四川省仁寿第一中学校南校区2025-2026学年高一下学期5月期中检测数学试题

**基本信息** 聚焦高一下学期核心知识，通过旋转体形成、圆锥小虫爬行等空间情境，结合向量运算、三角函数性质等问题设计，考查数学眼光中的空间观念、数学思维的推理能力及数学语言的模型表达，适配期中阶段性能力评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数虚部、向量垂直、三角函数平移|第3题旋转体形成考查空间观念，第5题图象平移体现几何直观| |多选题|3/18|平面向量基底、三角函数对称性|第11题正方体动态问题，培养逻辑推理与空间想象能力| |填空题|3/15|复数实部、投影向量、外接球表面积|第14题四面体外接球，考查空间几何模型构建| |解答题|6/77|三角恒等变换、线面垂直证明、解三角形|第18题四棱锥综合证明与线面角计算，第19题角平分线长度范围探究，体现数学思维的严谨性与模型意识|

2025级高一下学期期中检测 数学试题 1、 单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数（为虚数单位）的虚部为 A．2 B． C． D． 2．等于 A． B． C． D． 3．如图，某组合体是由选项中某个图形绕轴旋转而成，则这个图形是（   ） A． B． C． D． 4．已知平面向量，，若与垂直，则实数（       ） A． B． C． D． 5．为了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点（    ） A．向左平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向右平移个单位 6．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（   ） A．若，，则. B．若，，则. C．若，，，则 D．若，，则 7．下列区间中，函数在其间单调递增的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 二、多选题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的的部分分，有选错的得0分. 9．设，是平面内两个不共线的向量，则以下，可作为该平面内一组基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 10．若函数的两条相邻对称轴距离为，且，则（   ） A． B．点是函数的对称中心 C．函数在上单调递增 D．直线是函数图象的对称轴 11．如图，在正方体中，点P在线段上运动，则下列结论正确的是（   ） A．直线平面 B．异面直线与所成角的取值范围是 C．三棱锥的体积为定值 D．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知复数是实数，则 13．已知，，则在上的投影向量坐标为_________. 14．在四面体中，若，则四面体外接球的表面积为______ 四、解答题:本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知， 求 (1)； (2). 16已知平面向量，函数. (1)求的单调递增区间；(2)若锐角满足，求的值. . 17．已知函数（，，）的部分图象如图， (1)求函数的最小正周期T； (2)在三角形ABC中，AB=6，D是BC的中点，AD=，设∠BAC=，，，求三角形ABC的面积． 18．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且是的中点.    (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 19．在锐角中，角的对边分别为，若，. (1)求角的大小； (2)求边的值； (3)角的角平分线与边交于点，求角平分线长度的取值范围. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $2025级高一下学期期中检测 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的， 1.复数z=1-2i(i为虚数单位)的虚部为 A.2 B.-2 C.2i D.-2i 【答案】B 2.AB+BC+CM等于 A.BC B.AB C.AC D.AM 【答案】D 3.如图，某组合体是由选项中某个图形绕轴旋转而成，则这个图形是() B 1N 【答案】C 4.已知平面向量d=(1,-3),b=(1,2),若ā+tb与ā垂直，则实数t=( A.-1 B.1 C.2 D.3 【答案】C 5.为了得到函数y=sin2x+ π】 的图象，只需把函数y=sin2x图象上的所有点() 6 A.向左平移”个单位 B.向左平移云个单位 6 12 C.向右平移”个单位 D.向右平移刀个单位 6 12 【答案】B 6.已知，B是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是() A.若m∥a,m∥B,则∥B B.若m∥a,n∥a,则m∥n. C.若oa⊥B,mCa,ncB,则m⊥nD.若m∥a,m⊥B,则a⊥B 试卷第1页，共3页 【答案】D 解：对于A,若m∥a,m∥B,则a与B可以平行或相交，故A项错误； 对于B,若m∥a,n∥a,则m与n可以平行，异面，相交，故B项错误； 对于C,若a⊥B,mCa,ncB,则m与n可以平行，异面，相交，故C项错误； 对于D,若m∥a,由线面平行的定义，存在lca,使得m/l, 由m⊥B得l⊥B,而lca,得a⊥B,故D项正确 7.下列区间中，函数f(x)=3sinx- 6 在其间单调递增的是() B 3π C. π，2 D. 【答案】A 解：令+2版≤名经2akeZ,符+2≤≤+2akeZ, 3 则函数f八在-骨+2点，+2keD上单调递蜡. 2 当k=0时，0受真包含于[-受1，因此0)是函数了到的单调区间，A是； 3’3 不存在整数k,使得选项BCD为[-工+2k 3 ,2π+2km]的子集，BCD不是 3 8.如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥面爬行一周 后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为2√3，则这个圆锥的体积为() ” A. 16V2元 B.8V35π c.25m D.V5n 81 27 9 3 【答案】A 解：沿过P点的母线剪开摊平为扇形SPQ,如图，由己知SP=SQ=2,PQ=2√5， 所以eos∠P50=2+3=方∠P0=2 2×2×2 2 设圆锥底面半径为r, 则2m-2w=2元 「122，s2 3 试卷第1页，共3页 所以周推的商为=-V2-分-， 所以图锥体积为==×写×手万16。 3 81 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的的部分分，有选错的得0分。 9.设e，e是平面内两个不共线的向量，则以下ā，五可作为该平面内一组基底的是() A.a=e+e,b=e B.ā=2g+6,6=48+2 1-1- 2 C.a=-e+e,b=e-ez D.a=e-2e,,b=-e+4e 【答案】ABD 10.若函数国=smox+p.@>0p<孕的两条相邻对称轴距离为受且f10-分，则 () A.= B. 点20 是函数∫(x)的对称中心 C.函数f(x)在 6元 上单调递增 D.直线x= 是函数f(x)图象的对称轴 【答案】AB 解：：f(y=sin(ax+p),(@>0,o<孕的两条相邻对称轴距离为 2 r=12- 2 202 ,.0=2.f(x)=sin(2x+o) :f0=方a10=smp=号，又pk经则0-君 6 :f(e)=sin(2x+):选项A正确； 6 选项B:由2x+工=k红(k∈Z), 6 6_k杯-元(k∈Z 可得函数了x对称中心的横坐标：：6 212 当人=0时，对称中心为（受0B正确： 选项C:当2<x<π时，<2r<2m,<2x+<2x+ 6 6 61 试卷第1页，共3页 :f(x)在（凸，）上不递增，C错误； 6 法项D:由2x+名=ka+号，ke2 6 可得对称轴：2x=k红+2，x= +正ke工x=号不是f)对称轴 26 或验证法把x号代入行/得）sn:1,号不是)对秋轴 π D错误；故选：AB 11.如图，在正方体ABCD-A,B,C,D,中，点P在线段B,C上运动，则下列结论正确的是() D A D A.直线BD⊥平面A,C,D B.异面直线AP与AD所成角的取值范围是 ππ 42 C.三棱锥P-A,C,D的体积为定值 D.直线C,P与平面ACD所成角的正弦值的最大值为Y6 答案：ACD 解：A项，如图，连接B,D,BD D C B A AC1⊥B,D1,AC1⊥BB1,BD1OBB1=B, B 且B,D,BB1C平面BB,D,D, .AC⊥平面BB,D,D,BDC平面BB,D,D, AC⊥BD,同理，DC1⊥BD, 试卷第1页，共3页 AC DC=C,且A,C,DCc平面A,CD, :直线BD⊥平面AC,D,故A正确； B项，AP=(a-1,l,a,AD=(-l,0,-1. 所以cos(aD,4D)= AP.AD 1-2a 1-2a A4DVa-1+P+a2×22a2-a+1' 1-2a 4a2-4a+1=1- 3 2√a2-a+1 4a2-a+1D14(a2-a+10 因为o则。-a+1o-别1oo os(丽4e[, 因为异面直线AP与AD所成角为锐角或直角， ππ 故4P与4D所成角的取值范围为32，故B错误， C项，：A,B,∥AB∥DC,且AB,=DC,:四边形A,B,CD是平行四边形 A,D∥B,C,ADc平面ACD,B,C平面ACD, .B,C∥平面ACD,:点P在线段B,C上运动， :P到平面AC,D的距离，即点B到平面A,CD的距离，其为定值， 又△AC,D的面积是定值，·三棱锥P-AC,D的体积为定值 不妨设正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为1， V-4G0-Va-4GD-Vo-AG-.GDD 111 3 326 即三棱锥P-ACD的体积为定值合故C正确： 如图，以D为坐标原点，分别以DA,DC,DD所在直线为x,y,z轴，建立空间直角坐标系 试卷第1页，共3页 D C :点P在线段B,C上运动，则可设P(a,l,a,0≤a≤1， D 则D(0,0,0),A1,0,0),A(1,0,1),C0,1,1,B(1,1,0),D0,0,1 D项，CP=(a,0,a-1,D1B=(1,l,-1. 由A选项正确，可知D,B=(1,L,-1是平面ACD的一个法向量， ∴.直线CP与平面ACD所成角的正弦值为 CP.DB cos(CP,D.B)- 1 1 CP.DE Va2+(a-l125 52a-2) 1)21 +2 :当a=时，直线C,P与平面4CD所成角的正弦值的最大值为6，故D正确， 3 故选：ABD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知复数z=1-2i+a(1+2i)(a∈R)是实数，则a=1 13.已知a=(1,-1,b=(1,3),则a在五上的投影向量坐标为 【答案】 解：由a=(山-l刂，石=(1,3)，得a6=1x1-1x3=-2,=P+3=0, 所以a在五上的投影向量为 -后--引 14.在四面体ABCD中，若AB=CD=5,AC=V41,BD=3,AD=BC=5,则四面体 ABCD外接球的表面积为 41π 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 试卷第1页，共3页 15.已知(1+2i)z=4+3i,求(1)z; 解：(1)z=2-i,z=2+i;(2) zP 16己知平面向量ā= V3sinx,cos2x 6=eos,-小，函数fy=a6 1 0求国的单调造指区：②诺领角如满是侣)-片求2如+君别胸能 解：(1)由f(x)=a.b=V3 sinxcosx-cos2x+ 13 3sin2x-1+cos2x1 2 2 2 2cos2r=sin2x- 6/9 取2km-T≤2x-T≤2km+,k∈Z,解得m-元≤x≤k+T,k∈Z, 6 6 故f(x)的单调增区间为k红-刀，k标+刀 6 2由知-m2r引则rma-引 所以m2a+}sm[〔2a-}月引o2a-}1-2sme-}1-2x6日 17.已知函数fx)=Asin(@x+9)(4>0,o>0,0<0<受)的部分图象如图， 7π 12 12 (1)求函数f(x的最小正周期T; (2)在三角形ABC中，AB=6,D是BC的中点，AD=√19，设∠BAC=O,c0s0<0, 0-引0，求三角形4BC的面积。 【详解】(1)由图可知，4=1,2红=2-马)，解得，0=2.： 12121 2x音*p=2缸+eZ).0<p<9-骨f0=sm2x+写》，所以T=z. 试卷第1页，共3页 2):f0-号}-0，sn20--=0. :c050<0,即5<0<元，：日=2π 3 设BC=2m,AC=x. :∠ADB+∠ADC=π，.cos∠ADB+cos∠ADC=0, AB=6,AD=19, 分别在ADB和△ADC中，由余弦定理 19+m2-36,19+m2=8-0, 2V19m2V19m .4m2=2x2-4. 在ABC中，由余弦定理得(2m)2=36+x2-12xcos∠BAC=36+x2+6x. .2x2-4=36+x2+6x,.x=-4(舍)，或x=10,即AC=10. 所以，8C的面积为5x号484Cs如∠B1C-×6x10x 1 =15V3 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AD=4,AB=2,PA⊥平面 ABCD,且M是PD的中点 B (1)求证：PB/平面ACM (2)求证：AM⊥平面PCD; (3)求直线CD与平面ACM所成角的正弦值， 解：(1)证明：连接BD交AC于O,连接MO, MO是三角形PBD中PB边上的中位线，：MO/1PB, 4 B 试卷第1页，共3页 又：PB平面ACM,MOc平面ACM,·PB/1平面ACM (2)证明：PA⊥平面ABCD,CDc平面ABCD,.PA⊥CD, 又四边形ABCD是矩形，CD⊥DA,:DA∩PA=A,DA,PAC平面PAD, .CD⊥平面PAD,:AMC平面PAD,:CD⊥AM, 又M是PD的中点，PA=AD=4,AM⊥PD, :CD∩PD=D,CD,PDC平面PCD,AM⊥平面PCD (3)如图，取AD中点为N,连接MN, 在△PAD中，M,N分别为线段PD,AD的中点， 故MN IIPA,MN=PA=2,:PA⊥平面ABCD,MN⊥平面ABCD, 1 u3MNX女AD-CD=8 、) 由(2)得AM⊥平面PCD,:MCc平面PCD,AM⊥MC, PA=AD=4,:PD=42,AM MD=2,AB=CD=2,:.MC=23, 2.5 weC 设点D到平面AMC的距离为h,直线CD与平面ACM所成角为O, 则Xh-5c=o解得=26 3 3 ,故咖0A6】 CD 3 :直线CD与平面ACM所成角的正弦值为V6 l9.在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若V3 bsin C+V3 csin B=4 a sin B sin C, 2bsin B+2csin C=bc+a. ()求角A的大小： (2)求边a的值； (3)角A的角平分线AD与边BC交于点D,求角平分线AD长度的取值范围 试卷第1页，共3页 解：(1)由√3 bsin C+√3 csin B=4 a sin B sin C及正弦定理得： 3sin B sin C+3sin C sin B=4sin Asin B sin C, 因为0<B,C<号，所以snB#0,sinC0, 所以sn4=5,又0<4<5，所以4=号 2 3 (2)由正弦定理6=ca25 sin B sinc"sinsin B- 5b 2a,sin C= 3e 2a 由2 bsinB+2 esin C=bc+5a得：2b5b+2c5c=bc+V5a, 2a 2a 即62+c2-a2-5。 abc,由余弦定理得，b2+c2-a2=bc,联立解得a=√5 3 (3) B 如图所示，由（1)知A=子，由于S4c=Sm+Sn, 分B4Cm号分B4Dm管分D4C 62 6 bcsncD.sinD.b.sin 2 32 62 6, cb=(c+B).AD,=cb c+b 由(2)知b=2sinB,c=2sinC, 因为4-骨所以n8=4+c=s(C+引， 1 则AD=Bcb_4W5 sin CsinB 2v5 sin CsinC+π 2√3sinC 3 2 sin C+3 c+b 2(sin C+sin B) sin C+sinC+ 3 sin C+ 2 sin C+3 1-cos2C 3 =sin'C+3sin Ccosc =2 2 sin 2C+sin 2C6 。1 sin C+cos C 2 smc+ sin C+6) 令C+元=0，则2C-无=20- 6 6 2, 试卷第1页，共3页 因为6ABC是锐角三角形，则<C<,<0<2红，5<si血9≤1， 6 23 、3’2 +sin2c- 1 +sin20- 1 则AD= 62 22cos20 2-1-2sm2o sinC+π sin =2sin0-1 sin0 sinθ 2sin0 6 令1=sin0,由解析式可知y=21-号 单调递增， 所以25<-即250 212 3 即AD长度的范围为 253 3’2 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页