专题06 新定义（阅读材料）与跨学科综合专训（47题）（高效培优期末专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

**基本信息** 聚焦新定义与跨学科综合，通过“概念理解—拓展应用”逻辑链，系统训练数学抽象与知识迁移能力，契合中考创新题型趋势。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |特殊四边形|10题/泰森四边形|新定义（如等分对角四边形）与几何性质综合|以四边形性质为基础，通过新定义构建概念与性质推导关系| |因式分解|10题/密码解码|新定义（如天才数）与因式分解应用|结合平方差等公式，实现新定义数与因式分解的转化| |分式（方程）|13题/调和数|跨学科（物理电阻、摄影成像）与分式运算|从实际问题抽象分式模型，体现数学应用意识| |二次根式|11题/共轭二次根式|新定义（平衡数）与根式运算|通过新定义关联根式性质，培养数学抽象能力| |概率统计|3题/健康调查|跨学科（AI识别、BMI）与数据分析|结合统计图表，发展数据观念与模型意识|

专题06 新定义（材料阅读）与跨学科综合专训（47题） 题型一：特殊四边形相关的新定义（材料阅读）或跨学科综合（10题） 题型二：因式分解中的新定义（材料阅读）或跨学科综合（10题） 题型三：分式（方程）中的新定义（材料阅读）或跨学科综合（13题） 题型四：二次根式中的新定义（材料阅读）或跨学科综合（11题） 题型五：概率与统计中的新定义（材料阅读）或跨学科综合（3题） 题型一：特殊四边形相关的新定义（材料阅读）或跨学科综合（10题） 1．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）【定义】对于没有公共点的两个图形M，N，点P是图形M上任意一点，点Q是图形N上任意一点，把P、Q两点之间的距离的最小值称为图形M与图形N的距离，记为． 【理解】如图1，在平面直角坐标系中，的对角线，相交于点O，若点A，B的坐标分别为，，点G是边上任意一点． （1）当点G在边上时，的最小值是__________，因此d[点O，线段]__________； （2）当点G在任意边上时，的最小值是__________，因此d[点O，]__________； 【拓展】如图2，在平面直角坐标系中，的对角线，相交于点O，平分，点A，B的坐标分别为，，点是对角线上与点A，C，O不重合的一点，点是对角线上与点B，D，O不重合的一点． （3）当[线段，]时，则n的取值范围为__________； （4）当时，__________（结果用含n的式子表示）； 【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6米，宽4米的长方形花卉展览区外围用彩绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为0.5米，请直接写出所需彩绳的长度． 【答案】（1）4,4；（2）3,3；（3）或；（4）；应用：米 【详解】理解：（1）解：∵点A，B的坐标分别为，，四边形为平行四边形， ∴根据题意可得，当点G在边上时，即时，的最小值是， ∴d[点O，线段]；故答案为：4；4； （2）解：∵点A，B的坐标分别为，，四边形为平行四边形， ∴根据题意可得，当点G在任意边上时，即或时，的最小值是， ∴d[点O，]；故答案为：3；3； 拓展：（3）解：如图：∵四边形是平行四边形，∴，，∴， ， ∴平分，∴，∴，∴四边形是菱形， ∴平分和，∴线段到四边形的距离为， ∴[线段，]，∴，解得：或； （4）解：由（3）得：四边形是菱形， 如图，作于，交于，作于， 则有，∴，∴； 应用：解：由题意得，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离为米，如图， 则所需彩绳的长度为：米． 2．（2025·山西吕梁·三模）阅读与思考 下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“泰森四边形”的研究报告荷兰气候学家A・H・Thiessen为了计算各个区域的平均降雨量，将所有相邻气象站连成三角形，作这些三角形各边的垂直平分线，这些垂直平分线围成一个多边形，这个多边形就是泰森多边形，其顶点是每个三角形外接圆的圆心．如图1，点是四边形内一点，，，，分别是，，，的外心，则四边形是四边形的泰森四边形，点叫做相关点． 如图2，当四边形对角线的交点是相关点时，其泰森四边形是平行四边形． 如图3，当四边形对角线的交点是相关点，且时，其泰森四边形是菱形． 理由如下：设与交于点，与交于点，与交于点，与交于点． 点，，，分别是，，，的外心， ． 又  ．又四边形是平行四边形，四边形是菱形． 如图4，当四边形对角线的交点是相关点，且时，其泰森四边形是矩形． 理由如下：，… 学习任务：(1)在图1中，，，的数量关系是________； (2)请在图2中证明四边形是平行四边形；(3)当四边形对角线的交点是相关点时，矩形的泰森四边形是________，菱形的泰森四边形是________．（填“矩形”“菱形”或“正方形”） (4)如图5，在四边形和中，，，分别垂直平分，，．在平面内求作点，使四边形是四边形的泰森四边形，且点是相关点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法．） 【答案】(1)(2)见解析(3)菱形；矩形(4)见解析 【详解】（1）解：，记与的交点为点N，与的交点为点M， 由题可知，垂直平分，垂直平分，所以， 由四边形内角和可知，，所以， 又因为在中，，所以． （2）解：设与交于点，与交于点． ，，，分别是，，，的外心． ，分别为，的垂直平分线，， ．同理，．四边形为平行四边形． （3）解：如图，四边形为矩形，四边形为其“泰森四边形”， 由题可知，垂直平方和，垂直平方和， 所以，由（2）知四边形为平行四边形，所以四边形为菱形； 如图，四边形为菱形，四边形为其“泰森四边形”， 因为四边形为菱形，所以， 点，，，分别为所在四边的中点，所以，， 所以，所以四边形为矩形． （4）如图所示，点即为所求（答案不唯一）． 作法：以H为圆心，为半径画圆，以G为圆心，为半径画圆， 两圆相交于靠外侧的一点即为点D． 3．（25-26九年级上·广东深圳·期末）定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么这个四边形叫做“等分对角四边形”，这条对角线叫做这个四边形的“等分线”． 如图1，在四边形中，对角线平分和，那么对角线叫做四边形的“等分线”，四边形就称为“等分对角四边形”． 问题：(1)下列四边形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，其中是“等分对角四边形”的有________；（填序号） (2)四边形是“等分对角四边形”，，求四边形的“等分线”的长； 解：①当为“等分线”时，如图2所示：…… ②当为“等分线”时……请画出相应的图形并写出此题完整的解答过程． (3)如图，在菱形中，，点分别在边和上，与交于点，点是线段上任意一点，连接，若四边形是“等分对角四边形”，“等分线”是，求线段的最小值． 【答案】(1)③④(2)四边形的“等分线”的长为或，图见解析(3) 【详解】（1）解：∵菱形和正方形的对角线平分对角， ∴菱形和正方形为“等分对角四边形”，故答案为：③④． （2）解：①当为“等分线”时，如图2所示： 则，，∵，∴， ∵，∴，， ∴在中，，，，∴； ②当为“等分线”时，如图3所示：作于点E，则， ∵四边形是“等分对角四边形”， 为“等分线”， ，，， ∴，∴，， ∴，，∴， ∴，综上，四边形的“等分线”的长为或． （3）解：如图，过点A作于点M，则， ∵菱形中，，， ∴，∴， ∵四边形是“等分对角四边形”，“等分线”是，∴，， ∵，∴，∴，， ∴垂直平分，∴，∴， ∵点是线段上任意一点，连接，∴当时，此时取得最小值，此时， ∵，∴∴， 即，∴的最小值为． 4．（24-25九年级下·河南郑州·月考）定义：在凸四边形中，如果只有一组对角相等，我们把这类四边形叫作“奋进四边形”． (1)操作判断：用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“奋进四边形”的有______（填序号）； (2)性质探究：①如图2，四边形是“奋进四边形”，，，，则的度数为____，的度数为____；②如图3，四边形是“奋进四边形”，，，求证：； (3)四边形是“奋进四边形”，，，，，请直接写出对角线的长． 【答案】(1)②④(2)①，；②见解析(3)或 【详解】（1）解：图①中有两组对角相等，图③没有一组对角相等，因此不是奋进四边形，图②和图④有一组对角相等，是奋进四边形，故答案为：②④； （2）解：①∵四边形是“奋进四边形”，，，， ∴，； ②证明：如图1，连接， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴． （3）解：当时，如图2，延长、交于点， ∵，，，∴， ∴，∴， ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∴； 当时，如图3，作于点，于点， ∵，∴四边形是矩形， ∵，，∴， ∴，∴， ， ∵，，∴，∴， ∴，∴， 综上所述，对角线的长为或． 5．（2025·宁夏中卫·一模）阅读材料，解决问题：在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做“等补四边形”． (1)初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形     B．矩形     C．菱形    D．正方形 (2)性质探究：已知四边形是“等补四边形”，，，如图，连接，试探究是否平分，并说明理由． (3)应用拓展：在“等补四边形”中，，，，如图2，求的长． 【答案】(1)D(2)平分；见解析(3) 【详解】（1）解：∵平行四边形的对角相等，但对角不一定互补，∴平行四边形不是“等补四边形”； ∵矩形的邻边不一定相等，∴矩形不是“等补四边形”； ∵菱形的对角相等，但对角不一定互补，∴菱形不是“等补四边形”； ∵正方形的每个内角都是，四条边都相等，∴正方形有一组邻边相等且有一组对角互补， ∴正方形是“等补四边形”；故选：D． （2）解：平分；理由如下： 延长，过点A作于点E，作于点F，如图所示：则， ∵，，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴， ∴，∴平分； （3）解：∵在“等补四边形”中，，，， ∴根据解析（2）可知：平分，∴，∴，∴， ∵，∴，解得：，负值舍去，即的长为． 6．（25-26八年级下·河南信阳·期中）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”． (1)如图1，已知菱形ABCD的边长为2，设菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为m，n．若我们将菱形的“接近度”定义为（即“接近度”＝），于是越小，菱形就越接近正方形． ①若菱形的“接近度”＝_____________，菱形就是正方形； ②若菱形的一个内角为60°，则“接近度”＝________________． (2)如图2，已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，设AB，BC的长分别为m，n，我们将矩形的“接近度”定义为（即“接近度”＝）． ①若矩形的“接近度”＝______________，矩形就是正方形；②若∠AOD＝45°，求矩形的“接近度”． 【答案】(1)①0；②(2)①1；② 【详解】（1）解：①若菱形的“接近度”＝0，菱形就是正方形； 理由：当AC＝BD时，菱形ABCD为正方形，此时＝0．故答案为：0； ②如题图1，若菱形的一个内角为60°， 根据菱形对角线的性质得，∠ABO＝30°，∠AOB＝90°，∴AO＝1，AC＝2． 由勾股定理可得，，故答案为：； （2）解：①当AB＝BC时，矩形ABCD为正方形．此时，故答案为：1； ②∵∠AOD＝∠OAB＋∠OBA＝45°，OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝22.5° 如图，在AB上取点E，使BC＝BE，连接CE，可得∠CEB＝45°， ∴∠ACE＝∠CEB－∠OAB＝22.5°，∴AE＝CE．设BC＝a，可得BE＝a， 由勾股定理可得，∴，∴． 7．（25-26八年级下·浙江舟山·期中）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． (1)如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的正方形网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点在网格格点上； (2)如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”； (3)如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请求出的长度． 【答案】(1)见解析(2)见解析(3)或或． 【详解】（1）如图所示， 图（甲）和图（乙）中，； 图（丙）中；∴四边形是等邻边四边形； （2）∵四边形是平行四边形 ∴，，∴ ∵，，∴ 又∵∴∴ ∵∴∴四边形是“等邻边四边形”； （3）如图所示，过点B作交于点G ∵四边形是平行四边形，∴， ∵平分∴， ∵∴∴ ∵∴∴∴ ∴当四边形是“等邻边四边形”，且时，∴； 如图所示，当时，过点F作交于点H，连接；∴ ∵，∴， ∵，即，∴ ∴，∴ ∴此时四边形是“等邻边四边形”；∴ ∵∴是等边三角形∴， 如图所示，当时，过点M作交于点M ∴∴∴∴ ∴ 综上所述，当四边形是“等邻边四边形”时，的长度为或或． 8．（25-26八年级上·广东深圳·期中）探究与实践． 【抽象定义】定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形． 【问题解决】（1）写出一个你知道的对直四边形： ． （2）如图1，四边形是对直四边形，若，则边的长是 ． （3）如图在方格纸中，A、B两点在格点上，请画出两个符合条件的不全等的对直四边形，且点C、D都在格点上． 【拓展探究】（4）如图4，在边长为4的正方形中，点E，F分别在，上，且点E为的中点，，试说明四边形是对直四边形． 【实践应用】（5）某新建小区的建筑工地有一批铺完室内地板后剩下的瓷砖，形状如图5所示，其中，，．现根据要求，需将每张四边形瓷砖进一步切割成一个等腰三角形瓷砖和一个“对直四边形”瓷砖，用来铺设小区内花园的小路，要求原材料充分利用无剩余．请直接写出切割后得到的等腰三角形瓷砖的腰长是　　　　　．（写出所有情况） 【答案】（1）矩形（答案不唯一）；（2）；（3）见解析，答案不唯一；（4）见解析；（5）或或 【详解】解：（1）矩形（答案不唯一），故答案为：矩形（答案不唯一）； （2）连接，根据题意可得，， ，故答案为：； （3）如图，答案不唯一 （4）连接，四边形是正方形，，， 是的中点，， ，，， ，， ，为直角三角形，， ，四边形是对直四边形； （5）①过点作交于， ，四边形是矩形，四边形是对直四边形， ，，，为等腰三角形， ；故腰长为； ②在①的条件下，过点作交于， 同理可证：，是等腰三角形，∴， 四边形是对直四边形，由①得，， ，，，故腰长为； ③过点作交于， ，四边形是对直四边形， ，， ，， ，是等腰三角形，，故腰长为； 综上所述：等腰三角形瓷砖的腰长是或或． 9．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）本学期，在第八章四边形的学习中，我们通过平移、轴对称、旋转等变换对特殊的平行四边形、三角形的中位线进行了深入的探究，请结合已有的经验和知识，对下列特殊的四边形进行研究，并解决问题． 【定义】在四边形内取一点，把四边形的四个顶点分别与该点相连，在该点处形成四个依次相邻的角．如果其中有一组相邻的两个角相等，并且余下的一组相邻的两个角也相等，我们把这样的点称为这个四边形的内等邻角点，这个四边形就称为内等邻角四边形． 例：在四边形中，点为四边形内一点，若，，则点为四边形的内等邻角点，四边形为内等邻角四边形． 【概念内化】(1)已知点是四边形的内等邻角点，且满足，则与的数量关系为___________． (2)下列四边形中，一定不是内等邻角四边形的是___________． ①梯形；    ②普通矩形；    ③普通菱形；    ④正方形． 【理解判定】(3)如图1，小明使用尺规作图的方法在给定的四边形中作内等邻角点，其作图步骤如下： ①用直尺连接； ②以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点、； ③分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点； ④用直尺作射线，交线段于点； ⑤以点为圆心，长为半径画弧交射线于点； ⑥用直尺连接并延长，交线段于点． 请你根据作图痕迹和作图的步骤，判断点是否为四边形的内等邻角点，并说明理由． 【升华应用】(4)仅用无刻度直尺，在图2网格中作出四边形的一个内等邻角点． 【答案】(1)(2)② (3)点是四边形的内等邻角点，理由见解析(4)作图见解析 【详解】（1）解：∵点M是四边形的内等邻角点，且， ∴，且， ∴，即； （2）解：由（1）可知四边形的内等邻角点在四边形的对角线上，且使相邻两个角相等， 在梯形中，连接对角线， 作点A关于的对称点E，连接并延长交于点F，所以， 所以四边形是内等邻角四边形，可知①不符合题意； 四边形是矩形，连接对角线，作， 作点B关于的对称点E，可知， 所以所在的直线与平行，没有交点，所以， 所以矩形不是内等邻角四边形，则②符合题意； 菱形和正方形的两条对角线的交角都是直角，所以都是内等邻角四边形，则③④不符合题意． （3）解：是，理由如下：根据尺规作图的步骤可知是的垂直平分线，且， 可知直线是线段的垂直平分线，作射线交于点P，∴，∴． ∵，∴，∴，即， 所以点P是四边形的内等邻角点； （4）解：如图所示，取关于对称的两个格点E，F，作射线交于点G，连接交网格线于点H，连接，并延长交于点Q，则点Q即为所求作． 10．（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考 下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等角准正多边形”的研究报告 勤思小组 研究对象：等角准正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念一性质一判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）一猜想一推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其所有的各角都相等，且有两条边不等于其他相等的边，我们称这个凸多边形为等角准正多边形．如图1，我们学习过的矩形（正方形除外）就是等角准正四边形，类似地，还有等角准正六边形、等角准正八边形…… 【特例研究】根据等角准正多边形的定义，等角准正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果在六边形中，，且，那么六边形是等角准正六边形． 性质探索：根据定义，探索等角准正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等角准正六边形的每个内角均等于___________．每个外角均等于___________． 对角线．．．．．． 任务：(1)直接写出研究报告中空缺的内容：___________，___________． (2)在图2中，等角准正六边形的三组正对边与与与分别有什么位置关系？请证明你的结论．(3)如图3，已知八边形中，，，且．求证：八边形是等角准正八边形 【答案】(1)(2)均为平行，见解析(3)见解析 【详解】（1）解：每个外角均等于，等角准正六边形的每个内角均等于， 故答案为：； （2）解：，，．证明：方法一：连接，如图： 六边形是等角准正六边形，． ，． ，．．同理可证． 方法二：延长交于点，如图： 六边形是等角准正六边形，． ．．． ．同理． （3）解：（方法不唯一）延长，与的延长线交于点，延长，与的延长线交于点，如图： ，．． ，．． ．同理． ． 又，且，八边形是等角准正八边形． 题型二：因式分解中的新定义（材料阅读）或跨学科综合（10题） 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 江 爱 阴 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．我爱江阴 B．美丽江阴 C．我爱美丽 D．我爱丽江 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∵8对应明文“我”，对应明文“阴”，对应明文“爱”，对应明文“江”， ∴组合后明文可为“我爱江阴”． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取，时，用上述方法产生的六位数密码是___（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：依题意， ∵，∴， ∴对于多项式，取，时，用上述方法产生的六位数密码是（答案不唯一） 3．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“天才数”．如，因此、都是“天才数”，则下面哪个数是“天才数”（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解： “天才数”可表示为两个连续奇数的平方差，设两个连续奇数为和，为整数， 利用平方差公式计算得：， “天才数”一定是的整数倍对选项验证：，不是整数，所以不是天才数； ，是整数，此时为整数，所以是天才数；同理98和100不是 “天才数”. 4．（25-26八年级上·山东烟台·期中）对于实数，定义新运算“☆”，规定：．将多项式因式分解的其结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴， ∴，故选：D． 4．（25-26八年级下·广东深圳·期中）新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为___________． 【答案】 【详解】解：∵，，∴，解得， ∴，∴． 5．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么就称正整数为“可乐数”．例如：，所以3，8，64都是“可乐数”． (1)在正整数：①12；②15；③18中，是“可乐数”的有 ；（填序号） (2)求证：当正整数时，是“可乐数”； (3)把所有的“可乐数”从小到大排列，求第2026个“可乐数”． 【答案】(1)①②(2)见解析(3)2704 【详解】（1）解：∵，，∴12，15是“可乐数”， ∵18不能表示为两个正整数的平方差，∴18不是“可乐数”；即“可乐数”的有①②； （2）解：证明：∵，∴ 即能表示为两个正整数和的平方差，∴当正整数时，是“可乐数”． （3）解：由（2）可知，所有不小于3的正奇数都是“可乐数”， 若偶数是“可乐数”，则存在正整数，使得，∴， ∵与的奇偶性相同，∴是偶数， 因为是偶数，且与的奇偶性相同， 所以与均为偶数，故一定是4的倍数 所有的“可乐数”从小到大排列为：， 当时，所有“可乐数”可以表示为， 当时，分别是第个“可乐数”， ∵，∴第2026个“可乐数”为． 6．（25-26八年级上·河北邯郸·专题练习）探究与发现 背景：在因式分解中，我们学习了提公因式法和公式法．现在，我们来研究一类特殊多项式的计算规律． 观察：请计算下列各式的值： ① ；② ；③ ；④ 发现：（1）观察以上计算结果，它们都是哪个数的倍数？请用一句话概括你的发现： ． 猜想：（2）如果用表示一个奇数（是正整数），那么它前面的一个奇数可以表示为．根据你的发现，请猜想： （结果请化简） 验证：（3）请用两种方法验证你（2）中的猜想： 方法一（直接计算）：展开计算和 ，然后相减． 方法二（因式分解）：使用平方差公式对 进行因式分解，然后计算． 应用：利用你发现的规律，快速计算： 【答案】观察：① ② ③ ④ 发现：相邻两个奇数的平方差是8的倍数 猜想： 验证：见解析 应用： 【详解】解：观察：①； ②； ③ ； ④； 发现：相邻两个奇数的平方差是8的倍数； 猜想：； 验证：方法一（直接计算）： 方法二（因式分解）： 应用：解析与计算：原式共有10组“相邻奇数平方差”．每组都符合猜想公式．找出每一组对应的n值． 第一组 ：较大的奇数是，即，解得． 第二组：较大的奇数是，即，解得． 第三组：较大的奇数是，即，解得．．．． 第十组：较大的奇数是，即，解得． 原式． 7．（24-25八年级上·福建泉州·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 【答案】(1)是“登高数”，详见解析；(2)“登高数”能被整除，详见解析；(3)． 【详解】（1）解：（1）是“登高数”， 理由：设，解得：，，是 “登高数”； （2）解：“登高数”能被整除， 理由：， ，， 是正整数，能被整除，能被整除，“登高数”都能被整除； （3）解：由（2），可知“登高数”能被整除， ，不超过的所有“登高数”有，，，，，， ，， ，，． 8．（25-26八年级下·成都·期中）阅读材料，解决问题． 【材料1】将形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 如中，常数项，一次项系数，；同理，中，常数项“”，一次项系数“”，． 【材料2】因式分解： 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，因式分解；(2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：；②分解因式：． 【答案】(1)(2)①；② 【详解】（1）解：中，常数项“”，一次项系数“”， 则 ； （2）①解：把看成一个整体，令，则原式， 再将重新代入，得：原式； ②解：原式， 把看成一个整体，令， 则原式， 再将重新代入，得：原式． 9．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）在当下的信息化时代，密码为保护我们的个人隐私起到了不可或缺的作用．有一种“因式分解”法可以获得便于记忆的密码，其原理就是：将多项式分解因式，对因式赋值生成因式码，排列因式码即可形成密码．例如：，取，则，，得因式码14、18，则密码为1418或1814． (1)根据上述方法，已知多项式为，当时，密码为______； (2)若王老师想用自己的年龄生成锁屏密码，选取的多项式为，已知王老师的锁屏密码是3535，那么王老师的年龄是多少岁，请计算并说明理由； (3)若选取的多项式为，利用本题方法，当时可以得到密码2026或2620，求、的值． 【答案】(1)1119或1911(2)32(3) 【详解】（1）解：， 当时，，，密码为1911或1119；故答案为：1911或1119； （2）解：32岁，理由如下：， 王老师的锁屏密码是3535，，解得，即王老师当前年龄是32岁； （3）解：设多项式分解的结果为， 当时可以得到密码2026或2620， ，或，，解得，或，， 多项式因式分解的结果为，， 可得，解得 10．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解：①分组分解法：；②拆项法：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1)①；②(2)为等腰三角形，理由见解析 【详解】（1）解：①； ② （2）解：为等腰三角形，理由如下：， ;，∴或（舍）， ∴，∴为等腰三角形． 题型三：分式（方程）中的新定义（材料阅读）或跨学科综合（13题） 1．（24-25八年级下·重庆·期中）若定义三个函数分别为：，，，下列结论：①的最小值为；②若为整数，则满足条件的整数的个数为个；③当时，．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：①∵，， ∴ ，∴的最小值为，故结论①正确； ②∵，，∴， ∵为整数，为整数， ∴，，，，，，，，∴，，，，，，，， ∵，∴，，，，，，共个，故结论②正确； ③∵，，， ∴，即，∴，即， ∴，故结论③错误． 综上所述，正确结论为①和②，共个．故选：C． 2．（24-25八年级下·重庆·月考）对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的个数为（    ） ①；②，则；③； ④对任意大于3的正整数，有． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：∵，当时，，故①错误， ∵，即，解得：，经检验是原方程的解，故②正确； ∵，，， ，…… ∴，故③正确； ∵，，，…… ∴ ，故④错误，综上，正确的有2个．故选：C． 3．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）阅读材料，回答后面的问题． 年1月，发布新一代推理大模型，以极致的性价比在全球竞技场投下“技术普惠”的深水炸弹．2月，宇树科技的人形机器人登上了蛇年春晚，出圈并引发轰动．算法创新再次成为新的突破点．某校信息兴趣小组利用信息技术以《设计自己的运算程序》开展有关算法的实践活动： 对于关于的方程．其中．对x的系数k作如下变化：取得到方程式，称为对方程A进行了一次“和倒变化”；取得到方程，称为对方程A进行了二次“和倒变化”．……在变化过程中，，其中n为正整数． (1)若方程A进行三次“和倒变化”后得到方程等的一组解为，则k的值为________； (2)若为整数，则的值为________． 【答案】(1)5(2) 【详解】（1）解：，， 则，三次“和倒变化”后，系数， 将代入，得：，解得：．故答案为： （2），， ，……则， ，，， ， ， 若为整数，则为整数，令其为，则，则， ，即，则， ∵为整数，，则．故答案为： 4．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）数学的美无处不在，数学家们研究发现：其他条件一致的情况下，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so．研究15，12，10这三个数的倒数发现，我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有一组调和数15，x，3，则x的值是________． 【答案】5 【详解】解：由调和数的定义，得，移项，得， 即，所以，解得．经检验，是方程的解．故答案为：5． 5．（25-26八年级上·吉林·期末）现实生活中，并联电路在日常生活和工程中广泛应用，如家庭用电中的各种电器（电灯、电视、冰箱等）都并联在电路中，以便它们能独立工作且互不影响．如图，把电阻值分别为，的两电阻并联后接入某电路中，已知其总电阻R满足．（注：电阻的单位是欧姆，简称欧，符号为） (1)若，则_______．(2)若，的电阻值比的电阻值大，求，的电阻值．(3)_______．（用含，的式子表示）． 【答案】(1)(2)，(3) 【详解】（1）解：∵，且， ∴，∴，故答案为：． （2）解：设的电阻值为， ∵的电阻值比的电阻值大，∴， ∵，∴，解得：或（舍去），∴，． （3）解：∵，∴，∴． 6．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：形如，两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，其中，． (1)试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． (2)若十字分式方程的解为，，求下列代数式的值：①；②． 【答案】(1)是，，(2)①10；② 【详解】（1）解：解分式方程，去分母，得， 或，， 经检验，、都是方程的解．原分式方程的解为：，． ，，方程是十字分式方程． （2）解：是十字分式方程，其解为，，，，． ①，， ； ②． 7．（25-26八年级下·山东济南·期中）如果一个正整数的倒数可以分解成两个正整数均不为倒数相乘的形式，我们定义这种分解为“倒分解”；并定义其中两个乘数差最大的一种分解为的“最大倒分解”，这个最大的差记为：．例：12的倒分解为或，因为，所以最大倒分解为，所以． (1)填空：写出8的一种倒分解：______；(2)计算的值； (3)若的最大倒分解为，且，求的值． 【答案】(1)(2)(3)0 【详解】（1）解： 8的倒数为，， 8的一种倒分解为． （2）解：的倒分解为：或或或 其中最大的倒分解， （3）的最大倒分解为： ① 当时，，解得：经检验，是原方程的根， 当时，，最大倒分解为，故不合题意，舍去； ② 当时，， 解得经检验，是原方程的根，且符合题意，综上可得，的值为0． 8．（24-25七年级下·浙江台州·期末）照相机成像应用了一个重要原理，即．其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离．表示胶片（像）到镜头的距离．一架照相机已固定，那么就要依靠调整，来使成像清晰．(1)用焦距的相机，拍摄离镜头的距离的花卉，成像清晰，那么拍摄时胶片到镜头的距离是多少？(2)当时，求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：  ，代入得： ，即，所以， 经检验，是分式方程的解且符合实际， 答：拍摄时胶片到镜头的距离是． （2）当时，，所以，解得． 9．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以，故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”．利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值；(2)已知，求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由知，∴，即，∴； （2）解：根据题意可知x，y，z均不为0， ∴， ，，∴， ∵，∴． 10．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）我们把形如（、不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题：(1)若为“十字分式方程”，则________，________； (2)请利用上述方法求“十字分式方程”的解； (3)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)，(2)，(3) 【详解】（1）解：为“十字分式方程”，， ，；故答案为：，； （2）解：为“十字分式方程”，∴方程可化为， ，或，，； （3）解：“十字分式方程”即的两个解分别为，， ，，． 11．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）阅读：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则与互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，判断与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”．(2)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①_______（用含的式子表示）；②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于________． (3)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于的方程无解，求实数的值． 【答案】(1)A与B互为“关联分式”，关联值(2)①；②1(3)或 【详解】（1）解：A与B互为“关联分式”，关联值，理由如下： 由题意得，， ∵2是正整数，符合“关联分式”的定义，∴关联值； （2）解：①∵与互为“关联分式”，关联值，∴ ；；解得； ②当时，， ∵为正整数，且为正整数，∴当时，解得； 当时，解得（舍去），∴的值为； （3）解：∵与互为“关联分式”，关联值，∴ ；；；解得， ∵关于的方程无解，∴当时，即，此时方程变为，无实数解，符合要求； ∵原分式方程的增根为（使分母为0），∴将代入整式方程： ；解得；此时整式方程的解是增根，原分式方程无解，符合要求． 综上，实数的值为或． 12．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝ ，＝ ．(3)和谐分式的最大值为 ．(4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 【答案】(1)①③(2)；(3)3(4)2或8 【详解】（1）解：①，是“和谐分式”． ②，不是“和谐分式”（分子不是常数）． ③，是“和谐分式”． ④，不是“和谐分式”（分子不是常数）．故答案为①③． （2）解：． ． （3）解：． 因为，则，，所以，最大值为． （4）解：．因为值为整数， 所以是的因数，或（正整数），解得或． 13．（2026·安徽芜湖·一模）项目式学习： 【研究背景】你知道古埃及人怎样表示分数吗？他们用分子是1、分母是某一自然数（0和1除外）的分数（即几分之一）作为分数单位，并用它们的和表示其他分数（除外）．例如，他们想表示，不用“”，而是用“”来表示，我们把这种分子为1的真分数叫作“埃及分数”． (1)任务一【理解题意】三个不同的“埃及分数”的和表示可以是________； (2)任务二【类比进阶】对于分数，如何用两个“埃及分数”表示呢？兴趣小组提出两种解法如下： 方法一：，，； 方法二：； 任选一种思路：将用两个“埃及分数”表示为________； (3)任务三【探究方法】兴趣小组进一步研究发现，对于任意分子为2的真分数，当分母为奇数时，可用两个“埃及分数”表示如下： ……① ……② ……③…… 则根据上述规律，写出第⑥个等式为________，猜想第n个等式为________，并证明你的猜想； (4)任务四【拓展应用】根据猜想结果，直接将（其中且k为奇数）写成两个分母不同的“埃及分数”的和的形式为________． 【答案】(1)（答案不唯一）(2) (3)，第n个等式为，证明见解析；(4) 【详解】（1）解：∵，∴将用三个“埃及分数”表示为（答案不唯一）； （2）解：方法一：∵，，∴； 方法二：∵；∴将用两个“埃及分数”表示为； （3）解：观察已知的等式，发现等式左边的分子都要是2，依次为3，5，7，…，是连续的奇数，第n个等式左边的分母为 ；等式右边第一个分数的分母依次为2，3，4，…，第n个等式右边第一个分数的分母为，第二个分数的分母为等式左边的分母与右边第一个分数分母的乘积，即， 所以第⑥个等式中，，左边分母为，右边第一个分数的分母为，第二个分数的分母为，所以第⑥个等式为； 根据上述规律，猜想第n个等式为， 证明：右边 左边． （4）解：由（3）可知： 当且k为奇数时，，∴． 题型四：二次根式中的新定义（材料阅读）或跨学科综合（11题） 1．（24-25八年级下·河北邯郸·月考）我们定义：若，则称与是关于1的平衡数．比如；则与3是关于1的平出数．根据定义，树下列说法错误的是（    ） A．2025与是关于1的平衡数 B．与是关于1的平衡数 C．若，则与不是关于1的平衡数 D．若，则与是关于1的平衡数 【答案】D 【详解】解：A、，故2025与是关于1的平衡数，故该说法不符合题意； B、，故与是关于1的平衡数，故该说法不符合题意； C、，， ，与不是关于1的平衡数，故该说法不符合题意； D、，，， 故与不一定是关于1的平衡数，故该说法符合题意，故选：D． 2．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）我们规定：对于任意的正数m、n的运算“”为当时，；当时，，其他运算符号意义不变，按上述规定，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵当时，，∴， ∵当时，，∴， 则．故选：A． 3．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知，去分母，得；移项，得；两边平方，得；整理，得．我们规定：方程称为的“还原方程”．（1）的“还原方程”是______；（2）若，则代数式______． 【答案】 4 【详解】解：（1），去分母得：，移项得：， 两边平方得：，整理得：， ∴的“还原方程”是，故答案为：； （2）当时， ，故答案为：4． 4．（25-26八年级下·山东德州·月考）定义：若两个二次根式、满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式．(1)若与是关于4的共轭二次根式，则_____．(2)若与是关于2的共轭二次根式，求的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵a与是关于4的共轭二次根式，∴，∴； （2）解：∵与是关于2的共轭二次根式， ∴．∴．∴． 5．（25-26八年级下·广东云浮·月考）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，，并且规定一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题： (1) ， ，(2)的小数部分为 ； (3)已知a，b分别是的整数部分和小数部分，求的值． 【答案】(1)，；(2)；(3) 【详解】（1）解：，， ，， ∴，； （2）解：，， 的小数部分为； （3）解：，，， ． 6．（25-26八年级下·福建龙岩·月考）我国古代数学著作《九章算术》记载了利用三角形三边求面积的“三斜求积术”（即秦九韶公式）．在中，三边分别为，，．完成以下探究： (1)[情境应用：代数计算]若的三边长分别为，，．利用秦九韶公式形式，计算该三角形的面积为________； (2)[基础铺垫：勾股定理应用]过点B作于点D，设，则；请利用勾股定理分别写出的两种表示（用含a，x和b，c，x的式子表示）：①________；②________； (3)[核心推理：推导秦九韶公式]基于（2）中推导出的的表达式，我们可以进一步推导秦九韶公式 ①用含a，b，c的式子表示________（根据秦九韶公式所需的形式填写） ②设的面积为S，由面积公式，证明：秦九韶公式． 【答案】(1)(2)①，②(3)①；②见解析 【详解】（1）解：已知，，代入秦九韶公式得 ； （2）解：①在中，由勾股定理：， ②在中，由勾股定理：， ； （3）解：①由，展开得：化简得， 解得，把代入；， 解得； ② 7．（25-26八年级上·福建福州·专题练习）已知为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题：(1)已知，则当______时，代数式取到最小值，最小值为______； (2)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙（墙足够长），其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形生物园的宽为多少米时，所用的篱笆的总长度最短？最短为多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ 【答案】(1)，；(2)为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)时，代数式取最大值，最大值为． 【详解】（1）解：∵，∴，当且仅当时，取等号， ∴当时，代数式取到最小值，最小值为． （2）解：设这个矩形的宽为米，篱笆长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形生物园，则矩形的宽为米， ∴，当且仅当时，取等号，即当时，代数式有最小值，最小值为40，∴宽为10米，为20米时，所用的篱笆最短，篱笆的最短长度是40米； （3）解：∵，∴， 又∵，当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为4， ∴此时有最大值，最大值为， ∴时，代数式取最大值，最大值为． 8．（24-25八年级上·福建福州·期末）阅读材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数，可以化成（即带分数）的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：， 分式就拆分成一个分式与一个整式的和的带分式形式． 阅读材料2：由得，；如果两个正数a，b，即， 则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)分式可变形带分式得 ，当，它的最小值为 ； (2)若分式的值为整数，则整数x的值为 ； (3)某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元，二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0.2倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入支出总费用参加活动的同学人数） (4)若式子的最小值是4，求m的值． 【答案】(1)，(2)或(3)参加活动的同学人数为60人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是36元(4) 【详解】（1）解：，∵，∴，∴， 当且仅当，即时，式子有最小值，最小值为2； （2）解：； ∵分式的值为整数，为整数，∴，∴或； （3）解：设参加的人数为x人，则支出总费用为， 人均费用为，∵， ∴当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为24， ∴的最小值为36， 答：参加活动的同学人数为60人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是36元； （4）解：由题意得，， ∴，， 当且仅当时，有最小值， ∵最小值是4，∴，∴． 9．（24-25八年级上·福建福州·期末）阅读材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数，可以化成（即带分数）的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：， 分式就拆分成一个分式与一个整式的和的带分式形式． 阅读材料2：由得，；如果两个正数a，b，即， 则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题：(1)分式可变形带分式得 ，当，它的最小值为 ； (2)若分式的值为整数，则整数x的值为 ； (3)某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元，二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0.2倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入支出总费用参加活动的同学人数） (4)若式子的最小值是4，求m的值． 【答案】(1)，(2)或(3)参加活动的同学人数为60人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是36元(4) 【详解】（1）解：，∵，∴，∴， 当且仅当，即时，式子有最小值，最小值为2； （2）解：； ∵分式的值为整数，为整数，∴，∴或； （3）解：设参加的人数为x人，则支出总费用为， 人均费用为， ∵，∴当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为24， ∴的最小值为36， 答：参加活动的同学人数为60人时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是36元； （4）解：由题意得，，∴， ，当且仅当时，有最小值， ∵最小值是4，∴，∴． 10．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）【探究发现】 某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图1，在中，，于点．设，，． (1)请完成下列填空． 小明说：可以用含a，b的代数式表示，则； 小颖说：也可以用含a，b，m的代数式表示，则______； 小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则______； 小亮说：可以用含a，b的代数式表示的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为______， 并进一步可以得到与的大小关系为______．（温馨提示：直角三角形斜边中线等于斜边的一半） (2)若的面积为9，直接写出m的最大值． 【迁移应用】(3)如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为18平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 【答案】(1)；；；(2)3(3)小栅栏的总长度最少为24米 【详解】（1）解：∵，∴． ∴，．∴， ∵，∴，整理得：，∴． 设是的斜边上的中线，则， ∵．∴．∴，∴， 故答案为：，，，， （2）解：∵的面积为9，∴．∴． ∵，∴．∵，∴．∴m的最大值为． （3）解：设图2中与墙平行的边长，垂直于墙的边长． ∵面积为平方米，∴．由（1）得：， ∴．∴．∴．∴． ∴小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为米． 11．（25-26八年级下·安徽六安·期中）在进行二次根式大小比较时，除教材展示的方法外，“平方法”也是一种非常有效的方法．例如，比较和的大小时，我们可以将和分别平方．，，，．另外，我们也可以在网格中利用构造线段的方法来进行二次根式大小的比较，如图1，，，显然，．根据以上提供的内容，解决以下问题： (1)比较大小：____________4 (2)运用上述两种方法比较与的大小：①利用平方法，请证明； ②利用构造线段法说明，请在图2的网格中，画出图形，并说明理由． 【答案】(1)(2)①见解析；②见解析 【详解】（1）解：∵，，又∵，∴； （2）解：①平方法：，，    ∵，∴，∴，则； ②如图所示，，，， ∵，∴． 题型五：概率与统计中的新定义（材料阅读）或跨学科综合（3题） 1．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）小明家打算到徐州旅游，他们计划其中的三天用来游玩云龙湖、方特乐园、徐州博物馆，每天一个景点．临行前小明查阅了前后五天的天气预报： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 温度 天气 降水概率 根据天气预报情况，请帮小明家规划在徐州旅行的这三天行程，并说出依据． 【答案】见解析 【详解】解：第一天去云龙湖：云龙湖为户外自然景观，晴天(降水概率) 游玩视野佳、体验好；当日温度，温暖舒适，适合户外活动与观景； 第二天去徐州博物馆：博物馆为室内场馆，不受天气影响；当日降水概率 (大雨)，安排室内参观，可避免雨天户外出行不便，保障行程不受影响； 第三天去方特乐园：方特乐园以户外游乐项目为主，阴天(降水概率) 几乎无降水，可正常游玩各类设施；当日温度，体感舒适，无暴晒困扰． 2．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）某人工智能公司研发了一款自动驾驶汽车的障碍物识别系统．为了测试系统的识别准确率，测试人员从真实道路场景中随机抽取图片，让系统识别其中是否存在障碍物；并记录正确识别的次数．每次识别后放回，重复上述过程．下表是试验中的一组统计数据： 测试图片数量 100 200 500 1000 2000 3000 正确识别次数 87 175 438 1780 2670 正确识别频率 0.87 0.875 0.876 0.88 0.89 (1) ， ；(2)估计该系统正确识别障碍物的概率约为 ；（结果精确到0.1） (3)下列说法错误的是 ．（填序号） ①识别障碍物4次，都识别成功了，所以第5次识别一定也成功； ②识别障碍物10次，识别成功的次数不一定是9次； ③识别障碍物30次，识别成功的次数一定是27次． 【答案】(1) ，(2)(3)①③ 【详解】（1）解：由题意得，频率 ，，因此， . （2）解：观察表格可知，随着测试次数增大，正确识别的频率逐渐稳定在附近，因此估计该系统正确识别障碍物的概率为，精确到得； （3）解：① 概率是对事件发生可能性的估计，每次识别的结果相互独立，前4次成功不能保证第5次一定成功，所以①说法错误； ② 概率反映的是平均可能性，识别10次时，成功次数是随机的，不一定是9次，所以②说法正确； ③ 概率反映的是可能性大小，不是必然结果，识别30次时，成功次数不一定是27次，所以③说法错误； 因此说法错误的是①③． 3．（2026·江苏苏州·一模）“健康第一”是苏州市教育局2026年春季开展的一项以学生身心健康为核心的教育主题行动，旨在落实体育强身、心理润心、近视防控、睡眠管理等工作，促进学生全面健康成长．某数学学习小组为了解本校九年级学生的健康情况，开展了相关调查活动，随机抽取了部分学生调查他们身体质量指数“”数据，其计算公式为（m表示体重，单位：千克；表示身高，单位：米）．标准见表： 的范围 健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖 【收集数据】随机抽取该校部分学生，测算出他们的数据组成样本． 【整理数据】将学生的数据按照以下标准分成A，B，C，D四组进行整理，如下表： 类别 A B C D 体重情况 过低 正常 超重 肥胖 人数（人）      36 9 3 【描述数据】根据学生的BMI数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：(1)参与本次调查的学生人数为__________人； (2)补全条形统计图；(3)若该校九年级共有600名学生，请估计身体质量指数正常的学生人数． 【答案】(1)60(2)见解析(3)360名 【详解】（1）解：人，∴参与本次调查的学生人数为60人； （2）解：A类别的人数为人，补全统计图如下： （3）解：名， 答：估计身体质量指数正常的学生人数为360名． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 新定义（材料阅读）与跨学科综合专训（47题） 题型一：特殊四边形相关的新定义（材料阅读）或跨学科综合（10题） 题型二：因式分解中的新定义（材料阅读）或跨学科综合（10题） 题型三：分式（方程）中的新定义（材料阅读）或跨学科综合（13题） 题型四：二次根式中的新定义（材料阅读）或跨学科综合（11题） 题型五：概率与统计中的新定义（材料阅读）或跨学科综合（3题） 题型一：特殊四边形相关的新定义（材料阅读）或跨学科综合（10题） 1．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）【定义】对于没有公共点的两个图形M，N，点P是图形M上任意一点，点Q是图形N上任意一点，把P、Q两点之间的距离的最小值称为图形M与图形N的距离，记为． 【理解】如图1，在平面直角坐标系中，的对角线，相交于点O，若点A，B的坐标分别为，，点G是边上任意一点． （1）当点G在边上时，的最小值是__________，因此d[点O，线段]__________； （2）当点G在任意边上时，的最小值是__________，因此d[点O，]__________； 【拓展】如图2，在平面直角坐标系中，的对角线，相交于点O，平分，点A，B的坐标分别为，，点是对角线上与点A，C，O不重合的一点，点是对角线上与点B，D，O不重合的一点． （3）当[线段，]时，则n的取值范围为__________； （4）当时，__________（结果用含n的式子表示）； 【应用】为庆祝母亲节，某商场在广场举行花卉展览，要在长6米，宽4米的长方形花卉展览区外围用彩绳拉出封闭隔离线，要求封闭隔离线与长方形花卉展览区外围的最小距离均为0.5米，请直接写出所需彩绳的长度． 2．（2025·山西吕梁·三模）阅读与思考 下面是智慧小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“泰森四边形”的研究报告荷兰气候学家A・H・Thiessen为了计算各个区域的平均降雨量，将所有相邻气象站连成三角形，作这些三角形各边的垂直平分线，这些垂直平分线围成一个多边形，这个多边形就是泰森多边形，其顶点是每个三角形外接圆的圆心．如图1，点是四边形内一点，，，，分别是，，，的外心，则四边形是四边形的泰森四边形，点叫做相关点． 如图2，当四边形对角线的交点是相关点时，其泰森四边形是平行四边形． 如图3，当四边形对角线的交点是相关点，且时，其泰森四边形是菱形． 理由如下：设与交于点，与交于点，与交于点，与交于点． 点，，，分别是，，，的外心， ． 又  ．又四边形是平行四边形，四边形是菱形． 如图4，当四边形对角线的交点是相关点，且时，其泰森四边形是矩形． 理由如下：，… 学习任务：(1)在图1中，，，的数量关系是________； (2)请在图2中证明四边形是平行四边形；(3)当四边形对角线的交点是相关点时，矩形的泰森四边形是________，菱形的泰森四边形是________．（填“矩形”“菱形”或“正方形”） (4)如图5，在四边形和中，，，分别垂直平分，，．在平面内求作点，使四边形是四边形的泰森四边形，且点是相关点．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，标明字母，不写作法．） 3．（25-26九年级上·广东深圳·期末）定义：如果四边形的某条对角线平分一组对角，那么这个四边形叫做“等分对角四边形”，这条对角线叫做这个四边形的“等分线”． 如图1，在四边形中，对角线平分和，那么对角线叫做四边形的“等分线”，四边形就称为“等分对角四边形”． 问题：(1)下列四边形：①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形，其中是“等分对角四边形”的有________；（填序号） (2)四边形是“等分对角四边形”，，求四边形的“等分线”的长； 解：①当为“等分线”时，如图2所示：…… ②当为“等分线”时……请画出相应的图形并写出此题完整的解答过程． (3)如图，在菱形中，，点分别在边和上，与交于点，点是线段上任意一点，连接，若四边形是“等分对角四边形”，“等分线”是，求线段的最小值． 4．（24-25九年级下·河南郑州·月考）定义：在凸四边形中，如果只有一组对角相等，我们把这类四边形叫作“奋进四边形”． (1)操作判断：用分别含有和角的直角三角形纸板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“奋进四边形”的有______（填序号）； (2)性质探究：①如图2，四边形是“奋进四边形”，，，，则的度数为____，的度数为____；②如图3，四边形是“奋进四边形”，，，求证：； (3)四边形是“奋进四边形”，，，，，请直接写出对角线的长． 5．（2025·宁夏中卫·一模）阅读材料，解决问题：在数学探究中，我们常从特殊情况入手，归纳出一般规律．例如在研究几何图形性质时，通过对特殊多边形的分析来了解多边形的普遍性质．我们规定：有一组邻边相等且有一组对角互补的四边形叫做“等补四边形”． (1)初步认识：在以下常见四边形中，一定是“等补四边形”的是（   ） A．平行四边形     B．矩形     C．菱形    D．正方形 (2)性质探究：已知四边形是“等补四边形”，，，如图，连接，试探究是否平分，并说明理由． (3)应用拓展：在“等补四边形”中，，，，如图2，求的长． 6．（25-26八年级下·河南信阳·期中）菱形、矩形与正方形的形状有差异，我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为菱形或矩形的“接近度”． (1)如图1，已知菱形ABCD的边长为2，设菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为m，n．若我们将菱形的“接近度”定义为（即“接近度”＝），于是越小，菱形就越接近正方形． ①若菱形的“接近度”＝_____________，菱形就是正方形； ②若菱形的一个内角为60°，则“接近度”＝________________． (2)如图2，已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，设AB，BC的长分别为m，n，我们将矩形的“接近度”定义为（即“接近度”＝）． ①若矩形的“接近度”＝______________，矩形就是正方形；②若∠AOD＝45°，求矩形的“接近度”． 7．（25-26八年级下·浙江舟山·期中）类比于等腰三角形的定义，我们定义：有组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． (1)如图1，四边形的顶点、、在网格格点上，请你在的正方形网格中分别画出3个不同形状的等邻边四边形，要求顶点在网格格点上； (2)如图2，在平行四边形中，是上一点，是上一点，，，请说明四边形是“等邻边四边形”； (3)如图3，在平行四边形中，，平分，交于点，，，是线段上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，请求出的长度． 8．（25-26八年级上·广东深圳·期中）探究与实践． 【抽象定义】定义：有一组对角都是直角的四边形叫做对直四边形． 【问题解决】（1）写出一个你知道的对直四边形： ． （2）如图1，四边形是对直四边形，若，则边的长是 ． （3）如图在方格纸中，A、B两点在格点上，请画出两个符合条件的不全等的对直四边形，且点C、D都在格点上． 【拓展探究】（4）如图4，在边长为4的正方形中，点E，F分别在，上，且点E为的中点，，试说明四边形是对直四边形． 【实践应用】（5）某新建小区的建筑工地有一批铺完室内地板后剩下的瓷砖，形状如图5所示，其中，，．现根据要求，需将每张四边形瓷砖进一步切割成一个等腰三角形瓷砖和一个“对直四边形”瓷砖，用来铺设小区内花园的小路，要求原材料充分利用无剩余．请直接写出切割后得到的等腰三角形瓷砖的腰长是　　　　　．（写出所有情况） 9．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）本学期，在第八章四边形的学习中，我们通过平移、轴对称、旋转等变换对特殊的平行四边形、三角形的中位线进行了深入的探究，请结合已有的经验和知识，对下列特殊的四边形进行研究，并解决问题． 【定义】在四边形内取一点，把四边形的四个顶点分别与该点相连，在该点处形成四个依次相邻的角．如果其中有一组相邻的两个角相等，并且余下的一组相邻的两个角也相等，我们把这样的点称为这个四边形的内等邻角点，这个四边形就称为内等邻角四边形． 例：在四边形中，点为四边形内一点，若，，则点为四边形的内等邻角点，四边形为内等邻角四边形． 【概念内化】(1)已知点是四边形的内等邻角点，且满足，则与的数量关系为___________． (2)下列四边形中，一定不是内等邻角四边形的是___________． ①梯形；    ②普通矩形；    ③普通菱形；    ④正方形． 【理解判定】(3)如图1，小明使用尺规作图的方法在给定的四边形中作内等邻角点，其作图步骤如下： ①用直尺连接； ②以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点、； ③分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点； ④用直尺作射线，交线段于点； ⑤以点为圆心，长为半径画弧交射线于点； ⑥用直尺连接并延长，交线段于点． 请你根据作图痕迹和作图的步骤，判断点是否为四边形的内等邻角点，并说明理由． 【升华应用】(4)仅用无刻度直尺，在图2网格中作出四边形的一个内等邻角点． 10．（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考 下面是勤思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“等角准正多边形”的研究报告 勤思小组 研究对象：等角准正多边形 研究思路：类比三角形、四边形，按“概念一性质一判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 研究方法：观察（测量、实验）一猜想一推理证明 研究内容： 【一般概念】对于一个凸多边形（边数为偶数），若其所有的各角都相等，且有两条边不等于其他相等的边，我们称这个凸多边形为等角准正多边形．如图1，我们学习过的矩形（正方形除外）就是等角准正四边形，类似地，还有等角准正六边形、等角准正八边形…… 【特例研究】根据等角准正多边形的定义，等角准正六边形研究如下： 概念理解：如图2，如果在六边形中，，且，那么六边形是等角准正六边形． 性质探索：根据定义，探索等角准正六边形的性质，得到如下结论： 内角：等角准正六边形的每个内角均等于___________．每个外角均等于___________． 对角线．．．．．． 任务：(1)直接写出研究报告中空缺的内容：___________，___________． (2)在图2中，等角准正六边形的三组正对边与与与分别有什么位置关系？请证明你的结论．(3)如图3，已知八边形中，，，且．求证：八边形是等角准正八边形 题型二：因式分解中的新定义（材料阅读）或跨学科综合（10题） 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）某课外密码研究小组接收到一条密文：．已知密码手册的部分信息如下表所示： 密文 … 8 x … 明文 … 江 爱 阴 美 我 丽 … 把密文用因式分解解码后，明文可能是（    ） A．我爱江阴 B．美丽江阴 C．我爱美丽 D．我爱丽江 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解法”产生的密码，方便记忆，原理是对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各个因式的值是：，，，于是就可以把“180162”作为一个六位数的密码．那么对于多项式，取，时，用上述方法产生的六位数密码是___（写出一个即可）． 3．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“天才数”．如，因此、都是“天才数”，则下面哪个数是“天才数”（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·山东烟台·期中）对于实数，定义新运算“☆”，规定：．将多项式因式分解的其结果是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·广东深圳·期中）新定义：对于任意实数，都有，若，，则将因式分解的结果为___________． 5．（25-26八年级上·福建龙岩·期末）如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么就称正整数为“可乐数”．例如：，所以3，8，64都是“可乐数”． (1)在正整数：①12；②15；③18中，是“可乐数”的有 ；（填序号） (2)求证：当正整数时，是“可乐数”； (3)把所有的“可乐数”从小到大排列，求第2026个“可乐数”． 6．（25-26八年级上·河北邯郸·专题练习）探究与发现 背景：在因式分解中，我们学习了提公因式法和公式法．现在，我们来研究一类特殊多项式的计算规律． 观察：请计算下列各式的值： ① ；② ；③ ；④ 发现：（1）观察以上计算结果，它们都是哪个数的倍数？请用一句话概括你的发现： ． 猜想：（2）如果用表示一个奇数（是正整数），那么它前面的一个奇数可以表示为．根据你的发现，请猜想： （结果请化简） 验证：（3）请用两种方法验证你（2）中的猜想： 方法一（直接计算）：展开计算和 ，然后相减． 方法二（因式分解）：使用平方差公式对 进行因式分解，然后计算． 应用：利用你发现的规律，快速计算： 7．（24-25八年级上·福建泉州·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“登高数”，例如：，，，因此，，都是“登高数”． (1)特例感知：判断是否为“登高数”，说明理由． (2)规律探究：根据“登高数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中是正整数，那么“登高数”都能被整除吗?如果能，说明理由；如果不能，举例说明． (3)拓展应用：求不超过的所有“登高数”的和． 8．（25-26八年级下·成都·期中）阅读材料，解决问题． 【材料1】将形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成． 如中，常数项，一次项系数，；同理，中，常数项“”，一次项系数“”，． 【材料2】因式分解： 解：把看成一个整体，令，则原式，再将重新代入，得：原式． 上述解题用到的“整体思想”是数学解题中常见的思想方法．请你解答下列问题： (1)根据材料1，因式分解；(2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：；②分解因式：． 9．（25-26八年级上·陕西榆林·期末）在当下的信息化时代，密码为保护我们的个人隐私起到了不可或缺的作用．有一种“因式分解”法可以获得便于记忆的密码，其原理就是：将多项式分解因式，对因式赋值生成因式码，排列因式码即可形成密码．例如：，取，则，，得因式码14、18，则密码为1418或1814． (1)根据上述方法，已知多项式为，当时，密码为______； (2)若王老师想用自己的年龄生成锁屏密码，选取的多项式为，已知王老师的锁屏密码是3535，那么王老师的年龄是多少岁，请计算并说明理由； (3)若选取的多项式为，利用本题方法，当时可以得到密码2026或2620，求、的值． 10．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫作拆项法． 例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解：①分组分解法：；②拆项法：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 题型三：分式（方程）中的新定义（材料阅读）或跨学科综合（13题） 1．（24-25八年级下·重庆·期中）若定义三个函数分别为：，，，下列结论：①的最小值为；②若为整数，则满足条件的整数的个数为个；③当时，．其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·重庆·月考）对任意非负数，若记，给出下列说法，其中正确的个数为（    ） ①；②，则；③； ④对任意大于3的正整数，有． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（25-26八年级上·陕西西安·开学考试）阅读材料，回答后面的问题． 年1月，发布新一代推理大模型，以极致的性价比在全球竞技场投下“技术普惠”的深水炸弹．2月，宇树科技的人形机器人登上了蛇年春晚，出圈并引发轰动．算法创新再次成为新的突破点．某校信息兴趣小组利用信息技术以《设计自己的运算程序》开展有关算法的实践活动： 对于关于的方程．其中．对x的系数k作如下变化：取得到方程式，称为对方程A进行了一次“和倒变化”；取得到方程，称为对方程A进行了二次“和倒变化”．……在变化过程中，，其中n为正整数． (1)若方程A进行三次“和倒变化”后得到方程等的一组解为，则k的值为________； (2)若为整数，则的值为________． 4．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）数学的美无处不在，数学家们研究发现：其他条件一致的情况下，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声do、mi、so．研究15，12，10这三个数的倒数发现，我们称15，12，10这三个数为一组调和数．现有一组调和数15，x，3，则x的值是________． 5．（25-26八年级上·吉林·期末）现实生活中，并联电路在日常生活和工程中广泛应用，如家庭用电中的各种电器（电灯、电视、冰箱等）都并联在电路中，以便它们能独立工作且互不影响．如图，把电阻值分别为，的两电阻并联后接入某电路中，已知其总电阻R满足．（注：电阻的单位是欧姆，简称欧，符号为） (1)若，则_______．(2)若，的电阻值比的电阻值大，求，的电阻值．(3)_______．（用含，的式子表示）． 6．（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：形如，两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．如，其中，． (1)试判断，是不是十字分式方程？若是，求该方程的解． (2)若十字分式方程的解为，，求下列代数式的值：①；②． 7．（25-26八年级下·山东济南·期中）如果一个正整数的倒数可以分解成两个正整数均不为倒数相乘的形式，我们定义这种分解为“倒分解”；并定义其中两个乘数差最大的一种分解为的“最大倒分解”，这个最大的差记为：．例：12的倒分解为或，因为，所以最大倒分解为，所以． (1)填空：写出8的一种倒分解：______；(2)计算的值； (3)若的最大倒分解为，且，求的值． 8．（24-25七年级下·浙江台州·期末）照相机成像应用了一个重要原理，即．其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离．表示胶片（像）到镜头的距离．一架照相机已固定，那么就要依靠调整，来使成像清晰．(1)用焦距的相机，拍摄离镜头的距离的花卉，成像清晰，那么拍摄时胶片到镜头的距离是多少？(2)当时，求的值． 9．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）阅读下列解题过程：已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以，故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”．利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值；(2)已知，求的值． 10．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）我们把形如（、不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题：(1)若为“十字分式方程”，则________，________； (2)请利用上述方法求“十字分式方程”的解； (3)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 11．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）阅读：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“关联分式”，常数称为“关联值”．如分式，则与互为“关联分式”，“关联值”． (1)若分式，判断与是否互为“关联分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“关联值”．(2)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”． ①_______（用含的式子表示）；②若为正整数，且分式的值为正整数，则的值等于________． (3)已知分式与互为“关联分式”，且“关联值”，若满足以上关系的关于的方程无解，求实数的值． 12．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． 如，，则和都是“和谐分式”． (1)下列各式中，属于“和谐分式”的是： （填序号）； ①②③④ (2)将“和谐分式”和化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形为：＝ ，＝ ．(3)和谐分式的最大值为 ．(4)如果和谐分式的值为整数，求出所有符合条件的正整数x的值． 13．（2026·安徽芜湖·一模）项目式学习： 【研究背景】你知道古埃及人怎样表示分数吗？他们用分子是1、分母是某一自然数（0和1除外）的分数（即几分之一）作为分数单位，并用它们的和表示其他分数（除外）．例如，他们想表示，不用“”，而是用“”来表示，我们把这种分子为1的真分数叫作“埃及分数”． (1)任务一【理解题意】三个不同的“埃及分数”的和表示可以是________； (2)任务二【类比进阶】对于分数，如何用两个“埃及分数”表示呢？兴趣小组提出两种解法如下： 方法一：，，； 方法二：； 任选一种思路：将用两个“埃及分数”表示为________； (3)任务三【探究方法】兴趣小组进一步研究发现，对于任意分子为2的真分数，当分母为奇数时，可用两个“埃及分数”表示如下： ……① ……② ……③…… 则根据上述规律，写出第⑥个等式为________，猜想第n个等式为________，并证明你的猜想； (4)任务四【拓展应用】根据猜想结果，直接将（其中且k为奇数）写成两个分母不同的“埃及分数”的和的形式为________． 题型四：二次根式中的新定义（材料阅读）或跨学科综合（11题） 1．（24-25八年级下·河北邯郸·月考）我们定义：若，则称与是关于1的平衡数．比如；则与3是关于1的平出数．根据定义，树下列说法错误的是（    ） A．2025与是关于1的平衡数 B．与是关于1的平衡数 C．若，则与不是关于1的平衡数 D．若，则与是关于1的平衡数 2．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）我们规定：对于任意的正数m、n的运算“”为当时，；当时，，其他运算符号意义不变，按上述规定，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）已知，去分母，得；移项，得；两边平方，得；整理，得．我们规定：方程称为的“还原方程”．（1）的“还原方程”是______；（2）若，则代数式______． 4．（25-26八年级下·山东德州·月考）定义：若两个二次根式、满足，且是有理数，则称与是关于的共轭二次根式．(1)若与是关于4的共轭二次根式，则_____．(2)若与是关于2的共轭二次根式，求的值． 5．（25-26八年级下·广东云浮·月考）规定用符号表示一个实数的整数部分，例如，，，并且规定一个实数减去它的整数部分表示这个实数的小数部分，按此规定解答问题： (1) ， ，(2)的小数部分为 ； (3)已知a，b分别是的整数部分和小数部分，求的值． 6．（25-26八年级下·福建龙岩·月考）我国古代数学著作《九章算术》记载了利用三角形三边求面积的“三斜求积术”（即秦九韶公式）．在中，三边分别为，，．完成以下探究： (1)[情境应用：代数计算]若的三边长分别为，，．利用秦九韶公式形式，计算该三角形的面积为________； (2)[基础铺垫：勾股定理应用]过点B作于点D，设，则；请利用勾股定理分别写出的两种表示（用含a，x和b，c，x的式子表示）：①________；②________； (3)[核心推理：推导秦九韶公式]基于（2）中推导出的的表达式，我们可以进一步推导秦九韶公式 ①用含a，b，c的式子表示________（根据秦九韶公式所需的形式填写） ②设的面积为S，由面积公式，证明：秦九韶公式． 7．（25-26八年级上·福建福州·专题练习）已知为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题：(1)已知，则当______时，代数式取到最小值，最小值为______； (2)如图，学校打算用篱笆围成一个面积为的长方形的生物园，其中生物园的一面靠墙（墙足够长），其它三面用篱笆围成，设垂直于墙的一边的长为米，当这个矩形生物园的宽为多少米时，所用的篱笆的总长度最短？最短为多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ 8．（24-25八年级上·福建福州·期末）阅读材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数，可以化成（即带分数）的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：， 分式就拆分成一个分式与一个整式的和的带分式形式． 阅读材料2：由得，；如果两个正数a，b，即， 则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)分式可变形带分式得 ，当，它的最小值为 ； (2)若分式的值为整数，则整数x的值为 ； (3)某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元，二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0.2倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入支出总费用参加活动的同学人数） (4)若式子的最小值是4，求m的值． 9．（24-25八年级上·福建福州·期末）阅读材料1：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如：，这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数，可以化成（即带分数）的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：， 分式就拆分成一个分式与一个整式的和的带分式形式． 阅读材料2：由得，；如果两个正数a，b，即， 则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得， 当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题：(1)分式可变形带分式得 ，当，它的最小值为 ； (2)若分式的值为整数，则整数x的值为 ； (3)某大学学生会在1月4日举办了一个活动，活动支出总费用包含以下三个部分：一是前期投入720元，二是参加活动的同学午餐费每人12元；三是其他费用，等于参加活动的同学人数的平方的0.2倍．求当参加活动的同学人数为多少时，该次活动人均投入费用最低，最低费用是多少元？（人均投入支出总费用参加活动的同学人数） (4)若式子的最小值是4，求m的值． 10．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）【探究发现】某校数学兴趣小组开展了如下探究活动． 如图1，在中，，于点．设，，． (1)请完成下列填空． 小明说：可以用含a，b的代数式表示，则； 小颖说：也可以用含a，b，m的代数式表示，则______； 小芳说：由此可以用含a，b的代数式表示m，则______； 小亮说：可以用含a，b的代数式表示的斜边上的中线的长为，则与m的大小关系为____， 并进一步可以得到与的大小关系为______．（温馨提示：直角三角形斜边中线等于斜边的一半） (2)若的面积为9，直接写出m的最大值． 【迁移应用】(3)如图2，学校有一块一边靠墙（图中实线）的种植园，该兴趣小组想靠墙（墙足够长）在此规划一个面积为18平方米的长方形种植实验地，并用小栅栏（图中虚线）将该长方形种植实验地按如图所示方式分成6个小长方形区域，求小栅栏的总长度（所有虚线长之和）最少为多少米？ 11．（25-26八年级下·安徽六安·期中）在进行二次根式大小比较时，除教材展示的方法外，“平方法”也是一种非常有效的方法．例如，比较和的大小时，我们可以将和分别平方．，，，．另外，我们也可以在网格中利用构造线段的方法来进行二次根式大小的比较，如图1，，，显然，．根据以上提供的内容，解决以下问题： (1)比较大小：____________4 (2)运用上述两种方法比较与的大小：①利用平方法，请证明； ②利用构造线段法说明，请在图2的网格中，画出图形，并说明理由． 题型五：概率与统计中的新定义（材料阅读）或跨学科综合（3题） 1．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）小明家打算到徐州旅游，他们计划其中的三天用来游玩云龙湖、方特乐园、徐州博物馆，每天一个景点．临行前小明查阅了前后五天的天气预报： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 温度 天气 降水概率 根据天气预报情况，请帮小明家规划在徐州旅行的这三天行程，并说出依据． 2．（25-26八年级下·江苏镇江·期中）某人工智能公司研发了一款自动驾驶汽车的障碍物识别系统．为了测试系统的识别准确率，测试人员从真实道路场景中随机抽取图片，让系统识别其中是否存在障碍物；并记录正确识别的次数．每次识别后放回，重复上述过程．下表是试验中的一组统计数据： 测试图片数量 100 200 500 1000 2000 3000 正确识别次数 87 175 438 1780 2670 正确识别频率 0.87 0.875 0.876 0.88 0.89 (1) ， ；(2)估计该系统正确识别障碍物的概率约为 ；（结果精确到0.1） (3)下列说法错误的是 ．（填序号） ①识别障碍物4次，都识别成功了，所以第5次识别一定也成功； ②识别障碍物10次，识别成功的次数不一定是9次； ③识别障碍物30次，识别成功的次数一定是27次． 3．（2026·江苏苏州·一模）“健康第一”是苏州市教育局2026年春季开展的一项以学生身心健康为核心的教育主题行动，旨在落实体育强身、心理润心、近视防控、睡眠管理等工作，促进学生全面健康成长．某数学学习小组为了解本校九年级学生的健康情况，开展了相关调查活动，随机抽取了部分学生调查他们身体质量指数“”数据，其计算公式为（m表示体重，单位：千克；表示身高，单位：米）．标准见表： 的范围 健康类型 体重过低 正常 超重 肥胖 【收集数据】随机抽取该校部分学生，测算出他们的数据组成样本． 【整理数据】将学生的数据按照以下标准分成A，B，C，D四组进行整理，如下表： 类别 A B C D 体重情况 过低 正常 超重 肥胖 人数（人）      36 9 3 【描述数据】根据学生的BMI数据绘制了如下两幅不完整的统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：(1)参与本次调查的学生人数为__________人； (2)补全条形统计图；(3)若该校九年级共有600名学生，请估计身体质量指数正常的学生人数． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $