专题03 特殊平行四边形与图形变换综合专训（40题）（高效培优期末专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

**基本信息** 聚焦特殊平行四边形与图形变换综合应用，以40道分层题构建“性质应用-变换推理-动态探究”逻辑链，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选择|12题|多结论判断、动态几何|以正方形/矩形性质为基础，结合旋转/翻折生成全等、等腰三角形，需综合勾股定理与方程思想| |填空|13题|动点轨迹、旋转变量|通过平移/旋转探究线段关系，渗透分类讨论（如等腰三角形存在性）| |解答|15题|综合探究、迁移应用|从特殊到一般设计问题（如正方形旋转中中点性质），培养模型意识与创新思维|

专题03 特殊平行四边形与图形变换综合专训（40题） 一、单选题（共12题） 1．（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点F，连接．下列结论：①；②四边形是正方形；③若，则；其中正确的是（    ）    A．①②③ B．①② C．②③ D．① 2．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在正方形中，点F是对角线上任意一点，将绕点A顺时针旋转得到，过点G作交于点E，连接，，当点E恰好为中点时，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·山东东营·期中）如图，正方形边长为，从出发沿对角线向运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，设，下列说法： ①是直角三角形；②当时，；③有且只有一个实数，使得； ④取中点，连接，则．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25九年级上·广东深圳·月考）如图，在矩形中， ，， 把矩形绕点C旋转， 得到矩形且点 的对应点恰好落在 上，连接 交 于点 H．则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形与正三角形的顶点重合，将绕顶点旋转一周，在旋转过程中，当时，的度数为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 6．（25-26九年级上·重庆渝中·期中）如图，矩形纸片中，，，点E、G分别在上，将、分别沿翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段长为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·黑龙江大庆·一模）如图，正方形的边长为4，点是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点．和的平分线，相交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 8.（2025·安徽·模拟预测）如图，点在矩形的边上，将矩形沿翻折，点恰好落在边的点处，连接交于点，连接．若，，则的值为(   ) A． B． C． D． 9．（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，在矩形中，，，P是边上一点（不与点A，D重合），连接，先将沿直线翻折，点A的对应点为E．若点B关于直线的对称点F恰好落在边上，连接，，则的长为（    ） A． B．8 C． D．7 10．（25-26八年级下·福建·期中）如图，在正方形中，分别为的中点，连接，将沿对折，得到，延长交延长线于点，正方形的边长为，下列结论正确的个数是（   ） ；；； A．个 B．个 C．个 D．个 11．（25-26九年级上·重庆·月考）已知在矩形中，对角线交于点O，，点E在边上，，点F在边上，将四边形沿翻折，点D恰好与点O重合，点C落在处，与交于点G，则的面积为（   ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，C点是线段上一动点，分别以，为边向上作正方形和正方形，连接，，延长交于点N，过点N作，点M为线段的中点，记的长为x，的长为y，点C在运动过程中，下列代数式的值不变的是（    ） A． B．xy C． D． 二、填空题（13题） 13．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，将直角沿边的方向平移到的位置，点、、的对应点分别为点、、，连接，若，，则的长为____． 14．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在轴的正半轴上，且点，，直线以每秒个单位长度的速度向右平移，经过______秒该直线可将平行四边形的面积平分． 15．（2026·河南平顶山·一模）如图，点P是正方形边上的一动点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接．若，当时，线段的长为_______． 16．（25-26九年级上·重庆合川·期末）如图，在矩形中，，将绕点旋转得到，连接，交于点，连接，则的长度为___________． 17．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图， 在菱形中，，将菱形绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形，点E在上， 与交于点P， 则的长是________． 18．（2025·河北·一模）图，为正方形内一点，，将绕点按逆时针方向旋转，得到（点和点为对应点），延长交于点，交于点，连接，已知，，则的长为______． 19．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在矩形中，连接、交于点，已知，，若将绕点旋转度，得到，当时，延长交直线于点，则的长度为______ 20．（2025·河南·一模）如图，在正方形中，，将线段绕点A旋转得到线段，连接，过点D作于点E，当E是线段的三等分点时，的长为__________． 21．（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，在矩形中，，，现将绕着点B旋转得到线段，连接，，若为等腰三角形，则该等腰三角形边上的高为______． 22．（2026·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片的顶点C，A分别在x轴，y轴的正半轴上，点B的坐标为，D是线段上的动点，连接，过点D作与x轴相交于E．将沿翻折，使点O落在点处，连接，当为以为腰的等腰三角形时，点D的坐标为______． 23．（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 24．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在矩形中，，，M、N分别是边、上的点，将四边形沿翻折至四边形，点E落在边上，且，则的长为________． 25．（25-26九年级上·福建泉州·月考）在矩形中，，点P在边以的速度从点A向点D运动，点Q从C点出发，以的速度在C、B间做往返运动，两点同时出发，直到点P到达点D时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒，当______时，四边形为矩形． 三、解答题（15题） 26．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式；(2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________；(3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 27．（25-26九年级上·山西晋中·月考）综合与探究 问题情境：如图，正方形与正方形的点重合，点在边上，点在边的延长线上．连接，取的中点，连接，． 观察发现：（1）请直接写出与的数量关系和位置关系． 操作探究：将正方形绕点逆时针旋转一周． （2）在旋转过程中，（）中的结论是否仍然成立？请就图说明理由； （3）在旋转过程中，当点，，在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长． 28．（2026·吉林长春·校考一模）在正方形中，对角线、相交于点O，F是正方形内一点，，将绕点C按顺时针方向旋转一定角度得到，点B、F的对应点分别为点D、E，则直线经过点O． (1)【方法感知】如图①，当点F在内时，过点D作交于点G，则的大小为______________度，、、的数量关系为______________． (2)【类比迁移】如图②，当点F在内时，试判断、、之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】如图③，将正方形改为菱形，对角线、相交于点O，F是内一点，．若将绕点C按顺时针方向旋转得到，点B、F的对应点分别为点D、E．若，则______________． 29．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）【问题背景】在几何学习中，我们常研究共顶点的两个正方形构成的图形．如图，已知正方形和正方形有一个公共顶点C，点E在正方形外部，连接，取的中点P，连接，． 【特殊位置探究】(1)如图①，将正方形绕点C旋转，使得点G落在边的延长线上，延长交于点Q，证．则是________三角形，和的数量关系是________，和的位置关系是________． 【一般情形拓展】(2)如图②，将正方形绕点C旋转任意角度（点E、F不与正方形的边重合），点P仍为的中点．问：线段和是否仍然保持（1）中的数量关系与位置关系？请证明你的结论． 【迁移运用】(3)若将正方形绕点C顺时针旋转时，边恰好平分线段，请求出的值． 30．（25-26八年级下·山东青岛·开学考试）在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接，则__________°； 【解决问题】（2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，． ①如图2，当时，求证：平分； ②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则__________； 【迁移应用】（3）如图4，正方形的边长为5，E是边上一点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，则__________； （4）如图5，在菱形中，，E是边上一点（不与点C、D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G．若，则_________． 31．（25-26九年级上·山西阳泉·期末）综合与探究 【问题情境】已知在正方形中，为对角线的交点．延长，使，作正方形，使点落在的延长线上，连接． （1）如图1，与的数量关系是______，与的位置关系是______． 【操作发现】（2）如图2，将问题（1）中的正方形绕点逆时针旋转，请判断与的位置关系是否成立？成立证明，不成立说明理由． 【问题解决】（3）如图3，延长交于点，当点为中点时，求的面积． 32．（25-26九年级上·广东深圳·期中）我们学习过正方形，如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，连接、、． 【特例感知】（1）试证明：．（2）如图1，延长到点G，使得，连接，，．图中与的数量关系是_____________． 【结论探索】（3）如图2，将图1中的绕着点A逆时针旋转，连接并延长到点G，使得，连接，，，此时与还存在（2）中的数量关系吗？判断并说明理由． 【拓展应用】（4）在（3）的条件下，若，，当是以为直角边的直角三角形时，请求出的长． 33．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，已知四边形是正方形，将线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，连接，． (1)若，则 ；(2)过点作，交的延长线于点，连接． 如图，若，求的长；在图中，取的中点，作射线交的延长线于点，连接．请探究线段、、之间的数量关系，并给出证明． 34．（24-25九年级下·四川成都·期中）如图，正方形中，E是对角线上一点，连接，过点E作，交射线于点F． (1)如图1，若点F在线段上，写出与的数量关系并加以证明； (2)若，，求的值； (3)如图3，若点F在线段上，，连接，交于点M，将沿翻折，得到，连接，交于点I，请按题意画出图形，探究当时，的值是多少？ 35．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在直角坐标系中，，，一次函数的图象过，与轴交于点． (1)求点和点坐标；(2)求证：四边形为平行四边形；(3)将绕点顺时针旋转得．问：若轴，能否使以、、为顶点的四边形是平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由． 36．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，四边形是平行四边形，点在轴上，点在轴上，边所在直线的函数解析式为． (1)求点的坐标；(2)如图，若点的坐标为，点为的中点，点为边上一点，连接，满足，求的长；(3)如图，若点的坐标为，点分别为边上的点，连接，点关于直线的对称点恰好落在轴上，连接交于点，点恰好为的中点，且，求直线的解析式． 37．（24-25八年级下·广东佛山·期中）综合与探究：折纸作为融合生活实践与数学探究的活动，其折叠过程生动展现了对称性、等长线段、等角关系及图形全等等几何原理．综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动． 如图1，平行四边形纸片，的长度不确定，点是上的一个动点，连接，把平行四边形沿着线段对折，点的对应点为． 【探究1】如图2，当与重合时，连接，探究与的位置关系，请完成下面的证明过程； 证明：沿翻折至，， 在平行四边形中，， ， ，， 在平行四边形中，，， ， ，， ， = ，； 【探究2】如题图3，若刚好能落在的中点时，且，求的长； 【探究3】如图4，若，当刚好落在点的中点上时，是的中点，连接，若是直角三角形，直接写出的长． 38．（2025·山西忻州·三模）综合与实践 问题情境:在数学活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题展开探究．如图1，在平行四边形纸片中，，对角线，沿剪开得到两个全等的三角形，将绕点逆时针旋转得到． 猜想验证（1）如图，当点落在的延长线上时，连接，判断四边形的形状并说明理由． 问题解决（2）如图，在旋转的过程中，当时，线段与线段交于点，求线段的长． （3）在旋转的过程中，线段与射线交于点，如果为等腰三角形，请直接写出线段的长． 39．（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在射线上以每秒个单位长的速度运动．设动点的运动时间为秒． (1)点在运动过程中，______；（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形； (3)在线段上有一点，且，当四边形的周长最小，求的坐标． 40．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，沿方向向左平移得到，A，C对应点分别是D，E．F是线段上的一个动点（点F不与B，E重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转至线段，使得，连接． (1)当点F与点C重合时，求的长．(2)如图，连接，．在点F的运动过程中：①和是否总是相等？若是，请证明：若不是，请说明理由．②当为等腰三角形时，直接写出的长． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 特殊平行四边形与图形变换综合专训（40题） 一、单选题（共12题） 1．（25-26九年级上·广东佛山·月考）如图，点E为正方形内一点，，将绕点B按顺时针方向旋转，得到．延长交于点F，连接．下列结论：①；②四边形是正方形；③若，则；其中正确的是（    ）    A．①②③ B．①② C．②③ D．① 【答案】A 【详解】解：设交于K，如图：    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵将绕点B按顺时针方向旋转，得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴，，， 又∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形，故②正确； 如图，过点D作于H，    ∵，， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵将绕点B按顺时针方向旋转， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∴正确的有：①②③， 故选：A． 2．（25-26九年级上·重庆·期末）如图，在正方形中，点F是对角线上任意一点，将绕点A顺时针旋转得到，过点G作交于点E，连接，，当点E恰好为中点时，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴， ∵将绕点A顺时针旋转得到，∴，， ∴，∴， 在和中，，∴，∴， 如图，过点作平行线，分别交于点，过点作，交延长线于点，设交于点，则， ∴四边形为矩形，∴， ∵，，即，∴， ∴，即为等腰直角三角形，∴， ∵，∴，又∵，∴， ∴，即为等腰直角三角形，∴，∴， ∵，即，∴， 又∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， 设，，则， ∵点E为中点，∴，∴， ∴，∴，∴．故选：B． 3．（25-26八年级上·山东东营·期中）如图，正方形边长为，从出发沿对角线向运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，设，下列说法： ①是直角三角形；②当时，；③有且只有一个实数，使得； ④取中点，连接，则．正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形，为对角线， ∴，，， ∵线段绕点C顺时针旋转得到，∴，， 又∵，，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴是直角三角形，故①正确； ∵正方形边长为，∴， ∵，，，∴， ∴，故②正确； 由题可知：， 要，则，整理得：，解得， ∴有且只有一个实数m，使得，故③正确； ∵，点G为的中点，∴，故④正确；故选：D． 4．（24-25九年级上·广东深圳·月考）如图，在矩形中， ，， 把矩形绕点C旋转， 得到矩形且点 的对应点恰好落在 上，连接 交 于点 H．则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：作于点，则，∵四边形为矩形，，， ∴，，，， ∴，，由旋转可知，，，， ∴，， 在与中，，，， ∴，∴，，∴， 在与中，，，， ∴，∴，∴．故选：D ． 5．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形与正三角形的顶点重合，将绕顶点旋转一周，在旋转过程中，当时，的度数为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【详解】当在正方形内部时，如图所示， 四边形是正方形，，．∵是等边三角形，，． 在和中，，，． 当在正方形外部时，同理可得，，． ，． 综上所述，的度数为或．故选：． 6．（25-26九年级上·重庆渝中·期中）如图，矩形纸片中，，，点E、G分别在上，将、分别沿翻折，翻折后点C与点F重合，点B与点P重合．当A、P、F、E四点在同一直线上时，线段长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：在矩形纸片中，，， ∴，，，∵将沿翻折，翻折后点C与点F重合， ∴，，， ∴，设，∴，， ∵，∴，解得：，∴， ∵将沿翻折，翻折后点B与点P重合，∴，，， ∴，设，则， ∵，∴，∴，∴线段GP长为，故选：B． 7．（2026·黑龙江大庆·一模）如图，正方形的边长为4，点是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点．和的平分线，相交于点，连接，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接， ， 四边形是正方形，，， 点E是边的中点，，将沿直线翻折得， ，，， 又，，，设，则， 根据勾股定理可得，即，解得，， 和的平分线相交于点H，点到的距离相等， 设点H到的距离为h，∵， ∴，∴，∴ ． 8.（2025·安徽·模拟预测）如图，点在矩形的边上，将矩形沿翻折，点恰好落在边的点处，连接交于点，连接．若，，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形为矩形，， 由沿折叠而得， 、关于对称，即垂直平分， 为中点，∴∴在中垂线上 ∵四边形为矩形，∴在垂直平分线上，， ，，， ∵，∴即： ，∵，， ∴∴， 故选：B． 9．（25-26九年级上·山西太原·月考）如图，在矩形中，，，P是边上一点（不与点A，D重合），连接，先将沿直线翻折，点A的对应点为E．若点B关于直线的对称点F恰好落在边上，连接，，则的长为（    ） A． B．8 C． D．7 【答案】C 【详解】解：当点F恰好落在边上时，由折叠及对称的性质知， 由矩形的性质知，， 在中，由勾股定理得，∴， 设，则，∴，， ∵，∴，解得，即的长为．故选：C． 10．（25-26八年级下·福建·期中）如图，在正方形中，分别为的中点，连接，将沿对折，得到，延长交延长线于点，正方形的边长为，下列结论正确的个数是（   ） ；；； A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【详解】解：∵四边形是正方形，∴， ∵分别为的中点，∴， 又，∴，∴，正确； ∵，∴，∵，∴， 即，所以，正确；根据折叠的对称性可知， ∵，∴，∴，∴，正确； 设，则，∵，∴， 在中，利用勾股定理可得，即， 解得，即，正确，综上可得：正确，共个． 11．（25-26九年级上·重庆·月考）已知在矩形中，对角线交于点O，，点E在边上，，点F在边上，将四边形沿翻折，点D恰好与点O重合，点C落在处，与交于点G，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：如图：过点O作交于点M，交于点N，， 由翻折可知：∵，∴， ∵在矩形中，对角线交于点O，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴是等腰直角三角形， ∵，∴，∴，则， 同理可得，∴是等腰直角三角形， ∴，∴，∴， 设，则， 在中，根据勾股定理，得， ∴，解得：，∴， ∴的面积为．故选：B． 12．（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）如图，C点是线段上一动点，分别以，为边向上作正方形和正方形，连接，，延长交于点N，过点N作，点M为线段的中点，记的长为x，的长为y，点C在运动过程中，下列代数式的值不变的是（    ） A． B．xy C． D． 【答案】A 【详解】解：连接，∵四边形，四边形是正方形， ∴，，， 在和中，∵∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵点M为线段的中点，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵是定值，故是定值，故A符合题意； ∵，且都随点C的变化而改变，不是定值；故B不符合题意； 根据题意，得，而不是定角，故D不符合题意； 根据题意，得，而x不是定值，故C不符合题意，故选A． 二、填空题（13题） 13．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）如图，将直角沿边的方向平移到的位置，点、、的对应点分别为点、、，连接，若，，则的长为____． 【答案】4 【详解】解：由平移可得，∴，∴， ∵，，∴，∴， 由平移可得，，∴四边形为平行四边形，∴．故答案为：． 14．（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在轴的正半轴上，且点，，直线以每秒个单位长度的速度向右平移，经过______秒该直线可将平行四边形的面积平分． 【答案】 【详解】解：连接，，交于点， ∵四边形是平行四边形，∴，∵，，∴， 作平行于直线，则直线可将平行四边形的面积平分， 设直线的解析式为，则，∴， ∴直线的解析式为，∴ 根据直线的平移规律可知，直线向右平移个单位可得直线， ∵直线以每秒2个单位长度的速度向右平移， ∴经过秒该直线可将平行四边形的面积平分，故答案为：． 15．（2026·河南平顶山·一模）如图，点P是正方形边上的一动点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接．若，当时，线段的长为_______． 【答案】或 【详解】解∶分两种情况讨论： ①当点P在边上时，过点E作，交的延长线于点F，则． ∵四边形是正方形，，∴，， ∴， ∵线段绕点P逆时针旋转得到线段， ∴，，∴， ∴，∴，， ∴，∴在中，． ②当点P在边上时，过点E作，交的延长线于点G，则． ∵四边形是正方形，，∴，， ∴， ∵线段绕点P逆时针旋转得到线段，∴，， ∴，∴，∴， ∴，，∴， ∴在中，．综上所述，线段的长为或． 16．（25-26九年级上·重庆合川·期末）如图，在矩形中，，将绕点旋转得到，连接，交于点，连接，则的长度为___________． 【答案】 【详解】解：作交的延长线于点，∵将绕点旋转得到， ∴，，，∴四边形是矩形， ∵，，，∴， ∴，∴，∴，， ∴，故答案为：． 17．（25-26九年级上·湖北武汉·期中）如图， 在菱形中，，将菱形绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形，点E在上， 与交于点P， 则的长是________． 【答案】/ 【详解】解：连接交于，如图所示： 四边形是菱形，，， ，，， ，，， 由旋转的性质得：，，， 四边形是菱形，，， ，，，， ，故答案为：． 18．（2025·河北·一模）图，为正方形内一点，，将绕点按逆时针方向旋转，得到（点和点为对应点），延长交于点，交于点，连接，已知，，则的长为______． 【答案】2 【详解】解：将绕点按逆时针方向旋转，得到， ，，． 又，四边形是正方形．设正方形的边长为，则， 在中，，即， 解得（负值舍去），，． 如图，过点作于点，， ，，． ，，， ，，，．故答案为：． 19．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在矩形中，连接、交于点，已知，，若将绕点旋转度，得到，当时，延长交直线于点，则的长度为______ 【答案】或 【详解】解：在矩形中，连接、交于点，已知，， ∴，，则是等边三角形， ∴，，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， 如图，当顺时针旋转时，∴，∴， 在上取一点，使得，∴，∴， 又∵，∴，∴，， ∴，解得：； 如图，当逆时针旋转时，在上取点，使得， 同理可得，∴，， ∴，故答案为：或． 20．（2025·河南·一模）如图，在正方形中，，将线段绕点A旋转得到线段，连接，过点D作于点E，当E是线段的三等分点时，的长为__________． 【答案】或 【详解】解：如图，连接，． ∵在正方形中，，∴，∴， 当E是的三等分点时，分以下两种情况讨论： ①如图1，当时，设，根据旋转可得， ，，∴． ，， ，为等腰直角三角形，． 设，则．在中，，即， 解得：，． ②如图2，当时，设，根据旋转可得， ，，∴． ，，， 为等腰直角三角形，．设，则． 在中，，即，解得：，则． 综上所述，的长为或．故答案为：或． 21．（25-26九年级上·江西南昌·期末）如图，在矩形中，，，现将绕着点B旋转得到线段，连接，，若为等腰三角形，则该等腰三角形边上的高为______． 【答案】2或或 【详解】解：如图1所示，连接， ∵四边形是矩形，∴， ∴，由旋转的性质可得， ∵，∴， ∵，∴当三点共线时，有最小值，最小值为2， 此时，满足为等腰三角形，∴此时边上的高为的长，即为2； 当三点不共线时，，∴当为等腰三角形，只存在这种情况， ∴点在线段的垂直平分线上； 如图2所示，当点在矩形内部时，过点作分别交于点F，点E，则四边形是矩形，∴，，∴， ∴，∴，∴此时边上的高为； 如图3所示，当点在矩形外部时，过点作分别交于点F，点E，则四边形是矩形，∴，，∴， ∴，∴，∴此时边上的高为； 综上所述，该等腰三角形边上的高为2或或； 故答案为：2或或． 22．（2026·山东济南·一模）如图，在平面直角坐标系中，矩形纸片的顶点C，A分别在x轴，y轴的正半轴上，点B的坐标为，D是线段上的动点，连接，过点D作与x轴相交于E．将沿翻折，使点O落在点处，连接，当为以为腰的等腰三角形时，点D的坐标为______． 【答案】或 【详解】解：根据折叠的性质得， ∵点，且四边形是矩形，∴． 当时，是等腰三角形，∴． 在中，，即，解得，即，∴点； 当时，是等腰三角形，过点B作，于点F，∴． ∵，∴,∴， ∴，∴，∴， ∴，解得，∴，∴点．所以点D的坐标是或． 23．（25-26八年级下·湖北黄冈·期中）如图，在矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处，且点在线段上（可与点，重合），过点作于点，连接．当与重合时，________；若四边形为正方形，则________． 【答案】 /0.875 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，， 当与重合时，由折叠可得，设，则， 在中，，∴，解得，∴； 当四边形为正方形时，如图，连接，∴， ∵四边形是矩形，∴， ∵于点，∴，∴四边形是矩形，∴， 由勾股定理得，，由折叠可得，，， ∴，∴， 设，则，在中，， ∴，解得，∴，∴． 24．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在矩形中，，，M、N分别是边、上的点，将四边形沿翻折至四边形，点E落在边上，且，则的长为________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，， 设，则，由翻折可知：， 在中，根据勾股定理得：， ，，，， ，，设交于点Q，如图， ，由翻折可知：，， ，，， ，， 由翻折可知：，在中，根据勾股定理得：， ，． 25．（25-26九年级上·福建泉州·月考）在矩形中，，点P在边以的速度从点A向点D运动，点Q从C点出发，以的速度在C、B间做往返运动，两点同时出发，直到点P到达点D时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒，当______时，四边形为矩形． 【答案】2.4或4或7.2或12 【详解】解：当时，四边形为矩形．∵矩形，∴，， ∵，∴四边形为平行四边形，∵，∴四边形为矩形． ∵点P运动的时间秒，∴点Q运动的路程， ∴点Q可在间往返4次，∴在这段时间内有四次． 设运动时间为t，则，分类讨论：①第一次：，，∴，解得：； ②第二次：，，∴，解得：； ③第三次：，，∴，解得：； ④第四次：，，∴，解得：．故答案为：2.4或4或7.2或12． 三、解答题（15题） 26．（25-26八年级下·山东济南·期中）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式；(2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________；(3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)(2)平行四边形， (3)当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵，∴；设直线的解析式为， ∴，∴，∴直线的解析式为． （2）解：如图所示，设与x轴交于E，与交于F，过点M作轴于G， ∵四边形是平行四边形，∴，由平移的性质可得， ∴，即，∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形； 在中，当，，∴，∴， ∴，∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为． （3）解：∵，∴， ∵四边形是平行四边形，∴， ∵，∴，同理可得直线的解析式为，设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ，解得，∴； 当为边时，则，∴，∴，∴， ∴，∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 27．（25-26九年级上·山西晋中·月考）综合与探究 问题情境：如图，正方形与正方形的点重合，点在边上，点在边的延长线上．连接，取的中点，连接，． 观察发现：（1）请直接写出与的数量关系和位置关系． 操作探究：将正方形绕点逆时针旋转一周． （2）在旋转过程中，（）中的结论是否仍然成立？请就图说明理由； （3）在旋转过程中，当点，，在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长． 【答案】（）， ；（）结论仍然成立 ；（）的长为或． 【详解】解：（）结论：，， 理由：如图中，延长交于， ∵四边形是正方形，四边形是正方形，∴，，， ∵，∴，∴，∴， ∵为中点，∴，∵，∴， ∴，，∴，∴， ∴，，∴， ∴，∴，综上可得：，； （）中的结论仍然成立.理由如下：如图，延长到点，使得，连接并延长，交的延长线于点，连接，设与交于点，∵点为的中点，∴， 又∵，，∴， ∴，，∴，∴， ∵四边形和四边形都为正方形，∴，，，， ∴，，∴， ∵，，∴，∴， 又∵，，∴，∴，，∴， ∵，∴，； （）如图中，作于， ∵四边形和四边形都为正方形，∴，，， ∵点，，在同一条直线上，∴，在中，， ∵，，∴，，∴， 在中，，∵为的中点，∴； 如图，作于，∵四边形和四边形都为正方形， ∴，，，∵点，，在同一条直线上，∴， 在中，， ∵，，∴，，∴， 在中，， ∵为的中点，∴；综上可得：的长为或． 28．（2026·吉林长春·校考一模）在正方形中，对角线、相交于点O，F是正方形内一点，，将绕点C按顺时针方向旋转一定角度得到，点B、F的对应点分别为点D、E，则直线经过点O． (1)【方法感知】如图①，当点F在内时，过点D作交于点G，则的大小为______________度，、、的数量关系为______________． (2)【类比迁移】如图②，当点F在内时，试判断、、之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】如图③，将正方形改为菱形，对角线、相交于点O，F是内一点，．若将绕点C按顺时针方向旋转得到，点B、F的对应点分别为点D、E．若，则______________． 【答案】(1)45；(2)，理由见解析(3) 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，∴，，， ∵将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到，∴， ∵，∴， ∵，， ∴，∴，∴，， ∴，∴是等腰直角三角形， ∴， ， 故答案为：， ； （2）解：，理由如下：如图，过点作交延长线于点， ∴. ∵点在内时，将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到， ∴， .在正方形中，对角线、交于点， ∴，.∴.∴. ∵，∴，∴，. ∴，，∴是等腰直角三角形.∴； （3）解：如图， 过点作， 交的延长线于点，连接，并延长交的延长线于点，于点， ∵将绕点按顺时针方向旋转得到， ∴，，，， ∴，都是等边三角形，∴，∴， ∵，∴，∴， 又∵，，，， ∵四边形是菱形，，∴，，， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， 又∵，，∴，∴， ，故答案为：． 29．（25-26八年级上·湖南长沙·期末）【问题背景】在几何学习中，我们常研究共顶点的两个正方形构成的图形．如图，已知正方形和正方形有一个公共顶点C，点E在正方形外部，连接，取的中点P，连接，． 【特殊位置探究】(1)如图①，将正方形绕点C旋转，使得点G落在边的延长线上，延长交于点Q，证．则是________三角形，和的数量关系是________，和的位置关系是________． 【一般情形拓展】(2)如图②，将正方形绕点C旋转任意角度（点E、F不与正方形的边重合），点P仍为的中点．问：线段和是否仍然保持（1）中的数量关系与位置关系？请证明你的结论． 【迁移运用】(3)若将正方形绕点C顺时针旋转时，边恰好平分线段，请求出的值． 【答案】(1)等腰直角；；(2)保持，见解析(3)的值为 【详解】（1）解：四边形，为正方形， ，，，，， 顶点落在正方形的边的延长线上，，，， 为线段的中点，，在和中，，， ，，，，， 又∵，为等腰直角三角形，，，； （2）解：线段和仍然保持（1）中的数量关系与位置关系，证明如下： 延长至点，使，连接并延长交的延长线于点，如图： 是的中点，，在和中，， ，， 在正方形中，，，，，， 在正方形中，，， 在四边形中，，， ，∴， 在和中，，， ，∴是等腰直角三角形， ， 又，； （3）解：设正方形的边长，正方形的边长， ∵正方形绕点顺时针旋转，∴， ∵边平分线段，∴与的交点是的中点，∴，连接，如图， ∵四边形是正方形，四边形是正方形，∴，， ∴， 又∵，，且，∴，∴， 在正方形中，其边长为a，∴对角线，∴，∴． 30．（25-26八年级下·山东青岛·开学考试）在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动： 【实践探究】（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接，则__________°； 【解决问题】（2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，． ①如图2，当时，求证：平分； ②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则__________； 【迁移应用】（3）如图4，正方形的边长为5，E是边上一点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，则__________； （4）如图5，在菱形中，，E是边上一点（不与点C、D重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G．若，则_________． 【答案】（1）45；（2）①见解析；②4；（3）5；（4）2 【详解】（1）解：∵长方形纸片和是两个完全相同的长方形， ∴，∴， ∴，∴是等腰直角三角形，∴； （2）①证明：∵，∴， ∵四边形是矩形，∴，∴；∴，∴平分； ②解：过点B作于点E， ∵，∴8，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴； （3）解：如图，过点F作交的延长线于点H， ∵四边形是正方形，∴，∴， 由旋转的性质得：， ∵，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∴； （4）解：过点F作，与的延长线交于点H， ∵四边形是菱形，∴， 由旋转得，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴是直角三角形， ∵，∴，∵，∴，∴． 31．（25-26九年级上·山西阳泉·期末）综合与探究 【问题情境】已知在正方形中，为对角线的交点．延长，使，作正方形，使点落在的延长线上，连接． （1）如图1，与的数量关系是______，与的位置关系是______． 【操作发现】（2）如图2，将问题（1）中的正方形绕点逆时针旋转，请判断与的位置关系是否成立？成立证明，不成立说明理由． 【问题解决】（3）如图3，延长交于点，当点为中点时，求的面积． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3） 【详解】（1）解：在正方形中，，，即； 正方形，，，，， 在和中，，，，， 延长交于点，，， ，即；故答案为：，． （2）解：成立，证明如下：在正方形中，，； 在正方形中，，， ，即， 在和中，，，， 延长交于点，交于点，∵，， ∴，，即． （3）解：如图，连接，过作于． ∵四边形是正方形，，∴由勾股定理得， ∴，．∵四边形是正方形，∴由勾股定理得． ∵，为中点，是的垂直平分线，∴． 设，则．在中，； 在中，．∴，． 在中，．∴． 故的面积为． 32．（25-26九年级上·广东深圳·期中）我们学习过正方形，如图，在正方形中，点E，F分别在边，上，且，连接、、． 【特例感知】（1）试证明：．（2）如图1，延长到点G，使得，连接，，．图中与的数量关系是_____________． 【结论探索】（3）如图2，将图1中的绕着点A逆时针旋转，连接并延长到点G，使得，连接，，，此时与还存在（2）中的数量关系吗？判断并说明理由． 【拓展应用】（4）在（3）的条件下，若，，当是以为直角边的直角三角形时，请求出的长． 【答案】（1）证明见详解，（2），（3）存在，理由见详解，（4）或4 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，， 又∵，∴， 在和中，，∴，∴． （2）解：如图，连接，∵，，∴，∵，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴， ∴，故答案为：； （3）解：存在，理由：连接，∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴，∴． （4）解：如图，当时， ∵，，∴A、E、C在一条直线上， ∵，∴，，； 如图，当时，同理可证得：， ∴，∴，， ∴B、E、F在一条直线上，过点A作，垂足为M， ∵，，∴，∴， ∴，∴，，∴， 综上所述，的长为或4． 33．（25-26九年级上·江苏南通·期中）如图，已知四边形是正方形，将线段绕点逆时针旋转得到线段，旋转角为，连接，． (1)若，则 ；(2)过点作，交的延长线于点，连接． 如图，若，求的长；在图中，取的中点，作射线交的延长线于点，连接．请探究线段、、之间的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)(2)；，证明见解析 【详解】（1）解：四边形是正方形，，， 旋转角为，即，， 将线段绕点逆时针旋转得到线段，，， ；故答案为：； （2）解：如图中，过点作，交的延长线于点，交于点，过点作于点， ，，四边形为平行四边形， ，，四边形为矩形， ，，， 四边形是正方形，，， ，， 在和中，，， ，四边形为正方形，． ，，，，． ，°，． 在和中，，， ，； 结论：．证明：如图，过点作于点． ，， 在中，，， ， ， ，，，点是的中点，， ，，垂直平分，，， ，． 34．（24-25九年级下·四川成都·期中）如图，正方形中，E是对角线上一点，连接，过点E作，交射线于点F． (1)如图1，若点F在线段上，写出与的数量关系并加以证明； (2)若，，求的值； (3)如图3，若点F在线段上，，连接，交于点M，将沿翻折，得到，连接，交于点I，请按题意画出图形，探究当时，的值是多少？ 【答案】(1)：，证明见解析(2)(3)图见解析， 【详解】（1）解：，证明如下：如图所示，连接， ∵四边形是正方形，∴， 又∵，∴，∴； ∵，∴，∴， ∴， ∵，∴，∴，∴，∴； （2）解：如图所示，过点E作于H， ∵四边形是正方形，∴，， ∴，由（1）可得， ∵，∴，是等腰直角三角形， ∴，∴； （3）解：补全图形如下所示：连接，∵四边形是正方形，∴， ∵，∴，∴B、D、N三点共线；由（1）可得， 又∵，∴，由折叠的性质可得，，即；如图所示，过点M作，过点N作，垂足分别为G、W， ∴，∴， ∴，∴，∴； ∵四边形是正方形，∴，，， ∴都是等腰直角三角形，∴，∴， ∵，∴，∴； 如图所示，过点E作于P，延长交于Q，连接，则四边形是矩形， ∴，，由（2）可知，∴， 同理可证明是等腰直角三角形，∴，∴； 如图所示，过点M作于H， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴， 又∵，∴． 35．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在直角坐标系中，，，一次函数的图象过，与轴交于点． (1)求点和点坐标；(2)求证：四边形为平行四边形；(3)将绕点顺时针旋转得．问：若轴，能否使以、、为顶点的四边形是平行四边形？若能，直接写出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，(2)见解析(3)能，满足条件的点坐标为， 【详解】（1）解：当时，，∴， 当时，∴，∴，∴，； （2）证明：点，点，∴，轴，∴，，∴， ∵，∴四边形为平行四边形； （3）能使以、、，为顶点的四边形是平行四边形，理由如下： ∵，，∴，， 由题意可知；，， 情况一：当旋转后，若轴，连接，如图， 将绕点顺时针旋转得，在第二象限， ∵由（）得，∴，∴四边形构成平行四边形， 此时，设与轴交于，∵， ， ∴，∴，∴，∴点的坐标为； 情况二：当旋转后，若轴，连接，如图，在第四象限，如图 又∵，∴四边形构成平行四边形，此时，设与轴交于， ∵，， ∴，∴，∴，∴点的坐标为；∴点的坐标为， 综上所述，满足条件为，． 36．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）如图，四边形是平行四边形，点在轴上，点在轴上，边所在直线的函数解析式为． (1)求点的坐标；(2)如图，若点的坐标为，点为的中点，点为边上一点，连接，满足，求的长；(3)如图，若点的坐标为，点分别为边上的点，连接，点关于直线的对称点恰好落在轴上，连接交于点，点恰好为的中点，且，求直线的解析式． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）解：把代入，得，∴， 把代入，得，∴，∴； （2）解：延长交于点， ∵是平行四边形，∴，∴，， ∵是中点，∴，∴，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴， ∵点的坐标为，∴， ∵，，∴，∴， ∵，∴，∴； （3）解：∵是中点，∴，∵，∴， 又∵，∴，∴， ∵，， ∴， ∴，∴，∴，∵，∴， ∵点与点关于对称，∴，，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， 设直线的解析式为，将，代入得， ，解得，∴直线的解析式为． 37．（24-25八年级下·广东佛山·期中）综合与探究：折纸作为融合生活实践与数学探究的活动，其折叠过程生动展现了对称性、等长线段、等角关系及图形全等等几何原理．综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动． 如图1，平行四边形纸片，的长度不确定，点是上的一个动点，连接，把平行四边形沿着线段对折，点的对应点为． 【探究1】如图2，当与重合时，连接，探究与的位置关系，请完成下面的证明过程； 证明：沿翻折至，， 在平行四边形中，， ， ，， 在平行四边形中，，， ， ，， ， = ，； 【探究2】如题图3，若刚好能落在的中点时，且，求的长； 【探究3】如图4，若，当刚好落在点的中点上时，是的中点，连接，若是直角三角形，直接写出的长． 【答案】【探究1】；；；；；；；见解析；【探究2】；【探究3】的长为或或或 【详解】（1）证明：沿翻折至，， 在平行四边形中，，， ，， 在平行四边形中，，， ，，， ，，； （2）延长与交于点M， 在四边形是平行四边形中，，， 折叠得到，，，， 设， ，;点是CB的中点，， 在和中， ，， ，，，解得，∴； ， （3）∵当刚好落在点的中点上时，是的中点，∴，， ∴，∴四边形是平行四边形，∴，； 当时，， 如图，当在下方时，交于， ，，则， ，∴，， ∵刚好落在点的中点上，；如图，当在上方时，直线交于， ，， 则，， ，∴，， ∵刚好落在点的中点上，； 当时，由折叠可得，， ∵四边形是平行四边形，∴，，∴，， ∴，∴，∴， ∴四边形是矩形，∴， ∵，∴，，∴； 当时，同理可证是矩形，∴， ∵，∴，，． 38．（2025·山西忻州·三模）综合与实践 问题情境:在数学活动课上，同学们以“图形的旋转”为主题展开探究．如图1，在平行四边形纸片中，，对角线，沿剪开得到两个全等的三角形，将绕点逆时针旋转得到． 猜想验证（1）如图，当点落在的延长线上时，连接，判断四边形的形状并说明理由． 问题解决（2）如图，在旋转的过程中，当时，线段与线段交于点，求线段的长． （3）在旋转的过程中，线段与射线交于点，如果为等腰三角形，请直接写出线段的长． 【答案】（1）四边形为矩形，证明见解析（2）（3）或或 【详解】（1）四边形的形状是矩形． 证明：由旋转的性质可得， 又，，，， 又四边形是平行四边形，，，四边形是平行四边形， 四边形是矩形． （2）如图，过点作 于点,   ∵在中, ，，， ，， ，由旋转可得. ， ∵四边形是平行四边形, ，， ，，． （3）当为等腰三角形时，有三种情况 第一种情况：当时， 又，， ;; 又，故是斜边的中点，，即． 第二种情况：当时， ，，， ，． 第三种情况：当时，，过点作 于点，如图： 由上可得，，， 又，，， ． 综上所述，线段的长为或或． 39．（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）已知，如图，为坐标原点，四边形为矩形，，，点是的中点，动点在射线上以每秒个单位长的速度运动．设动点的运动时间为秒． (1)点在运动过程中，______；（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，以、、、为顶点的四边形为平行四边形； (3)在线段上有一点，且，当四边形的周长最小，求的坐标． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：动点在射线上以每秒个单位长的速度运动，动点的运动时间为秒，； （2）解：四边形为矩形，，，，， ， 点是的中点，， ，， 以、、、为顶点的四边形为平行四边形， ，， ， ； （3）解：由（2）知，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为， 当最小时，四边形的周长最小， 如图，作点关于的对称点，连接交于， ， ，， ，，， ，，是的中位线，， ，． 40．（24-25八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，沿方向向左平移得到，A，C对应点分别是D，E．F是线段上的一个动点（点F不与B，E重合），连接，将线段绕点A逆时针旋转至线段，使得，连接． (1)当点F与点C重合时，求的长．(2)如图，连接，．在点F的运动过程中：①和是否总是相等？若是，请证明：若不是，请说明理由．②当为等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)(2)①和总相等，详见解析；②14或11或8 【详解】（1）解：当点与点重合时，，由平移可知，，， 四边形、四边形是平行四边形，，， ，，，， ，，是的平分线， ，，如图1，过点作交于点，设交于M， ，，， ∵，∴，； （2）解：①，证明如下：如图2，，，， ，； ②如图2，过点作交于， 由①可知，， 当时，，，，， 当时，，在中，，； 当时，，，， 过点作交于，， ，，， ，，，； 当时，，， ，， 当点在上时，，此时点与点重合，； 综上所述：的长为14或11或8． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $