专题02 新题速递（第6章-第11章）（共52题）（高效培优期末专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

**基本信息** 聚焦初中数学第6-11章新题，以52道综合题构建几何、代数、统计概率三维训练体系，融合错误分析、定义新运算等特色题型，渗透抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何图形|20题（如矩形折叠、中点四边形）|构造辅助线、图形变换法|从特殊四边形性质到动态几何推理| |代数运算|22题（分式方程、因式分解）|整体思想、定义新运算转化|从代数式运算到方程求解逻辑链| |统计概率|10题（图表分析、概率应用）|数据解读与频率估计|从样本分析到概率模型构建|

专题02 新题速递（第6章-第11章）（共52题） 一、单选题（共16题） 1．（2026·河北张家口·一模）如图，，，，四边形是矩形．直线经过点A，D，直线，直线将矩形分成面积相等的两部分，则b的值为（   ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入解析式得：，∴， ∴直线的解析式为，∵直线，∴； ∵直线将矩形分成面积相等的两部分， ∴直线经过矩形的中心，即经过的中点， ∵，，∴的中点的坐标为，∴，∴． 2．（2026·内蒙古包头·一模）公园里有一个对角线互相垂直的四边形景观水池，工作人员打算在水池四边的中点位置安装景观灯，并将这些灯用灯带连接起来，形成一个新的四边形灯带造型，四边形灯带造型的形状一定是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【详解】解：如图，设任意四边形中，对角线，分别是的中点， ∵分别是的中点， 是的中位线，∴，且， 同理可得，且，，且， ∴，∴四边形是平行四边形， ∵，，，∴，即， ∴平行四边形是矩形．即四边形灯带造型的形状一定是矩形． 3．（25-26八年级下·江苏期中）小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了二项式□（“□”表示漏抄的部分）中前的式子．若该二项式能因式分解，则“□”不可能是（   ） A． B．4 C．－4 D．16 【答案】C 【详解】解：A、，该二项式能因式分解，故此选项不符合题意； B、，该二项式能因式分解，故此选项不符合题意； C、，该二项式不能因式分解，故此选项符合题意； D、，该二项式能因式分解，故此选项不符合题意．故选：C． 4．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则长方形的另一边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ∵长方形一边长为，∴长方形的另外一条边长为． 5．（2026·河南周口·一模）某食品加工厂在制作一种食品时，需要按照一定的比例混合各种原料．现在有两种原料和，原料的质量为（单位：），原料的质量为（单位：），将它们混合后进行一些操作（操作过程不影响质量），下列关于这两个代数式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，故选项错误； B、，故选项正确； C、，故选项错误； D、，故选项错误． 6．（25-26八年级上·四川凉山·期末）对于正数，规定，例如：，，则的值为（    ） A．2025 B．2024 C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得，则，， 故选：D． 7．（25-26八年级上·河北保定·期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题，其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果■，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．设这批椽的数量为株，则可得方程为，根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（   ） A．每株椽的运费是3文 B．一株椽的价钱是3文 C．剩下的椽的运费是3文 D．剩下的椽的价钱是3文 【答案】A 【详解】解：设这批椽的数量为株，则每株椽的价钱为 文． ∵少拿一株后，剩下的椽的运费等于一株椽的价钱， ∴剩下的椽的运费=每株运费一株椽的价钱． ∵给定方程为，∴每株运费为 3文． 故缺失条件为“每株椽的运费是3文”，对应选项 A．故选A． 8．（25-26八年级上·山东·期末）在解关于x的方程时，嘉琪在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母，因而求得方程的解为，则该方程正确的解是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：在解关于x的方程时，嘉琪在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母， 错误的解法得到的方程为：， 将代入错误解答得到的方程：， 解得：，将代入原方程，得：， 去分母得：，去括号得：， 移项合并同类项得：系数化为得：，经检验，是原方程的解，故选：D． 9．（25-26八年级下·江苏·月考）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴，∴，故选：C． 10．（25-26九年级上·四川资阳·期末）化简的值为（   ） A． B．1 C．2025 D．2026 【答案】B 【详解】解：∵，∴，∴， 则，故选：B． 11．（25-26九年级上·河南南阳·月考）在学校的手工课上，同学们正在用矩形卡纸进行创作．如图，小明拿到了一张矩形卡纸，他准备在这张卡纸上无重叠地放入两张正方形纸片，用来装饰作品．已知其中一张正方形纸片的面积是，另一张正方形纸片的面积是．在放置好这两张正方形纸片后，矩形卡纸上会留下空白部分，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意，两个正方形的边长分别为， ∴空白矩形的长为，宽为，∴空白部分的面积为； 故选：A． 12．（25-26八年级下·广东佛山·月考）定义：若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如，，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（    ） A．12是智慧数 B．代数式（是正整数）是智慧数的条件是 C．所有大于1的奇数都是智慧数 D．将智慧数从小到大进行排列，第10个智慧数是16 【答案】B 【详解】解：选项A：，满足定义，是智慧数； 选项B：对变形得，若它是智慧数，需和为正整数，且，可得，即，因此选项B说法不正确； 选项C：设大于1的奇数为（为正整数），，且当为正整数时，和都是正整数，所有大于1的奇数都是智慧数； 选项D：从小到大判断可得前10个智慧数依次为：3，5，7，8，9，11，12，13，15，16，因此第10个智慧数是16．综上，说法不正确的是B． 13．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）下列说法错误的是（    ） A．频数分布直方图中，频数之和为数据总数 B．频率就是频数与数据总数之比 C．频数分布直方图中，小长方形的高等于相应各组的频数 D．绘制频数分布直方图时，组距和组数的确定有一个固定的标准 【答案】D 【详解】解：选项A，频数分布直方图中，所有分组的频数之和等于数据总个数，说法正确，不符合题意． 选项B，根据频率的定义，频率等于频数除以数据总数，说法正确，不符合题意． 选项C，频数分布直方图中，纵轴表示频数，组距一致时，小长方形的高等于对应组的频数，说法正确，不符合题意． 选项D，绘制频数分布直方图时，组距和组数需要根据数据的范围和实际研究需求确定，没有固定的标准，因此该说法错误，符合题意． 14.（24-25八年级下·浙江杭州·期末）对某校705班和706班的学生“最喜爱的球类体育项目”进行统计，如图分别绘制了扇形统计图，下列说法正确的是（    ）    A．706班中最喜欢篮球的人数和最喜欢足球的人数一样多 B．705班中最喜欢足球的人数比最喜欢篮球的人数多 C．705班中最喜欢乒乓球的人数比706班中最喜欢乒乓球的人数多 D．705班中最喜欢篮球的人数和706班中最喜欢篮球的人数一样多 【答案】A 【详解】解：A、706班中最喜欢足球的人数占比为，最喜欢篮球的人数占比为，总人数一样，且占比相同，∴706班中最喜欢篮球的人数和最喜欢足球的人数一样多∴A选项说法正确； B、705班中最喜欢足球的人数占比为，最喜欢篮球的人数占比为， ∴705班中最喜欢足球的人数比最喜欢篮球的人数少，∴B选项说法错误； C、705班中最喜欢足球的人数占比为，706班中最喜欢乒乓球的人数占比为，因无法确定705班中最喜欢足球的人数和706班中最喜欢乒乓球的人数各是多少，∴C选项说法错误； D、由于不知道705班和706班的学生总人数，尽管705班中最喜欢篮球的人数占比比706班中最喜欢篮球的人数占比相同，因无法确定两个班最喜欢篮球的人数各是多少， 所以705班中最喜欢篮球的人数和706班中最喜欢篮球的人数不一定一样多， ∴D选项说法错误；故选：A． 15．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）法国数学家拉普拉斯说：生活中最重要的问题，绝大部分其实只是概率问题．下列民间谚语中事件发生的概率最大的是（  ） A．竹篮打水 B．瑞雪兆丰年 C．乌云脚底白，定有大雨来 D．滴水穿石 【答案】D 【详解】解：选项A竹篮打水是不可能事件，概率为， 选项B瑞雪兆丰年是随机事件，概率满足， 选项C乌云脚底白，定有大雨来是随机事件，概率满足， 选项D滴水穿石是必然事件，概率为， ∴四个选项中该事件发生的概率最大，答案为D． 16．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）小明做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从，，这个数中随机抽到数字的频率 B．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率 C．抛一枚硬币，出现正面朝上的频率 D．掷一枚质地均匀的骰子，出现点朝上的频率 【答案】D 【分析】根据大量重复实验下的频率即为概率，可依次对各选项进行判断． 【详解】解：选项A：从，，这个数中随机抽到数字的频率约为，不符合题意； 选项B：一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率约为，不符合题意； 选项C：抛一枚硬币，出现正面朝上的频率约为，不符合题意； 选项D：掷一枚质地均匀的骰子，出现点朝上的频率约为，符合题意． 二、填空题（14题） 17．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是_______． 【答案】 【详解】解：如图，连接、． ∵正方形和正方形中，∴， ． ． ． 所以，． 所以，是直角三角形． 由勾股定理得． 因为是的中点， 所以． 18．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为__________． 【答案】 【详解】解：∵将边折叠到边上得到，折痕为，∴， ∵四边形是矩形，，∴四边形是矩形，，， ∴，根据勾股定理可得：， ∵将沿着折叠，边恰好落在边上，∴，， ∵，∴，解得：，∴． 19．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图所示，在矩形中，，，点P在上，且，点E是线段上不与端点重合的一个动点，连接，将关于直线对称的三角形记作，若垂直于矩形的一边，则线段的长是______． 【答案】5或10 【详解】解：在矩形中，，， ，∴由勾股定理得，由折叠的性质可得，， ①当时，如图1所示，则四边形是矩形， ，， 设，则， 在中，由勾股定理得，解得，； ②当 PF⊥AB时，如图2所示，过F作交延长线于点G， ∵，∴，∴P、A、F三点共线，则四边形是矩形， ，，设，则； 在中，由勾股定理得 ，解得．． 综上所述，满足条件的的值为5或10． 20．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【详解】解：， ． 21．（25-26八年级下·广西桂林·期中）______（填“可以”或“不可以”）被8整除． 【答案】可以 【详解】解：，故可以被8整除． 22．（24-25八年级上·福建泉州·期中）清溪中学举行秋季运动会，由若干名同学组成一个9列的长方形队列．若原队列增加126人，就能组成一个正方形队列；若原队列减少126人，也能组成一个正方形队列．则原长方形队列有_______名同学． 【答案】450 【详解】解：设原长方形队列有（n为正整数）名同学，增加126人可组成的正方形队列，减少126人可组成的正方形队列， 根据题意得：， 得：，即， ∵和同奇或同偶，且， ∴或或，∴或或， 当时，，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去． ∴原长方形队列有450名同学．故答案为：450． 23．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如果将电阻并联，电路中的总电阻用表示，那么他们之间满足公式，已知，则______． 【答案】 【详解】解：，即，，，故答案为：， 24．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，长方形与长方形的面积都是1，过点作直线平行于，其与交于点，与的延长线交于点，且长方形与长方形面积相等．若，则__________．（用含m，n的代数式表示） 【答案】 【详解】解：如图，过点作平行线交于点，则，， ∵，长方形与长方形的面积都是1， ∴，∴， 设，则，， ∵长方形与长方形面积相等， ∴，即，∴， ∴，即．故答案为：． 25．（24-25七年级上·上海普陀·期末）定义：如果一个关于的分式方程的解是，那么我们把这样的分式方程称为和解方程．例如方程就是和解方程．已知关于的分式方程是和解方程，那么的值是______． 【答案】 【详解】解：解分式方程得，， ∵关于的分式方程是和解方程， ∴，∴，故答案为：． 26．（25-26八年级上·湖北鄂州·期末）已知关于的分式方程的解满足，则的取值范围是__________． 【答案】且 【详解】解：去分母得：，解得：， 关于的分式方程的解满足， ，，解得：且， 的取值范围是且，故答案为：且． 27．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如果两个分式与的和为常数，且是整数，则称是的“和整分式”，称为“和整值”．例如：分式，，所以，是的“和整分式”，“和整值”．已知分式，，是的“和整分式”，且“和整值”．当为正整数时，分式的值为正整数，则的值______． 【答案】1 或 2 【详解】解：∵C 是 D 的和整分式，且和整值， ∴．即 ．通分得 ． 则 ．解得 ． 于是 （其中 ）． ∵ D 的值为正整数，x 为正整数，∴ 或 ．解得：或．故答案为：或． 28．（25-26八年级下·四川成都·期中）对于两个实数a、b，若分式有意义且，则称是的一个“优界数”，并规定的所有优界数的取值范围叫做的“优界域”，例如：当时，由且，解得，所以6的“优界域”为，当时，的“优界域”为______________；已知实数，关于的分式方程的解为，若是的优界数，则的取值范围为______________． 【答案】 ； ，且． 【详解】解：当时，，，， 又，，的“优界域”为；解分式方程，得， 分式方程的解为，，且，，， 是的优界数，，且，，且， 当时，，解得：，不符合题意； 当时，，解得：，此时；的取值范围为，且． 29．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）已知：当a取某一范围内的实数时，代数式的值是一个常数（确定值），则这个常数是_______． 【答案】1 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，； 综上知，当时，的值是一个常数，这个常数为1；故答案为：1． 30．（25-26八年级下·江苏期中）已知，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：由 = ，原方程化为 ． 当 时，，代入得 ，解得 ． 当 时，，代入得 ，即 ，恒成立． 综上所述，．故答案为： ． 三、解答题（22题） 31．（2026·江苏扬州·一模）先化简，再求值：，其中且为整数，请你选一个合适的整数并求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式．（选一个即可） 【详解】解：， ∵，且为整数， ∴当时，原式；当时，原式．（选一个即可） 32．（24-25八年级下·吉林长春·月考）同学们，在学习路上，我们犯各种各样的错误是在所难免的．其实，这些错误并不是我们学习路上的绊脚石．相反，如果我们能够聚焦错误、分析错误、发散错误以及归类错误，那么我们就能够以错误为梯，补齐短板，进而大幅提升学习效益．小王在复习时发现一道这样的错题： 解方程： 解：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (1)请你帮他找出这道题从第___________步开始出错；(2)请完整地解答此分式方程 【答案】(1)②(2)见解析 【详解】（1）解：， ， 去分母得：， ∴这道题从第②步开始出错， 故答案为：②． （2）解：， ， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：当时，， ∴是原方程的增根，故无解． 33．（2025·河北张家口·模拟预测）习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算 解：原式  …………第一步    …………第二步          …………第三步 习题2：解方程 解：   …………第一步       …………第二步         …………第三步 检验：当时 是原方程的增根 原方程无解          …………第四步 (1)习题1的解答过程从第______步开始错误，习题2的解答过程从第______步开始错误； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 【答案】(1)一，一 (2)习题1：；习题2： 【详解】（1）解：一、一；故答案为：一，一； （2）习题1： 解：原式= ， 习题2：解方程 解： ， 检验：当时 是原方程的根． 34．（2026·江苏·模拟预测）“百度迁徙”是由百度提供的一个在线数据平台，旨在通过大数据分析展现用户人口迁徙、旅行、交通出行等相关活动趋势． 下面是通过“百度迁徙”查到的相关数据和统计图表．两个统计表分别反映9月29日进入青岛（入青）和离开青岛（离青）的人数分布情况，折线统计图反映2023年部分时间入青规模指数的变化情况，数据显示9月29日从北京入青的人数约为11200人．（注：入青规模指数） 表1：9月29日入青人数分布情况 入青来源地 入青人数占比 排名 潍坊市 1 烟台市 2 济南市 3 北京市 4 威海市 5 … … … 表2：9月29日离青人数分布情况 离青目的地 离青人数占比 排名 潍坊市 1 烟台市 2 临沂市 3 日照市 4 菏泽市 5 … … … 根据以上信息回答下面的问题：(1)求出9月29日入青规模指数，并补全折线统计图； (2)根据表1的数据绘制扇形统计图，“潍坊入青”对应的扇形圆心角度数为 ； (3)下列说法正确的是 ．（填序号） ①如果要表示各地入青具体人数的多少，可以选用条形统计图； ②从折线统计图可以看出，9月29日﹣10月6日相比其他时间有较大波动，主要因为假期出行的人增多； ③9月29日，从烟台入青的人数要比离青到烟台的人数多； ④9月29日，在青岛胶东机场随机调查1000名入青旅客，来自济南的约有116人． 【答案】(1)6.48；补全图形见解析(2)54(3)①② 【详解】（1）解：∵9月29日从北京入青的人数约为11200人， 又∵由表1可知：北京市入青人数占比为， ∴9月29日总入青人数为：（人）， 9月29日入青规模指数；补全折线统计图如图所示： （2）解：由表1可知：潍坊市入青人数占比， ∴潍坊市入青对应的扇形圆心角度数为：； “潍坊入青”对应的扇形圆心角度数为；故答案为：54． （3）解：①如果要表示各地入青具体人数的多少，可以选用条形统计图，正确； ②从折线统计图可以看出，9月29日﹣10月6日相比其他时间有较大波动，主要因为假期出行的人增多，正确；③9月29日，从烟台入青的人数为（人） 根据表格信息无法计算离青到烟台的具体人数，故③错误； 无法确定从济南入青的人均从机场入青，故④错误． 35．（2026·贵州遵义·一模）为了解学生每天课后体育锻炼时间，“善思”兴趣小组通过调查，形成了如下不完整的调查报告： 调查目的 了解学生每天课后体育锻炼的时间 调查内容 每天课后进行体育锻炼的时间（单位：分钟）： A．    B．    C．   D．    E． 调查方式 随机抽样调查 调查结果 备注说明 学生每天课后体育锻炼的时间都没有超过100分钟 结合调查信息，回答下列问题：(1)本次调查的样本容量是_______；在扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是_______；(2)将频数分布直方图补充完整；(3)根据调查的结果显示，大部分同学每天锻炼的时间都没有达到国家要求（每天锻炼时间不低于两个小时），请你结合具体实际，提出相应的体育锻炼建议． 【答案】(1)60，(2)见详解(3)增强大课间和课间活动，做到人人动起来 【详解】（1）解：，即本次调查的样本容量是60； ，∴在扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是； （2）解：被抽取学生中，C组人数为（人），故可补画频数分布直方图，如下图所示： （3）解：建议：增强大课间和课间活动，做到人人动起来． 36．（2026·浙江嘉兴·一模）身体质量指数（）是国际常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，其计算公式为：（千克/米2）．中国人的BMI等级为：为偏瘦，为正常，为偏胖，为肥胖．某校为了解学生的身体质量指数（）分布情况，分别从七、八、九三个年级中各随机抽取了50名学生，获得了他们的数据，并将这些数据整理后绘制成如下统计表，同时绘制了被抽取学生中各年级BMI等级为正常的人数占正常总人数的比例扇形统计图． 被抽取学生等级人数分布统计表 等级 范围 人数 偏瘦 20 正常 100 偏胖 24 肥胖 6 (1)求被抽取学生中的人数，并对这些学生提一条合理的建议． (2)若该校九年级共有375名学生，估计其中等级为正常的人数． 【答案】(1)，加强体育锻炼，合理膳食 (2)285人 【分析】（1）根据分布表进行计算即可； （2）利用样本估计总体的思想进行求解即可. 【详解】（1）解：被抽取学生中的人数为． 建议：加强体育锻炼，合理膳食．（答案不唯一，合理即可） （2）解：∵， ∴估计九年级学生中等级为正常的人数为285人． 37．（2026·山西吕梁·一模）为践行“健康第一”教育理念，细化落实近视防控要求，某校积极开展第12个全国近视防控宣传教育月活动．为了解全校3600名学生“科学用眼•健康护眼”好习惯践行情况，学校医务处随机抽取部分学生进行问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成统计图（均不完整）． “科学用眼•健康护眼”好习惯践行情况调查问卷 亲爱的同学： 您好！为进一步增强爱眼护眼意识，诚邀您参加本次匿名调查． 1．您在日常生活中践行了哪些“科学用眼•健康护眼”好习惯（    ）（可多选） A．每天户外活动2小时            B．保持“一尺一拳一寸”读写姿势 C．遵守“”护眼法则    D．每天睡眠不少于9小时 E．严控电子产品使用时间          F．定期进行视力检查 2．您平均每天使用电子产品的时间大约是（    ）（只能单选，每项含最小值，不含最大值） A．小时    B．小时    C．小时    D．3小时及以上 请根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)参加本次问卷调查的总人数为______人，的值为______，的值为______． (2)估计该校3600名学生中，平均每天使用电子产品的时间大约是“小时”的人数． (3)除上述调查问卷中提到的六个“科学用眼•健康护眼”好习惯，请你给全校学生再提出一个“科学用眼•健康护眼”好习惯． 【答案】(1)，，(2)估计该校对应人数为人(3)见详解 【详解】（1）解：总人数为 人， ∴ ， ． （2）解：“小时”的占比：， 该校3600名学生中，平均每天使用电子产品的时间大约是“小时”的人数为：人． （3）解：建议：坚持每天做眼保健操（或“不在昏暗/强光下看书”“不躺着看书”等，合理即可）． 38．（25-26八年级下·河北邢台·月考）阅读下列解题过程并完成相应的任务： 已知为的三边，且满足，试判断的形状． 解：， ， ， 为直角三角形． 任务：(1)上述解题过程中，开始出现错误的是______（填序号）． (2)错误的原因是______． (3)的形状可以是______（填写相应的字母）． ．等腰三角形    ．直角三角形    ．等腰直角三角形 【答案】(1)；(2)没有考虑；(3)． 【详解】（1）解：由解题过程可得，开始出现错误的是，故答案为：； （2）解：错误的原因是没有考虑，故答案为：没有考虑； （3）解：∵，∴， ∴，∴， ∴或，∴或， 当时，为直角三角形； 当时，即，为等腰三角形； ∴为等腰三角形或直角三角形，故答案为：． 39．（25-26八年级上·重庆·月考）阅读以下材料： 材料1：如图，将图1中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2． 材料2：分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式， 再将还原，得到：原式． 上述解题过程用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． 请你根据以上材料解决下列问题： (1)材料1中根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是______； (2)计算：；(3)根据材料2进行因式分解：． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，即； （2）解：； （3）解：， 令，原式， 再将还原，得到：原式． 40．（24-25八年级下·福建三明·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶ ，，，因此8，16，24都是“和谐数” (1)特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由； (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)拓展应用：设m，n为正整数，且，若 和都是“和谐数”．判断是否为“和谐数”，说明理由． 【答案】(1)40是“和谐数”，理由见解析(2)“和谐数”能被8整除，理由见解析 (3)是 “和谐数”，理由见解析 【详解】（1）解：设，解得，∴40是“和谐数”； （2）解：“和谐数”能被8整除， 理由： ， ∵k是正整数，∴能被8整除，∴能被8整除，∴“和谐数”能被8整除； （3）解：∵是“和谐数”，∴，∴，∴． ∵是“和谐数”，即是“和谐数”，∴可设，其中k为正整数， ∴，∴，∴ ． ∵k为正整数，∴和为两个连续正奇数，∴为“和谐数”． 41．（25-26八年级上·福建泉州·期末）小明在学习配方法时，将关于x的多项式配方成，发现当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如:当时，即或-1时，的值均为6；当时，即或-2时，的值均为11．于是小明给出一个定义:对于关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对偶，例如关于对偶． 请你结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于__________对偶； (2)当或时，关于x的多项的值相等，求b的值； (3)若整式)关于对偶，求n的值． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵， ∴根据题意，多项式关于对偶；故答案为： （2）解：． 依题意，得与互为相反数，即；∴； （3） ∵该整式关于对偶．∴ 42．（25-26八年级上·天津·月考）在当今“互联网+”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式因式分解的结果为，当时，，其中分别为因式码，按从小到大的顺序就形成密码192021． (1)根据上述方法，当时，对于多项式分解因式后形成的数字密码是________． (2)已知多项式，当分别取正整数时，用题目所示方法生成密码，若密码的前两个因式码为，求第三个因式码．(3)将多项式因式分解后，利用题目中所示的方法，当时可以得到密码，求的值． 【答案】(1)(2)125(3) 【详解】（1）解：；当时， 可得到数字密码是，故答案为： （2） ∵分别取正整数，∴， ∵密码的前两个因式码为，∴解得 ∴，即第三个因式码为． （3）当时，密码为，且的系数是 即 43．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）我们可以用不同的方法比较二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 方法1：我们可以用“平方法”将和分别平方． 因为，，，所以． 方法2：在方格纸中通过“构造线段法”来比较大小． 如图，在方格纸中，画线段，，连接，可得．根据垂线段最短，可得，即． (1)比较大小：______9；(2)请分别用“平方法”和“构造线段法”比较与的大小． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：，； （2）解：构造线段法：如图； ， ；平方法：， ，，． 44．（25-26八年级下·北京·期中）阅读材料： 小聪通过网络搜索，查到了三种平均数的定义，如下：对于两个数， 称为这两个数的算术平均数，称为这两个数的几何平均数， 称为这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)若，则___________，___________； (2)小聪发现当两数异号时，在实数范围内没有意义，所以只研究当都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式、二次根式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形，以及它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请在图2，图3中用阴影画出面积分别为的图形； ②借助图形可知：当都是正数时，的大小关系是：___________．（把从小到大排列，并用“<”或“”号连接） 【答案】(1)；(2)①见解析；② 【详解】（1）解：由题意得，， ； （2）解：①， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：    ， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示：    ②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立， 都是正数，都是正数，． 45．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）【阅读材料】如果三个实数a、b、k使得关于x的分式方程的解和分式方程的解互为倒数，那么我们称实数对是该组方程的一对“k级和谐系数”．例如：取，，代入分式方程得方程；的解为，而分式方程的解为，所以{3，4}是该组方程的一对“5级和谐系数”；又如：取，，，分式方程得方程：的解为，而分式方程的解为，所以是该组方程的一对“级和谐系数”． 【解决问题】(1)下列实数对是关于x的分式方程和分式方程的“级和谐系数”的有________（填序号）；①②③ (2)若实数对是关于x的分式方程和分式方程的“6级和谐系数”，求m的值； (3)若整数对是关于x的分式方程和分式方程的“k级和谐系数”，且满足（P为整数）求整数n的值． 【答案】(1)②(2)或(3)或 【详解】（1）解：解方程得，解方程得， ∵是该组方程的一对“k级和谐系数”， 则两个分式方程的解互为倒数， ∴，∴，即， ∵，∴， ①∵，∴不是“级和谐系数”； ②∵，∴是“级和谐系数”； ③∵，∴不是“级和谐系数”； （2）解：∵是 “级和谐系数”，∴，解得或； （3）解：整数对是关于x的分式方程和分式方程的“k级和谐系数”，， ∴，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴，∴， ∵的整数因数对为，，，， ∴分为以下四种情况讨论： ①，解得；②，解得； ③，解得；④，解得， 综上，整数的值为或． 46．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n差分式”． 例如： 我们称 是 的“3差分式”． 解答下列问题：(1)分式是分式的“ 差分式”． (2)分式是分式的“2差分式”． ① （含x的代数式表示）；②若A的值为正整数，x为正整数，求x的值． 【答案】(1)(2)①；②或 【详解】（1）解：，所以分式是分式的“差分式”； （2）解：，，解得； 为正整数，当时，，则； 当时，，则；的值为或． 47．（25-26八年级下·重庆·月考）某面包店加工甲、乙两种面包．每天加工甲种面包的数量是每天加工乙种面包数量的2倍，加工1000份甲种面包比加工1000份乙种面包少用10天． (1)求该面包店每天加工甲、乙两种面包的数量分别是多少份（列方程解答）？ (2)为提升品质与效率，该面包店对烘焙设备进行升级．升级后，每天加工甲种面包的数量比升级前每天加工的数量增加了份，且每天加工乙种面包的数量比升级前每天加工的数量增加了份．受原材料库存和烤箱容量的限制，面包店对加工计划有如下要求： ①为了避免原材料浪费和烤箱超负荷，甲种面包和乙种面包每天的加工数量之和不超过252份；②为了保证产品类型配比均衡，每天加工乙种面包的数量不低于每天加工甲种面包数量的一半．已知每售出1份甲种面包可获利8元，每售出1份乙种面包可获利12元，且每天加工的甲、乙两种面包当天全部售出．不考虑其他成本，当取何值时，该面包店每天加工和出售甲、乙两种面包所获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每天加工甲种面包100份，乙种面包50份 (2)当时，每天获得的利润最大，最大利润是2360元 【详解】（1）解：设该面包店每天加工乙种面包份，则每天加工甲种面包份. 根据题意得： ，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意，， 答：该面包店每天加工甲种面包100份，乙种面包50份； （2）解：升级后，每天加工甲种面包的数量为份，每天加工乙种面包的数量为份. 根据题意列不等式组： ， 解第一个不等式得： ，解第二个不等式得： ， 因此不等式组的解集为，设每天获得的总利润为元， 根据题意得： ， ∵，随的增大而增大，当时，取得最大值，， 答：当时，该面包店每天加工和出售甲、乙两种面包所获得的利润最大，最大利润是2360元． 48．（25-26八年级下·河南南阳·月考）春季是新鲜草莓上市的主要季节，甲、乙两人去某水果超市购买相同单价的奶油草莓，甲用元购买的草莓比乙用元购买的草莓少，求这种草莓的单价．以下是小华和小丽所列的两个方程，请回答下列问题． 小华：；小丽：． (1)小华所列方程中的表示_____，小丽所列方程中的表示_____；（填序号） ①草莓的单价    ②甲用元购买草莓的质量    ③乙用元购买草莓的质量 (2)请从以上两个方程中，任选一个解方程，并求出这种草莓的单价． (3)丙也到该水果超市购买相同单价的奶油草莓，他发现还有一种单价为元的白草莓也不错，于是决定搭配购买两种草莓共，且奶油草莓的数量不超过白草莓数量的倍，求买两种草莓各多少才能花费最少，最少费用是多少元？ 【答案】(1)①，②(2)这种草莓的单价为元 (3)奶油草莓的数量为，白草莓的数量为时花费最少，最少费用是元 【详解】（1）解：小华所列方程中的表示草莓的单价，小丽所列方程中的表示甲用元购买草莓的质量，故答案为：①，②； （2）解： ， 经检验，是原方程的解，这种草莓的单价为元； （3）解：设两种草莓的总费用为，奶油草莓的数量为，则白草莓的数量为， 由题意得，解得，， ，随的增大而减小， 当，时，最少，最少费用为（元）， 答：奶油草莓的数量为，白草莓的数量为时总花费最少，最少费用是元． 49．（25-26八年级下·云南昭通·期中）操作实践 第一步：如图1，四边形是一个矩形纸片，，沿对角线将矩形剪开． 第二步：如图2，将沿对角线方向平移得到，分别连接，得到四边形； 第三步：如图3，将沿对角线方向继续平移，得到分别连接，得到四边形． 解决问题 (1)猜想第二步的图2中得到的四边形的形状，并说明理由． (2)设第三步的图3中的平移距离为m，则当四边形是菱形时，求m的值． (3)计算（2）中菱形的面积． 【答案】(1)四边形是平行四边形，理由见解析(2)当四边形是菱形时，m的值为1(3) 【详解】（1）解：四边形是平行四边形．理由如下： 由矩形可得，由平移可得：， ∴，∴四边形是平行四边形． （2）解：同（1）可证∶四边形是平行四边形， 当时，平行四边形是菱形． 在矩形中，，∴，∴，由平移可得． ∵，∴，∴， ∴，∴， ∴当四边形是菱形时，m的值为1； （3）解：如图，延长交于点E．∵，∴． 在中，，∴， ∴菱形面积． 50．（24-25八年级下·山西运城·期末）阅读与思考 下面是某小组研究报告中的一部分，请认真阅读并按要求完成相应的任务． 关于“等腰梯形”的研究报告研究对象：梯形 研究思路：类比平行四边形，从定义及已有基本事实、定理出发，从组成要素及相关要素的角度研究梯形的性质． 研究方法：观察（测量、操作）---猜想---推理 研究内容： 一般概念：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，其中互相平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰．如图1，四边形中，，与不平行，则四边形是梯形． 特例研究：在一般概念的基础上，对“等腰梯形”研究如下： 定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．如图2，梯形中，，若，则称四边形为等腰梯形． 性质：根据定义，探索等腰梯形的性质，得到如下结论： 结论1：等腰梯形同一底上的两个内角相等，即图2中，． 证明：在图2中，过点作的平行线，交于点，∴， ∵，，∴四边形是平行四边形，（依据：______△_________） ∴．．．．．． 结论2：等腰梯形的对角线．．．．．． 任务：(1)写出材料中“△”处的依据，并补全结论1的证明过程； (2)如图3，四边形是等腰梯形，其中，，连接对角线，交于点．请根据图3，猜想，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图4，在中，，．若点是平面内一点，且以点，，，为顶点的四边形是等腰梯形，则，两点之间的距离为______________． 【答案】(1)两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；证明过程见解析 (2)；证明见解析(3)或 【详解】（1）解：“△”处的依据为“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”，补全结论1的证明过程如下，在图2中，过点作的平行线，交于点，∴，∵，， ∴四边形是平行四边形，（依据：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形）∴， 又∵，∴，∴，∴， ∵，∴，， ∴，∴等腰梯形同一底上的两个内角相等； （2）解：，证明如下， ∵四边形是等腰梯形，其中，，由（1）得“等腰梯形同一底上的两个内角相等”， ∴，在和中，，∴，∴； （3）解：如图，当四边形是等腰梯形，，时，连接， ∵，由（2）得等腰梯形的对角线相等，∴； 如图，当四边形是等腰梯形，，时，过点作于点，分别过点、作的垂线，垂足分别为点、，∴， ∴四边形是矩形，∴，， ∵，，∴，， ∴，∵， ∴，∴， ∴； 当作为底时，点和点重合，不存在等腰梯形； 综上所述，，两点之间的距离为或．故答案为：或． 51．（25-26八年级下·湖北荆州·期中）探究题． (1)图形的定义．小学学过梯形，请你仿照平行四边形的定义方法，给梯形下一个定义； (2)图形的性质．与三角形中位线定理类似，梯形也有类似结论即如图1，在梯形中，，，分别为，的中点，连接，求证：，； (3)综合应用．如图2，边长为2的正方形在边长为的正方形所在平面上平移，在平移过程中，始终保持，线段的中点为，的中点为，求的长． 【答案】(1)一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形；(2)证明见解析(3) 【详解】（1）解：由题意可得，一组对边平行，另一组对边不平行的四边形是梯形； （2）证明：连接，并延长交的延长线于，如图所示： ∵，∴，， ∵点是的中点，∴， 在和中,∴， ∴，，∴点是的中点， ∵点是的中点，∴是的中位线，∴，， ∵，∴，； （3）连接并延长至点，使，作于点，连接，，，如图所示： ∵是线段的中点，∴， 在和中∴， ∴，，∵， ∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∵线段的中点为，的中点为，∴． 52．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）【综合与实践】 【问题情境】方方和圆圆在研究正方形，如图1，正方形中，为边上一点，连结，为边上一点，连结，他们发现：当，能通过证明得到，． 【性质初探】如图2，方方在上再取了一点，连结交于点，发现：当时，结论仍成立，请你协助他说明理由． 【性质再探】圆圆在方方研究的基础上想探究当时，是否一定成立？此时当时，与交于点，直接写出的度数． 【问题解决】如图3，点为上一点，交于点，满足，若，求的值． 【答案】【性质初探】见解析；【性质再探】不一定成立，或；【问题解决】 【详解】性质初探：解：作交于点；由题意得 在正方形中， 四边形是平行四边形 性质再探：不一定成立，理由如下： 当时，有两种情况，①如图所示，作交于，交于， 在正方形中，，，， ，；四边形是平行四边形； 在和中 又 ②如图所示，作交于，同理可得： ， 综上所述，当时，不一定成立，或； 问题解决：如图，连结、、 在正方形中，， ，； 设，，由【性质初探】得： ，； ；； 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 新题速递（第6章-第11章）（共52题） 一、单选题（共16题） 1．（2026·河北张家口·一模）如图，，，，四边形是矩形．直线经过点A，D，直线，直线将矩形分成面积相等的两部分，则b的值为（   ） A． B． C． D．2 2．（2026·内蒙古包头·一模）公园里有一个对角线互相垂直的四边形景观水池，工作人员打算在水池四边的中点位置安装景观灯，并将这些灯用灯带连接起来，形成一个新的四边形灯带造型，四边形灯带造型的形状一定是（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 3．（25-26八年级下·江苏期中）小明在抄因式分解的题目时，不小心漏抄了二项式□（“□”表示漏抄的部分）中前的式子．若该二项式能因式分解，则“□”不可能是（   ） A． B．4 C．－4 D．16 4．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为，则长方形的另一边长为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·河南周口·一模）某食品加工厂在制作一种食品时，需要按照一定的比例混合各种原料．现在有两种原料和，原料的质量为（单位：），原料的质量为（单位：），将它们混合后进行一些操作（操作过程不影响质量），下列关于这两个代数式的运算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·四川凉山·期末）对于正数，规定，例如：，，则的值为（    ） A．2025 B．2024 C． D． 7．（25-26八年级上·河北保定·期中）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题，其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果■，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱．设这批椽的数量为株，则可得方程为，根据此情境，题中“■”表示缺失的条件，下列可以作为补充条件的是（   ） A．每株椽的运费是3文 B．一株椽的价钱是3文 C．剩下的椽的运费是3文 D．剩下的椽的价钱是3文 8．（25-26八年级上·山东·期末）在解关于x的方程时，嘉琪在去分母的过程中，右边的“”漏乘了公分母，因而求得方程的解为，则该方程正确的解是（ ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·江苏·月考）照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中f表示照相机镜头的焦距，u表示物体到镜头的距离，v表示胶片（像）到镜头的距离．已知f，v，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·四川资阳·期末）化简的值为（   ） A． B．1 C．2025 D．2026 11．（25-26九年级上·河南南阳·月考）在学校的手工课上，同学们正在用矩形卡纸进行创作．如图，小明拿到了一张矩形卡纸，他准备在这张卡纸上无重叠地放入两张正方形纸片，用来装饰作品．已知其中一张正方形纸片的面积是，另一张正方形纸片的面积是．在放置好这两张正方形纸片后，矩形卡纸上会留下空白部分，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级下·广东佛山·月考）定义：若一个正整数能表示成两个正整数的平方差，则称这个数为“智慧数”．例如，，所以13是“智慧数”，则下列说法不正确的是（    ） A．12是智慧数 B．代数式（是正整数）是智慧数的条件是 C．所有大于1的奇数都是智慧数 D．将智慧数从小到大进行排列，第10个智慧数是16 13．（25-26八年级下·江苏无锡·月考）下列说法错误的是（    ） A．频数分布直方图中，频数之和为数据总数 B．频率就是频数与数据总数之比 C．频数分布直方图中，小长方形的高等于相应各组的频数 D．绘制频数分布直方图时，组距和组数的确定有一个固定的标准 14.（24-25八年级下·浙江杭州·期末）对某校705班和706班的学生“最喜爱的球类体育项目”进行统计，如图分别绘制了扇形统计图，下列说法正确的是（    ）    A．706班中最喜欢篮球的人数和最喜欢足球的人数一样多 B．705班中最喜欢足球的人数比最喜欢篮球的人数多 C．705班中最喜欢乒乓球的人数比706班中最喜欢乒乓球的人数多 D．705班中最喜欢篮球的人数和706班中最喜欢篮球的人数一样多 15．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）法国数学家拉普拉斯说：生活中最重要的问题，绝大部分其实只是概率问题．下列民间谚语中事件发生的概率最大的是（  ） A．竹篮打水 B．瑞雪兆丰年 C．乌云脚底白，定有大雨来 D．滴水穿石 16．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）小明做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制出的折线统计图如图所示，符合这一结果的试验最有可能是（   ） A．从，，这个数中随机抽到数字的频率 B．一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的频率 C．抛一枚硬币，出现正面朝上的频率 D．掷一枚质地均匀的骰子，出现点朝上的频率 二、填空题（14题） 17．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长是_______． 18．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为__________． 19．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图所示，在矩形中，，，点P在上，且，点E是线段上不与端点重合的一个动点，连接，将关于直线对称的三角形记作，若垂直于矩形的一边，则线段的长是______． 20．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）比较大小：______（填“”、“”或“”）． 21．（25-26八年级下·广西桂林·期中）______（填“可以”或“不可以”）被8整除． 22．（24-25八年级上·福建泉州·期中）清溪中学举行秋季运动会，由若干名同学组成一个9列的长方形队列．若原队列增加126人，就能组成一个正方形队列；若原队列减少126人，也能组成一个正方形队列．则原长方形队列有_______名同学． 23．（24-25八年级上·广东汕头·期末）如果将电阻并联，电路中的总电阻用表示，那么他们之间满足公式，已知，则______． 24．（25-26八年级上·福建厦门·期末）如图，长方形与长方形的面积都是1，过点作直线平行于，其与交于点，与的延长线交于点，且长方形与长方形面积相等．若，则__________．（用含m，n的代数式表示） 25．（24-25七年级上·上海普陀·期末）定义：如果一个关于的分式方程的解是，那么我们把这样的分式方程称为和解方程．例如方程就是和解方程．已知关于的分式方程是和解方程，那么的值是______． 26．（25-26八年级上·湖北鄂州·期末）已知关于的分式方程的解满足，则的取值范围是__________． 27．（25-26八年级上·上海普陀·期末）如果两个分式与的和为常数，且是整数，则称是的“和整分式”，称为“和整值”．例如：分式，，所以，是的“和整分式”，“和整值”．已知分式，，是的“和整分式”，且“和整值”．当为正整数时，分式的值为正整数，则的值______． 28．（25-26八年级下·四川成都·期中）对于两个实数a、b，若分式有意义且，则称是的一个“优界数”，并规定的所有优界数的取值范围叫做的“优界域”，例如：当时，由且，解得，所以6的“优界域”为，当时，的“优界域”为______________；已知实数，关于的分式方程的解为，若是的优界数，则的取值范围为______________． 29．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）已知：当a取某一范围内的实数时，代数式的值是一个常数（确定值），则这个常数是_______． 30．（25-26八年级下·江苏期中）已知，则的取值范围是________． 三、解答题（22题） 31．（2026·江苏扬州·一模）先化简，再求值：，其中且为整数，请你选一个合适的整数并求值． 32．（24-25八年级下·吉林长春·月考）同学们，在学习路上，我们犯各种各样的错误是在所难免的．其实，这些错误并不是我们学习路上的绊脚石．相反，如果我们能够聚焦错误、分析错误、发散错误以及归类错误，那么我们就能够以错误为梯，补齐短板，进而大幅提升学习效益．小王在复习时发现一道这样的错题： 解方程： 解：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (1)请你帮他找出这道题从第___________步开始出错；(2)请完整地解答此分式方程 33．（2025·河北张家口·模拟预测）习题课上，数学老师展示了两道习题及其错误的解答过程： 习题1：计算 解：原式  …………第一步    …………第二步          …………第三步 习题2：解方程 解：   …………第一步       …………第二步         …………第三步 检验：当时 是原方程的增根 原方程无解          …………第四步 (1)习题1的解答过程从第______步开始错误，习题2的解答过程从第______步开始错误； (2)从以上两道习题中任选一题，写出正确的解答过程． 34．（2026·江苏·模拟预测）“百度迁徙”是由百度提供的一个在线数据平台，旨在通过大数据分析展现用户人口迁徙、旅行、交通出行等相关活动趋势． 下面是通过“百度迁徙”查到的相关数据和统计图表．两个统计表分别反映9月29日进入青岛（入青）和离开青岛（离青）的人数分布情况，折线统计图反映2023年部分时间入青规模指数的变化情况，数据显示9月29日从北京入青的人数约为11200人．（注：入青规模指数） 表1：9月29日入青人数分布情况 入青来源地 入青人数占比 排名 潍坊市 1 烟台市 2 济南市 3 北京市 4 威海市 5 … … … 表2：9月29日离青人数分布情况 离青目的地 离青人数占比 排名 潍坊市 1 烟台市 2 临沂市 3 日照市 4 菏泽市 5 … … … 根据以上信息回答下面的问题：(1)求出9月29日入青规模指数，并补全折线统计图； (2)根据表1的数据绘制扇形统计图，“潍坊入青”对应的扇形圆心角度数为 ； (3)下列说法正确的是 ．（填序号） ①如果要表示各地入青具体人数的多少，可以选用条形统计图； ②从折线统计图可以看出，9月29日﹣10月6日相比其他时间有较大波动，主要因为假期出行的人增多； ③9月29日，从烟台入青的人数要比离青到烟台的人数多； ④9月29日，在青岛胶东机场随机调查1000名入青旅客，来自济南的约有116人． 35．（2026·贵州遵义·一模）为了解学生每天课后体育锻炼时间，“善思”兴趣小组通过调查，形成了如下不完整的调查报告： 调查目的 了解学生每天课后体育锻炼的时间 调查内容 每天课后进行体育锻炼的时间（单位：分钟）： A．    B．    C．   D．    E． 调查方式 随机抽样调查 调查结果 备注说明 学生每天课后体育锻炼的时间都没有超过100分钟 结合调查信息，回答下列问题：(1)本次调查的样本容量是_______；在扇形统计图中，D组对应的圆心角的度数是_______；(2)将频数分布直方图补充完整；(3)根据调查的结果显示，大部分同学每天锻炼的时间都没有达到国家要求（每天锻炼时间不低于两个小时），请你结合具体实际，提出相应的体育锻炼建议． 36．（2026·浙江嘉兴·一模）身体质量指数（）是国际常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个指标，其计算公式为：（千克/米2）．中国人的BMI等级为：为偏瘦，为正常，为偏胖，为肥胖．某校为了解学生的身体质量指数（）分布情况，分别从七、八、九三个年级中各随机抽取了50名学生，获得了他们的数据，并将这些数据整理后绘制成如下统计表，同时绘制了被抽取学生中各年级BMI等级为正常的人数占正常总人数的比例扇形统计图． 被抽取学生等级人数分布统计表 等级 范围 人数 偏瘦 20 正常 100 偏胖 24 肥胖 6 (1)求被抽取学生中的人数，并对这些学生提一条合理的建议． (2)若该校九年级共有375名学生，估计其中等级为正常的人数． 37．（2026·山西吕梁·一模）为践行“健康第一”教育理念，细化落实近视防控要求，某校积极开展第12个全国近视防控宣传教育月活动．为了解全校3600名学生“科学用眼•健康护眼”好习惯践行情况，学校医务处随机抽取部分学生进行问卷调查（调查问卷如图所示），所有问卷全部收回，并将调查结果绘制成统计图（均不完整）． “科学用眼•健康护眼”好习惯践行情况调查问卷 亲爱的同学：您好！为进一步增强爱眼护眼意识，诚邀您参加本次匿名调查． 1．您在日常生活中践行了哪些“科学用眼•健康护眼”好习惯（    ）（可多选） A．每天户外活动2小时            B．保持“一尺一拳一寸”读写姿势 C．遵守“”护眼法则    D．每天睡眠不少于9小时 E．严控电子产品使用时间          F．定期进行视力检查 2．您平均每天使用电子产品的时间大约是（    ）（只能单选，每项含最小值，不含最大值） A．小时    B．小时    C．小时    D．3小时及以上 请根据统计图提供的信息，解答下列问题：(1)参加本次问卷调查的总人数为______人，的值为______，的值为______．(2)估计该校3600名学生中，平均每天使用电子产品的时间大约是“小时”的人数． (3)除上述调查问卷中提到的六个“科学用眼•健康护眼”好习惯，请你给全校学生再提出一个“科学用眼•健康护眼”好习惯． 38．（25-26八年级下·河北邢台·月考）阅读下列解题过程并完成相应的任务： 已知为的三边，且满足，试判断的形状． 解：， ， ， 为直角三角形． 任务：(1)上述解题过程中，开始出现错误的是______（填序号）． (2)错误的原因是______． (3)的形状可以是______（填写相应的字母）． ．等腰三角形    ．直角三角形    ．等腰直角三角形 39．（25-26八年级上·重庆·月考）阅读以下材料： 材料1：如图，将图1中阴影部分无重叠、无缝隙地拼成图2． 材料2：分解因式：． 解：将“”看成整体，令，则原式， 再将还原，得到：原式． 上述解题过程用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想． 请你根据以上材料解决下列问题： (1)材料1中根据两个图中阴影部分的面积关系得到的等式是______； (2)计算：；(3)根据材料2进行因式分解：． 40．（24-25八年级下·福建三明·期末）定义：如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”．如∶ ，，，因此8，16，24都是“和谐数” (1)特例感知：判断40是否为“和谐数”，说明理由； (2)规律探究：根据“和谐数”的定义，设两个连续正奇数为和，其中k是正整数，那么“和谐数”都能被8整除吗？如果能，说明理由；如果不能，举例说明； (3)拓展应用：设m，n为正整数，且，若 和都是“和谐数”．判断是否为“和谐数”，说明理由． 41．（25-26八年级上·福建泉州·期末）小明在学习配方法时，将关于x的多项式配方成，发现当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的．例如:当时，即或-1时，的值均为6；当时，即或-2时，的值均为11．于是小明给出一个定义:对于关于x的多项式，若当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对偶，例如关于对偶． 请你结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式关于__________对偶； (2)当或时，关于x的多项的值相等，求b的值； (3)若整式)关于对偶，求n的值． 42．（25-26八年级上·天津·月考）在当今“互联网+”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式因式分解的结果为，当时，，其中分别为因式码，按从小到大的顺序就形成密码192021． (1)根据上述方法，当时，对于多项式分解因式后形成的数字密码是________． (2)已知多项式，当分别取正整数时，用题目所示方法生成密码，若密码的前两个因式码为，求第三个因式码．(3)将多项式因式分解后，利用题目中所示的方法，当时可以得到密码，求的值． 43．（25-26八年级下·山东潍坊·期中）我们可以用不同的方法比较二次根式的大小． 例如：比较和的大小． 方法1：我们可以用“平方法”将和分别平方． 因为，，，所以． 方法2：在方格纸中通过“构造线段法”来比较大小． 如图，在方格纸中，画线段，，连接，可得．根据垂线段最短，可得，即． (1)比较大小：______9；(2)请分别用“平方法”和“构造线段法”比较与的大小． 44．（25-26八年级下·北京·期中）阅读材料： 小聪通过网络搜索，查到了三种平均数的定义，如下：对于两个数， 称为这两个数的算术平均数，称为这两个数的几何平均数， 称为这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程，请你补充完整： (1)若，则___________，___________； (2)小聪发现当两数异号时，在实数范围内没有意义，所以只研究当都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式、二次根式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形，以及它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请在图2，图3中用阴影画出面积分别为的图形； ②借助图形可知：当都是正数时，的大小关系是：___________．（把从小到大排列，并用“<”或“”号连接） 45．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）【阅读材料】如果三个实数a、b、k使得关于x的分式方程的解和分式方程的解互为倒数，那么我们称实数对是该组方程的一对“k级和谐系数”．例如：取，，代入分式方程得方程；的解为，而分式方程的解为，所以{3，4}是该组方程的一对“5级和谐系数”；又如：取，，，分式方程得方程：的解为，而分式方程的解为，所以是该组方程的一对“级和谐系数”． 【解决问题】(1)下列实数对是关于x的分式方程和分式方程的“级和谐系数”的有________（填序号）；①②③ (2)若实数对是关于x的分式方程和分式方程的“6级和谐系数”，求m的值； (3)若整数对是关于x的分式方程和分式方程的“k级和谐系数”，且满足（P为整数）求整数n的值． 46．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n差分式”． 例如： 我们称 是 的“3差分式”． 解答下列问题：(1)分式是分式的“ 差分式”． (2)分式是分式的“2差分式”． ① （含x的代数式表示）；②若A的值为正整数，x为正整数，求x的值． 47．（25-26八年级下·重庆·月考）某面包店加工甲、乙两种面包．每天加工甲种面包的数量是每天加工乙种面包数量的2倍，加工1000份甲种面包比加工1000份乙种面包少用10天． (1)求该面包店每天加工甲、乙两种面包的数量分别是多少份（列方程解答）？ (2)为提升品质与效率，该面包店对烘焙设备进行升级．升级后，每天加工甲种面包的数量比升级前每天加工的数量增加了份，且每天加工乙种面包的数量比升级前每天加工的数量增加了份．受原材料库存和烤箱容量的限制，面包店对加工计划有如下要求： ①为了避免原材料浪费和烤箱超负荷，甲种面包和乙种面包每天的加工数量之和不超过252份；②为了保证产品类型配比均衡，每天加工乙种面包的数量不低于每天加工甲种面包数量的一半．已知每售出1份甲种面包可获利8元，每售出1份乙种面包可获利12元，且每天加工的甲、乙两种面包当天全部售出．不考虑其他成本，当取何值时，该面包店每天加工和出售甲、乙两种面包所获得的利润最大？最大利润是多少元？ 48．（25-26八年级下·河南南阳·月考）春季是新鲜草莓上市的主要季节，甲、乙两人去某水果超市购买相同单价的奶油草莓，甲用元购买的草莓比乙用元购买的草莓少，求这种草莓的单价．以下是小华和小丽所列的两个方程，请回答下列问题． 小华：；小丽：． (1)小华所列方程中的表示_____，小丽所列方程中的表示_____；（填序号） ①草莓的单价    ②甲用元购买草莓的质量    ③乙用元购买草莓的质量 (2)请从以上两个方程中，任选一个解方程，并求出这种草莓的单价． (3)丙也到该水果超市购买相同单价的奶油草莓，他发现还有一种单价为元的白草莓也不错，于是决定搭配购买两种草莓共，且奶油草莓的数量不超过白草莓数量的倍，求买两种草莓各多少才能花费最少，最少费用是多少元？ 49．（25-26八年级下·云南昭通·期中）操作实践 第一步：如图1，四边形是一个矩形纸片，，沿对角线将矩形剪开． 第二步：如图2，将沿对角线方向平移得到，分别连接，得到四边形； 第三步：如图3，将沿对角线方向继续平移，得到分别连接，得到四边形． 解决问题 (1)猜想第二步的图2中得到的四边形的形状，并说明理由． (2)设第三步的图3中的平移距离为m，则当四边形是菱形时，求m的值． (3)计算（2）中菱形的面积． 50．（24-25八年级下·山西运城·期末）阅读与思考 下面是某小组研究报告中的一部分，请认真阅读并按要求完成相应的任务． 关于“等腰梯形”的研究报告研究对象：梯形 研究思路：类比平行四边形，从定义及已有基本事实、定理出发，从组成要素及相关要素的角度研究梯形的性质． 研究方法：观察（测量、操作）---猜想---推理 研究内容： 一般概念：只有一组对边平行的四边形叫做梯形，其中互相平行的两边叫做底，不平行的两边叫做腰．如图1，四边形中，，与不平行，则四边形是梯形． 特例研究：在一般概念的基础上，对“等腰梯形”研究如下： 定义：两腰相等的梯形叫做等腰梯形．如图2，梯形中，，若，则称四边形为等腰梯形． 性质：根据定义，探索等腰梯形的性质，得到如下结论： 结论1：等腰梯形同一底上的两个内角相等，即图2中，． 证明：在图2中，过点作的平行线，交于点，∴， ∵，，∴四边形是平行四边形，（依据：______△_________） ∴．．．．．． 结论2：等腰梯形的对角线．．．．．． 任务：(1)写出材料中“△”处的依据，并补全结论1的证明过程； (2)如图3，四边形是等腰梯形，其中，，连接对角线，交于点．请根据图3，猜想，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图4，在中，，．若点是平面内一点，且以点，，，为顶点的四边形是等腰梯形，则，两点之间的距离为______________． 51．（25-26八年级下·湖北荆州·期中）探究题． (1)图形的定义．小学学过梯形，请你仿照平行四边形的定义方法，给梯形下一个定义； (2)图形的性质．与三角形中位线定理类似，梯形也有类似结论即如图1，在梯形中，，，分别为，的中点，连接，求证：，； (3)综合应用．如图2，边长为2的正方形在边长为的正方形所在平面上平移，在平移过程中，始终保持，线段的中点为，的中点为，求的长． 52．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）【综合与实践】 【问题情境】方方和圆圆在研究正方形，如图1，正方形中，为边上一点，连结，为边上一点，连结，他们发现：当，能通过证明得到，． 【性质初探】如图2，方方在上再取了一点，连结交于点，发现：当时，结论仍成立，请你协助他说明理由． 【性质再探】圆圆在方方研究的基础上想探究当时，是否一定成立？此时当时，与交于点，直接写出的度数． 【问题解决】如图3，点为上一点，交于点，满足，若，求的值． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $