精品解析：上海市奉贤中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

2026年奉贤中学高一下期中考试数学试卷 一、填空题 1. 若，，则________． 2. 已知角α的终边经过点，则_____ 3. 已知，，且，则________． 4. 已知，则___________． 5. 已知向量，，向量在向量上的数量投影为________． 6. 已知角终边上一点，且，则___________． 7. 函数，则的最小值为_____ 8. 已知函数（，，）的一部分图象如图所示，则______. 9. 已知复数z满足，则的最小值为_____________． 10. 已知的内角的对边分别为，且，则的最小值是______． 11. 如图，某图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，设为等边三角形内一点（含边界），若，则的取值范围为__________． 12. 定义对于点，的三角距离为，记点，分别位于函数与函数上，则的最大值为________． 二、选择题 13. 角满足，则（ ） A. B. C. D. 14. 在平行四边形ABCD中，为AB中点，为BC上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 15. 已知函数，则以下结论正确的个数为（ ） ①函数最小正周期是； ②函数最大值与最小值距离为； ③函数在区间上是严格减函数； ④对任意，使得“”成立的充要条件是“”． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16. 已知函数在上单调递增，且当时，，则的取值范围为（） A. B. C. D. 三、解答题 17. 已知复数. （1）若复数是实数，求实数的值. （2）若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 18. 已知向量，，记函数． （1）求函数的最小正周期； （2）在中，若，，求面积的最大值． 19. 目前，中国已经建成全球最大的网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座基站，已知基站高.该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰为，测得基站顶端的仰角为. （1）求出山高（结果保留一位小数）； （2）如图（第二幅），当该同学面向基站前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离，且记在处观测基站底部的仰角为，观测基站顶端的仰角为.试问当多大时，观测基站的视角最大？ 参考数据：，，，. 20. 如图所示，在中，在线段上，满足，是线段的中点，过点的直线与线段，分别交于点，，设，． （1）当时，请用与表示； （2）求证：为定值； （3）设的面积为，的面积为，求的最小值． 21. 已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质． （1）设函数的表达式分别为，判断函数与是否具有性质，说明理由； （2）已知函数具有性质，求函数在上零点的个数； （3）在（2）的条件下，将函数向左移动，纵坐标扩大为原来的8倍得到新的函数，已知函数在上有3个零点，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年奉贤中学高一下期中考试数学试卷 一、填空题 1. 若，，则________． 【答案】## 【解析】 【详解】因为，，所以. 2. 已知角α的终边经过点，则_____ 【答案】 【解析】 【详解】由三角函数的定义可知，， 则. 3. 已知，，且，则________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得， 结合，得，解得. 4. 已知，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】． 5. 已知向量，，向量在向量上的数量投影为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为向量，， 所以向量在向量上的数量投影为 . 6. 已知角终边上一点，且，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用正弦函数的定义求解. 【详解】由题意，解得（舍去）， 故答案为：2. 7. 函数，则的最小值为_____ 【答案】## 【解析】 【详解】由题意可得， 因为，根据余弦函数的图象和性质可得， 令，则函数转化为， 因为是开口向下，对称轴为的抛物线， 所以在上单调递增，， 所以的最小值为. 8. 已知函数（，，）的一部分图象如图所示，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】由最值点确定周期，由周期得出，然后再由最低点或最高点确定. 【详解】由题意，， ，， 又因为，所以. 9. 已知复数z满足，则的最小值为_____________． 【答案】2 【解析】 【分析】设复数z在复平面内对应的点为Z， 由复数的几何意义可知，将问题转化为x轴上的动点Z到定点距离的最小值，即可接替. 【详解】设复数z在复平面内对应的点为Z，因为复数z满足， 由复数的几何意义可知，点Z到点和的距离相等， 所以在复平面内，点Z的轨迹为x轴， 又表示点Z到点的距离， 所以的最小值为x轴上的动点Z到定点距离的最小值， 所以的最小值为2． 故答案为： 2 10. 已知的内角的对边分别为，且，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【详解】由，得， 所以， 所以，所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 11. 如图，某图标由三个全等的等腰梯形和一个等边三角形拼成．已知，设为等边三角形内一点（含边界），若，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【详解】延长交于点，则是等边三角形，． 四边形是平行四边形，，所以． 在线段上取点，使得，所以． 过点作，分别交于点,， 则,分别为的中点． 因为，所以， ．因为为内一点， 所以，即，所以，解得． 12. 定义对于点，的三角距离为，记点，分别位于函数与函数上，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义将三角距离化成向量夹角的余弦值，设，点坐标，对与的夹角进行讨论，求出它夹角的最小值的余弦值得出答案. 【详解】由题意可得， 设坐标为，的坐标为， 设为向量与x轴正半轴的夹角，为向量与x轴正半轴的夹角， 则， 当且仅当时取等号，可得 ， ，因为，所以，则， 由 ，则与之间的夹角最小时取得最大值， 即的最小值，其最小值为， 则的最大值为. 二、选择题 13. 角满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由， 得. 所以， 所以， 所以. 14. 在平行四边形ABCD中，为AB中点，为BC上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为是的中点，， 因为，所以，又， 由题意得，故B正确. 15. 已知函数，则以下结论正确的个数为（ ） ①函数最小正周期是； ②函数最大值与最小值距离为； ③函数在区间上是严格减函数； ④对任意，使得“”成立的充要条件是“”． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】 对自变量进行分象限讨论去绝对值，再利用三角恒等变形，即可得到判断. 【详解】因为 ， 且 则， 所以函数最小正周期不是；故①错误； 当时，， 当时，，当时，； 当时，， 当时，，当时，； 综上函数最大值与最小值距离为 ，故②正确； 当时，，所以， 此时，由正弦函数在上单调递减， 可得函数在区间上是严格减函数，故③正确； 当，由， 当为偶数，则 ， 此时，故④错误. 16. 已知函数在上单调递增，且当时，，则的取值范围为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用辅助角公式将函数化为正弦函数，进而利用正弦函数的单调区间和正负区间分别建立关于ω的不等式组，通过整数参数描述区间位置并与定义域取交集，最终综合确定ω的取值范围. 【详解】利用辅助角公式化简： 的单调递增区间为， 当时，，整个区间需落在某个增区间内， 因此：, 化简得： 结合： 若，则，若，则，若，不等式无解， 因此 当时，， 要使恒成立，整个区间需落在， 因此：， 化简得：， 结合，分情况讨论： 当时：取，得，交集为， 当时：取，得，交集为（因为）， 综上，的取值范围是. 三、解答题 17. 已知复数. （1）若复数是实数，求实数的值. （2）若在复平面内，复数表示的点在第四象限，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据复数的虚部为0求解即可； （2）根据复数的实部大于0，虚部小于0求解即可. 【小问1详解】 因为复数是实数，所以，即， 解得或；所以实数的值为或； 【小问2详解】 因为复数表示的点在第四象限， 所以，即， 解得或， 所以实数的取值范围为. 18. 已知向量，，记函数． （1）求函数的最小正周期； （2）在中，若，，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由数量积的坐标运算及三角恒等变换公式可得，进而可得最小正周期； （2）先由条件可得，再由余弦定理及基本不等式可得，再由三角形面积公式可得面积的最大值. 【小问1详解】 因为向量，， 所以 所以函数的最小正周期． 【小问2详解】 由得：，． 因为，所以，因此，解得． 由余弦定理得：， 因为，所以，即（当且仅当时等号成立）． 将代入得：. 所以的面积：， 当且仅当时，面积的最大值为． 19. 目前，中国已经建成全球最大的网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座基站，已知基站高.该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰为，测得基站顶端的仰角为. （1）求出山高（结果保留一位小数）； （2）如图（第二幅），当该同学面向基站前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离，且记在处观测基站底部的仰角为，观测基站顶端的仰角为.试问当多大时，观测基站的视角最大？ 参考数据：，，，. 【答案】（1） （2）时，视角最大 【解析】 【分析】（1）利用仰角差得，通过正弦定理求，结合直角三角形求山高即可. （2）用正切表示仰角，通过正切差公式表示视角的正切值，结合基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 由题意可知，，，，， 在中，，所以， 在中，， 所以山高. 【小问2详解】 由题意知，，，且， 则， 在中，， 在中，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以时，取得最大值， 又，所以此时视角最大. 综上，当时，视角最大. 20. 如图所示，在中，在线段上，满足，是线段的中点，过点的直线与线段，分别交于点，，设，． （1）当时，请用与表示； （2）求证：为定值； （3）设的面积为，的面积为，求的最小值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】小问（1）将用与表示，再找到与，与的关系即可；小问（2）将用与表示，用共线的性质求证；小问（3）求出两个三角形的面积，运用小问（2）的定值求出的最小值. 【小问1详解】 由可知为的三等分点， ． ， ， ，即，． ． 为中点，且E，O，F共线， ，则, ，解得． ． 【小问2详解】 ，． ，， 是的中点， ． ． ，，三点共线， ． 整理得 ，即． 为定值3． 【小问3详解】 ． 由（2）知， ． 令，则， ，， ． ． ， 当时，分母取最大值． 的最小值为． 21. 已知定义域为的函数满足：对于任意的，都有，则称函数具有性质． （1）设函数的表达式分别为，判断函数与是否具有性质，说明理由； （2）已知函数具有性质，求函数在上零点的个数； （3）在（2）的条件下，将函数向左移动，纵坐标扩大为原来的8倍得到新的函数，已知函数在上有3个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）具有性质不具有性质，理由见解析； （2）2027个； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的定义直接分析判断即可. （2）利用函数具有性质的定义，赋值计算即得的值，进而求出，再借助二倍角的正弦公式求出的零点，结合给定区间求出零点个数. （3）由（2）结合三角函数图象变换求出，探讨在区间上的性质，再利用零点的意义转化为直线与函数的图象交点问题求解. 【小问1详解】 函数具有性质不具有性质，说明如下： ，， 对任意，都有，所以具有性质； ，， 所以不具有性质. 【小问2详解】 由函数具有性质，得，即， 而，则，， 若，不妨设，由， 得，只要充分大时，将大于1， 而的值域为，则上述等式不可能成立，因此必有成立，即， 又，即，则，解得， 此时，则， 而，即有成立，符合题意， 令，即， ①当时，，即， 得或，得或； ②当时，，即，而，无解， 因此的解为，在内，，共2027个零点. 【小问3详解】 函数，由，得，函数在上递增， 函数值从增大到8，在上递减，函数值从8减小到，函数的图象如图： 令，即， 解得或，由在上有3个零点，得在上 方程有2个不同的实根，有1个实根 或有1个实根，有2个不同的实根， 因此或，解得或， 所以的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $