精品解析：山东聊城市教育联盟共同体 2026-2027学年九年级上学期10月阶段检测数学试题

2026—2027学年第一学期第一次学情调研 九年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 第I卷（选择题共30分） 一、单项选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面各组图形中，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是相似图形的识别，根据相似图形的定义知，相似图形的形状相同，但大小不一定相同，依据定义即可解决． 【详解】解：A、两个图形相似，故不符合题意； B、两个图形相似，故不符合题意; C、五角星和六角星不相似，故符合题意； D、所有的圆都相似，故不符合题意， 故选：C． 2. 下列方程：①②③④⑤⑥，是一元二次方程的有_________个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】只有一个未知数且未知数最高次数为2次的整式方程叫做一元二次方程，根据定义依次对各方程进行判断即可． 【详解】解：①为一元一次方程，不符合； ②含两个未知数，不符合； ③为一元二次方程，符合； ④是分式方程，不符合； ⑤展开得，整理得，为一元一次方程，不符合； ⑥整理为为一元二次方程，符合； 综上，符合条件的方程共2个． 3. 如图，在矩形中，在上取一点E，沿将向上折叠，使B点落在上的点F处，，若四边形与矩形相似，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得：，根据折叠的性质可知，，可证四边形是正方形，因为四边形与矩形相似，可得，可得方程，解方程即可求出的长． 【详解】解：四边形是矩形， ， 根据折叠的性质可知，， 四边形是正方形， ， 设，则， 四边形与矩形相似， ∴四边形矩形相似， ， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 经检验：是分式方程的解，且符合题意， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了图形的翻折、矩形的性质、正方形的判定和性质、相似多边形的性质，解决本题的关键是根据相似多边形的性质得到对应边成比例，根据对应边成比例求出边长． 4. 若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 或2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义．根据一元二次方程的解的定义得到，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值． 【详解】解：把代入一元二次方程，得 ， 解得， 而，即． 所以k的值为． 故选A． 5. 已知a，b，4是等腰三角形的三边长，且a，b是关于x的方程的两个实数根，则m的值是（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况讨论，①当4为底时，a、b为腰，②当4为腰时，则a为腰，b为底或a为底，b为腰，再结合一元二次方程根与系数的关系分别求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ∵，，4是等腰三角形的三边长， ①当4为底时，则、为腰， ∴， 又∵a，b是关于x的方程的两个实数根， 则， ∴， ∴， ∴； ②当4为腰，则a为腰，b为底或a为底，b为腰， 当a为腰，b为底时， 则a=4，b=2， ； 当a为底，b为腰时， 则a=2，b=4， 同理得出：， 综上， 或． 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程根与系数的关系；解题的关键是根据等腰三角形的性质进行分类讨论，结合韦达定理和三角形三边的关系是解题的关键． 6. 关于x的方程（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m＝（　　） A. 2或﹣2 B. 2 C. ﹣2 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义可知，最高次数为2且二次项的系数不为0，即|m|=2，且m+2≠0，解出m的值即可． 【详解】解：由题意可知：|m|=2，且m+2≠0， 所以m=±2且m≠-2． 所以m=2． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，要注意系数不为0，这是比较容易漏掉的条件． 7. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法的步骤是解题的关键．根据配方法的步骤先把常数项移到等号的右边，再在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方的形式，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选：A． 8. 中，P为上的一点．下列四个条件：①：②：③；④等，其中能判断的有（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】由相似三角形的判定依次判断可求解． 【详解】解：①，，可证，故①符合题意； ②，，可证，故②符合题意； ③，，可证，故③符合题意； ④，，不能证明，故④不符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定是本题的关键． 9. 《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为 （ ） A. 82﹢x2 = (x﹣3)2 B. 82﹢(x+3)2= x2 C. 82﹢(x﹣3)2= x2 D. x2﹢(x﹣3)2= 82 【答案】C 【解析】 【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可． 【详解】解：设绳索长为x尺，可列方程为（x-3）2+82=x2， 故选C． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键. 10. 如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点．下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得对应角相等，对应边相等，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵将以点为中心逆时针旋转得到， ∴， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ， 平分，故②正确； ， ， ， ， ， ， 故③正确 故选D 【点睛】本题考查了性质的性质，等边对等角，相似三角形的性质判定与性质，全等三角形的性质，掌握以上知识是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本题共5个空，每空3分，共15分） 11. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．利用一元二次方程的根的判别式解答，即可求解． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得：且． 故答案为：且． 12. 如图，已知，它们依次交直线于点和点．如果，那么___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论，找准对应线段是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 【答案】 【解析】 【分析】观察两个方程的结构，利用换元法将待求方程转化为与已知方程形式相同的方程，结合已知根求解． 【详解】解：将方程变形为， 设，则原方程可化为， ∵关于的一元二次方程有一个根为， ∴有一个根为， 即，解得， 因此一元二次方程必有一个根为． 14. 如图，线段上的一点P把分割为两条线段，当满足时，则称点P是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长18米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为x米），则所列方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设米，则米，根据，即可解答． 【详解】解：设米，则米， 根据得： ， ∴． 15. 如图，在中，，点P，Q同时由A，B两点出发，分别沿，方向向点C匀速运动（到点C为止），它们的运动速度都是．经过____秒的面积为面积的一半． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，设经过秒后的面积为面积的一半，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：由题意可得， 设经过秒后的面积为面积的一半， ∵点P，Q同时由A，B两点出发，分别沿，方向向点C匀速运动（到点C为止），它们的运动速度都是， ∴，， ∴，， ∴， ∵的面积为面积的一半， ∴， 整理得， 解得或， 当时，，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上所述，经过秒的面积为面积的一半． 三、简答题（共8题，共75分） 16. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或； ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或； ∴，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴， 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 【答案】（1）证明：在一元二次方程中，，，， ， ∵无论取何值，，即，∴无论取何值，方程总有实数根； （2）的值为，方程的另一个实数根为． 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）将代入求出的值，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵方程的一个实数根是， ∴， 解得：， ∴一元二次方程， ∴， 解得：，， ∴方程的另一个实数根为． 18. 配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值，我们可以通过以下方法求代数式的最值． 解：． ， 当时，有最小值，无最大值． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）若，则________；________； （2）求代数式的最值． 【答案】（1）， （2）最小值，无最大值 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质．熟练掌握配方法是关键． （1）依据题意，由配方即可得到本题答案； （2）依据题意，先提出，再配方即可求最值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，， 故答案为：；． 【小问2详解】 由题意得， ， ∵， ∴当时，有最小值，无最大值． 19. 如图，在等边三角形中，是边上任意一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：是等边三角形， ， 又， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质，等边三角形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解决本题的关键． （1）根据两个角对应相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据，，得出，由（1）知，可得，可得的值，进而即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是等边三角形，，， ， ， 由（1）知， ， ， ， ∴ ． 20. 某市按照《关于切实做好2024年初中毕业升学体育考试工作的通知》的要求，跳绳项目为必选项目．某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售150条，6月份销售216条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该跳绳销售量的月增长率； （2）若此种跳绳的进价为30元／条．经过市场调研，当售价为40元／条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，求该跳绳的实际售价． 【答案】（1）跳绳销售量的月增长率为； （2）该跳绳的实际售价为50元条． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设跳绳销售量的月增长率为，利用该跳绳6月份的销售量该跳绳4月份的销售量该跳绳销售量的月增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设该跳绳的实际售价为元条，则每条的销售利润为元，月销售量为条，利用总利润每条的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可确定结论． 【小问1详解】 解：设跳绳销售量的月增长率为， 根据题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：跳绳销售量的月增长率为； 【小问2详解】 解：设该跳绳的实际售价为元条，则每条的销售利润为元，月销售量为条， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 又要尽可能让顾客得到实惠， ． 答：该跳绳的实际售价为50元条． 21. 如图，在中，点在边上，、的延长线交于点，连接，已知． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2） 证明：由（1）知，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握相关性质定理和判定定理是解题的关键． （1）先根据平行四边形的性质证明， 结合已知的， 证明，得到 ，通过角的等量代换证明，根据平行线的性质得到，从而可证； （2）证明，得到，结合平行四边形的对应边相等，即，等量代换即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 若关于的一元二次方程的两根均为整数，则称的值为该方程的“关联值”．如：方程两根均为整数，其“关联值”为． （1）方程的“关联值”为_________； （2）若关于的一元二次方程的“关联值”为1，求的值； （3）求证：关于的一元二次方程（为整数）一定有“关联值”． 【答案】（1） （2）无解 （3） 证明：∵， ∴， ∴ ∵为整数， ∴关于的一元二次方程的两根均为整数， 依题意，， ∵为整数， ∴一元二次方程的“关联值”为， ∴关于的一元二次方程（为整数）一定有“关联值”． 【解析】 【分析】本题考查了新定义，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程的其他应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用因式分解法进行解方程，得，再把数值代入进行计算，即可作答． （2）先根据关于的一元二次方程的“关联值”为1，进行列式计算，得；再分别代入，进行计算，即可作答． （3）根据，得因为为整数，关于的一元二次方程的两根均为整数，再把数值代入进行化简，然后分析，即可作答． 【小问1详解】 解：∵方程， ∴， ∴， 则方程两根均为整数，其“关联值”为． 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程的“关联值”为1， ∴， ∴， 解得， ∵， 当时，则， 即， 此时方程无实数根，不满足两根均为整数的条件， ∴舍去； 当时，则， 即， ∴ 此时方程无实数根，不满足两根均为整数的条件， ∴舍去 综上：的值是无解的； 【小问3详解】 略 23. 【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题．     【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：．表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整； 第一步：将原方程变形为x（________）； 第二步：利用四个长为_______，宽为_______（用x表示）的全等矩形构造“空心”大正方形(请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程； 第三步：方程的一个正根为 ． 【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为5的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为16．那么此方程的系数____，_____．求得方程的一个正根为_________． 【答案】[类比迁移] 第一步： ； 第二步：，， 利用四个面积可用表示为长为，宽为的全等矩形构造“空心”大正方形，    画四个长为，宽为的矩形，按如图所示的方式拼成如图，拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为3的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：， ∵表示边长， ∴，即， 第三步：； [拓展应用] ，5，1或5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，能知道系数，与各图形面积的关系是解题的关键． [类比迁移]仿造[学习研究]，根据赵爽的办法解答即可； [拓展应用] 根据题意把，变形为，根据图2由4个面积为20的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为，即可得到答案． 【详解】解：[类比迁移] 第一步：将原方程变形为，即； 第二步：略 第三步：方程的一个正根为； 故答案为：；，，图形及解答过程见解析；； ∵， ∴， ∴四个小矩形的面积各为，大正方形的面积是，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即， ∵图2是由4个面积为5的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为， ∴，， 解得：，， 当时，，，，方程的一个正根为； 当时，，，，方程的一个正根为． 综上所述，方程的一个正根为1或5． 故答案为：，5，1或5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年第一学期第一次学情调研 九年级数学试题 时间：120分钟 分值：120分 第I卷（选择题共30分） 一、单项选择题（本题包括10小题，每小题3分，共30分） 1. 下面各组图形中，不是相似图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程：①②③④⑤⑥，是一元二次方程的有_________个． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 如图，在矩形中，在上取一点E，沿将向上折叠，使B点落在上的点F处，，若四边形与矩形相似，则的长为（　　） A. B. C. D. 4. 若关于的一元二次方程有一个根是0，则的值是（ ） A. B. 2 C. 0 D. 或2 5. 已知a，b，4是等腰三角形的三边长，且a，b是关于x的方程的两个实数根，则m的值是（　　） A. B. C. 或 D. 或 6. 关于x的方程（m+2）x|m|+mx﹣1＝0是一元二次方程，则m＝（　　） A. 2或﹣2 B. 2 C. ﹣2 D. 0 7. 用配方法解方程时，变形结果正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 中，P为上的一点．下列四个条件：①：②：③；④等，其中能判断的有（ ） A. ①②④ B. ①③④ C. ②③④ D. ①②③ 9. 《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为 （ ） A. 82﹢x2 = (x﹣3)2 B. 82﹢(x+3)2= x2 C. 82﹢(x﹣3)2= x2 D. x2﹢(x﹣3)2= 82 10. 如图，在中，，将以点为中心逆时针旋转得到，点在边上，交于点．下列结论：①；②平分；③，其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（本题共5个空，每空3分，共15分） 11. 关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是______． 12. 如图，已知，它们依次交直线于点和点．如果，那么___________． 13. 若关于的一元二次方程有一个根为2026，则一元二次方程必有一个根为________． 14. 如图，线段上的一点P把分割为两条线段，当满足时，则称点P是线段的黄金分割点．主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好，若舞台长18米，主持人从舞台一侧进入，设她至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上（的长为x米），则所列方程为____________． 15. 如图，在中，，点P，Q同时由A，B两点出发，分别沿，方向向点C匀速运动（到点C为止），它们的运动速度都是．经过____秒的面积为面积的一半． 三、简答题（共8题，共75分） 16. 解方程 （1）； （2）； （3）； （4）． 17. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有实数根； （2）若方程的一个实数根是，求另一个实数根和的值． 18. 配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系和不等关系的常用方法，配方法不仅可以用来解一元二次方程，还可以用来求某些代数式的最值，我们可以通过以下方法求代数式的最值． 解：． ， 当时，有最小值，无最大值． 请根据上述方法，解答下列问题： （1）若，则________；________； （2）求代数式的最值． 19. 如图，在等边三角形中，是边上任意一点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 某市按照《关于切实做好2024年初中毕业升学体育考试工作的通知》的要求，跳绳项目为必选项目．某体育用品店销售一种跳绳，4月份销售150条，6月份销售216条，若从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该跳绳销售量的月增长率； （2）若此种跳绳的进价为30元／条．经过市场调研，当售价为40元／条时，月销售量为600条，若在此基础上售价每上涨1元，则月销售量将减少10条，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，求该跳绳的实际售价． 21. 如图，在中，点在边上，、的延长线交于点，连接，已知． （1）求证：； （2）求证：． 22. 若关于的一元二次方程的两根均为整数，则称的值为该方程的“关联值”．如：方程两根均为整数，其“关联值”为． （1）方程的“关联值”为_________； （2）若关于的一元二次方程的“关联值”为1，求的值； （3）求证：关于的一元二次方程（为整数）一定有“关联值”． 23. 【综合与实践】：阅读材料，并解决以下问题．     【学习研究】：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，构造方法如下： 首先将方程变形为，然后画四个长为，宽为x的矩形，按如图（1）所示的方式拼成一个“空心”大正方形，则图中大正方形的面积可表示为，还可表示为四个矩形与一个边长为2的小正方形面积之和，即，因此，可得新方程：．表示边长，，即，遗憾的是，这样的做法只能得到方程的其中一个正根． 【类比迁移】：小明根据赵爽的办法解方程，请你帮忙画出相应的图形，将其解答过程补充完整； 第一步：将原方程变形为x（________）； 第二步：利用四个长为_______，宽为_______（用x表示）的全等矩形构造“空心”大正方形(请在画图区画出示意图，标明各边长），并写出完整的解答过程； 第三步：方程的一个正根为 ． 【拓展应用】：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图2来解，已知图2是由4个面积为5的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为16．那么此方程的系数____，_____．求得方程的一个正根为_________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $