精品解析：四川成都艺体中学2025-2026学年度下学期期中学业质量检测高一数学试题

四川省成都艺体中学2025-2026学年度（下）期中学业质量检测 高一数学 注意：本试港共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名，考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 在平行四边形中，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合平行四边形的性质，利用向量的加法、减法运算法则逐一判断各选项的正误. 【详解】在平行四边形中，对边向量满足，， 对于A，由，可得，故A正确； 对于B，根据向量加法的平行四边形法则，对角线向量，故B正确； 对于C，根据向量减法的三角形法则，即，故C正确； 对于D，由向量加法的三角形法则可得，而，因此，故D错误. 2. 已知向量，，且，则实数的值为（ ） A. 5 B. C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量平行列方程，由此求得. 【详解】由于，所以， 解得. 3. 在中，若，，，则等于（） A. B. 7 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】用余弦定理计算即可得出结果. 【详解】因为，，，且， 所以， 因为，所以. 4. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用投影向量公式计算即可. 【详解】由题意， 且 ； 根据投影向量的定义，向量在向量上的投影向量为. 5. 已知函数的最大值为2，最小正周期为，且图象过点，则该函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的最大值、最小正周期、过点，依次求得，从而确定正确答案. 【详解】由于的最大值为，所以. 由于的最小正周期，所以. 所以， 代入点，得， 由于，所以. 所以. 6. 在平行四边形中，，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的加法法则可知, 再利用平行四边形求出向量的模与夹角，进而求出数量积. 【详解】由向量的加法法则可知, 在平行四边形中，，，， 所以，, 故. 7. 若，，并且、均为锐角且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由同角关系，以及，利用两角差的余弦公式求角． 【详解】，，， ，， ， ，， ， ， ． 8. 在中，，，为的中点，为的中点，与交于点，若，则线段的长度为（ ） A. B. 4 C. D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】通过建立平面直角坐标系，用坐标表示各点及对应向量，结合向量数量积的坐标运算列方程，求解即得AC的长度. 【详解】以A为坐标原点，方向为x轴正方向，方向为y轴正方向建立平面直角坐标系，设，则 ∵D为AC中点，E为BC中点，故. 直线的方程为，直线BD的方程为， 联立，解得，∴F的坐标为. 因此  , 得，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数和函数下列说法正确的是（ ） A. 和有相同的零点 B. 和有相同的最大值 C. 和有相同的周期 D. 和的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【解析】 【详解】选项A：的零点满足，即；  的零点满足，即； 二者零点不相同，A错误； 选项B： 两个函数的定义域均为，且系数都为，因此最大值都为，B正确； 选项C： 对于，周期，，周期都为，C正确； 选项D： 的对称轴满足，即；  而的对称轴满足，即； 二者对称轴不相同，D错误. 10. 已知点，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 与平行的单位向量为 D. 在平行四边形中，点的坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算判断AB；根据单位向量的坐标表示判断C；根据平行四边形可知，结合向量的坐标运算判断D. 【详解】因为点，，，则，， 因为，所以，故A、B正确； 与平行的单位向量为或，故C错误； 设为坐标原点，则， 若四边形为平行四边形，可得， 所以点的坐标为，故D正确. 11. 我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑中的八角窗．它们均可抽象为正八边形，如图3，O为其中心．记，，且，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据数量积的定义求，判断A，根据向量的线性运算判断BC，利用基底表示，根据投影向量的定义计算在上的投影向量，判断D. 【详解】对于A，由已知，即向量的夹角为， 又，则，A正确， 对于B，，，B错误， 对于C，因为，， 所以， 所以，又为的角平分线， 由平行四边形法则可得， 所以，C正确， 对于D，因为，， 则，又， 所以在上的投影向量为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：______． 【答案】## 【解析】 【详解】原式． 13. 若，，点在线段的延长线上，且，则点坐标为_________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可得，可得，即求． 【详解】点在线段的延长线上，且， ， 所以点P的坐标为. 故答案为： 14. 已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到函数的图象，且是偶函数，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由相邻对称轴的距离确定周期，求得，再结合平移法则及三角函数中奇偶性的判断，即可求解. 【详解】函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为， 所以函数的最小正周期为， 所以，结合，可得， 所以， 又因为将函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到函数的图象， 所以， 因为为偶函数，所以，即， 易知当时，得. 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，求： （1）的坐标； （2）的值； （3）的值. 【答案】（1） （2）0 （3） 【解析】 【小问1详解】 因为向量，，则， 所以. 【小问2详解】 因为向量，，所以. 【小问3详解】 因为向量，，则， 所以. 16. 已知. （1）求及的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题目条件，利用同角三角函数关系求解. （2）结合二倍角的余弦函数化简求值即可. 【小问1详解】 由，得， 所以. . 【小问2详解】 由，得， 所以. 17. 如图，在中，点是的中点，，设，． （1）用，表示，； （2）若，，，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量基本定理得到； （2）在（1）基础上，利用向量数量积运算律进行计算，求出答案. 【小问1详解】 点是的中点，， 故， ； 【小问2详解】 由（1）知， ． 18. 已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）当时，求函数的值域； （3）当时，方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用辅助角公式将函数化简，根据正弦函数的单调增区间列不等式求解； （2）先确定相位的取值范围，结合正弦函数的取值求值域； （3）化简方程得，根据正弦函数性质列不等式求解.. 【小问1详解】 由辅助角公式得， 令，解得， 所以函数的单调增区间为； 【小问2详解】 当时，， 由正弦函数性质得， 因此， 即函数的值域为； 【小问3详解】 由题意可得，即， 因为，则， 要使方程有3个不同的实数根， 由正弦函数性质可知，，解得， 所以实数的取值范围. 19. 已知函数的一条对称轴为． （1）求； （2）若，，求的值； （3）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入解析式由三角函数值计算可得结果； （2）将已知条件化简可得，将两式平方相加再由两角和的正弦公式计算可得结果； （3）由不等式恒成立利用换元法可得不等式对任意恒成立，再利用基本不等式计算可得实数a的取值范围． 【小问1详解】 依题意，即， 又，所以， 因此可得，即. 【小问2详解】 由（1）可知， 所以， ； 联立，两式平方可得； 相加可得，即， 所以； 【小问3详解】 不等式，即为； 即，所以； 因此， 令，由可得，因此， 即不等式对任意恒成立； 即可知在恒成立， 易知，令， 则， 当且仅当，即时，等号成立； 因此，所以即可， 可得； 即实数a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省成都艺体中学2025-2026学年度（下）期中学业质量检测 高一数学 注意：本试港共4页，19题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名，考籍号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 5.考试结束后，只将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求. 1. 在平行四边形中，下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，且，则实数的值为（ ） A. 5 B. C. 7 D. 8 3. 在中，若，，，则等于（） A. B. 7 C. 4 D. 8 4. 已知向量，向量，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的最大值为2，最小正周期为，且图象过点，则该函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 在平行四边形中，，，，则（ ） A. 1 B. C. D. 7. 若，，并且、均为锐角且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，，为的中点，为的中点，与交于点，若，则线段的长度为（ ） A. B. 4 C. D. 6 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数和函数下列说法正确的是（ ） A. 和有相同的零点 B. 和有相同的最大值 C. 和有相同的周期 D. 和的图象有相同的对称轴 10. 已知点，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 与平行的单位向量为 D. 在平行四边形中，点的坐标为 11. 我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑中的八角窗．它们均可抽象为正八边形，如图3，O为其中心．记，，且，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值：______． 13. 若，，点在线段的延长线上，且，则点坐标为_________. 14. 已知函数的图象的相邻两条对称轴之间的距离为，若函数的图象向右平移个单位，纵坐标不变，得到函数的图象，且是偶函数，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，求： （1）的坐标； （2）的值； （3）的值. 16. 已知. （1）求及的值； （2）若，求的值. 17. 如图，在中，点是的中点，，设，． （1）用，表示，； （2）若，，，求． 18. 已知函数. （1）求函数的单调增区间； （2）当时，求函数的值域； （3）当时，方程有3个不同的实数根，求实数的取值范围. 19. 已知函数的一条对称轴为． （1）求； （2）若，，求的值； （3）若对任意的，恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $