四川省仁寿第一中学校南校区2024-2025学年高一下学期4月期中考试数学试题

2024-2025学年高一下学期半期考试 数学试题 满分 150分 考试时间 120分钟 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。共4页，满分150分，检测时间120分钟。 注意事项： 1、答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。 2、答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 3、所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求) 1．若（为虚数单位），其中，为实数，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知力的大小，在的作用下产生的位移的大小为，与的夹角为60°，则做的功为（    ） A．7 B．10 C．14 D．70 3．的值为（    ） A． B． C． D．1 4．复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（     ） A． B． C． D． 6．（    ） A． B． C． D． 7．若，则（    ） A．0 B． C．1 D．4 8．已知是内的一点，且，若和的面积分别为，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9．下列说法正确的是（    ） A．向量与向量的长度相等 B．两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同 C．零向量的长度都为0 D．两个单位向量的长度相等 10．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（     ） A．所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度 B．所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度 C．向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 D．向右平移个单位长度，再将所得图象所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 11．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（     ） A．若A >B， 则 B．，则 C．若，则定为直角三角形 D．若且该三角形有两解，则b的取值范围是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上) 12．已知，求与向量方向相同的单位向量为 . 13．已知i是虚数单位，复数z和均为纯虚数，则 . 14．如图，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则＝ ． 四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15．(13分)已知平面向量. (1)若，求的值； (2)若求的值； (3)若向量，若与共线，求 16．(15分)如图，在平面直角坐标系中，，， （1）求点的坐标； （2）求证：四边形为等腰梯形． 17．(15分)在中，设，，分别是角，，的对边，已知向量，，且 （1）求角的大小 （2）若，求的周长的取值范围． 18．(17分)如图所示，在中，，，与相交于点，设，. (1)试用向量表示； (2)过点作直线分别交线段于点，记，，求证：不论点在线段上如何移动，为定值. 19．(17分)已知，其图象一个对称轴为， (1)求的解析式及单调递减区间； (2)若函数上有个不同的零点，求的取值范围； (3)若在上最小值为，求使不等式成立的的取值集合. 试题第1页，共2页 试题第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一下学期半期考试 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D D A C B C B ACD AC 题号 11 答案 ACD 12． 【分析】依题意求得，进而可得与向量方向相同的单位向量. 【详解】由，得，所以，与向量方向相同的单位向量是. 故答案为： 13． 【分析】先利用待定系数法、纯虚数的概念求出，然后根据模的计算公式求解即可. 【详解】由题意设， 则是纯虚数当且仅当， 解得，所以. 故答案为：. 14．2 【分析】由向量的加法原则求解即可. 【详解】因为， 因为正六边形ABCDEF是由6个全等的等边三角形构成，所以， 所以. 故答案为：2. 15．(1) (2) (3)18 【分析】（1）由垂直向量的数量积为零，建立方程求得向量坐标，利用向量的坐标运算，可得答案； （2）由平行向量的坐标表示，建立方程求得向量坐标，利用向量的模长公式，可得答案； （3）由向量的坐标运算，求得向量坐标，利用平行向量的坐标表示，建立方程，可得答案. 【详解】（1）因为，所以，则，解得， 故，. （2）因为，所以，则，. （3），， 若与共线，则，解得，即， 故. 16．（1）；；（2）证明见解析． 【分析】（1）先根据，，求得B的坐标，再加上向量的坐标即得点C的坐标； （2）利用向量的坐标可得,计算模可得，从而证得. 【详解】解：（1）设，则， ， ， ， ； （2）证明：连接, ，， ，且， 又，， , 四边形为等腰梯形. 17．（1）；（2）． 【解析】（1）由向量平行的性质，正弦定理可得，由余弦定理得：，即可得解的值． （2）由正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求周长为：，由，利用正弦函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）由向量，，且， 得： 由正弦定理，得： 化为：，由余弦定理，得：， 所以，； （2）因为，所以，，由，得：， 由正弦定理，得：， 的周长为： ， 由，得：，， 所以，周长，． 【点睛】本题主要考查了向量平行的性质，正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题． 18．(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据三点共线可得，同理由三点共线可得，根据向量相等的条件可求出的值，即可求解； （2）设，由及三点共线联立即可求解. 【详解】（1）因为三点共线， 所以存在实数使得， 又因为三点共线， 所以存在实数使得， 根据向量相等可得，解得， 所以. （2）设， 由（1）可得①，②， 又三点共线，所以③， 由①②可得，，代入③式可得， 即不论点在线段上如何移动，为定值. 【点睛】本题主要考查了共线向量的基本定理：当为直线外一点时，三点共线的应用，属于基础知识的应用. 19．(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式化函数解析式为：，再根据函数对称轴确定的值，将看做整体，即可求解函数的单调递减区间； （2）将看做整体，结合已知条件即可确定的取值范围； （3）将看做整体，结合函数的最小值，确定，即可求解不等式的解集. 【详解】（1）根据已知有：， 因为图象一个对称轴为，所以， 解得，又因为，所以， 所以； 由， 解得：， 所以函数的单调递减区间为：. （2）因为，所以， 又因为函数上有个不同的零点， 令，即， 根据题意有：，即，解得， 所以. （3）因为，所以， 所以，解得， 所以， ，即，所以， 所以，解得， 所以使成立的的取值集合为：. 【点睛】关键点点睛： 本题关键在于将看成整体，再根据正弦函数的单调性，值域解析本题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$