）①；② 【19题答案】 【答案】（1） （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $