精品解析：2026年广东中山市第一中学中考数学模拟测试（4月）

广东中山第一中学2026年中考数学模拟测试（4月） 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．若，，为抛物线上三点，且总有，则的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，由抛物线解析式可得抛物线开口方向及对称轴，根据抛物线求得对称轴，再结合抛物线上的点离对称轴的距离越小，纵坐标越小得不等式求解，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系． 【详解】解：∵， ∴抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上， ∵，， ∴两点位于对称轴左侧，点位于对称轴右侧，且点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴， 解得：， 故选：． 2. 如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm，高是20 cm，那么所需彩带最短的是(　　) A. 13 cm B. 4cm C. 4cm D. 52 cm 【答案】D 【解析】 【分析】本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决..要求彩带的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理． 【详解】如图， 由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，设彩带最短长度为xcm， ∵∵易拉罐底面周长是12cm，高是20cm， ∴x2=(12×4)2+202∴x2=(12×4)2+202， 所以彩带最短是52cm． 故选D． 【点睛】本题考查了平面展开−−最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高， 3. 计算某一组数据的方差算式如下：，根据该算式，得到下列结论：①一共有5个数据；②该数据的平均数是10；③该数据的标准差是；④若添加一个数据10，新数据的方差不变，其中正确的结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据方差、平均数、标准差的定义逐一判断每个结论的正误即可． 【详解】解：①原式中共有5个数据项，分母为5，因此一共有5个数据，①正确； ②方差公式中每个数据减去的是平均数，原式中每个项均为，因此平均数为10，②正确； ③已知方差，标准差为方差的算术平方根，因此标准差为，③正确； ④由原方差得原平方和为，添加数据10后，新数据总和为，新数据个数为6，因此新平均数为，新平方和为，新方差为，因此方差改变，④错误． 综上，正确的结论共3个，因此选C． 4. 如图，，平分，，，，下列结论中错误的是（ ） A. B. 平分 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、垂直的定义、角平分线的定义、几何图形中的角的计算等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 由于则，利用平角等于得到，再根据角平分线定义得到可判定A选项；利用可得，则，即平分即可判定B选项；利用，可计算出，则可判定C选项；根据，即可判定D选项． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴，即A选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分，即B选项正确，不符合题意； ， ， ， ∴，即C选项正确，不符合题意； ，而，即，即D选项错误，符合题意． 故选D． 5. 定义新运算：，例如：，．若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义． 根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得，， 综上所述，x的值是或． 故选：D． 6. 如图，，，分别是，，的中点，下面的说法中：①与是位似图形；②与的相似比为；③与的周长之比为；④与的面积之比为．正确的是（　　） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似图形的性质，得出①与是位似图形，进而根据位似图形一定是相似图形得出 ②与是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案． 【详解】解：根据位似性质得出： ①与是位似图形， ②与是相似图形，且相似比是：， ③与的周长比等于相似比，即， ④根据面积比等于相似比的平方，则与的面积比为． 综上所述，正确的结论是：①③④． 故选：B． 【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方． 7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理及推论、矩形性质等知识点，如图：连接，过O点作、垂足为M，构造出直角三角形，再利用垂径定理和勾股定理求解即可．灵活运用垂径定理和勾股定理是解题关键． 【详解】解：如图：过O点作，垂足为M，连接， ∵四边形是矩形， ∴. 设,则, 在直角三角形中，，即，解得，即球的半径为． 故选C． 8. 如图所示：把两个正方形放置在周长为m的长方形ABCD内，两个正方形的重叠部分的周长为n（图中阴影部分所示），则这两个正方形的周长和可用代数式表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】正方形AKIE的周长表示为AK+KJ+JI+IH+HE+EM+MA，正方形FCLG的周长表示为GJ+JF+FC+CL+LH+HG，再利用线段的和差，求解即可． 【详解】解：∵长方形ABCD的周长为m，阴影部分的周长为n， ∴AB+BC，JI+HI=， 延长FG交AD于M， 正方形AKIE的周长为：AK+KJ+JI+IH+HE+EM+MA， 正方形FCLG的周长为：GJ+JF+FC+CL+LH+HG， ∵AK+JF=AB，KJ+FC=BC， ∴AK+JF+KJ+FC= AB+BC=， ∵AM+GL=AD=BC， ∴AM+GL+LC=BC+AB-DL=-DL， ∴GJ+JI+EI+ME=GJ+JI+HI+EH+GH= GJ+JI+HI+GH+EH=2(GJ+JI)+EH=n+EH， ∵EH=DL， ∴正方形AKIE的周长+正方形FCLG的周长=+-DL+ n+EH=m+n． 故选：A． ． 【点睛】本题考查了列代数式、正方形的周长、长方形的周长，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 9. 关于方程85（x﹣2）2=95的两根，则下列叙述正确的是（　　） A. 一根小于1，另一根大于3 B. 一根小于﹣2，另一根大于2 C. 两根都小于0 D. 两根都大于2 【答案】A 【解析】 【分析】利用直接开方法解方程,估计根的取值范围即可. 【详解】解85（x﹣2）2=95得 x=2=2, ∵12, ∴01, 34, 故选A. 【点睛】本题主要考查了二次方程的近似解,属于简单题,熟悉根式的估值是解题关键. 10. 如图，在正方形中，点分别在上，，与相交于点．下列结论：①垂直平分；②当时，为等边三角形；③当时，；④当时，．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据正方形的性质可以得到，即，，然后根据三线合一判断①，求出的度数判断②；计算出，判断③；计算出，判断④解题． 【详解】解：∵是正方形， ∴，， 又∵ ∴， ∴，， ∴， ∴垂直平分，故①正确； ∵， ∴， ∵ ∴为等边三角形，故②正确； ∵ ∴， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴， 故③正确； ∵， ∴， ∴， 又∵， 故④正确； ∴正确的个数为个， 故选D． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握正方形的性质是解题的关键． 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 若关于的一元二次方程的两个根分别为，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的定义与根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题关键，先将已知根代入方程求出的值，再利用根与系数的关系计算的值即可. 【详解】解：关于的一元二次方程的两个根分别为，， 将代入方程得：， 整理得：， 解得：， ， ， ． 12. 比较大小：（1）____，（2） _____ （填＞、＜或＝） 【答案】 ①. ＞ ②. ＞ 【解析】 【分析】利用二次根式的估算比较大小即可完成. 【详解】（1）∴ ∴>； （2）∵9＞3∴＞ 故答案为＞；＞ 【点睛】本题考查二次根式的估算，熟练掌握估算相关知识点是解题关键. 13. 学校图书馆有甲、乙两名同学担任志愿者，他们二人各自在周六、日两天中任意选择一天参加图书馆的公益活动，则该图书馆恰好周六、周日都有志愿者参加公益活动的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】列表或树状图将所有等可能的结果，利用概率公式求解即可． 【详解】解：列树状图得： ∵共有4种等可能的结果，周六、周日都有志愿者参加的有2种， ∴P(周六、周日都有志愿者参加公益活动)= =. 故答案为. 【点睛】本题考查了列表法与树状图法，解题的关键是根据题意列树状图即可. 14. 如图，在中，，，半径，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】连结OA、OB、AC、BC，则由AC=BC可以推得弧AC=弧BC，由垂径定理可得AD=BD，OD⊥AB，再根据勾股定理可以得到OD的值，最后可以算得CD的值． 【详解】解：连结OA、OB、AC、BC， ∵AC=BC， ∴弧AC=弧BC， ∴OD⊥AB，AD=BD=4， ∵OA=5， ∴在RT△OAD中，OD=， ∴CD=OC-OD=5-3=2， 故答案为2． 【点睛】本题考查圆的应用，熟练掌握垂径定理、等弦对等弧的性质及勾股定理的应用是解题关键． 15. 如图，抛物线与轴交于两点；抛物线与轴交于两点， （1）若，则抛物线的对称轴是直线___________； （2）若，且是线段的中点，则的值为___________． 【答案】 ①. 6 ②. 3 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． （1）把函数解析式化为顶点式，即可求解； （2）求出点的坐标，可得到n的值，即可求解． 【详解】解：（1）当时，抛物线的表达式 它的对称轴是直线． 故答案为：6 （2）当时，抛物线的表达式， 它的对称轴是直线， 是的中点， 点的坐标为， 把它代入，得：， 解得． 当时，抛物线的表达式为， 令，， 解得：， 此时与轴的两个交点横坐标分别是和1，与图象不符，应舍去； 当时，抛物线的表达式为， 令，， 解得：， 此时与轴的两个交点横坐标分别是1和5，符合题意， 的值为3． 故答案为：3． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程：（1） （2） 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）利用配方法将式子凑成完全平方式，即可求解； （2）先通分将分式方程化为一元一次方程，解方程，得出结果后注意要检验； 【详解】（1） 解得：，； （2） 经检验：是分式方程的解． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程、解分式方程，解题的关键是熟练掌握配方法和通分等知识点，考查学生的计算能力． 17. 如图，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接．请解答以下两个问题． （1）试判断四边形是什么特殊的平行四边形？请说明理由． （2）如果，，，求四边形的面积． 【答案】（1） 解：四边形是菱形， 理由如下： ，， 四边形是平行四边形， ，， ， 为的中线， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）首先可判定四边形是平行四边形，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，则可判断四边形是菱形； （2）由勾股定理可得，由三角形斜边上的中线的性质可得，从而得到，过点作，再由含角的直角三角形的性质可得，最后由进行计算即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得，， ，， ， ， 四边形是菱形， ， 过点作， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题主要考查了菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、含角的直角三角形的性质、菱形的面积公式，熟练掌握菱形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、含角的直角三角形的性质，是解题的关键． 18. 中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》指出，建设高质量教育体系，构建教育良好生态，促进学生德、智、体、美、劳全面发展．某校为了利用课余活动时间强健同学们的体魄，增设了羽毛球社团，深受同学们的喜爱，由于报名人数较多，现需要购买一批羽毛球拍和羽毛球．已知某知名品牌的羽毛球拍一副240元，羽毛球一个8元，甲、乙两个商店给出如下优惠方案： 甲：每副羽毛球拍打九五折，每个羽毛球打九折； 乙：买一副羽毛球拍送两个羽毛球． （1）现需要购买羽毛球拍20副和羽毛球个． ①在甲、乙两个商店购买的总费用分别为元，元，求，与的函数关系式； ②请你帮学校设计方案，说明在哪家商店购买更加划算． （2）为了丰富同学们的课余生活，学校决定再增设乒乓球社团，同样需要购买一批乒乓球拍，已知乒乓球拍一副160元．若计划购买羽毛球拍和乒乓球拍一共38副，则在不打折的情况下，8000元至少可以购买多少副乒乓球拍？ 【答案】（1）①；；②当购买羽毛球个数大于40且小于100时，选择乙商店更加划算；当购买羽毛球个数为100时，选择甲、乙两个商店一样；当购买羽毛球个数大于100时，选择甲商店更加划算 （2）在不打折的情况下，8000元至少可以购买14副乒乓球拍 【解析】 【分析】（1）①根据总费用单价数量折扣写出甲优惠方案函数关系式，根据总费用单价数量写出乙优惠方案函数关系式，注意实际购买羽毛球的个数需要个数送球个数；②方法策略问题：分，，三种情况讨论，最后进行总结； （2）根据条件列出不等关系：羽毛球拍的费用乒乓球拍费用，即可得到结果． 【小问1详解】 解：①根据题意，得； ． ②当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，解得． 综上所述，当购买羽毛球个数大于40且小于100时，选择乙商店更加划算；当购买羽毛球个数为100时，选择甲、乙两个商店一样；当购买羽毛球个数大于100时，选择甲商店更加划算． 【小问2详解】 解：设购买副乒乓球拍，则购买副羽毛球拍． 根据题意，得． 解得． 又∵为正整数， ∴的最小值为14． 答：在不打折的情况下，8000元至少可以购买14副乒乓球拍． 【点睛】本题主要考查一次函数的解析式，一元一次不等式，根据题意写出函数关系式是解题的关键． 19. 校园植物社团为研究不同光照条件（①区为教学楼旁半阴环境，②区为操场旁全日照环境）对同种灌木叶片发育的影响，开展了专项调查．从①②两个区域的灌木上各随机选取180片成熟叶片，测量每片叶片的长度x作为样本数据，并将数据分为以下组别： 组别 A B C D E x（单位：cm） 整理样本数据后，绘制①②两区样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： （1）补全①区频数分布直方图；②区样本数据的平均数为________． （2）下列结论一定正确的是________（填正确结论的序号）． Ⅰ两区样本数据的中位数均在C组； Ⅱ两区样本数据的平均数一定分别大于其中位数． （3）结合植物生理学标准，将C、D两组的叶片认定为“优质发育叶片”（形态饱满、光合效率高）．B组为“一般发育叶片”，其他组为“畸形发育叶片”．试估计哪个区域的叶片发育品质更优，并说明理由． 【答案】（1） 补全的频数分布直方图如图所示； 4.65 （2）Ⅰ （3） ②区叶片发育品质更优． 理由：①区“优质发育叶片”所占比例为；②区“优质发育叶片”所占比例为，②区比例高于①区，故②区叶片发育品质更优． 【解析】 【分析】（1）根据题意及①区样本数据频数分布直方图提供的数据求出C组对应的样本数据，再画图即可；找到②区样本数据频数分布直方图提供的数据及对应组内每片叶片的长度x的中间值，代入平均数计算公式计算平均数即可； （2）根据①、②区样本数据频数分布直方图提供的数据逐一分析即可； （3）根据题意分别求出①、②区“优质发育叶片”所占比例，然后，再进行比较即可． 【小问1详解】 解：根据题意知，C组对应样本数据为， ②区样本数据的平均数为； 【小问2详解】 解：分别从①、②区样本数据频数分布图中看出第90片和第91片样本数据均落在C组，故①、②区样本数据的中位数在C组，Ⅰ正确； 根据图表提供的信息不能确定两区样本数据的中位数的具体数值，故Ⅱ不一定正确； 综上，故选：Ⅰ； 【小问3详解】 略 20. 如图1，在中，，，为边上的中线． 　 （1）求的长； （2）动点P的速度为，运动时间为t秒． ①如图2，当点P从点B开始沿边向点C移动时，若是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的t的值． ②如图3，当点P从点C开始沿边向点A移动时，将沿直线对折，点C的对称点为，当与重叠部分为直角三角形时，请直接写出_____． 【答案】（1） （2）①t的值为或 ；②或或． 【解析】 【分析】（1）由，为边上的中线， 可得， 证明，再利用勾股定理可得答案； （2）①当时，当时，结合勾股定理可得答案： ②当于T时，与重叠部分为直角三角形，如图：求解，，由对折可得：，过作于，证明，，即，求得即可，当落在上时，与重叠部分为直角三角形，如图： 同理可得：，，可得答案；当于K时，与重叠部分为直角三角形，如图： 证明， 可得答案． 【小问1详解】 解：∵，为边上的中线， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①当时，如图： 此时 ， 当时，如图： 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， 综上所述，t的值为或 ； ② 当于T时，与重叠部分为直角三角形，如图： ∵， ∴由等面积法可得：， ∴，， 由对折可得：，过作于， ∴， ∴由三角形的面积公式可得：， ∴，即， ∴， ∴， 当落在上时，与重叠部分为直角三角形，如图： 同理可得：，， ∴此时； 当于K时，与重叠部分为直角三角形，如图： ∵， ∴， ∴， ∵沿直线对折，点C的对称点为， ∴， ∴， ∴， ∴此时， 综上所述，当与重叠部分为直角三角形时，t的值为或或． 【点睛】本题考查等腰三角形中的动点问题，涉及等腰三角形性质及应用，勾股定理，角平分线的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用． 21. 在等腰直角三角形中，，，点D为中点，点E为平面内一点，连接，将线段绕点E逆时针旋转至，连接，取中点M，连接EM． （1）如图1，点E与点C重合时，若，求线段的长度； （2）如图2，过点C作，且，求证：； （3）如图3，若，，在直线上取点N，连接，将线段绕点C逆时针旋转至，连接，当取得最小值时，请直接写出线段的长度． 【答案】（1） （2）证明：如图，在的延长线上截取，连接，，，，设与交点Q， ∵M，E分别为，中点， ∴在中，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）过点F作，垂足为点N，由等腰直角三角形的性质及已知条件得出，再由得出，进而可知，得出点N为中点，求得的长，由M为中点，得到的值，利用勾股定理求得的值； （2）在的延长线上截取，连接，，，，设与交点Q，利用三角形中位线定理得出，，从而得出，证明，进而得出，证明出四边形为平行四边形，利用线段关系从而得证； （3）先根据等腰直角三角形的性质及中点的性质求出和的值，确定出点E的轨迹是以D为圆心，为半径的圆，点F的轨迹是以D为圆心，为半径的圆，连接，取的中点O，确定出点M的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，紧接确定点Q的轨迹是与夹角为的直线l，作交于点，此时的值最小，再使交于点，则，作于点P，求出的值，延长交直线l于点Q，设直线l与交点K，当最小时，点，均在上，求出的值，证明，得到相关线段的值，再证明，利用全等三角形的性质得出相关线段的值，进而求得结果． 【小问1详解】 解：过点F作，垂足为点N， ∵为等腰直角三角形，， ∴，，， ∵D为中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∴在中，，， ∵M为中点， ∴， ∵在中，， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，为等腰直角三角形， ∴， ∴点E的轨迹是以D为圆心，为半径的圆， 又∵，， ∴， ∴点F的轨迹是以D为圆心，为半径的圆， 如图，连接，取的中点O， ∵点D为中点，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴点M的轨迹是以O为圆心，为半径的圆， ∵，， ∴点Q的轨迹是与夹角为的直线l， 作交于点，此时的值最小， 如图，交于点，则，作于点P， 在中，，， 在中，， ∴，， 延长交直线l于点Q，设直线l与交点K， ∴， ∴， ∴当最小时，点，均在上， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ∴，则， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即的值为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理及解直角三角形等知识点． 22. （1）如图1，在等边△ABC内部有一点P，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB＝　　． （2）如图2，五边形ABCDE是某公园局部平面图，BC⊥CD，ED⊥CD，∠ABC＝165°，AB＝300m，CD＝400m，BC＝ED＝50m．现需要在该五边形内部修建一条人工小溪，并建造一座观赏桥梁PQ和三条观光路AP，CQ，DQ，且PQ＝BC，PQ∥BC．已知观赏桥梁修建费用每米2a元和观光路修建费用每米a元．是否存在点P，使得修建桥梁和观光路总费用最低？若存在，请用含有a的代数式表示出总费用最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）150°；（2）存在，（100+100）a元 【解析】 【分析】（1）将△BAP绕点B顺时针旋转60°得△BCP′，则可得△BPP′为等边三角形，由勾股定理逆定理可得：∠PP′C=90°，即可求解； （2）连接BE，BP，EP，将△BPE绕点B顺时针旋转60°得到△BPE．连接PP′由（1）方法可得AP+CQ+QD最小，即需AP+PP′+EP最小，所以当A，P，P′，E四点共线时，由勾股定理求解即可， 【详解】解：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴BA＝BC， 可将△BAP绕点B顺时针旋转60°得△BCP′，连接PP′，如图， ∴BP′＝BP＝4，CP′＝AP＝3，PC＝5，∠PBP′＝60°， ∴△BPP′为等边三角形， ∴PP′＝PB＝4，∠BP′P＝60°， 在△P′CP中，PC＝5，P′C＝3，PP′＝4， ∴PC2＝PP′2+P′C2， ∴△P′CP为直角三角形，且∠CP′P＝90°， ∴∠APB＝∠BP′C＝90°+60°＝150°． 故答案为：150°． （2）如图，连接BE，BP，EP，修桥梁费用为100a，修观光路费用为（AP+DQ+CQ）•a． ∵BC∥PQ∥DE，BC＝PQ＝DE， ∴四边形BCQP是平行四边形，四边形PQDE是平行四边形， ∴BP＝CQ，PE＝QD， ∴要使AP+CQ+QD最小，则需AP+BP+PE最小． 将△BPE绕点B顺时针旋转60°得到△BP′E，连接PP′， ∴△BPP′为等边三角形， ∴PP′＝PB，EP＝EP′， ∴AP+BP+PE＝AP+PP′+E′P′， 当A，P，P′，E四点共线时，AP+PP′+E′P′最小， ∴AP+PP′+E′P′的最小值为AE′， 如图，延长E′B，过点A作AH⊥E′B于点H， ∵∠ABC＝165°，∠CBE＝90°， ∴∠ABP+∠PBE＝75°， ∵∠PBE＝∠P′BE′， ∴∠ABP+∠P′BE′＝75°， ∴∠ABH＝180°﹣∠ABP﹣∠PBP′﹣∠P′BE′＝45°， ∵AB＝300m， ∴AH＝HB＝300m， ∵HE′＝HB﹣BE′＝700（m）， 在Rt△AHE′中，由勾股定理得AE′＝100m， ∴最小的总费用为100a+50•2a＝（100+100）a元． 【点睛】本题考查了三角形旋转，等边三角形判定和性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理等知识，利用三角形旋转性质作出辅助三角形是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为. （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若为直角三角形，求点P的坐标； （3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为，，取AB的中点E，连接，，试探究是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）点P的坐标为：或；（3）. 【解析】 【分析】（1）先根据一次函数的解析式，分别求出点B和点C的坐标，然后在将B、C的坐标代入二次函数解析式中，即可求出抛物线的函数表达式； （2）根据直角的情况分类讨论：①若，此时，代入到二次函数解析式中，即可求出点P的坐标；②若，先求出直线PC的解析式，从而求出点P的坐标；③当，由图易知不存在； （3）连接，，作点C关于直线的对称点，连接、，先用SAS证出△≌△，此时易证≥，根据两点之间，线段最短，故当、和E共线时，的值最小，且最小值为，然后利用直线解析式求出的坐标，即可求出的长. 【详解】解：（1）B、C过直线 将y=0代入，解得x=3；将x=0代入，解得y=； ∴， ∵抛物线过点B、C ∴ ∴ （2）①若，此时，代入到二次函数解析式中， ∴， ∴， ∴ ②若（如图2） ∵ ∴ ∴ ∴直线PC的解析式为： ∴ ∴ ③当，由图易知不存在. 综上所述：点P的坐标为或. （3）由（2）知，，，PC= EB=2， EB 连接，，作点C关于直线的对称点，连接、，故 由平移可知：=， ∴∠=∠ ∴△≌△ ∴= ≥ 根据两点之间，线段最短，故当、和E共线时，的值最小，且最小值为 ∵ ∴ 设直线的解析式为y=kx＋b，将点P坐标代入，可得 直线的解析式为 由（2）的结论可知：直线的解析式为，设的坐标为 ∴的中点坐标为，代入中可得：a=1 ∴的坐标为 ∴， 故 【点睛】此题考查的是二次函数与一次函数的综合大题，掌握用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、分类讨论的数学思想和根据两点之间，线段最短求两条线段之和的最小值问题是解决此题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东中山第一中学2026年中考数学模拟测试（4月） 一、单选题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，已知抛物线．若，，为抛物线上三点，且总有，则的取值范围可以是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12 cm，高是20 cm，那么所需彩带最短的是(　　) A. 13 cm B. 4cm C. 4cm D. 52 cm 3. 计算某一组数据的方差算式如下：，根据该算式，得到下列结论：①一共有5个数据；②该数据的平均数是10；③该数据的标准差是；④若添加一个数据10，新数据的方差不变，其中正确的结论有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，，平分，，，，下列结论中错误的是（ ） A. B. 平分 C. D. 5. 定义新运算：，例如：，．若，则的值为（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 如图，，，分别是，，的中点，下面的说法中：①与是位似图形；②与的相似比为；③与的周长之比为；④与的面积之比为．正确的是（　　） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示：把两个正方形放置在周长为m的长方形ABCD内，两个正方形的重叠部分的周长为n（图中阴影部分所示），则这两个正方形的周长和可用代数式表示为（ ） A. B. C. D. 9. 关于方程85（x﹣2）2=95的两根，则下列叙述正确的是（　　） A. 一根小于1，另一根大于3 B. 一根小于﹣2，另一根大于2 C. 两根都小于0 D. 两根都大于2 10. 如图，在正方形中，点分别在上，，与相交于点．下列结论：①垂直平分；②当时，为等边三角形；③当时，；④当时，．其中正确的结论有（ ）个． A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 若关于的一元二次方程的两个根分别为，，则______． 12. 比较大小：（1）____，（2） _____ （填＞、＜或＝） 13. 学校图书馆有甲、乙两名同学担任志愿者，他们二人各自在周六、日两天中任意选择一天参加图书馆的公益活动，则该图书馆恰好周六、周日都有志愿者参加公益活动的概率是________． 14. 如图，在中，，，半径，则________． 15. 如图，抛物线与轴交于两点；抛物线与轴交于两点， （1）若，则抛物线的对称轴是直线___________； （2）若，且是线段的中点，则的值为___________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 解方程：（1） （2） 17. 如图，在中，，为的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接．请解答以下两个问题． （1）试判断四边形是什么特殊的平行四边形？请说明理由． （2）如果，，，求四边形的面积． 18. 中共中央办公厅、国务院办公厅印发的《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》指出，建设高质量教育体系，构建教育良好生态，促进学生德、智、体、美、劳全面发展．某校为了利用课余活动时间强健同学们的体魄，增设了羽毛球社团，深受同学们的喜爱，由于报名人数较多，现需要购买一批羽毛球拍和羽毛球．已知某知名品牌的羽毛球拍一副240元，羽毛球一个8元，甲、乙两个商店给出如下优惠方案： 甲：每副羽毛球拍打九五折，每个羽毛球打九折； 乙：买一副羽毛球拍送两个羽毛球． （1）现需要购买羽毛球拍20副和羽毛球个． ①在甲、乙两个商店购买的总费用分别为元，元，求，与的函数关系式； ②请你帮学校设计方案，说明在哪家商店购买更加划算． （2）为了丰富同学们的课余生活，学校决定再增设乒乓球社团，同样需要购买一批乒乓球拍，已知乒乓球拍一副160元．若计划购买羽毛球拍和乒乓球拍一共38副，则在不打折的情况下，8000元至少可以购买多少副乒乓球拍？ 19. 校园植物社团为研究不同光照条件（①区为教学楼旁半阴环境，②区为操场旁全日照环境）对同种灌木叶片发育的影响，开展了专项调查．从①②两个区域的灌木上各随机选取180片成熟叶片，测量每片叶片的长度x作为样本数据，并将数据分为以下组别： 组别 A B C D E x（单位：cm） 整理样本数据后，绘制①②两区样本数据的频数分布直方图，部分信息如下： （1）补全①区频数分布直方图；②区样本数据的平均数为________． （2）下列结论一定正确的是________（填正确结论的序号）． Ⅰ两区样本数据的中位数均在C组； Ⅱ两区样本数据的平均数一定分别大于其中位数． （3）结合植物生理学标准，将C、D两组的叶片认定为“优质发育叶片”（形态饱满、光合效率高）．B组为“一般发育叶片”，其他组为“畸形发育叶片”．试估计哪个区域的叶片发育品质更优，并说明理由． 20. 如图1，在中，，，为边上的中线． 　 （1）求的长； （2）动点P的速度为，运动时间为t秒． ①如图2，当点P从点B开始沿边向点C移动时，若是以为腰的等腰三角形，请你求出所有满足条件的t的值． ②如图3，当点P从点C开始沿边向点A移动时，将沿直线对折，点C的对称点为，当与重叠部分为直角三角形时，请直接写出_____． 21. 在等腰直角三角形中，，，点D为中点，点E为平面内一点，连接，将线段绕点E逆时针旋转至，连接，取中点M，连接EM． （1）如图1，点E与点C重合时，若，求线段的长度； （2）如图2，过点C作，且，求证：； （3）如图3，若，，在直线上取点N，连接，将线段绕点C逆时针旋转至，连接，当取得最小值时，请直接写出线段的长度． 22. （1）如图1，在等边△ABC内部有一点P，PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB＝　　． （2）如图2，五边形ABCDE是某公园局部平面图，BC⊥CD，ED⊥CD，∠ABC＝165°，AB＝300m，CD＝400m，BC＝ED＝50m．现需要在该五边形内部修建一条人工小溪，并建造一座观赏桥梁PQ和三条观光路AP，CQ，DQ，且PQ＝BC，PQ∥BC．已知观赏桥梁修建费用每米2a元和观光路修建费用每米a元．是否存在点P，使得修建桥梁和观光路总费用最低？若存在，请用含有a的代数式表示出总费用最小值；若不存在，请说明理由． 23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C，经过B，C两点的直线为. （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P为抛物线上的动点，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点M，连接PC，若为直角三角形，求点P的坐标； （3）当P满足（2）的条件，且点P在直线BC上方的抛物线上时，如图2，将抛物线沿射线BC方向平移，平移后B，P两点的对应点分别为，，取AB的中点E，连接，，试探究是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $