专题04 压轴题专训1（选填题57题）（高效培优期末专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

**基本信息** 聚焦初中数学期末压轴选填，覆盖几何、代数、统计三大模块，以题载知，系统训练综合应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |四边形压轴|9题|菱形、正方形性质与动态问题|平面图形性质→几何推理→多结论判断| |四边形与几何变换|10题|折叠、旋转与图形判定|图形变换→性质迁移→空间观念构建| |二次根式|7题|化简、最值与概念辨析|根式性质→运算规则→代数推理| |分式方程|10题|解的讨论与参数问题|分式运算→方程求解→逻辑分析| |因式分解|14题|应用与创新题型|分解方法→代数变形→问题转化| |概率统计|7题|图表分析与概率估计|数据处理→统计推断→数据观念|

专题04 压轴题专训1（选填题57题） 题型一：四边形中的压轴问题（9题） 题型二：四边形与几何变换中的压轴问题（10题） 题型三：二次根式中的压轴问题（7题） 题型四：分式（方程）中的压轴问题轴（10题） 题型五：因式分解中的压轴问题（14题） 题型六：概率与统计中的压轴问题（7题） 题型一：四边形中的压轴问题（9题） 1．（25-26八年级下·江苏·期中）如图，菱形的边长为8，E，F分别是，边上的动点，，．下列结论：① ；②；③若，则 ；④ ．其中正确的有______． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于G，以下结论正确的有（填序号）．____________ ①；②；③；④为定值． 3．（25-26八年级下·江苏·专题练习）如图，在正方形中，点O是对角线的交点，过点O作射线分别交于点E、F，且，交于点G．给出下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④．其中正确的有______．（填序号） 4．（25-26九年级上·山西太原·期末）在矩形中，点E是的中点，连接，，点F是上一点，且平分交于点G，平分，则________． 5．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，正方形的边长为3，点O是对角线、的交点，点E在上，且，过点B作，垂足为F，连接，则的长为____． 6．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形中，点是的中点，连接，过点作，，连接，，，和，分别交于点，．有如下结论：①；②；③；④点在射线上，连接，，若，则的周长的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 7．（24-25九年级上·江苏南通·自主招生）如图，在平行四边形中，，，，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·上海·月考）如图，等腰梯形中，，点M是腰的中点，且，则梯形的面积为___________. 9．（25-26九年级上·广东·期末）如图，点为正方形内一点，连接、，，以为边向上作正方形，恰好经过点，连接、．若，，则的面积为______． 题型二：四边形与几何变换中的压轴问题（10题） 1．（2025·河北沧州·模拟预测）淇淇用一张矩形纸张（记为）做折纸游戏，如图所示，他先沿折痕折叠，使得与重合，根据后续操作所得结论不一定正确的是（   ） A．折叠使得与重合，折痕与，交于E，F两点，则四边形为菱形 B．沿过点的直线折叠使得点落在上的点处，则为等边三角形 C．沿过点的直线折叠使得点落在边上点处，折痕与交于点，则四边形为正方形 D．沿过点的直线折叠使得点落在边上的点处，则为等腰直角三角形 2．（2023·江西吉安·三模）数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究.如图1，其中，，，将沿射线方向平移，得到，分别连接，（如图2所示），下列有关四边形的说法正确的是（    ） A．先是平行四边形，平移个单位长度后是菱形 B．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是正方形 C．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形 D．在平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形 3．（25-26八年级上·重庆·月考）若菱形中有一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，使得．连接．取分别为的中点，连接，延长交于点，交于点，令为，则的角度为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）在菱形中，，边长为8，点M是边上一点，点N是边上一点，将沿翻折，点A的对应点恰好落在菱形的一条边上，若，则的长为________． 5．（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，、分别是正方形纸片边、上的两点，连接，并将纸片沿着折叠，点、恰好重合于点．点是线段上一点，连接，且．若，则线段的长为_________． 6．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在正方形中，，，分别是边，上的点；且，，将绕点顺时针方向旋转后与重合，连接，给出下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的是（   ） A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 7．（2025·河南商丘·三模）如图，正方形与等边三角形的顶点A重合，，，M是的中点，将绕顶点A旋转，在旋转过程中，当时，点M到点C的距离为______．      8．（25-26九年级上·重庆渝中·期末）如图，正方形的对角线、相交于点O，等边绕点O旋转，在旋转过程中，当时，的度数为____________． 9．（2025·四川成都·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，，，点在边上，且，点为边上的一动点，连接，，将沿直线翻折，点的对应点为点，连接，若点，，在同一直线上，则的值为________． 10．（24-25八年级下·上海·期末）如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 题型三：二次根式中的压轴问题（7题） 1．（25-26八年级上·重庆·期末）若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组和使得；②只存在两组和使得； ③不存在和使得． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 2．（25-26八年级上·浙江·期中）下列说法中正确的是________．（填序号） ①若，则等于；②使是正整数的最小整数是；③是最简二次根式； 3．（25-26八年级下·上海·月考）已知，则的值为（   ） A． B．2 C．或2 D．或2 4．（25-26九年级上·北京顺义·期末）已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）已知，则的最小值是__________． 6．（25-26八年级上·上海青浦·期末）当时，化简_____． 7．（25-26九年级·湖南怀化·期中）化简的结果是______________． 题型四：分式（方程）中的压轴问题轴（10题） 1．（25-26八年级下·重庆·期中）已知两个分式：，；将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即：，） 第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，） 第三次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）…（以此类推） 将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①当时，；②若，则； ③已知为正整数，则；以上结论正确的个数有（   ）个． A．3 B．2 C．1 D．0 2．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）对于任意正有理数a，规定，例如：，，……，利用以上规律计算：___________． 3．（24-25九年级下·四川成都·月考）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的和为_________． 4．（24-25八年级下·重庆忠县·期末）若一次函数的图像不经过第四象限，且关于x的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m之和为______． 5．（25-26八年级上·山东德州·期末）若关于x的分式方程：的解为正数，则m的取值范围为（    ） A．且 B．且 C． D． 6．（25-26八年级上·河南焦作·期末）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 7．（25-26八年级上·重庆渝北·期末）若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是_____． 8．（2026·山东日照·一模）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______． 9．（25-26八年级上·山东临沂·期末）若关于的分式方程有解，则需满足的条件是__________． 10．（25-26九年级·江西赣州·培优）方程的正整数解的个数是（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 题型五：因式分解中的压轴问题（14题） 1．（25-26八年级下·陕西西安·月考）使得是完全平方数的整数的和为______． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知为正整数，，则___________． 3．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，若，则的值是__________． 4．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）已知当和，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于______． 5．（25-26八年级上·四川内江·期中）计算：_____． 6．（2026·河北沧州·二模）下列各数中，不能整除的是（　　） A． B． C． D． 7．（2026·江苏泰州·一模）如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（    ） A．20 B．24 C．25 D．28 8．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）已知为的三边，且满足，则的形状是______三角形． 9．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若满足，，，，则的值为______． 10．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（，．即均为“和谐数”），在不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为______． 11．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）分解因式： ___________（要求因式任意一项系数都是有理数）． 12．（24-25七年级上·北京·开学考试）因式分解：________． 13．（2025八年级·江苏无锡·期中）方程的整数解为______． 14．（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）已知是多项式的因式，则_______，_______． 题型六：概率与统计中的压轴问题（7题） 1．（25-26八年级下·江西吉安·期中）在七（1）班名同学中随机抽取了名同学做问卷调查，图中显示了这名同学平均每周用于阅读的时间和用于看电视的时间（单位：），以下说法不恰当的是（   ） A．同学没看电视 B．同学平均每周用于阅读的时间比学生多 C．学生平均每周用于看电视的时间比阅读的时间多 D．全班同学平均每周用于阅读的时间不少于看电视的时间的同学一定有人 2．（25-26八年级下·山西太原·期中）以下说法正确的是（    ） A．在做用频率估计概率的试验时，只要试验的次数足够多，一定可以得到概率的精确值 B．在做抛瓶盖的试验时，每名同学尽量用相同规格的瓶盖进行试验，然后再汇总全班同学的数据进行估计概率 C．在用频率估计概率时，因为随机事件是否发生是不确定的，每次得到的频率一般是不同的，所以随机事件发生的概率也是不确定的 D．在做抛瓶盖的试验时，如果上一次试验盖口向上，那么进行下一次试验时盖口向上的可能性会减小 3．（25-26九年级下·湖南株洲·期中）如表是某生活超市2022年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表： 生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其它类 营业收入占比                          净利润占比                          该生活超市本季度的总营业利润率为（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），则（   ）（多选题） A．本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区 B．本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区 C．本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区 D．本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过 4．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）甲、乙两所学校男女生比例情况如图，若甲学校有1200人，乙学校有1500人，则（   ） A．甲校与乙校的男生一样多 B．甲校的男生比乙校的男生多 C．甲校的男生比乙校的男生少 D．甲校与乙校男生共1500人 5．（25-26九年级上·广东肇庆·期末）某果农种植的砂糖桔优质果和普通果外观无明显区别．为估计果场中优质果的概率，果农随机抽取部分砂糖桔检测，连续抽取300次，其中抽到优质果的次数为240次．下列说法正确的是（   ） A．抽取次数越少，优质果的频率越接近概率 B．此次抽取优质果的频率为 C．从这个果场的砂糖桔中抽中优质果的概率一定是 D．若再抽取100次，抽到优质果的次数一定是80次 6．（2025·北京丰台·一模）某校举办了“数学节”活动，其中有一项活动是“数学游戏挑战赛”，参赛学生要按顺序依次参加“九连环、七巧板、五子棋、二十四点、魔方、华容道、数独”七个项目（每个项目只能挑战一次）．按照完成情况每个项目都分为参与奖、优秀奖、卓越奖，并奖励相应的积分．七个项目不同奖项对应的奖励积分如下表所示： 项目奖项 九连环 七巧板 五子棋 二十四点 魔方 华容道 数独 参与奖 2 7 5 7 4 7 4 优秀奖 5 10 9 9 7 8 7 卓越奖 9 12 13 15 12 10 9 小明同学参加了此次“数学游戏挑战赛”活动，若知道小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖，在“魔方”项目中获得了优秀奖，且在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖，则可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为___________，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为___________ 7．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为l（）的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值，某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 0.3300 0.3115 0.3196 0.3180 0.3209 0.3173 0.3187 0.3180 可以估计出针与直线相交的概率为________（精确到0.001），由此估计的近似值为________（精确到0.001）． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 压轴题专训1（选填题57题） 题型一：四边形中的压轴问题（9题） 题型二：四边形与几何变换中的压轴问题（10题） 题型三：二次根式中的压轴问题（7题） 题型四：分式（方程）中的压轴问题轴（10题） 题型五：因式分解中的压轴问题（14题） 题型六：概率与统计中的压轴问题（7题） 题型一：四边形中的压轴问题（9题） 1．（25-26八年级下·江苏·期中）如图，菱形的边长为8，E，F分别是，边上的动点，，．下列结论：① ；②；③若，则 ；④ ．其中正确的有______． 【答案】①②③④ 【详解】解：∵四边形是菱形，，∴， ∴和是等边三角形，∴，∵，∴， 在和中，，∴，故①正确； ∵，∴，，∴， ∴，∴是等边三角形，∴；故②正确； 如图，过点作于M，于N， ∵四边形是菱形，边长为8，∴平分，，， ∴，，∴，∴，∴；故③正确； ∵，∴，∴， ∵是等边三角形，∴，∴， ∴，∴；故④正确． 2．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，在正方形中，点O是对角线的中点，点P在线段上，连接并延长交于点E，过点P作交于点F，连接、，交于G，以下结论正确的有（填序号）．____________ ①；②；③；④为定值． 【答案】①② 【详解】解：∵四边形是正方形∴ 分别过点作，如图所示： 则，∴四边形是矩形， ∵，∴，∴， ∴四边形是正方形，∴， ∵，∴，则，即， ∵，∴，∴，故①符合题意， 由①得∵∴是等腰直角三角形，， 将绕点A顺时针旋转得到，如图所示： ∴，， 则即 ∵，∴，∴， 在中，，∴，故③是不符合题意； 将绕点A顺时针旋转得到， ∵，，∴，∴C，B，M共线， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴， 则，∴，故②符合题意， ∵，∴， ∵的长度是变化的，∴的面积不是定值，故④不符合题意． 3．（25-26八年级下·江苏·专题练习）如图，在正方形中，点O是对角线的交点，过点O作射线分别交于点E、F，且，交于点G．给出下列结论：①；②；③四边形的面积为正方形面积的；④．其中正确的有______．（填序号） 【答案】①②③④ 【详解】解：∵正方形，，∴， ， ∴，， ∴，， ∴，，故①②正确； ∵，∴，∴，∴， ∵正方形，∴，∴，故③正确； ∵正方形，∴，∴， ∵，∴，故④正确；则正确的结论有①②③④． 4．（25-26九年级上·山西太原·期末）在矩形中，点E是的中点，连接，，点F是上一点，且平分交于点G，平分，则________． 【答案】 【详解】解：如图，延长，相交于点， 矩形，，，， 点E是的中点，，()，，则， 平分，， ，，则 平分， 在和中，，， ，，，即是等腰三角形，， ， ，， ．故答案为：. 5．（25-26九年级上·贵州遵义·期末）如图，正方形的边长为3，点O是对角线、的交点，点E在上，且，过点B作，垂足为F，连接，则的长为____． 【答案】 【详解】解：∵正方形的边长为3， ∴，，，，， ∵，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，如图，过点作交于点， ， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴，，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∴， ∵，∴，故答案为：． 6．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在正方形中，点是的中点，连接，过点作，，连接，，，和，分别交于点，．有如下结论：①；②；③；④点在射线上，连接，，若，则的周长的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是___________． 【答案】①④ 【详解】解：过点作交延长线于点， ∵正方形中，点是的中点，∴，，， ∵，∴， ∵，∴，∴，， ∴，∴是等腰直角三角形， ∴，∴，①说法正确；设，∴，， ∴，， ∵，∴，②说法错误；取的中点，连接，设， ∵正方形，∴，，， ∴，∴，∴， ∵，，， ∴，∴，∴， ∴，∴与不平行，∵即， ∴四边形不是平行四边形，∴，③说法错误； 作点关于直线的对称点，连接交于点， ∴，，∴，∴的周长的最小值为， ∵，∴，∴，∴点在直线上， ∵，∴，在中，，， ∴，∴的周长的最小值为，④说法正确， 综上，①④说法正确，故答案为：①④． 7．（24-25九年级上·江苏南通·自主招生）如图，在平行四边形中，，，，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：如图，过点作于， 四边形是平行四边形，， ，，，，， ，，， ，，， ，， ，， ∵，∴．故选：D． 8．（25-26九年级上·上海·月考）如图，等腰梯形中，，点M是腰的中点，且，则梯形的面积为___________. 【答案】 【详解】解：延长交的延长线于点， ∵，∴，∵是的中点，∴， 在与中，，∴，∴． ∵，∴，∴，即， 过作于于，则， ∵，∴，∴ ∵，∴ ∴ ∴ ∴，∴， ∴．故答案为：． 9．（25-26九年级上·广东·期末）如图，点为正方形内一点，连接、，，以为边向上作正方形，恰好经过点，连接、．若，，则的面积为______． 【答案】54 【详解】解：如图，过点作于点， ∵正方形，∴，， ∵正方形，∴，，∴， ∴，即，∴， ∴，设，则， ∵，∴，∵，∴， ∴，解得，∴； ∵，∴三点共线， ∵，∴，∴，∵，∴， 又∵，，∴，∴， ∴．故答案为：54． 题型二：四边形与几何变换中的压轴问题（10题） 1．（2025·河北沧州·模拟预测）淇淇用一张矩形纸张（记为）做折纸游戏，如图所示，他先沿折痕折叠，使得与重合，根据后续操作所得结论不一定正确的是（   ） A．折叠使得与重合，折痕与，交于E，F两点，则四边形为菱形 B．沿过点的直线折叠使得点落在上的点处，则为等边三角形 C．沿过点的直线折叠使得点落在边上点处，折痕与交于点，则四边形为正方形 D．沿过点的直线折叠使得点落在边上的点处，则为等腰直角三角形 【答案】D 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形，∴， ∵折叠，∴ 故，∴， ∴四边形为菱形，故A选项不符合题意；连接，如图所示： ∵折叠，∴，∵，∴，∴， ∵沿过点的直线折叠使得点落在上的点处， ∴，即，∴为等边三角形，故B选项不符合题意； 连接，如图所示：∵四边形是矩形，∴， ∵折叠，∴，即，∴四边形是矩形， ∵，∴四边形是正方形，故C选项不符合题意；连接，如图所示： ∵折叠，∴，∵∴是直角三角形， 由于不能得出与之间的关系，故得不出为等腰直角三角形，故D选项符合题意；故选：D． 2．（2023·江西吉安·三模）数学小组将两块全等的含30°角的三角尺按较长的直角边重合的方式摆放，并通过平移对特殊四边形进行探究.如图1，其中，，，将沿射线方向平移，得到，分别连接，（如图2所示），下列有关四边形的说法正确的是（    ） A．先是平行四边形，平移个单位长度后是菱形 B．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是正方形 C．先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形 D．在平移的过程中，依次出现平行四边形、矩形、菱形、正方形 【答案】C 【详解】解：由题意可得：平移过程中，，，， ∴四边形是平行四边形，刚开始平移时，， ∴如图，当平移至时，， ∴此时四边形是矩形，且不可能为正方形，， ∴平移距离为：，即平移个单位长度后是矩形，    继续平移，当与共线时，此时，即四边形是菱形， 此时的总平移距离为，即再平移个单位长度后是菱形； 综上可得：平移过程中，四边形先是平行四边形，平移个单位长度后是矩形，再平移个单位长度后是菱形，故选C． 3．（25-26八年级上·重庆·月考）若菱形中有一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，使得．连接．取分别为的中点，连接，延长交于点，交于点，令为，则的角度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，∴， ∵将绕点逆时针旋转得到，∴， ∵菱形，∴，∴，∴， ∵分别为的中点，∴，，，， ∴，，，∵， ∴ ， ∵，∴，∴．故选：D． 4．（25-26九年级上·辽宁辽阳·期末）在菱形中，，边长为8，点M是边上一点，点N是边上一点，将沿翻折，点A的对应点恰好落在菱形的一条边上，若，则的长为________． 【答案】6或7 【详解】①当落在上时，如图， ∵菱形中，，边长为8， ∴，，∴， ∵折叠，∴，∴为等边三角形，∴， ∵，∴，∴； 当落在上时，如图：作交的延长线于点，作于点， ∵菱形，∴， ∴，∴，四边形为矩形， ∴， ∵，∴，∴， ∵折叠，∴，设，则， 在中，由勾股定理，得，解得，∴； 综上：或；故答案为：6或7． 5．（25-26九年级上·福建莆田·期末）如图，、分别是正方形纸片边、上的两点，连接，并将纸片沿着折叠，点、恰好重合于点．点是线段上一点，连接，且．若，则线段的长为_________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，． ∵纸片沿、折叠，点、重合于点，∴，， ∴，，，，， ∴，且、、三点共线． 设，则，，， 在中，由勾股定理得，即，解得，即． 在中，由勾股定理得． ∵，，∴为等腰直角三角形， ∴，即，解得． 在中，由勾股定理得．过点作于点， ∵，∴，解得． 在中，由勾股定理得． ∴． 在中，由勾股定理得． 6．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，在正方形中，，，分别是边，上的点；且，，将绕点顺时针方向旋转后与重合，连接，给出下列结论：①；②；③平分；④，其中正确的是（   ） A．①② B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转后与重合， ∴，，，∵四边形是正方形，∴， 又 ，∴， ∴，∴， 在和中，∴， ∴，而，∴，故①正确； ∵四边形是正方形，，∴，，∴， ∵，∴，设，则， ∵，∴，∴，∴，即，故②错误； ∵，∴，∵将绕点A顺时针旋转后与重合， ∴，∴，即平分，故③正确； ∵将绕点A顺时针旋转后与重合， ∴与是对应边，∴，故④正确；综上所述，其中正确的是①③④，故选：B． 7．（2025·河南商丘·三模）如图，正方形与等边三角形的顶点A重合，，，M是的中点，将绕顶点A旋转，在旋转过程中，当时，点M到点C的距离为______．      【答案】或 【详解】解：如图，连接，∵四边形是正方形，， ， ∵是等边三角形，，是的中点， ，， ①如图，当在正方形内部时，    在和中，，， ，， 点在同一条直线上，∴点到点的距离； ②如图，当在正方形外部时，同理可证：， ，， 点在同一条直线上，∴点到点的距离， 故答案为：或． 8．（25-26九年级上·重庆渝中·期末）如图，正方形的对角线、相交于点O，等边绕点O旋转，在旋转过程中，当时，的度数为____________． 【答案】或 【详解】解：情况1，如下图： ∵四边形ABCD是正方形，∴OD=OC，∠AOD=∠COD=90°， ∵△OEF是等边三角形，∴OE=OF，∠EOF=60°， 在△ODE和△OCF中，∴△ODE≌△OCF（SSS）， ∴∠DOE＝∠COF，∴∠DOF＝∠COE，∴∠DOF＝（∠COD-∠EOF）=×（90°﹣60°）＝15°， ∴∠AOF=∠AOD+∠DOF=90°+15°=105°； 情况2，如下图：连接DE、CF， ∵四边形ABCD为正方形，∴OC＝OD，∠AOD=∠COB＝90°， ∵△OEF为等边三角形，∴OE＝OF，∠EOF＝60°， 在△ODE和△OCF中，∴△ODE≌△OCF（SSS），∴∠DOE＝∠COF， ∴∠DOE＝∠COF＝（360°-∠COD-∠EOF）=×（360°﹣90°﹣60°）＝105°， ∴∠BOF＝∠COF-∠COB=105°-90°=15°，∴∠AOF=∠AOB-∠BOF=90°-15°=75°，故答案为：105°或75°． 9．（2025·四川成都·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，，，点在边上，且，点为边上的一动点，连接，，将沿直线翻折，点的对应点为点，连接，若点，，在同一直线上，则的值为________． 【答案】 【详解】解：在平行四边形中， ，设，，，，， 由翻折可得，，，，过点作于， ，，，， ，设，过作于，则，， 在直角三角形中，，， ，，， 延长、交于点，，，，， ，，．故答案为：． 10．（24-25八年级下·上海·期末）如图，已知正方形的边长为4，点E、F分别在边和上，将该正方形沿着翻折，点A落在处，点B恰好落在边CD上的点处，如果四边形的面积为6，那么的面积是_________． 【答案】 【详解】解：连接，则，过点F作于点H， ，， ，，，， 在和中，，， 、，设，则， 四边形的面积为6，，即，解得， ，，由翻折的性质得：， 在中，由勾股定理得：，即，解得， 的面积为：． 题型三：二次根式中的压轴问题（7题） 1．（25-26八年级上·重庆·期末）若和都是正整数且，和是可以合并的二次根式，下列结论中正确的个数为（　　） ①只存在一组和使得；②只存在两组和使得； ③不存在和使得． A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】C 【详解】解：①和都是正整数且，和可以合并的二次根式， ，，可设，，其中和都是正整数，则， 又，∴，∴只有满足条件的一组数，，， 此时，，故只存在一组解，选项①正确； ②由，同理可设，，其中和都是正整数， 则，且，满足条件的正整数对有和， 当时，，；当时，，； 故存在两组解．故选项②正确； ③由，同理可设，，其中和都是正整数， 则，且，满足的正整数对只有，， 但这不满足的条件，故不存在满足条件的a，b，故该选项③正确；故选：C． 2．（25-26八年级上·浙江·期中）下列说法中正确的是________．（填序号） ①若，则等于；②使是正整数的最小整数是；③是最简二次根式； 【答案】② 【详解】解：①∵，∴，故①说法错误； ②，要使为正整数，则需为整数，即为完全平方数，最小整数（此时，），故②说法正确； ③，被开方数含分母，不是最简二次根式，故③说法错误．故答案为：②． 3．（25-26八年级下·上海·月考）已知，则的值为（   ） A． B．2 C．或2 D．或2 【答案】A 【详解】解：由题意∵，∴，∴，设，，且，， ∴，，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴若，即，则， ∴，解得，∴，∴；故选：A． 4．（25-26九年级上·北京顺义·期末）已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【详解】解：∵，为正实数， ∴原式可拆分化简为：， ∵正实数，满足，令，， 则，当且仅当，即时取等号， ∴，即原式的最小值为9，故选D． 5．（25-26九年级上·北京海淀·自主招生）已知，则的最小值是__________． 【答案】 【详解】解  ∵，∴， ∴ ， 设，则， 当时取得等号，∴，解得：， ∴，． 因此，当，时，取得最小值．故答案为：． 6．（25-26八年级上·上海青浦·期末）当时，化简_____． 【答案】 【详解】解：要使根式有意义，则，又∵，∴，∴， ∴，故答案为：． 7．（25-26九年级·湖南怀化·期中）化简的结果是______________． 【答案】 【详解】解：原式． 题型四：分式（方程）中的压轴问题轴（10题） 1．（25-26八年级下·重庆·期中）已知两个分式：，；将这两个分式进行如下操作： 第一次操作：将这两个分式作和，结果记为；作差，结果记为；（即：，） 第二次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，） 第三次操作：将，作和，结果记为；作差，结果记为；（即，）…（以此类推） 将每一次操作的结果再作和，作差，继续依次操作下去，通过实际操作，有以下结论： ①当时，；②若，则； ③已知为正整数，则；以上结论正确的个数有（   ）个． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【详解】解：设，，则，；，； ，；，； ，；，； ，； ∴由操作规则可得：，（ 为正整数） 对于奇数次操作： 结论①：当 时，，，，， ∴ ，故①正确； 结论②：，则 ∵ ，∴ 即 ，故②正确； 结论③： ∵ ，∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ，故③正确； 综上，三个结论均正确，故选 A． 2．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）对于任意正有理数a，规定，例如：，，……，利用以上规律计算：___________． 【答案】4051 【详解】解：∵， ∴，，，，，，，， ∴，，，， ∴ 3．（24-25九年级下·四川成都·月考）已知关于x的分式方程的解满足，且k为整数，则符合条件的所有k值的和为_________． 【答案】70 【详解】解：由解得：， ，且且， ，且，且,解得：且， 为整数，为 ∴符合条件的k值的和为：．故答案为：70． 4．（24-25八年级下·重庆忠县·期末）若一次函数的图像不经过第四象限，且关于x的分式方程的解为整数，则符合条件的所有整数m之和为______． 【答案】1 【详解】解：∵一次函数的图像不经过第四象限，∴，∴， 解方程，得，∵关于x的分式方程的解为整数， ∴，，，，∴或或1或或2或或5 或， 又∵，∴，∴， 又，∴，∴符合条件的所有整数m之和为1，故答案为：1． 5．（25-26八年级上·山东德州·期末）若关于x的分式方程：的解为正数，则m的取值范围为（    ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【详解】解：∵方程两边同时乘以得，， ∴展开得，∴整理得 ∵方程的解为正数，∴，解得， 又∵分式方程分母不能为0，即，∴，解得， ∴m的取值范围是且，故选：A． 6．（25-26八年级上·河南焦作·期末）若关于的分式方程的解为非负数，则的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【详解】解：∵，∴， 两边同乘（），得，∴， ∵解为非负数，∴，即， 又∵，∴，即，∴且．故选：D． 7．（25-26八年级上·重庆渝北·期末）若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程有非负整数解，则所有满足条件的整数的值之和是_____． 【答案】0 【详解】解：，∴， 不等式组有且仅有3个整数解，，∴， 由题意得，；；；；解得， 关于的分式方程有非负整数解，有，解得，即， ∴，；；；解得，且为2的倍数，为整数， 综上所述，可取，1，则所有满足条件的整数的值之和是，故答案为：0． 8．（2026·山东日照·一模）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是_______． 【答案】或1 【详解】解：，变形得 ， 方程两边同乘最简公分母，得，整理得整式方程 ， 分式方程无解，分两种情况讨论： 整式方程无解，令，得，此时方程变为，不成立， 整式方程无解，原分式方程无解． 整式方程的解为原分式方程的增根，令，得增根， 将代入，得，解得．综上，实数的值为或． 9．（25-26八年级上·山东临沂·期末）若关于的分式方程有解，则需满足的条件是__________． 【答案】且 【详解】解： 方程两边同乘，得， 展开并整理，得， 当，即时，方程无解，∴， 当时，，又∵分母不为零，需且， 检验增根：若方程有增根，则或， 若，代入整式方程，得，化简得，不成立，所以解不可能是， 若，代入整式方程得，解得，故当时，方程产生增根，无解， 因此，分式方程有解的条件为且． 10．（25-26九年级·江西赣州·培优）方程的正整数解的个数是（   ） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【详解】解：，，，，， ，，是正整数， ，或，或，或，或，或，或，或，或，， ，或，或，或，或，或，或，或，或，． 方程的正整数解的个数是9个．故选：C． 题型五：因式分解中的压轴问题（14题） 1．（25-26八年级下·陕西西安·月考）使得是完全平方数的整数的和为______． 【答案】 【详解】解：设，所以，所以，所以， 所以，所以， 因为，且与都为整数， 所以，，解得：，； ，，解得：，； ，，解得：，； ，，解得：，； ，，解得：，； ，，解得：，； ，，解得：，． ，，解得：，． 所以所有的和为．故答案为：． 2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）已知为正整数，，则___________． 【答案】 【详解】解： ，则，可得， 可分解为：，其中、、是三个连续奇数，且满足，，， 由，可解得．故答案为：． 3．（25-26八年级上·安徽芜湖·期末）我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列．其中“杨辉三角”（图1）就是一例，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和．如图2中虚线标记的一列数：，我们把第一个数记为，第二个数记为，第三个数记为，第个数记为，若，则的值是__________． 【答案】 【详解】解：观察图2中虚线标记的一列数：可知： ，，，，；则， 当时，整理化简得， 为正整数，，解得；故答案为：． 4．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）已知当和，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于______． 【答案】3 【详解】解：∵当和，多项式的值相等， ∴，∴， ∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 将代入可得，故答案为：． 5．（25-26八年级上·四川内江·期中）计算：_____． 【答案】 【详解】解：设， ， ，原式．故答案为：． 6．（2026·河北沧州·二模）下列各数中，不能整除的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， 因此不能被整除，故选：D． 7．（2026·江苏泰州·一模）如图，有A、B、C三种不同规格型号的卡片若干张．A型卡片是边长为a的正方形，B型卡片是长为a、宽为b的长方形，C型卡片是边长为b的正方形，其中．从这些卡片中取出m张卡片（每种卡片至少取一张），无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，则m的值可以是（    ） A．20 B．24 C．25 D．28 【答案】C 【详解】解：设取A型卡片张，B型卡片张，C型卡片张，则组成的图形面积为， 无缝隙、无重叠地拼成一个正方形，为完全平方式，可取，，， 即，符合要求，m的值可以是． 8．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）已知为的三边，且满足，则的形状是______三角形． 【答案】等腰 【详解】解：，， 移项得，提取公因式得， 为的三边，根据三角形三边关系可知，即， ，即，是等腰三角形． 9．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）若满足，，，，则的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴．① ∵，，∴，， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴．② 得． 10．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（，．即均为“和谐数”），在不超过的正整数中，所有的“和谐数”之和为______． 【答案】 【详解】解：设两个连续奇数分别为，，其中为正整数， 由平方差公式得，， 令，解得，∴所有不超过的“和谐数”之和为： 11．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）分解因式： ___________（要求因式任意一项系数都是有理数）． 【答案】 【详解】解： ．故答案为：． 12．（24-25七年级上·北京·开学考试）因式分解：________． 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，原式根据分组分解、公式法、提公因式法进行因式分解即可． 【详解】解： ．故答案为：． 13．（2025八年级·江苏无锡·期中）方程的整数解为______． 【答案】或或或 【详解】解：对原方程移项整理得：， 等式两边同时加对左边因式分解得：，即 ， 因为，为整数，所以，均为的整数因数， 因为的所有整数因数为，，所以分情况计算得：当，时，解得，； 当，时，解得，； 当，时，解得，； 当，时，解得，． 14．（25-26八年级下·甘肃平凉·期中）已知是多项式的因式，则_______，_______． 【答案】 【详解】解：当，时，，， 是多项式的因式，，； 当，时，，， ，，，故答案为：，． 题型六：概率与统计中的压轴问题（7题） 1．（25-26八年级下·江西吉安·期中）在七（1）班名同学中随机抽取了名同学做问卷调查，图中显示了这名同学平均每周用于阅读的时间和用于看电视的时间（单位：），以下说法不恰当的是（   ） A．同学没看电视 B．同学平均每周用于阅读的时间比学生多 C．学生平均每周用于看电视的时间比阅读的时间多 D．全班同学平均每周用于阅读的时间不少于看电视的时间的同学一定有人 【答案】D 【详解】解：由图可知： 同学阅读时间2小时，看电视时间0小时； 同学阅读时间1小时，看电视时间4小时； 同学阅读时间3小时，看电视时间3小时； 同学阅读时间4小时，看电视时间6小时； 同学阅读时间6小时，看电视时间3小时； 选项A：同学看电视时间为，即没看电视，说法正确，故该选项不符合题意； 选项B：阅读时间，阅读时间，，说法正确，故该选项不符合题意； 选项C：看电视，阅读，，说法正确，故该选项不符合题意； 选项D：样本中阅读时间不少于看电视时间的有、、共人，占样本的​，据此估计全班约有人，但这只是抽样估计值，不能得出“一定有人”的绝对结论，说法不恰当，故该选项符合题意． 2．（25-26八年级下·山西太原·期中）以下说法正确的是（    ） A．在做用频率估计概率的试验时，只要试验的次数足够多，一定可以得到概率的精确值 B．在做抛瓶盖的试验时，每名同学尽量用相同规格的瓶盖进行试验，然后再汇总全班同学的数据进行估计概率 C．在用频率估计概率时，因为随机事件是否发生是不确定的，每次得到的频率一般是不同的，所以随机事件发生的概率也是不确定的 D．在做抛瓶盖的试验时，如果上一次试验盖口向上，那么进行下一次试验时盖口向上的可能性会减小 【答案】B 【详解】解：∵用频率估计概率得到的是概率的近似值，即使试验次数足够多，也无法得到概率的精确值，∴A错误． ∵用相同规格瓶盖可以保证试验条件一致，汇总全班数据增大了试验次数，能提高估计的准确性，符合频率估计概率的试验要求，∴B正确． ∵随机事件发生的概率是固定的确定值，频率是每次试验得到的不确定数值，频率的不确定性不影响概率的确定性，∴C错误． ∵每次抛瓶盖试验都是独立事件，上一次试验的结果不会影响下一次结果发生的可能性大小，∴D错误． 3．（25-26九年级下·湖南株洲·期中）如表是某生活超市2022年第四季度各区域营业收入占比和净利润占比统计表： 生鲜区 熟食区 乳制品区 日用品区 其它类 营业收入占比                          净利润占比                          该生活超市本季度的总营业利润率为（营业利润率是净利润占营业收入的百分比），则（   ）（多选题） A．本季度此生活超市营业收入最低的是熟食区 B．本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区 C．本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区 D．本季度此生活超市生鲜区的营业利润率超过 【答案】BC 【详解】解：A由图表可知，此生活超市营业收入最低的是其它类，故选项A错误； B因为生鲜区的净利润占比，则本季度此生活超市的营业净利润超过一半来自生鲜区，故选项B正确； C生活超市生鲜区的营业利润率为， 生活超市熟食区的营业利润率为， 生活超市乳制品区的营业利润率为， 生活超市日用品区的营业利润率为， 生活超市其它类的营业利润率为， 所以本季度此生活超市营业利润率最高的是日用品区，故选项C正确； D由上面计算可知，生活超市生鲜区的营业利润率为，故选项D错误．故选：BC． 4．（25-26八年级上·四川宜宾·期末）甲、乙两所学校男女生比例情况如图，若甲学校有1200人，乙学校有1500人，则（   ） A．甲校与乙校的男生一样多 B．甲校的男生比乙校的男生多 C．甲校的男生比乙校的男生少 D．甲校与乙校男生共1500人 【答案】A 【详解】解：甲校女生数为人，男生人数为人； 乙校男生人数为人，女生数为人，则 A、甲校与乙校的男生一样多，正确，符合题意； B、甲校的男生比乙校的男生多，错误，应为一样多，故不符合题意； C、甲校的男生比乙校的男生少，错误，应为一样多，故不符合题意； D、甲校与乙校男生共1500人，错误，应为人，故不符合题意；故选：A． 5．（25-26九年级上·广东肇庆·期末）某果农种植的砂糖桔优质果和普通果外观无明显区别．为估计果场中优质果的概率，果农随机抽取部分砂糖桔检测，连续抽取300次，其中抽到优质果的次数为240次．下列说法正确的是（   ） A．抽取次数越少，优质果的频率越接近概率 B．此次抽取优质果的频率为 C．从这个果场的砂糖桔中抽中优质果的概率一定是 D．若再抽取100次，抽到优质果的次数一定是80次 【答案】B 【详解】解：A． 抽取次数越多，优质果的频率越接近概率，故A选项错误，不符合题意； B．此次抽取优质果的频率为，故B选项正确，符合题意； C．频率是概率的估计值，不能确定概率一定为，故C选项错误，不符合题意； D．再抽取100次是随机试验，抽到优质果的次数具有随机性，不一定为80次，故D选项错误，不符合题意．故选B． 6．（2025·北京丰台·一模）某校举办了“数学节”活动，其中有一项活动是“数学游戏挑战赛”，参赛学生要按顺序依次参加“九连环、七巧板、五子棋、二十四点、魔方、华容道、数独”七个项目（每个项目只能挑战一次）．按照完成情况每个项目都分为参与奖、优秀奖、卓越奖，并奖励相应的积分．七个项目不同奖项对应的奖励积分如下表所示： 项目奖项 九连环 七巧板 五子棋 二十四点 魔方 华容道 数独 参与奖 2 7 5 7 4 7 4 优秀奖 5 10 9 9 7 8 7 卓越奖 9 12 13 15 12 10 9 小明同学参加了此次“数学游戏挑战赛”活动，若知道小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖，在“魔方”项目中获得了优秀奖，且在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖，则可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为___________，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为___________ 【答案】 16 58 【详解】解：∵小明在“九连环”项目中没有获得卓越奖， ∴小明在“九连环”项目中可能获得参与奖或优秀奖 ∵小明在“魔方”项目中获得了优秀奖，∴魔方获得优秀奖的积分为7分 ∵在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖 ∴当华容道和数独都获得优秀奖时，得分为（分）， 当华容道获得参与奖，数独获得卓越奖时，得分为（分）， ∴可推断小明在“华容道”和“数独”这两个项目的积分之和最高为16分； ∵在所有获得卓越奖项目的前一个项目中都获得参与奖， ∴①当只七巧板获得卓越奖时，九连环获得参与奖，其他项目获得优秀奖， ∴总积分为（分）； ②当七巧板，二十四点获得卓越奖，∴九连环，五子棋获得参与奖，∴总积分为（分）； ③当五子棋获得卓越奖，二十四点获得优秀奖， ∴九连环获得优秀奖，七巧板获得参与奖，∴总积分为（分）； ④当二十四点获得卓越奖，九连环，七巧板获得优秀奖， ∴五子棋获得参与奖，∴总积分为（分）； 综上所述，他参加此次“数学游戏挑战赛”活动的总积分最高为58分．故答案为：16，58． 7．（25-26九年级下·湖北武汉·月考）十八世纪法国的博物学家C·布丰做过一个有趣的投针试验．如图，在一个平面上画一组相距为d的平行线，用一根长度为l（）的针任意投掷在这个平面上，针与直线相交的概率为，可以通过这一试验来估计的近似值，某数学兴趣小组利用计算机模拟布丰投针试验，取，得到试验数据如下表： 试验次数 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000 相交频数 495 623 799 954 1123 1269 1434 1590 相交频率 0.3300 0.3115 0.3196 0.3180 0.3209 0.3173 0.3187 0.3180 可以估计出针与直线相交的概率为________（精确到0.001），由此估计的近似值为________（精确到0.001）． 【答案】 【详解】解：根据试验数据得：当试验次数逐渐增大时，相交频率接近与0.318， ∴相交的概率为0.318； ∵，∴，∴，解得：故答案为：①；② 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $