专题05 压轴题专训2（解答题44题）（高效培优期末专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

**基本信息** 聚焦中考压轴题，以几何综合、代数推理、统计应用为核心，通过分层题型构建“方法提炼-知识迁移-综合应用”的训练体系，培养数学思维与问题解决能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何综合|21题（四边形11题+变换10题）|动态问题分类讨论、变换性质应用、辅助线构造|从四边形性质到几何变换（旋转/折叠），构建“性质-变换-最值”逻辑链| |代数综合|20题（根式8题+分式7题+因式5题）|有理化技巧、分式方程增根分析、配方法与整体思想|从概念化简到方程应用，形成“运算-推理-建模”递进关系| |统计与概率|3题|图表数据分析、概率计算|数据收集-整理-分析-决策，培养数据意识与应用能力|

专题03 压轴题专训2（解答题44题） 题型一：四边形中的压轴问题（11题） 题型二：四边形与几何变换中的压轴问题（10题） 题型三：二次根式中的压轴问题（8题） 题型四：分式（方程）中的压轴问题轴（7题） 题型五：因式分解中的压轴问题（5题） 题型六：概率与统计中的压轴问题（3题） 题型一：四边形中的压轴问题（11题） 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在正方形中，点，分别在边，上，． (1)如图1，求证：；(2)，交于点，垂足为点． ①如图2，若，求证：；②如图3，连接，若，直接写出的值． 【答案】(1)证明见解析(2)①证明见解析；② 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，， 在和中，，∴，∴； （2）①证明：如图，过点作于点，∴， ∵四边形是正方形，∴，， ∴四边形是矩形，∴，∵，∴，∴， 又∵，，∴，∴， 又∵，∴，又∵，由（1）知：， ∴，即，∴，即； ②解：如图，过作交的延长线于点，在上取点，使， ∴，∵四边形是正方形，∴，，， ∴，，， ∴，由①知：，由（1）知：，， ∴，∴， ∵，，∴，即， 在和中，，∴，∴， ∴， ∵，∴，∴， 在中，，，∴，， ∴， ∴，∴，∴． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）正方形中，点E为上一动点（不与端点重合），连接，过点B作于点F，过点D作于点G． (1)如图1，若，，求的长度； (2)如图2，连结，，判断和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点H，I分别为，中点，连接；判断和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)8(2)，理由见解析(3)，理由见解析 【详解】（1）解：∵正方形，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵，，∴． （2）证明：．理由如下： ∵，∴，， ∵正方形，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴． （3）解：．理由如下： 设的交点是，取的中点，连接， 则分别是的中位线，∴， ∵，∴，设的交点为，的交点为，的交点为， ∵，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，， ∴四边形是矩形，∴，∴， ∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）当一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍时，我们称为2倍角三角形，2倍角三角形会有一些性质． 特例感知：（1）如图1，在中，于点，，，则________；（用填空） 数学思考：（2）如图2，在中，于点，，求证：； 尝试应用：（3）如图3，在中，对角线、相交于点，于点，，点为上一点，连接交于点，若，，，求的长． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【详解】解：（1）如图所示，在上截取，连接， ∵，∴，又∵， ∴，∴；∵，∴， 又∵，∴，∴，∴； （2）如图所示，在上截取，连接， ∵，∴， 又∵，∴，∴； ∵，∴，又∵，∴， ∴，∴； （3）如图所示，在上截取，连接，设， ∵，∴， 又∵，∴，∴； ∵，∴，又∵，∴， ∴，∴； ∵四边形是平行四边形，∴，， ∴，； ∵，∴； ∵，∴， ∴，∴，∴； ∵，∴；∴， ∵，∴， ∴，∴，∴，∴， ∴，∴，∴，， ∴，， ∴，；设，则， 由勾股定理得， ∴，解得，∴． 4．（2025·广东广州·二模）如图，在正方形中，，点为正方形的对角线上一动点．    (1)如图①，过点作交边于点．当点在边上时，直接写出与的大小关系； (2)如图②，在（1）的条件下，过点作，垂足为点，在点运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，请说明理由． (3)如图③，若点是射线上的一个动点，连接，，且始终满足，设，求的最小值． 【答案】(1)(2)点在运动过程中，的长度不变，值为，理由见解析(3)6 【详解】（1）解：连接，如图1所示：      ∵四边形是正方形，∴，， 在和中，，，， ，，， ，，，，； （2）解：点在运动过程中，的长度不变，值为．理由如下： 连接，与相交于点，如图2．∵四边形是正方形，∴， ∵，即，∴， ∵，即，， 在和中，，∴，， ∵四边形是正方形，，，， ，，(负值不合题意，已经舍去)， ∴点在运动过程中，的长度不变，值为； （3）解：如图3所示：过点在正方形外作，使，在上取点，使，连接，∵四边形是正方形，， ，，∴，∴，∴， 如图3所示：在上取点，使，连接、， 又∵，∴，∴ 即：当、、三点共线时，最小，最小值为， 如图3所示：过点作，垂足为，交于，∵正方形中，， ∴四边形是矩形，∴，，， ∵∴是等腰直角三角形，∵， ，， 在中，由勾股定理得：，∴∴的最小值为． 5．（24-25八年级下·重庆·期中）如图在平行四边形中，，过点C作交于点E，连接．(1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，过点E作交于点F，连接，若，求证：； (3)如图3，在直线上有一动点P，连接，过点A向下方作，且，过点Q作交于点H，连接，若，，直接写出的最小值． 【答案】(1)(2)见解析(3) 【详解】（1）解：∵，，∴为等腰直角三角形，∴， ∵四边形为平行四边形，∴，，∴，即， ∵，∴设，则，∴， 由勾股定理可得：，∴， 解得：或（不符合题意，舍去），∴； （2）证明：∵，，∴为等腰直角三角形，∴， ∵四边形为平行四边形，∴，，， ∴，即，如图，作交的延长线于， 则，∵，∴， ∴，即，∴， ∴，， ∵，∴， ∵，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴； （3）解：∵，，∴为等腰直角三角形，∴，， ∵四边形为平行四边形，∴，，，，， ∴，即，∵，∴， ∴，∴， 如图，以为直角边作等腰直角，连接，令交于，交于，交于， 则，，∵，且，∴， ∴，即，∴，∴， ∵，∴，∴为等腰直角三角形，∴， ∵，∴为等腰直角三角形，∴，∴， ∴，∴，∴， 作直线，令直线交于，则点在直线上运动，，为值， ∴为等腰直角三角形，四边形为矩形， ∴，，，∴， ∵，∴，作点关于直线的对称点，取，连接交直线于，连接，则四边形为平行四边形，∴， 由轴对称的性质可得，，， ∴， 由两点之间，线段最短可得，当、、在同一直线上时，的值最小，为， 作交的延长线于，∴， ∴四边形为矩形，∴，， ∵，∴， ∴，即的最小值为，∴的最小值为． 6．（25-26八年级下·江苏·期中）如图1，已知菱形的边长为6，， 点、分别是边、上的动点（不与端点重合），且．(1)求证：是等边三角形；(2)点、在运动过程中，四边形的面积是否变化，如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积；(3)如图2，连接分别与边、交于、，当时，求证：． 【答案】(1)证明见解析(2)不变，(3)证明见解析 【详解】（1）证明：∵菱形，∴，， ∵，∴是等边三角形，，， ∴，，∵，∴， 又∵，∴，∴，∴是等边三角形； （2）解：点、在运动过程中，四边形的面积不变． 理由：如图，过作于， ∵，，∴，，， ∴，∵， ∴，即，∴． （3）证明：将绕点A顺时针旋转得到，连接．∴，， ∵菱形，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴，， ∵四边形是菱形，，∴， ∴，，∴，， ∴，∴，∵，，∴． 7．（24-25八年级下·上海青浦·期末）如图，在梯形中，，平分，．    (1)求证：；(2)作，垂足为点E，．①设，请用含m的代数式表示梯形的面积；②点F为中点，联结并延长，交边于点G，请你想一想，能否成为直角三角形，如果能，请求出此时线段的长，如果不能，请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)①；②的长为4或6 ． 【详解】（1）如图所示，在上截取，连接    ∵，∴四边形是平行四边形 ∵∴ ∵平分∴ ∴ ∴ ∴平行四边形是菱形 ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）①如图所示，∵平行四边形是菱形∴设 ∴ ∴在中， ∴，解得 ∴， ∴； ②能成为直角三角形，理由如下∶ 当时，    ∵F是的中点，∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； 如图所示，当时，    ∵F是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是矩形 ∵ ∴四边形是正方形 ∴ 又∵ ∴ 即，点A，G重合时，能成为直角三角形 综上所述，的长为4或6 ． 8．（25-26八年级下·浙江·期中）如图1，在中，对角线与交于点，点关于的对称点为点，连接，，． (1)求证：；(2)当，且时．如图，若，，三点共线，求四边形的周长；如图，若，求四边形的面积（直接写出答案）． 【答案】(1)见解析；(2)； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，∴， ∵点与关于对称，∴，∴； （2）解： ，，三点共线，且点与关于对称，∴，， ∵，，∴，∴为等腰直角三角形， 根据勾股定理可得：，∵，， ∴，，∴四边形是平行四边形， ∵，，∴是正方形， ∴，，∴四边形的周长为； 设与交于点，过点作的平行线，交，分别于点，， ∵点关于的对称点为点，∴， ∵， ∴∴， ∵，∴四边形为平行四边形，∴， ∵四边形是平行四边形，∴，，，∴，∴， ∵，∴，又∵，∴为等腰的边的中点， ∴为中点，为中点，∵，∴， ∴，∴，∵，∴，， 设，则，， 在Rt中，，解得，∴，， ∴． 9．（25-26八年级下·江苏南京·期中）阅读下列材料： 小明同学遇到了这样一个问题：如图1，是边长为的正方形内一定点，请在图中画出两条直线（要求其中一条直线必须过点），使它们将正方形的面积分割成面积相等的四个部分． 小明是这样思考的：数学课曾经做过一道类似的题目．如图2，是边长为的正方形的中心，将以点为顶点的直角绕点任意旋转，且直角两边与，相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值，可以类比此问题解决． (1)请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为______； (2)请你在图3中，解决原问题（写出必要说明）； (3)如图4．在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，那么在边上存在一点，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，（写出必要说明）． 【答案】(1)(2)见解析(3)见解析 【详解】（1）解：连接， 是边长为的正方形的中心，、、， 、，， 在和中，，， 重叠部分的面积为； （2）解：如图3所示，连接、交于点，作直线，与正方形的边交于点P、H，过点作的垂线，与正方形的边交于点N，F，直线和直线即为所求， 证明：由（1）的结论易证得， 是边长为的正方形的中心， ，， 同理得：、、， 直线和直线将正方形的面积分割成面积相等的四个部分； （3）解：如图4所示，连接并延长交的延长线于点F，过点F作的平行线，交的延长线于点E，在上取点Q，使，作直线，交直线于点M， 证明：由作图可知，、、， ，，点是的中点，， 在和中，，，、， 、，四边形是平行四边形，点是平行四边形的对角线的交点， ，， 在和中，，， 、，， 当时，将四边形面积二等分． 10．（25-26九年级上·重庆南岸·期末）在四边形中，，E为射线上的一点，四边形为平行四边形． (1)如图1，连接，，若，求证：四边形是矩形； (2)如图2，连接，，，交于点．若，求的周长的最小值； (3)如图3，连接，，交于点．若，当是等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1)见解析(2)周长的最小值为(3)或或 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是菱形，则，， ∵四边形是平行四边形，∴，，， ∴，，∴四边形是平行四边形， ∵，∴四边形是矩形； （2）解：过E作交延长线于N，过B作，交延长线于H，在延长线上截取，连接，如图，则垂直平分， ∴，由（1）知四边形是菱形，， ∴，，，∴， ∵的周长，当F、B、M共线时取等号， ∴的周长的最小值为，∵，， ∴四边形、四边形是矩形，∴，，，， ∴，， 在中，，∴的周长的最小值为； （3）解：∵， ∴垂直平分，∴，， ∵，设，∴，，则， 根据题意，当是等腰三角形时，分三种情况： 当点E在线段上且时， ，∴； 当点E在延长线上且时， ∴； 当时，， 在中，由勾股定理得，∴，解得， 则∴， 综上，满足条件的的值为或或． 11．（25-26八年级上·上海宝山·期中）如图，在四边形中，，以点A为圆心，的长为半径作弧分别交边，边于点F，E，（点E，F都不与边的端点重合）． (1)如图，当，①探索和的数量关系并证明你的结论； ②若平分，求证：是等边三角形并直接写出此时线段，，之间的数量关系． (2)连接，当平分时，若是以为腰的等腰三角形，求的值． 【答案】(1)①，证明见详解；②，证明见详解(2)或1 【详解】（1）解：①， 证明：如图，过点A作交于点H， 由题意知，，∴为等腰三角形， ∵，∴为等腰的中垂线，∴，， 又∵，，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴． ②，证明：如图，由①知，， 又∵平分，∴，∴， 设，在等腰中，， ∵，∴，∴， 由等腰可知，根据三角形内角和定理得：， 解得，∴，即是等边三角形． 设，则，∵是等边三角形，∴， 又∵，∴，， ∴，则， ∵，∴四边形为正方形， ∴，则， ∴，即． （2）解：∵，平分，∴， 在和中，，∴， ∴，∴， ①如图，当时，，， ∴，，∴， 过点E作交于点N，过E作交的延长线于点M，过点A作交于点H，设，∴，则，∴， ∵，，∴四边形为矩形， ∴，，∴， ∴， ∵，即，∴； ②如图，当时，，∵，∴， 又∵，∴四边形为平行四边形，∴，∴， 综上所述，的值为或1． 题型二：四边形与几何变换中的压轴问题（10题） 1．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，在正方形中，边为8，点M为边的中点，点P为对角线上一动点，连接． (1)如图1，若点P是对角线的中点，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，则C，N两点间的距离为_________； (2)如图2，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，若点N恰好在边上，求线段的长； (3)如图3，若点P与点D重合，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段，作射线，将射线绕点A顺时针旋转得到射线，过点B作，交于点T，连接，请写出线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)(2)(3)，见解析 【详解】（1）解：连接，如下图， 点M为边的中点，点P是对角线的中点， ，且，，， 在正方形中，，，， 将线段绕点P顺时针旋转得到线段， ，，，， 又，则三点共线，；故答案为：； （2）解：根据题意，，，， ，，， 在和中，，，， ，； （3）解：，理由如下， 过点作，在上取一点E，使，连接， ∵，∴,∵四边形是正方形，∴， ∴，∴， 又∵，∴，∴， ∵将射线绕点顺时针旋转得到射线，∴，∴， ∵，∴，∴，∵，∴， ∵四边形是正方形，∴，∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段，∴，∴， ∵，，∵，∴， ∴在中，，∴． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）动手操作（1）如图1，将正方形对折，使点D与点B重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点D落在边上的点E处，得到折痕．折痕与折痕交于点H，打开铺平，连接，则的度数是________； 理解应用（2）如图2，某公园有一块边长为的菱形空地，．园区管理员准备在该空地上种植花卉．为方便游客观赏，在其中修四条步道和，且点M在上，点N在上，．①求的度数；（提示：构造全等（）先求出的度数） ②求出三条步道和所围成的的面积的最小值．（步道宽度忽略不计） 【答案】（1）；（2）①；② 【详解】解：（1）由折叠可知：；连接，如图， 由折叠可知，，， 设，则，， ∴， ∴是等腰直角三角形，∴．故答案为：； （2）①如图；过点N作，垂足为E，过点N作，垂足为F， ∵，∴， ∵在菱形中，是的角平分线，，∴，∵， 在和中，，∴（）， ∴，∴，∴， ∵，∴； ②过点N作于点G，设,则,， ∵，即，解得：, 则，∴当a最小时，面积最小， ∴当时，有最小，进而面积最小， ∵，，∴，∴（m）， ∴，则（）， ∴的面积存在最小值，最小值为． 3．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．若，将绕点顺时针旋转,点D与点B重合，得到． (1)求证：；(2)如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，试探究线段，，之间的数量关系，请作出结论并予以证明．(3)如图3，正方形的边长为，，分别在，上，，连接分别交，于点M，N．若点M恰好为线段的四等分点，且，求线段的长． 【答案】(1)见解析(2)，证明见解析(3) 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴， 在和中，，∴． （2）解：．证明如下：如图（2），在上截取，连接． 在和中，，，     ，， 即，，， 在和中，， ，， ，； （3）解：如图（3），将绕点顺时针旋转得到，连接． 四边形是正方形，，，， ，，， 由旋转可得，，，，，， ，，． ．，． 设，则．在中，     解得：，． 4．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，在矩形中，，，点E在射线上，连接，将沿折叠，点B的对应点记为点． (1)如图①，仅使用圆规一次，在射线上找一点E，使点落在上（保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，判断四边形的形状，并说明理由； (3)当点E在射线上运动时，设，①连接，当时，求x的值； ②当是以为腰的等腰三角形时，求x的值． 【答案】(1)图见解析(2)四边形是正方形，理由见解析 (3)①；②或 【详解】（1）解：以点B为圆心，长为半径作弧，交于点E，点E即为所求作，如下图： （2）解：四边形是正方形，理由如下：在矩形中，， ，，由折叠知，，， ，点落在边上，∴四边形是矩形， ，∴四边形是正方形； （3）解：①当时，如下图， 在矩形中，，，， 由折叠知，，， ，∴点三点共线， 在中，，在中，， ，解得：； ②当是以为腰的等腰三角形时，分两种情况： 当时，则点在的垂直平分线上，如下图： 作于点M，交于点N，则，∴四边形是矩形， ，， ，， 由折叠知，，， 在中，，，解得：； 当时，如下图：作于点M，交于点N，则， ∴四边形是矩形，，设，则， 在和中，， ，解得：，，， 在中，，，解得：， 综上，当是以为腰的等腰三角形时，或． 5．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）某公司设计太阳能板联动系统．如图，支架与固定连接，整体（即）可绕点A旋转．系统启动后，支架绕点A逆时针旋转到达的位置，形成了菱形． 【结构判断】（1）如图1，的形状是______． 【驱动连杆角度设计】（2）如图2，在菱形中，驱动电机安装在点P（位于对角线上），带动连杆绕点P逆时针旋转，使点D的对应点Q恰好落在的延长线上．求此时连杆在旋转过程中转过的角度． 【系统性能优化】（3）在（2）的条件下，若太阳能板长度，求驱动电机所在点P带动连杆运动时，所覆盖区域面积的最大值． 【答案】（1）等边三角形；（2）；（3） 【详解】解：（1）∵菱形，∴， ∵绕点A逆时针旋转到达的位置，∴，∴， ∴是等边三角形；故答案为：等边三角形； （2）如图，连接，∵菱形，∴，平分，∴， 又∵，∴，∴，， ∴，由旋转的性质得，，∴， ∴，由（1）得，是等边三角形，∴， 设，∴， ，∴， ∴； （3）作于点，于点，连接，如图， ∵菱形，∴，由（1）得，，∴， ∴是等边三角形，∴，∵，∴，∴， ∴；由（2）得，，， ∴是等边三角形，∴，，∴， ∴，即，∴， ∴，∴，即， 设等边的边长为，则，∵，∴， ∴，∴， ∴，当取得最小值时，即最小时，面积有最大值， 当时，最小，此时是等边的高， ∴，∴，∴所覆盖区域面积的最大值为． 6．（2025·江苏苏州·一模）（1）如图①，，，．线段沿方向平移，平移的距离为，得到线段，线段沿方向平移，平移的距离为，得到线段，则线段可看作线段沿______方向平移得到，平移的距离为______． （2）如图②，，线段经过关于点的中心对称，得到线段，线段经过关于点的中心对称，得到线段，则线段可看作线段经过一次平移得到（点的对应点为点，点的对应点为点），试写出平移的方向和距离（平移距离用含的代数式表示），并说明理由． （3）如图③，线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段，线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段．试判断线段能否看作线段经过一次旋转得到（点的对应点为点，点的对应点为点）．如果能，请用尺规作图确定旋转中心（要求：保留作图痕迹，不写作法），并求出旋转角． 【答案】（1）；；（2）线段可看作线段沿方向，平移得到；（3） 【详解】解：（1）根据题意可知：线段可看作线段沿方向平移得到，平移的距离为p． （2）连接，，如图所示： 根据中心对称可知：为，的中点，为，的中点， ∴，，，，∴，， ∴线段可看作线段沿方向，平移得到． （3）如图，点O即为所求作的旋转中心； 如图，延长，交于点，设直线交于M，交于N ∵线段绕旋转得到线段，∴ ∵，∴，∴， ∵，∴，即与的夹角为， ∵线段绕点O旋转得到，同理即可得与的夹角为，∴， ∵旋转，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴. 7．（24-25八年级下·江西南昌·期末）四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】（1）如图1，小明将沿翻折得到，点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为 ； 【类比探究】（2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】（3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9． ①如图3，若线段恰好经过点D，，求的长； ②如图4，若F为中点，连接，直接写出的最小值． 【答案】（1）；（2）；证明见解析；（3）①2；② 【详解】解：（1）如图，根据题意得：垂直平分，∴， 在正方形中，， ∴，∴， ∴；故答案为：． （2）；证明如下：∵四边形是正方形，∴， 由折叠的性质得：，∴，过点G作，垂足为点N， ∴，，∴， ，∴四边形是矩形，∴，， 又∵，∴，∴， 即，∴． （3）①设，∵正方形的边长为9，， ∴， 过点D作，垂足为H，交线段于点P，连接． 由折叠的性质得：D，P关于直线对称，，∴垂直平分，∴， ∵由（2）得，∴，∴， ∵四边形是正方形，∴，∴四边形是平行四边形，∴， 在中，，根据勾股定理，，在中，， ∵，∴，解得，即的长为2． ②如图，过A作交于点K， ∵，∴四边形是平行四边形，∴， 过K作于点K，且，∴， ∴，∴， ∴，当且仅当H、E、F依次共线时，取等， 过H作，交延长线于点H，则四边形是矩形，∴， ∵F是中点，∴，∴， 同理（2）证明，∴，∴， 在中， ，即的最小值为． 8．（2026·浙江·模拟预测）如图，矩形中，．    (1)点E是边上一点，将沿直线翻折，得到． ①如图1，当平分时，求的长；②如图2，连接，当时，求的面积； (2)点E为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长． 【答案】(1)①；②的面积(2)的长为或 【详解】（1）解：①∵四边形是矩形，∴， ∵将沿直线翻折，得到，∴， ∵平分，∴，∴， ∴∴； ②如图所示，延长交的延长线于点G，    ∵四边形是矩形，∴，∴， ∵将沿直线翻折，得到，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴， 在中，，即，解得：， ∴，，设中边上的高为h，则， ∴，∴的面积； （2）当点E、、D三点共线时，分两种情况：①当E在的延长线上时，    ∵四边形是矩形，∴， ∴，由折叠的性质得：， ∴，∴，∴， ∴，∴； ②当E在线段上时，由折叠的性质得：，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， 在中，由勾股定理得：，∴； 综上所述，的长为或． 9．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·月考）问题背景：已知共一个顶点的正方形和正方形，连接，取的中点P，连接，．探究，的数量关系与位置关系． 实践操作：如图①，小明旋转正方形，使正方形的顶点G落在正方形的边的延长线上．通过延长交于点Q，证． 是________三角形，和和数量关系是________，和和位置关系是________． 问题探究：如图②，小亮旋转正方形，使正方形的顶点E落在正方形的边的延长线上，此时线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想． 拓展延伸：如图③，小红将正方形绕点旋转任意角度后，其他条件不变．线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想． 【答案】（1）等腰直角；；；（2）成立；证明见解析；（3）有，证明见解析 【详解】解：（1）延长交于点Q，∵四边形，为正方形， ∴，，，，， ∵顶点G落在正方形的边的延长线上，∴，∴，， ∵P为线段的中点，∴，∴， ∴，，∴，∴， ∴，∴为等腰直角三角形，∵，∴，； （2）延长交于点Q，连接，，如图所示： ∵P是的中点，∴，∵正方形中，，， ∴，，∵在和中， ∴，∴，，∴， ∵正方形中，，，，∴， ∵在和中∴， ∴，．∴． ∵，∴，； （3）延长至点Q，使，连接并延长交的延长线于点H，如图所示： ∵P是的中点，∴， ∵在和中，∴，∴， ∵在正方形中，，，， ∴，， ∵在正方形中，，，四边形中，，， ∴，， ∵在和中，∴， ∴，，∴， ∵，∴，． 10．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）正方形中，点E是对角线上一动点，过点E作交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形；(2)若，求的长； (3)当与正方形的某条边的夹角为时，直接写出的度数； (4)若点为中点，连接，试判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析(2)(3)或(4)，理由见解析 【详解】（1）证明：过点作于点，于点，则， ∵四边形是正方形，∴，平分， ∴， ∵四边形是矩形，∴∴ ∴，∴，∴矩形是正方形； （2）解：在正方形中，∴ ∵∴， ∵在正方形中，，∴ ∴，∴； （3）解：当与的夹角为时，即，如图， ∵四边形是正方形，∴，∴， ∵在四边形中，，而 ∴； 当与的夹角为时，即，如图，设交于点， 由题意得，；∵∴ 综上：的度数为或； （4）解：，理由如下：如图，∵在正方形中，， 又∵点为的中点，∴，即， ∵，点在射线上，∴此时重合， ∵四边形是正方形，∴． 题型三：二次根式中的压轴问题（7题） 1．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简： 解：因为且，所以， 所以． (1)仿照上述方法化简：①；②．(2)比较与的大小． 【答案】(1)①；②(2) 【详解】（1）解：①． ②； （2）解： ． 2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）【阅读材料】先阅读下列材料： 材料一：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法，进而将二次根式化为最简，例如：， 材料二：小刚利用材料一的内容解决了如下问题：已知，求的值．他是这样解答的：， ， 【学以致用】请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简：_____；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：∵，∴， ∴， ∴的值为． 3．（25-26八年级上·山东济南·期末）阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题：(1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________； (2)①比较大小：________（填，，，或中的一种） ②计算以下式子的值： (3)已知整数a，b满足，求a，b的值． 【答案】(1)，(2)①；②34(3)a的值是，b的值为 【详解】（1）解：∵，， ∴与互为有理化因式，将分母有理化得. （2）解：①∵， ， 而，∴，∴； ② . （3）解：∵，∴， 即，， 解得，即a的值是，b的值为． 4．（25-26八年级上·福建福州·期末）阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与与与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：．解答下列问题： (1)与___________互为有理化因式； (2)比大小：___________（直接填或中的一种）； (3)已知是正整数，，求． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：与互为有理化因式；故答案为：； （2）解：∵，， 又，∴， ∴，故答案为：； （3）解：， ，∴，， ∵，∴，解得． 5．（25-26八年级上·江西赣州·月考）阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题：(1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y：______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______；②化简：． 【答案】(1)，(2)或(3)① ② 【详解】（1）解：，∴，； （2）解：，∴，，∴， ∵m，n均为正整数，∴当时，，此时，； 当时，；此时，；∴或； （3）解：①； ② ． 6．（25-26八年级下·北京西城·期中）阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”， 与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，， 因为，所以． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由可知，而， 当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题：(1)比较和的大小；(2)求的最大值和最小值． 【答案】(1)(2)的最大值为2，最小值为 【详解】（1）， ， 而，，，； （2）由，，得，， ∴当时，有最小值，则有最大值1， 此时有最大值1，所以的最大值为2； 当时，有最大值，则有最小值， 此时有最小值0，所以的最小值为． 7．（25-26九年级上·浙江温州·月考）先自学下列材料，再解题．在不等式的研究中，有以下两个重要基本不等式：若，，则   若，，，则 不等式、反映了两个（或三个）非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．这两个基本不等式在不等式证明中有着广泛的应用．现举例如下： 若，试证明不等式：． 证明：；，即． 现请你利用上述不等式、证明下列不等式： (1)当时，试证明：． (2)当、为任意实数时，试证明：． 【答案】(1)见解析(2)见解析 【详解】（1）解：， ， 即； （2）解：当时， ， 当时， ， 综上，当、为任意实数时，． 8．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）阅读材料，学解问题：小聪在学习二次根式时，通过计算，他就想化简的结果应为，即，接着他又通过计算验证得到，受到这个发现的启迪，于是他就想找到化简形如的式子的一般方法．善于思考的小聪进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数）， 则有．∴①，②， 得，∴， 因式分解得，， ∵a、b、m、n均为整数，∴和均为的因数， 由此可以得到方程组验证求出m，n的值，从而化简． (1)请你根据小聪的方法探索化简： 当设（m、n均为正整数，），则①______， ______， ∴②______，______， ∴③______， ______，（经验证，其他情况均不成立，故舍去）， ∴④______； 在得到的化简的一般方法后，兴奋的小聪继续深入探究化简形如（a、b、c均为正整数，且b没有平方数因数，）的式子的一般方法，通过思考，他发现当（k为大于1的整数）时，将k移进根号内，就把问题转化为就可以化简了． (2)请你根据小聪的方法化简______． 接着他想，上面的式子之所以能通过变形化简，是因为第一层根号内的式子能变形成完全平方式，小聪又琢磨形如（a、b、d均为正整数，且b没有平方数因数，d为奇数）的式子能否化简，若能化简，其一般方法又是怎样的呢？经过深入思考，他得到如下方法：将看出分母为1的式子，然后，分子和分母都乘以2，再把分子上的2移到第一层根号内，这样，问题就变成（2）中的问题了，即，再利用（2）的化简方法就可以解决问题了． (3)他这种解决问题的策略用的是______数学思想． 【答案】(1)①8，15；②24，24；③5，3；④(2)(3)转换化归 【详解】（1）解：当设（m、n均为正整数，），∴， 则①，，∴②，即：， ∴③，，（经验证，其他情况均不成立，故舍去），∴④； 故答案为：①8，15；②24，24；③5，3；④ （2）解：∵，∴设，（m、n均为正整数，）， ∴，则，，∴，即：， ∴，，（经验证，其他情况均不成立，故舍去）， ∴；即：；故答案为：； （3）他这种解决问题的策略用的是转换化归的数学思想；故答案为：转换化归． 题型四：分式（方程）中的压轴问题轴（7题） 1．（25-26八年级下·江苏·期中）已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值；(2)若方程有增根，求的值；(3)若方程无解，求的值． 【答案】(1)(2)(3)或 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 方程整理，得． ∵是原分式方程的增根， ∴，解得． （2）解：，方程整理，得． 因为原分式方程有增根，所以或，解得或． ∵不可能是整式方程的根， ∴原分式方程的增根为，所以，解得． （3）解：，方程整理，得． ①当时，整式方程无解，此时； ②当时，要使原方程无解，则或．由（2），得． 综上所述，或． 2．（25-26八年级下·江苏·专题练习）已知关于的分式方程． (1)若分式方程有增根，求的值．(2)若分式方程的根为，求的值． (3)若分式方程的根为正数，求的取值范围．(4)若分式方程的根为正整数，求的整数值． 【答案】(1)(2)(3)且(4)的整数值为或1 【详解】（1）解：方程去分母，得，整理，得． 分式方程有增根，． 把代入，得解得． （2）解：，，解得． （3）解：原分式方程的根为正数，且， 即且，解得且． （4）解：由，得． 要使分式方程的根为正整数，且为整数， 则或或，或或． 由（1）可知，当时，该方程有增根，不符合题意，的整数值为或． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为，其中． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； (2)类蔬菜的单位面积产量大，理由见解析(3)整数的值为或． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得：，解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意，， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ，，又，，， ，， 答：类蔬菜的单位面积产量大； （3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得：，解得：， ，为整数，且为正整数，或，的值为或． 4．（25-26八年级上·福建厦门·期末）某城镇实行污水分区域治理，将该城镇划分为甲、乙两区域，分别由A，B两座污水处理厂负责处理，相关部门每年均会对污水处理厂的污水处理能力进行评估，评估的重要指标之一为污水处理率，污水处理率由年污水处理总量（单位：万吨）与年污水排放总量（单位：万吨）决定，污水处理率=． 2025年A，B两厂的年污水处理情况如下表所示： 区域 污水处理厂 年污水处理总量/万吨 甲 A 90 乙 B 70 (1)2025年该城镇乙区域污水排放总量为甲区域污水排放总量的，A厂的污水处理率高于B厂，且两者的差值为．①该城镇2025年甲区域污水的排放总量是多少万吨？②预测显示该城镇2026年甲、乙两区域各自的污水排放总量都将增加，现计划对A，B两厂均进行设备升级以增加污水处理量，但无法超过2025年各自年污水处理总量的．镇长希望以此为契机，提升B厂的污水处理能力，使A，B两厂的污水处理率相同．不妨设A厂的年污水处理总量增加万吨，B厂的年污水处理总量增加万吨（，均为整数）．若作为镇长，你如何规划A，B两厂污水处理的增加量？ (2)基于未来人口迁入需要，后续将对A，B两厂进行扩建，若A厂年污水处理总量比2025年增加30万吨，B厂年污水处理总量比2025年增加62万吨，扩建后B厂的污水处理率高于A厂，且两者的差值为．为给相关部门决策提供数据支撑，试比较扩建计划中该城镇的甲区域污水排放总量与乙区域污水排放总量的大小． 【答案】(1)①甲区域污水的排放总量是100万吨②A，B两厂污水处理的增加量分别为万吨，万吨(2)甲区域污水排放总量比乙区域污水排放总量大 【详解】（1）解：①设甲区域污水的排放总量是万吨，则乙区域污水排放总量为万吨，根据题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，并符合题意；（万吨）， ∴甲区域污水的排放总量是100万吨； ②2026年甲区域污水排放总量为（万吨）， 2026年乙区域污水排放总量为（万吨）， 2026年A厂年污水处理总量最高可提高（万吨）， 2026年B厂年污水处理总量最高可提高（万吨）， ，整理得，， ∵，均为整数，∴；；；，共四种方案， 为了提升B厂的污水处理能力，可取，且都符合题意， ∴A，B两厂污水处理的增加量分别为万吨，万吨； （2）解：设甲区域污水排放总量为万吨，乙区域污水排放总量为万吨，扩建后A厂的污水处理率为，则扩建后B厂的污水处理率为， ∵污水处理能力不大于，∴，且，∴， 根据题意得，，，解得，， 经检验，，是原分式方程的解，并符合题意，， ∵，∴，∴，∴，∴甲区域污水排放总量比乙区域污水排放总量大． 6．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）阅读理解 材料1：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； 当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； (2)①当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； ②当为整数时，请求出正整数x的值；(3)当时，求代数式值的范围． 【答案】(1)减少，减小(2)①2；②2、3、5(3) 【详解】（1）解：∵当时，随着的增大而减小，∴随着的增大，的值减小； ∵当时，随着的增大减小， ∵∴随着的增大，的值减小.故答案为：减小；减小； （2）解：①∵， ∴当时，的值无限接近，∴的值无限接近； ②∵为整数，x的值为正整数，∴为整数，， ∴或2或4，∴x的值可为2、3、5； （3）解：∵，，∴，∴. 7．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）同学们学过分式方程，分式方程有一步必不可少的一验根．下面给出一些方式方程，它们都有一个共同的特点： 若，则方程的解为2或； 若，则方程的解为3或； 若，则方程的解为4或； 请你用观察出的特点解决以下问题： （1）若，则此方程的解为____________ （2）若，求此方程的解（用含有的代数式表示）． 【答案】 或 或． 【详解】解：（1）∵，∴，即， 令，则，∴方程的解为10或， ∴或， 解得或， 经检验，或是原方程的解； （2）∵， ∴， ∴， ∴， 令，∴，∴方程的解为或， ∴或，解得或． 经检验，或是原方程的解． 故答案为：（1）或（2）或 题型五：因式分解中的压轴问题（5题） 1．（24-25八年级下·福建漳州·期末）阅读理解： 例：若是多项式的一个因式，求的值． 解：设， 若时，则有， 将代入，得，解得． 仿照上例的解法，解答下列的问题．(1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若可化为整式，求化简后的整式；(3)若和是多项式的两个因式，且直线不经过第二象限，求的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：设， 若时，则有， 将代入得，解得． （2）解：∵可化为整式，∴是多项式的一个因式． 设，若时，则有，得．∴， ∴原式． （3）解：∵和是多项式的两个因式，设， ∴若时，则有，得：． 若时，则有，得：． 解得，．∴直线的解析式为：． ①当，即时，直线不经过第二象限，得∴，解得：． ②当，即时，，符合题意．综上所述，的取值范围是． 2．（24-25八年级下·江西吉安·期末）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是__________，共应用了__________次； (2)若分解因式，则需应用上述方法_______次，结果是_______； (3)仿照上述方法因式分解：（n为正整数）； (4)利用（3）中结论计算：． 【答案】(1)提取公因式法，2(2)2025，(3)(4) 【详解】（1）解：由题意得，上述分解因式的方法是：提取公因式法，根据运算步骤可知共用了2次； （2）解： ， 分解，需应用上述方法2025次，结果是； （3）解： ； （4）解： ． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称是完全平方式例如：，． (1)下列各式中，是完全平方式的是． ． (2)若和都是完全平方式（其中，都是常数），求的值． (3)多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请直接写出所有可能的情况） 【答案】(1)①③⑤(2)或(3)，，，． 【详解】（1）解：①， ②无法写成另一个整式的完全平方的形式， ③， ④无法写成另一个整式的完全平方的形式， ⑤ ⑥，无法写成另一个整式的完全平方的形式； （2）解：∵是完全平方式， ∴，∴， ∵是完全平方式，，∴， 当时，， 当时，， ∴的值为或； （3）解：∵，， ，，∴多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是，，，． 4．（25-26八年级上·上海·期末）若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数的积(直接写出答案)． 【答案】(1)；(2)当时，代数式有最大值；(3) 【详解】（1）解：； （2）解：， ，当即时，代数式有最大值，最大值为； （3）解：设(为非负整数)，配方得：， 两边乘4得：，即， 、为整数，和均为整数，且为的整数因数对，且， 的整数因数对为：、、、，分情况求解： ①当，两式相加得，解得； ②当，两式相加得，解得； ③当，两式相加得，解得； ④当，两式相加得，解得； 所有整数为5、2、、，它们的积为． 5．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）知识与方法的类比，是数学探索与发展的核心路径，更是发现问题、推导新结论的重要思想工具．在代数运算与恒等变形中，整体思想是破解复杂问题的关键技巧：通过将重复出现的代数式、关联的数量关系看成一个整体，运用整体设元、整体代入等策略，能大幅简化运算，让常规思路难以解决的问题找到简便方法． 材料1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式 材料2：当时，，．若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 如：若，则，当且仅当，即时取得最小值2． 请根据阅读材料，利用整体思想解答下列问题： (1)已知，则代数式的值为__________；(2)因式分解：； (3)①若，则的最小值为__________；②若，的最小值为__________； (4)已知，且，求的最小值． 【答案】(1)(2)(3)①；②(4)的最小值为 【详解】（1）解：∵，∴； （2）解：令， ∴原式； （3）解：①， ∵，∴， 由材料2可得，， 当且仅当，即时，取得最小值2，∴的最小值为； ②令，则，，∴， ∴，由材料2可得，， 当且仅当，即（满足）时，取最小值，∴的最小值为； （4）解：∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，当且仅当，即等号成立，此时， ∴的最小值为．答：． 题型六：概率与统计中的压轴问题（3题） 1．（25-26八年级上·山西长治·期末）2025年12月16日，“晋享山河冬趣山西”2025山西冬季旅游主题季活动在晋城启动．活动重磅推介了山西独特的冬季旅游资源，发布了5条“冬游山西”旅游线路，展示了山西冬季旅游的独特魅力．为了向同学们宣传山西冬季旅游资源，某学校筹备了“共赏冬季家乡美”主题宣讲活动． 【收集数据】为了解同学们感兴趣的线路，向随机抽取的部分学生下发调查问卷． “共赏冬季家乡美”山西旅游线路游览喜好调查问卷请选择你感兴趣的游览线路，并在其后“☐”内打“√” （每名同学必选且只能选择其中一项） A．北国风光·冰雪奇缘之旅☐ B．晋商遗风·烟火暖冬之旅☐ C．山水秘境·温泉康养之旅☐ D．古建密码·土木华章之旅☐ E．非遗年俗·黄河风情之旅☐ 【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成下列两幅不完整的统计图． 【分析数据】请根据统计图提供的信息，回答下列问题： “共赏冬季家乡美”主题宣讲活动日程表 地点（座位数） 时间 1号汇报厅（200座） 2号多功能厅（100座） 8:00-9:30 E 10:00-11:30 C 14:30-16:00 设备检修暂停使用 （1）本次调查所抽取的学生人数为_______，并补全条形统计图． （2）扇形统计图中，线路“E”对应扇形圆心角的度数为_______． 【做出决策】请合理安排宣讲活动，补全活动日程表： （3）若该校有600名学生参加本次活动，则选择聆听线路“B”“D”宣讲的学生各有多少人？ （4）在（3）的条件下，为确保听取宣讲的每名学生都有座位，请你合理安排线路“A”“B”“D”三场宣讲，补全此次活动日程表． 【答案】（1）40，图见解析；（2）72；（3）选择聆听线路“B”的学生为人，选择聆听线路“D”的学生为人；（4）见解析 【详解】解：（1）由题意，本次调查总人数为（人），线路D的人数为（人）， 补全条形统计图如下： （2）线路“E”对应扇形圆心角的度数为故答案为：72； （3）选择聆听线路“B”的学生：（人），选择聆听线路“D”的学生：（人）． （4）选择聆听线路“A”的学生：（人）． ∴线路“D”的宣讲安排在1号汇报厅，线路“A”“B”的宣讲安排在2号多功能厅，补全日程表如下： “共赏冬季家乡美”主题宣讲活动日程表 地点（座位数） 时间 1号汇报厅（200座） 2号多功能厅（100座） 8:00-9:30 E B（或A） 10:00-11:30 C A（或B） 14:30-16:00 D 设备检修暂停使用 2．（25-26九年级下·山东济南·开学考试）为了筹备校园科技节，某校学生会对学生感兴趣的科技主题进行了抽样调查，并根据结果安排讲座 【收集数据】随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷内容包括5个主题，A：量子计算；B：AI绘画；C：火星探测；D：脑机接口；E：虚拟社交． 【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． 【分析数据】请根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）本次调查所抽取的学生_______________人，并直接补全条形统计图； （2）扇形统计图中主题“E”对应扇形的圆心角的度数为_______________； （3）学校有800名学生参加本次活动，估计选择聆听B，D讲座的学生各有多少名？ 【做出决策】在（3）的条件下，确保听取讲座的每名学生都有座位，请你合理安排A，B，D三场报告，补全此次活动日程表 “校园科技节”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号汇报厅（250座） 2号多功能厅（150座） 8：00－9：30 _______________ E 10：00－11：30 C _______________ 13：00－14：30 _______________ 设备检修暂停使用 【答案】（1）50，补全条形统计图见解析；（2）；（3）B讲座的学生有160人，D讲座的学生有208人；补全活动日程表见解析 【详解】解：（1）根据主题“A”的人数和占比求出本次调查所抽取的学生人数为：（人）， “D”的人数为：（人），补全条形统计图如下： 故答案为：50； （2）扇形统计图中主题“E”对应扇形的圆心角的度数为：； （3）B：（人），D：（人）， 补全“校园科技节”主题日活动日程表如下： 地点（座位数）时间 1号汇报厅（250座） 2号多功能厅（150座） 8：00-9：30 B E 10：00-11：30 C A 13：00-14：30 D 设备检修暂停使用 或“校园科技节”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号汇报厅（250座） 2号多功能厅（150座） 8：00-9：30 D E 10：00-11：30 C A 13：00-14：30 B 设备检修暂停使用 3．（2025·河南·三模）境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈，如图是某国截至5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．    根据上面图表信息，回答下列问题：(1)截至5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为______万人，扇形统计图中岁感染人数对应圆心角的度数为______； (2)请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图； (3)在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率； (4)若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为、、、、，求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率． 【答案】(1)，(2)见解析(3)(4) 【详解】（1）由岁感染的人数有万人，占比， 截止5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为（万人）， 扇形统计图中岁感染人数占比： 扇形统计图中岁感染人数对应圆心角的度数为： 故答案为：，； （2）补全的折线统计图如图2所示； 感染人数为：万人，补全图形如下：    （3）该患者年龄为60岁及以上的概率为：； （4）该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率为：． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 压轴题专训2（解答题44题） 题型一：四边形中的压轴问题（11题） 题型二：四边形与几何变换中的压轴问题（10题） 题型三：二次根式中的压轴问题（8题） 题型四：分式（方程）中的压轴问题轴（7题） 题型五：因式分解中的压轴问题（5题） 题型六：概率与统计中的压轴问题（3题） 题型一：四边形中的压轴问题（11题） 1．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，在正方形中，点，分别在边，上，． (1)如图1，求证：；(2)，交于点，垂足为点． ①如图2，若，求证：；②如图3，连接，若，直接写出的值． 2．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）正方形中，点E为上一动点（不与端点重合），连接，过点B作于点F，过点D作于点G． (1)如图1，若，，求的长度； (2)如图2，连结，，判断和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点H，I分别为，中点，连接；判断和的数量关系，并说明理由． 3．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）当一个三角形的一个内角是另一个内角的2倍时，我们称为2倍角三角形，2倍角三角形会有一些性质． 特例感知：（1）如图1，在中，于点，，，则________；（用填空） 数学思考：（2）如图2，在中，于点，，求证：； 尝试应用：（3）如图3，在中，对角线、相交于点，于点，，点为上一点，连接交于点，若，，，求的长． 4．（2025·广东广州·二模）如图，在正方形中，，点为正方形的对角线上一动点．    (1)如图①，过点作交边于点．当点在边上时，直接写出与的大小关系； (2)如图②，在（1）的条件下，过点作，垂足为点，在点运动的过程中，的长度是否发生变化？若不变，求出这个不变的值；若变化，请说明理由． (3)如图③，若点是射线上的一个动点，连接，，且始终满足，设，求的最小值． 5．（24-25八年级下·重庆·期中）如图在平行四边形中，，过点C作交于点E，连接．(1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，过点E作交于点F，连接，若，求证：； (3)如图3，在直线上有一动点P，连接，过点A向下方作，且，过点Q作交于点H，连接，若，，直接写出的最小值． 6．（25-26八年级下·江苏·期中）如图1，已知菱形的边长为6，， 点、分别是边、上的动点（不与端点重合），且．(1)求证：是等边三角形；(2)点、在运动过程中，四边形的面积是否变化，如果变化，请说明理由；如果不变，请求出面积；(3)如图2，连接分别与边、交于、，当时，求证：． 7．（24-25八年级下·上海青浦·期末）如图，在梯形中，，平分，． (1)求证：；(2)作，垂足为点E，．①设，请用含m的代数式表示梯形的面积；②点F为中点，联结并延长，交边于点G，请你想一想，能否成为直角三角形，如果能，请求出此时线段的长，如果不能，请说明理由． 8．（25-26八年级下·浙江·期中）如图1，在中，对角线与交于点，点关于的对称点为点，连接，，． (1)求证：；(2)当，且时．如图，若，，三点共线，求四边形的周长；如图，若，求四边形的面积（直接写出答案）． 9．（25-26八年级下·江苏南京·期中）阅读下列材料： 小明同学遇到了这样一个问题：如图1，是边长为的正方形内一定点，请在图中画出两条直线（要求其中一条直线必须过点），使它们将正方形的面积分割成面积相等的四个部分． 小明是这样思考的：数学课曾经做过一道类似的题目．如图2，是边长为的正方形的中心，将以点为顶点的直角绕点任意旋转，且直角两边与，相交，与正方形重叠部分（即阴影部分）的面积为一个确定的值，可以类比此问题解决． (1)请你回答图2中重叠部分（即阴影部分）的面积为______； (2)请你在图3中，解决原问题（写出必要说明）； (3)如图4．在四边形中，，，点是的中点，如果，，且，那么在边上存在一点，使所在直线将四边形的面积分成相等的两部分，请你画出该直线，（写出必要说明）． 10．（25-26九年级上·重庆南岸·期末）在四边形中，，E为射线上的一点，四边形为平行四边形． (1)如图1，连接，，若，求证：四边形是矩形； (2)如图2，连接，，，交于点．若，求的周长的最小值； (3)如图3，连接，，交于点．若，当是等腰三角形时，直接写出的值． 11．（25-26八年级上·上海宝山·期中）如图，在四边形中，，以点A为圆心，的长为半径作弧分别交边，边于点F，E，（点E，F都不与边的端点重合）． (1)如图，当，①探索和的数量关系并证明你的结论； ②若平分，求证：是等边三角形并直接写出此时线段，，之间的数量关系． (2)连接，当平分时，若是以为腰的等腰三角形，求的值． 题型二：四边形与几何变换中的压轴问题（10题） 1．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）如图，在正方形中，边为8，点M为边的中点，点P为对角线上一动点，连接． (1)如图1，若点P是对角线的中点，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，则C，N两点间的距离为_________； (2)如图2，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，若点N恰好在边上，求线段的长； (3)如图3，若点P与点D重合，将线段绕点P逆时针旋转，得到线段，作射线，将射线绕点A顺时针旋转得到射线，过点B作，交于点T，连接，请写出线段之间的数量关系，并说明理由． 2．（25-26九年级上·陕西榆林·期末）动手操作（1）如图1，将正方形对折，使点D与点B重合，得到折痕．打开后，再将正方形折叠，使得点D落在边上的点E处，得到折痕．折痕与折痕交于点H，打开铺平，连接，则的度数是________； 理解应用（2）如图2，某公园有一块边长为的菱形空地，．园区管理员准备在该空地上种植花卉．为方便游客观赏，在其中修四条步道和，且点M在上，点N在上，．①求的度数；（提示：构造全等（）先求出的度数） ②求出三条步道和所围成的的面积的最小值．（步道宽度忽略不计） 3．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，连接，，．若，将绕点顺时针旋转,点D与点B重合，得到． (1)求证：；(2)如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，试探究线段，，之间的数量关系，请作出结论并予以证明．(3)如图3，正方形的边长为，，分别在，上，，连接分别交，于点M，N．若点M恰好为线段的四等分点，且，求线段的长． 4．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，在矩形中，，，点E在射线上，连接，将沿折叠，点B的对应点记为点． (1)如图①，仅使用圆规一次，在射线上找一点E，使点落在上（保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，判断四边形的形状，并说明理由； (3)当点E在射线上运动时，设，①连接，当时，求x的值； ②当是以为腰的等腰三角形时，求x的值． 5．（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）某公司设计太阳能板联动系统．如图，支架与固定连接，整体（即）可绕点A旋转．系统启动后，支架绕点A逆时针旋转到达的位置，形成了菱形． 【结构判断】（1）如图1，的形状是______． 【驱动连杆角度设计】（2）如图2，在菱形中，驱动电机安装在点P（位于对角线上），带动连杆绕点P逆时针旋转，使点D的对应点Q恰好落在的延长线上．求此时连杆在旋转过程中转过的角度． 【系统性能优化】（3）在（2）的条件下，若太阳能板长度，求驱动电机所在点P带动连杆运动时，所覆盖区域面积的最大值． 6．（2025·江苏苏州·一模）（1）如图①，，，．线段沿方向平移，平移的距离为，得到线段，线段沿方向平移，平移的距离为，得到线段，则线段可看作线段沿______方向平移得到，平移的距离为______． （2）如图②，，线段经过关于点的中心对称，得到线段，线段经过关于点的中心对称，得到线段，则线段可看作线段经过一次平移得到（点的对应点为点，点的对应点为点），试写出平移的方向和距离（平移距离用含的代数式表示），并说明理由． （3）如图③，线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段，线段绕点按逆时针方向旋转，旋转角为，得到线段．试判断线段能否看作线段经过一次旋转得到（点的对应点为点，点的对应点为点）．如果能，请用尺规作图确定旋转中心（要求：保留作图痕迹，不写作法），并求出旋转角． 7．（24-25八年级下·江西南昌·期末）四边形是一张正方形纸片，小明用该纸片玩折纸游戏． 【探究发现】（1）如图1，小明将沿翻折得到，点B的对应点，将纸片展平后，连接并延长交边于点F，小明发现折痕与存在特殊的数量关系，数量关系为 ； 【类比探究】（2）如图2，小明继续折纸，将四边形沿所在直线翻折得到四边形，点A的对应点为点，点B的对应点为点，将纸片展平后，连接交边于点F，请你猜想线段之间的数量关系并证明； 【拓展延伸】（3）在（2）的翻折过程中，正方形的边长为9． ①如图3，若线段恰好经过点D，，求的长； ②如图4，若F为中点，连接，直接写出的最小值． 8．（2026·浙江·模拟预测）如图，矩形中，．    (1)点E是边上一点，将沿直线翻折，得到． ①如图1，当平分时，求的长；②如图2，连接，当时，求的面积； (2)点E为射线上一动点，将矩形沿直线进行翻折，点C的对应点为，当点E，，D三点共线时，求的长． 9．（24-25八年级上·湖北省直辖县级单位·月考）问题背景：已知共一个顶点的正方形和正方形，连接，取的中点P，连接，．探究，的数量关系与位置关系． 实践操作：如图①，小明旋转正方形，使正方形的顶点G落在正方形的边的延长线上．通过延长交于点Q，证． 是________三角形，和和数量关系是________，和和位置关系是________． 问题探究：如图②，小亮旋转正方形，使正方形的顶点E落在正方形的边的延长线上，此时线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想． 拓展延伸：如图③，小红将正方形绕点旋转任意角度后，其他条件不变．线段，还有图①中的关系吗？请证明你的猜想． 10．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）正方形中，点E是对角线上一动点，过点E作交射线于点F，以为邻边作矩形，连接． (1)求证：矩形是正方形；(2)若，求的长； (3)当与正方形的某条边的夹角为时，直接写出的度数； (4)若点为中点，连接，试判断和的位置关系，并说明理由． 题型三：二次根式中的压轴问题（7题） 1．（25-26八年级上·湖南怀化·期末）阅读材料：数学中有一种根号内又带根号的数，它们能根据完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号．如：化简： 解：因为且，所以， 所以． (1)仿照上述方法化简：①；②．(2)比较与的大小． 2．（25-26八年级上·湖南岳阳·期末）【阅读材料】先阅读下列材料： 材料一：像这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，，那么与，与等都是互为有理化因式，化简一个分母含有二次根式的式子时要求分母有理化，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法，进而将二次根式化为最简，例如：， 材料二：小刚利用材料一的内容解决了如下问题：已知，求的值．他是这样解答的：， ， 【学以致用】请你根据上述知识和解题过程，解决如下问题： (1)请用以上方法化简：_____；（直接填空） (2)计算：（没有过程不给分） (3)若，求的值． 3．（25-26八年级上·山东济南·期末）阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题：(1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________； (2)①比较大小：________（填，，，或中的一种） ②计算以下式子的值： (3)已知整数a，b满足，求a，b的值． 4．（25-26八年级上·福建福州·期末）阅读材料：像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与与与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．例如：．解答下列问题： (1)与___________互为有理化因式； (2)比大小：___________（直接填或中的一种）； (3)已知是正整数，，求． 5．（25-26八年级上·江西赣州·月考）阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题：(1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y：______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______；②化简：． 6．（25-26八年级下·北京西城·期中）阅读下述材料： 我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”， 与分母有理化类似，分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式，比如：， 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如： 比较和的大小．可以先将它们分子有理化如下：，， 因为，所以． 再例如：求的最大值．做法如下： 解：由可知，而， 当时，分母有最小值2，所以y的最大值是2． 解决下述问题：(1)比较和的大小；(2)求的最大值和最小值． 7．（25-26九年级上·浙江温州·月考）先自学下列材料，再解题．在不等式的研究中，有以下两个重要基本不等式：若，，则   若，，，则 不等式、反映了两个（或三个）非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数．这两个基本不等式在不等式证明中有着广泛的应用．现举例如下： 若，试证明不等式：． 证明：；，即． 现请你利用上述不等式、证明下列不等式： (1)当时，试证明：． (2)当、为任意实数时，试证明：． 8．（25-26八年级上·湖北十堰·期末）阅读材料，学解问题：小聪在学习二次根式时，通过计算，他就想化简的结果应为，即，接着他又通过计算验证得到，受到这个发现的启迪，于是他就想找到化简形如的式子的一般方法．善于思考的小聪进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数）， 则有．∴①，②， 得，∴， 因式分解得，， ∵a、b、m、n均为整数，∴和均为的因数， 由此可以得到方程组验证求出m，n的值，从而化简． (1)请你根据小聪的方法探索化简： 当设（m、n均为正整数，），则①______， ______， ∴②______，______， ∴③______， ______，（经验证，其他情况均不成立，故舍去）， ∴④______； 在得到的化简的一般方法后，兴奋的小聪继续深入探究化简形如（a、b、c均为正整数，且b没有平方数因数，）的式子的一般方法，通过思考，他发现当（k为大于1的整数）时，将k移进根号内，就把问题转化为就可以化简了． (2)请你根据小聪的方法化简______． 接着他想，上面的式子之所以能通过变形化简，是因为第一层根号内的式子能变形成完全平方式，小聪又琢磨形如（a、b、d均为正整数，且b没有平方数因数，d为奇数）的式子能否化简，若能化简，其一般方法又是怎样的呢？经过深入思考，他得到如下方法：将看出分母为1的式子，然后，分子和分母都乘以2，再把分子上的2移到第一层根号内，这样，问题就变成（2）中的问题了，即，再利用（2）的化简方法就可以解决问题了． (3)他这种解决问题的策略用的是______数学思想． 题型四：分式（方程）中的压轴问题轴（7题） 1．（25-26八年级下·江苏·期中）已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值；(2)若方程有增根，求的值；(3)若方程无解，求的值． 2．（25-26八年级下·江苏·专题练习）已知关于的分式方程． (1)若分式方程有增根，求的值．(2)若分式方程的根为，求的值． (3)若分式方程的根为正数，求的取值范围．(4)若分式方程的根为正整数，求的整数值． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为，其中． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 4．（25-26八年级上·福建厦门·期末）某城镇实行污水分区域治理，将该城镇划分为甲、乙两区域，分别由A，B两座污水处理厂负责处理，相关部门每年均会对污水处理厂的污水处理能力进行评估，评估的重要指标之一为污水处理率，污水处理率由年污水处理总量（单位：万吨）与年污水排放总量（单位：万吨）决定，污水处理率=． 2025年A，B两厂的年污水处理情况如下表所示： 区域 污水处理厂 年污水处理总量/万吨 甲 A 90 乙 B 70 (1)2025年该城镇乙区域污水排放总量为甲区域污水排放总量的，A厂的污水处理率高于B厂，且两者的差值为．①该城镇2025年甲区域污水的排放总量是多少万吨？②预测显示该城镇2026年甲、乙两区域各自的污水排放总量都将增加，现计划对A，B两厂均进行设备升级以增加污水处理量，但无法超过2025年各自年污水处理总量的．镇长希望以此为契机，提升B厂的污水处理能力，使A，B两厂的污水处理率相同．不妨设A厂的年污水处理总量增加万吨，B厂的年污水处理总量增加万吨（，均为整数）．若作为镇长，你如何规划A，B两厂污水处理的增加量？ (2)基于未来人口迁入需要，后续将对A，B两厂进行扩建，若A厂年污水处理总量比2025年增加30万吨，B厂年污水处理总量比2025年增加62万吨，扩建后B厂的污水处理率高于A厂，且两者的差值为．为给相关部门决策提供数据支撑，试比较扩建计划中该城镇的甲区域污水排放总量与乙区域污水排放总量的大小． 6．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）阅读理解 材料1：为了研究分式与分母x的变化关系，小明制作了表格，并得到如下数据： x … 0 1 2 3 4 … … 无意义 1 … 从表格数据观察，当时，随着的增大，的值随之减小，并无限接近0；当时，随着的增大，的值也随之减小． 材料2：对于一个分子、分母都是多项式的分式，当分母的次数高于分子的次数时，我们把这个分式叫做真分式．当分母的次数不低于分子的次数时，我们把这个分式叫做假分式．有时候，需要把一个假分式化成整式和真分式的代数和，像这种恒等变形，称为将分式化为部分分式． 如：． 根据上述材料完成下列问题： (1)当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； 当时，随着的增大，的值________（增大或减小）； (2)①当时，随着的增大，的值无限接近一个数，请求出这个数； ②当为整数时，请求出正整数x的值；(3)当时，求代数式值的范围． 7．（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）同学们学过分式方程，分式方程有一步必不可少的一验根．下面给出一些方式方程，它们都有一个共同的特点： 若，则方程的解为2或； 若，则方程的解为3或； 若，则方程的解为4或； 请你用观察出的特点解决以下问题： （1）若，则此方程的解为____________ （2）若，求此方程的解（用含有的代数式表示）． 题型五：因式分解中的压轴问题（5题） 1．（24-25八年级下·福建漳州·期末）阅读理解： 例：若是多项式的一个因式，求的值． 解：设， 若时，则有， 将代入，得，解得． 仿照上例的解法，解答下列的问题．(1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若可化为整式，求化简后的整式；(3)若和是多项式的两个因式，且直线不经过第二象限，求的取值范围． 2．（24-25八年级下·江西吉安·期末）先阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题： ． (1)上述因式分解的方法是__________，共应用了__________次； (2)若分解因式，则需应用上述方法_______次，结果是_______； (3)仿照上述方法因式分解：（n为正整数）； (4)利用（3）中结论计算：． 3．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）所谓完全平方式，就是对于一个整式，如果存在另一个整式，使，则称是完全平方式例如：，． (1)下列各式中，是完全平方式的是． ． (2)若和都是完全平方式（其中，都是常数），求的值． (3)多项式加上一个单项式后，使它能成为一个完全平方式，那么加上的单项式可以是哪些？（请直接写出所有可能的情况） 4．（25-26八年级上·上海·期末）若一个数是一个整数的平方，则称这个数是完全平方数，类似地，多项式及称作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式． 原式； 例如：求代数式的最小值． 原式．可知当时，有最小值，最小值是． (1)用配方法分解因式：； (2)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值． (3)求使得是完全平方数的所有整数的积(直接写出答案)． 5．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）知识与方法的类比，是数学探索与发展的核心路径，更是发现问题、推导新结论的重要思想工具．在代数运算与恒等变形中，整体思想是破解复杂问题的关键技巧：通过将重复出现的代数式、关联的数量关系看成一个整体，运用整体设元、整体代入等策略，能大幅简化运算，让常规思路难以解决的问题找到简便方法． 材料1：分解因式； 解：将“”看成一个整体，令； 原式 材料2：当时，，．若为定值，则，当且仅当时，有最小值． 如：若，则，当且仅当，即时取得最小值2． 请根据阅读材料，利用整体思想解答下列问题： (1)已知，则代数式的值为__________；(2)因式分解：； (3)①若，则的最小值为__________；②若，的最小值为__________； (4)已知，且，求的最小值． 题型六：概率与统计中的压轴问题（3题） 1．（25-26八年级上·山西长治·期末）2025年12月16日，“晋享山河冬趣山西”2025山西冬季旅游主题季活动在晋城启动．活动重磅推介了山西独特的冬季旅游资源，发布了5条“冬游山西”旅游线路，展示了山西冬季旅游的独特魅力．为了向同学们宣传山西冬季旅游资源，某学校筹备了“共赏冬季家乡美”主题宣讲活动． 【收集数据】为了解同学们感兴趣的线路，向随机抽取的部分学生下发调查问卷． “共赏冬季家乡美”山西旅游线路游览喜好调查问卷请选择你感兴趣的游览线路，并在其后“☐”内打“√” （每名同学必选且只能选择其中一项） A．北国风光·冰雪奇缘之旅☐ B．晋商遗风·烟火暖冬之旅☐ C．山水秘境·温泉康养之旅☐ D．古建密码·土木华章之旅☐ E．非遗年俗·黄河风情之旅☐ 【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成下列两幅不完整的统计图． 【分析数据】请根据统计图提供的信息，回答下列问题： “共赏冬季家乡美”主题宣讲活动日程表 地点（座位数） 时间 1号汇报厅（200座） 2号多功能厅（100座） 8:00-9:30 E 10:00-11:30 C 14:30-16:00 设备检修暂停使用 （1）本次调查所抽取的学生人数为_______，并补全条形统计图． （2）扇形统计图中，线路“E”对应扇形圆心角的度数为_______． 【做出决策】请合理安排宣讲活动，补全活动日程表： （3）若该校有600名学生参加本次活动，则选择聆听线路“B”“D”宣讲的学生各有多少人？ （4）在（3）的条件下，为确保听取宣讲的每名学生都有座位，请你合理安排线路“A”“B”“D”三场宣讲，补全此次活动日程表． 2．（25-26九年级下·山东济南·开学考试）为了筹备校园科技节，某校学生会对学生感兴趣的科技主题进行了抽样调查，并根据结果安排讲座 【收集数据】随机抽取部分学生进行问卷调查，问卷内容包括5个主题，A：量子计算；B：AI绘画；C：火星探测；D：脑机接口；E：虚拟社交． 【整理数据】所有问卷全部收回且有效，根据调查数据绘制成两幅不完整的统计图． 【分析数据】请根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）本次调查所抽取的学生_______________人，并直接补全条形统计图； （2）扇形统计图中主题“E”对应扇形的圆心角的度数为_______________； （3）学校有800名学生参加本次活动，估计选择聆听B，D讲座的学生各有多少名？ 【做出决策】在（3）的条件下，确保听取讲座的每名学生都有座位，请你合理安排A，B，D三场报告，补全此次活动日程表 “校园科技节”主题日活动日程表 地点（座位数）时间 1号汇报厅（250座） 2号多功能厅（150座） 8：00－9：30 _______________ E 10：00－11：30 C _______________ 13：00－14：30 _______________ 设备检修暂停使用 3．（2025·河南·三模）境外许多国家的疫情尚在继续蔓延，疫情防控不可松懈，如图是某国截至5月31日新冠病毒感染人数的扇形统计图和折线统计图．    根据上面图表信息，回答下列问题：(1)截至5月31日该国新冠肺炎感染总人数累计为______万人，扇形统计图中岁感染人数对应圆心角的度数为______； (2)请直接在图中补充完整该国新冠肺炎感染人数的折线统计图； (3)在该国所有新冠肺炎感染病例中随机地抽取1人，求该患者年龄为60岁或60岁以上的概率； (4)若该国感染病例中从低到高各年龄段的死亡率依次为、、、、，求该国新冠肺炎感染病例的平均死亡率． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $