专题01 夯实基础专训（第6章-第11章）（共78题）（高效培优期末专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

**基本信息** 聚焦统计与概率、四边形、因式分解等基础模块，通过78题系统覆盖选择、填空、解答题型，强化概念理解与基本技能，培养抽象能力、运算能力及推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计与概率|约15题|普查判断、统计图表分析、概率计算|从事件类型到数据处理，构建“收集-整理-分析”逻辑链| |四边形|约18题|性质判定、几何计算与作图|以平行四边形为基础，衍生菱形、矩形的性质应用与判定推理| |因式分解与分式|约22题|分解方法、化简求值、方程求解|遵循“提公因式-公式法”步骤，衔接分式运算与方程应用| |二次根式|约23题|化简、计算、取值范围|从概念到运算，强化根式性质与代数变形能力|

专题01 夯实基础专训（第6章-第11章）（共78题） 一、单选题（共28题） 1．（25-26八年级下·重庆长寿·期中）当前部分地区受战乱影响，相关救援组织需开展物资与人员情况调查．下列调查中，最适合采用普查（全面调查）方式的是（   ） A．调查战乱地区所有居民的健康状况 B．调查一批运往战乱地区救灾帐篷的抗风性能 C．调查某临时避难所内受灾群众的人数及年龄分布 D．调查战乱地区农田的受损面积 【答案】C 【详解】解：对于A，战乱地区所有居民范围过大，普查工作量极大，不适合普查； 对于B，调查救灾帐篷的抗风性能具有破坏性，不能进行普查，适合抽样调查； 对于C，临时避难所内受灾群众范围小，人数有限，可完成全面调查，最适合采用普查； 对于D，战乱地区农田范围广，普查工作量大，不适合普查， 2．（25-26九年级下·江西景德镇·期中）乐平是“赣剧之乡”，戏曲文化底蕴深厚，某校开展“走进赣剧”文化调查，随机抽取部分学生，统计“最喜欢的赣剧经典剧目”（每人限选一项），并绘制成不完整的统计图表． 剧目 打龙袍 二进宫 百花亭 天女散花 人数 15 24 12 9 根据图表信息，下列说法错误的是（  ） A．本次共调查了60名学生 B．最喜欢二进宫的人数占调查总人数的 C．若将数据绘成扇形统计图，则“百花亭”对应的圆心角是 D．最喜欢“打龙袍”的人数比“天女散花”的人数多6 【答案】C 【分析】先求出调查总人数，再逐一计算各选项，判断说法正误即可． 【详解】解：A、本次调查的总人数为（人），故 本选项说法正确； B、最喜欢“二进宫”的人数占比，故 本选项说法正确； C、“百花亭”对应扇形的圆心角为，故本选项说法错误； D、最喜欢“打龙袍”比“天女散花”多的人数为（人），故本选项说法正确． 3．（25-26九年级下·浙江·专题练习）某中学对八年级学生使用人工智能学习工具的情况进行调查（单选题），选项包括：A（经常使用辅助解题）、B（偶尔使用查询资料）、C（仅用于娱乐或创意）、D（从未使用过）．调查结果如图所示．已知选C的有6人，根据统计图，下列判断中，与实际情况不符的是（    ） A． B．选D的有8人 C．此次参与调查的学生总人数为50人 D．选C的扇形圆心角的度数为 【答案】D 【详解】解：由题意和扇形图可知：，故； 此次参与调查的学生总人数为；选D的人有（人）； 选C的扇形圆心角的度数为；综上，只有选项D与实际情况不符. 4．（25-26九年级上·山西朔州·月考）下列说法正确的是（    ） A．“明天降雨的概率是”表示明天有的时间都在降雨 B．“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛2次就有一次正面朝上 C．“彩票中奖的概率为”表示买100张彩票肯定会中奖 D．“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在附近 【答案】D 【详解】解：A、“明天降雨的概率是”表示明天下雨的可能性为，故原选项错误，不符合题意； B、“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每次抛掷正面朝上的可能性为，故原选项错误，不符合题意； C、“彩票中奖的概率为”表示每次买彩票中奖的可能性为，故原选项错误，不符合题意； D、“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在附近，故原说法正确，符合题意；故选：D． 5．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列事件中，是必然事件的是（　　） A．明年植树节不下雨 B．367人中至少有两人的生日相同 C．经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站 D．在上一赛季表现最好的足球队将夺得下一个赛季的冠军 【答案】B 【详解】A：明年植树节不下雨是随机事件，故A错误； B：一年最多有366天，367人中至少有两人的生日相同，该事件一定发生，是必然事件，故B正确； C：经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站是随机事件，故C错误； D：在上一赛季表现最好的足球队将夺得下一个赛季的冠军是随机事件，故D错误； 6．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列成语描述的事件为随机事件的是（    ） A．水涨船高 B．萍水相逢 C．瓮中捉鳖 D．天方夜谭 【答案】B 【详解】解：水涨船高是一定会发生的事件，属于必然事件，A不符合要求； 萍水相逢指陌生人偶然相遇，可能发生也可能不发生，是随机事件，B符合要求； 瓮中捉鳖是一定会发生的事件，属于必然事件，C不符合要求； 天方夜谭描述的是一定不会发生的事件，属于不可能事件，D不符合要求． 7．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（   ） A．守株待兔 B．大海捞针 C．水中捞月 D．冬去春来 【答案】D 【详解】解：∵ 必然事件发生的可能性为1，不可能事件发生的可能性为0，随机事件发生的可能性介于0和1之间，其中水中捞月是不可能事件，可能性为0， 大海捞针、守株待兔是发生可能性极低的随机事件，可能性远小于1， 冬去春来是必然事件，发生可能性为1，∴ 四个选项中，冬去春来发生的可能性最大． 8．（2026·湖南湘潭·一模）为了落实“健康第一”的教育理念，某学校组织全体学生参加体质健康测试，现随机抽取了50名同学的测试成绩进行分组整理后，它们分别落在5个小组内，前3个小组的频数分别为4、10、16，第4个小组的频率为0.2，则第5个小组的频数为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 【答案】B 【详解】解：∵ 抽取的总人数为50，即总频数为，第4个小组的频率为， ∴ 第4小组的频数为 ，∵ 前3个小组的频数分别为，，， ∴ 前4个小组的频数和为 ，∴ 第5个小组的频数为 ． 9．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 25 51 75 101 124 153 252 估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（    ）（精确到） A．0.4 B．0.5 C．0.7 D．0.6 【答案】B 【详解】解：根据题意得： ， ， ， ， ， ， ， 由此，估计这位同学投篮一次，投中的概率约是0.5． 10．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，添加下列条件，不能使其成为菱形的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】C 【详解】解：A、四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形，故选项A不符合题意； B、四边形是平行四边形，， 平行四边形是菱形，故选项B不符合题意； C、四边形是平行四边形，，不能证明平行四边形是菱形，故选项C符合题意； D、四边形是平行四边形，，， 平分，，，， 平行四边形是菱形，故选项D不符合题意；故选：C． 11．（25-26八年级下·北京·期中）如图，将菱形放在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B，C在第一象限内．若点A的坐标为，菱形的面积为6，则点C的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点A在y轴上，点A的坐标为，∴， 四边形是菱形，，， 菱形的面积为6，，即，， 如图，过点作轴于点，则， 在中，，， 点在第一象限，点的坐标为． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，四边形是平行四边形，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分，对角相等，故A，B，D选项正确，C选项不一定正确． 13．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，菱形和菱形，，，点是的中点，点在的延长线上，连接，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：如图，连接交于点， ∵四边形和都是菱形， ，，，，，． ， ，为等边三角形． 为等边三角形，，． ，， ． ∵点是的中点， ．． ．．． 14．（25-26九年级下·广东广州·开学考试）下列结论中，不正确的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．菱形的面积等于对角线乘积的一半 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【详解】A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，符合菱形判定定理，故选项A正确，不符合题目要求； B、只有对角线相等的平行四边形才是矩形，对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，故选项B错误，符合题目要求； C、菱形的面积等于对角线乘积的一半，符合菱形面积计算公式，故选项C正确，不符合题目要求； D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形判定定理，故选项D正确，不符合题目要求． 15．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、左边是单项式，不是多项式，不符合定义； B、是整式乘法，结果为多项式和的形式，不是整式的积，不符合定义； C、左边是多项式，右边是整式的积，符合因式分解的定义； D、右边是和的形式，不是几个整式的积，不符合定义． 16．（2026·江苏无锡·一模）把多项式因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进一步分解即可得到结果． 【详解】解： 17．（25-26八年级上·海南海口·期末）下列多项式属于完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：完全平方式必须满足的形式， A、，不符合完全平方式，故A不符合题意； B、，符合完全平方式，故B符合题意； C、，不符合完全平方式，故C不符合题意； D、，不符合完全平方式，故D不符合题意．故选：B． 18．（25-26八年级上·山东淄博·期中）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ 系数 6、、的最大公因数为 3， 字母 a 的指数最小值为 2，字母 b 的指数最小值为 2，∴ 公因式为 ．故选：C． 19．（2026·江苏·八年级下期中）关于分式，下列说法正确的是（    ） A．化为最简分式等于 B．分式无意义的条件是 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式无意义 【答案】D 【详解】解： A选项：，最简分式为，A错误； B选项：分式无意义时，分母为，即，解得或，B错误； C选项：当时，，分母为，分式无意义，不存在分式值，C错误； D选项：当时，，分母为，分式没有意义，D正确．故选：D． 20．（2026·河南·一模）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原式 ． 21．（2024·广东清远·二模）方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，原方程可化简为：， 去分母得：，解得：， 检验：当时，，则是原方程的解．故选：C． 22．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）用四张相同的长方形纸片，其长，宽分别为a，b（），按图示拼成一个边长为的大正方形．记大正方形面积为，中间小正方形面积为．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得，，， 即，整理，得， ∴，∴，故选：D． 23．（25-26八年级下·山东泰安·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，即选项A计算正确，不符合要求； B． ，即选项B计算正确，不符合要求； C．，即选项C计算正确，不符合要求； D．，即选项D计算错误，符合要求． 24．（2026·河北邢台·一模）将化简为最简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：． 25．（25-26八年级上·山东德州·期末）已知，，且，则的值为（　　） A．或 B．2或10 C．10 D． 【答案】B 【详解】解：∵，∴，∵，∴， ∵，∴，即， ∵时，无论a取4或，都不满足，故舍去， ∵时，和都满足， 当时，，当时，，∴的值为2或10． 26．（25-26八年级下·广东·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原式． 27．（25-26九年级下·山东烟台·期中）若，则的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：根据二次根式有意义的条件可得，，， ，，， ，即， ，． 28．（2026·四川绵阳·二模）使得式子有意义的的取值范围是（   ） A．，且 B． C．，且 D．，且 【答案】D 【详解】解：∵要使有意义，∴需满足， 解不等式，移项得，系数化为得， 解不等式，得，∴的取值范围是，且． 二、填空题（22题） 29．（2026年上海市虹口区九年级（中考二模）数学试题）如图，已知小明调查了团队中每位同学最喜欢的颜色（每人只能选择一种颜色），并绘制了不完整的扇形统计图和条形统计图，那么喜欢黄色的同学有__人． 【答案】 【详解】解：由统计图可知，喜欢蓝色的有人，占总人数的，则调查的总人数为（人）． 喜欢红色的人数为（人）．喜欢黄色的人数为（人）． 30．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）有一只蚂蚁在如图所示的圆上爬来爬去，两圆半径分别为1和2，则蚂蚁最终停留在白色区域的可能性_____________停留在阴影区域的可能性填“>” “<”或 “=” 【答案】> 【详解】由题意可知，阴影部分为半径的小圆，∴， 白色区域为大圆减去小圆后的圆环部分， ∵大圆半径，∴，∴， ∵，即，∴蚂蚁最终停留在白色区域的可能性>停留在阴影区域的可能性． 31．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）有如下两个事件：①明天会下雨；②13名同学中一定有2名同学的生日在同一个月，把这两个事件的序号按发生的可能性从小到大排列____． 【答案】 ①② 【详解】解：事件①“明天会下雨”是随机事件，随机事件发生的概率满足； 一年共有12个月份，事件②“13名同学中一定有2名同学的生日在同一个月”是必然事件，必然事件发生的概率为；∴，按发生的可能性从小到大排列为. 32．（25-26八年级下·江苏徐州·月考）盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球，若从中任意摸一个球，如果要使拿到红色球可能性最大，至少需要增加___个红球． 【答案】6 【详解】解：，当前盒子中黄球数量最多，要使红球可能性最大，红球个数至少为个， 需要增加的红球个数为 （个）． 33．（25-26九年级上·福建漳州·期末）二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积约为_____． 【答案】2.8 【详解】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为． 34．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，点O是的对角线的中点，点E是的中点，连接，．若，，，则的周长为_______． 【答案】 【详解】解：连接，四边形是平行四边形，点是的中点， 点也是的中点，三点共线，， 点是的中点，点是的中点，是的中位线，， 四边形是平行四边形，，四边形是矩形，， 点是的中点，，在中，， 点是的中点，，的周长． 35．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在矩形中，，垂直平分于点，则的长为__________． 【答案】 【详解】解：四边形是矩形， ，且，，，， 垂直平分，，，，， 在中，，． ∴在矩形中，． 36．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，是的角平分线，点E、F分别在、上，且，，当时，四边形是____________形． 【答案】菱 【详解】解：∵是的角平分线，∴， ∵，∴，∴，∴， 又∵，∴四边形是平行四边形，且， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴平行四边形是菱形 ． 37．（2026·陕西汉中·一模）如图，在菱形中，对角线与交于点，点为上一点，连接，若，，则的长为 【答案】17 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 38．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）在梯形中，，，，，则梯形高_________． 【答案】 【详解】画出这个梯形如下，过点A作交于点E，过点A作于点F， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴， ∵，∴∴ 又∵，，∴ ∵，∴，即 ∴，即梯形高，故答案为： 39．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）因式分解：____． 【答案】 【详解】解：． 40．（25-26八年级下·四川雅安·期中）如果因式分解的结果为____． 【答案】 【详解】解： 41．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）若，，则____． 【答案】 【详解】解：， 将，代入得． 42．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若，，则的值为______． 【答案】21 【详解】解：. 43．（25-26八年级下·四川成都·月考）已知，则代数式的值为__________． 【答案】9 【详解】解：， ，原式 44．（25-26八年级上·广西北海·期中）若多项式因式分解，有一个因式是，则m的值为______． 【答案】 【详解】解：∵多项式有一个因式是，设另一个因式为， 则，∴， ∴，∴．故答案为：． 45．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）利用因式分解计算：________． 【答案】 【详解】解：．故答案为 46．（25-26八年级上·重庆·期中）已知，则________． 【答案】 【详解】解：由可得：，等式两边同乘， 得，即，即： ，故答案为：． 47．（25-26八年级上·山东烟台·期中）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为______． x的取值 4 a 16 分式的值 无意义 0 0.1 b 【答案】20 【详解】解：∵当时分式无意义，∴，∴； ∵当时，分式的值为，∴，∴；∴分式为， ∴根据表格可知：，，解得：， 经检验：是原分式方程的解，∴，故答案为：． 48．（2026·江西吉安·模拟预测）某体育活动中心购买一批排球和计数跳绳．经询价得知，一个排球的价格比一根计数跳绳价格的3倍少8元，花160元购买跳绳与花400元购买排球的数量相同．若设一根跳绳的单价为x元，则可列方程：________． 【答案】 【详解】设一根跳绳的单价为x元，由题意得，一个排球的价格为元， 花160元购买跳绳的数量为，花400元购买排球的数量为， ∵购买数量相同，∴可列方程． 49．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）二次根式，，，，中是最简二次根式的是______． 【答案】 【详解】解：，，，， 二次根式，，，，中是最简二次根式的是． 50．（25-26八年级上·江西九江·月考）已知，，则的值为______． 【答案】/ 【详解】解：设 ，因为，，所以，， 则，代入 ，，得，故答案为 ． 三、解答题（28题） 51．（25-26八年级下·重庆·期中）计算： (1)；(2)；(3) 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 52．（2026·山东临沂·一模）计算与化简求值： (1)计算：；(2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)(2)， 【详解】（1） 解：原式 ； （2）解： ； 当时， 原式． 53．（2026·辽宁葫芦岛·一模）计算：(1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 54．（25-26八年级下·湖北黄石·期中）计算、化简求值： (1)；(2)先化简，再求值：，． 【答案】(1) (2)， 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ， 当时，原式． 55．（25-26八年级下·四川绵阳·月考）已知，，求的值． 【答案】 【详解】解：， ， ，， ，，，， ，，原式，． 56．（2026·江苏苏州·模拟预测）先化简再求值，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ； 将代入，原式． 57．（25-26九年级下·江苏泰州·月考）先化简，再求值: 其中 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 58．（25-26八年级上·黑龙江黑河·期末）解下列方程：(1)；(2)． 【答案】(1)(2)无解 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 检验，当时，， ∴是原方程的解； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得： 检验，当时，， ∴是原方程增根， ∴原方程无解． 59．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）（1）解方程：； （2）计算： 【答案】（1）原方程无解；（2） 【详解】解： 方程两边都乘以得：， 解得：， 经检验，当时，， 所以不是原方程的解， 即原方程无解． （2） ． 60．（24-25八年级下·河南南阳·月考）（1）解分式方程： （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）2；（2）；（3）； 【详解】（1）解：将转化为， 去分母得：， 整理得，解得：， 检验：当时，，故原方程的解为． （2）解： ， 当时，原式． 61．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）因式分解： (1) (2) （3）． 【答案】(1)(2)（3） 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． （3）解： 62．（25-26八年级下·江苏·期中）分解因式： (1)；(2)；(3)． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 63．（25-26八年级上·山东滨州·期末）分解因式： (1)；(2)．(3)；(4)． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． （3）解：原式； （4）解：原式． 64．（2026·河北保定·模拟预测）分式计算的部分过程如图所示，按要求完成下列小题． 解： ……第一步 (1)第一步将原式中的变形为，是将分子与分母进行了_____（填字母）； A．整式乘法        B．因式分解 (2)请你在图中的虚框中完成该分式的计算． 【答案】(1)B(2) 【详解】（1）解：第一步将原式中的变形为，是将分子与分母进行了因式分解； （2）解： ． 65．（2026·浙江·二模）某同学化简分式：出现了错误，解答过程如下： 解： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学的解答过程是从第_________步开始出错．(2)请写出此题的正确解答过程． 【答案】(1)二(2) 【详解】（1）解：第二步开始出错，因为丢掉了分式的分母，故答案为：二； （2）解：． 66．（25-26八年级下·河北邢台·月考）已知，． (1)求的值；(2)若a，b恰好是图中大长方形纸板的长和宽，在该纸板中裁出一个阴影正方形和一个阴影长方形，若正方形的面积为28，求图中阴影长方形的面积． 【答案】(1)(2)20 【详解】（1）解：∵，． ∴； （2）解：由题意可得阴影正方形的边长为， ∴阴影长方形的长为，宽为， ∴阴影长方形的面积为． 67．（2026·湖南永州·一模）为准备中考体育测试，某校九年级开展跳绳（A）、跑步（B）、排球（C）、立定跳远（D）、实心球（E）五种体育社团活动．为了解学生意向，随机抽取了部分九年级学生进行社团项目意向问卷调查，被抽取的学生每人只能从5种社团活动中选择其中一种，且每个学生都要选．现根据调查结果，绘制成如下两幅不完整的统计图： 意向项目与人数的条形统计图    意向项目与人数的扇形统计图 根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)本次被抽取的九年级学生人数为______人，请直接补全条形统计图； (2)在扇形统计图中表示愿意参加“实心球（E）”社团的圆心角的度数为______； (3)若该校九年级人数为1500人，根据本次调查情况，请估计该校九年级有意参加“排球（C）”社团的人数． 【答案】(1)120，补全条形统计图见解析(2)(3)人 【详解】（1）解：本次被抽取的九年级学生人数为：（人）； 有意参加排球（C）社团的学生人数为：（人）；补全条形统计图如下： （2）解：表示愿意参加“实心球（E）”社团的圆心角的度数为：； （3）解：（人）， 答：请估计该校九年级有意参加“排球（C）”社团的人数为人． 68．（2026·广东惠州·一模） 《新闻联播》已连续三年关注并报道了惠州西湖新春灯会（图1），向全国观众展现惠州西湖的璀璨夜景与浓郁年味．为了解游客对2026年新春灯会的满意度，某研学小组在西湖景区随机抽取部分游客按“非常满意（A）”“比较满意（B）”“基本满意（C）”“不满意（D）”四个等级进行满意度调查．根据调查数据绘制了不完整的条形统计图（图2）和扇形统计图（图3）． 请根据以上信息，回答下列问题：(1)本次调查共抽取了多少名游客？(2)补全条形统计图，并求扇形统计图中A等级的圆心角度数；(3)据相关部门统计，本届惠州西湖灯会期间累计接待游客近99万人次，试估计表示满意（含A、B、C三个等级）的游客大约有多少？ 【答案】(1)本次调查共抽取了500名游客(2)见解析，A等级的圆心角度数为 (3)满意的游客大约有万人次 【详解】（1）解：依题意，（名），∴本次调查共抽取了500名游客； （2）解：依题意，等级的人数为（名），补全的条形统计图如图所示 A等级的圆心角度数为：； （3）解：依题意，（万人）， 答：满意的游客大约有95.04万人次． 69．（2026·湖南岳阳·一模）为办好2026跨年音乐节无人机表演，计划租赁一批A型、B型无人机．已知单场租赁一架A型无人机的费用比一架B型无人机贵80元，且用7200元租赁A型无人机的数量与用4800元租赁B型无人机的数量相同． (1)设一架A型无人机单场租赁费用为x元，则用4800元租赁B型无人机的数量为 架（用含x的式子表示）； (2)求一架A型无人机和一架B型无人机的单场租赁费用分别是多少元？ 【答案】(1)(2)一架A型无人机单场租赁费用为240元，一架B型无人机单场租赁费用为160元 【详解】（1）解：根据题意可知租赁一架B型无人机元， ∴用4800元租赁B型无人机的数量为架； （2）解：根据题意，得，解得， 经检验，是原方程的根，∴， 所以一架A型无人机单场租赁费用为240元，一架B型无人机单场租赁费用为160元． 70．（2026·辽宁丹东·一模）生肖文化是中华传统文化的重要组成部分，承载着吉祥祈福、辞旧迎新的美好寓意．某文创商家为传承和弘扬生肖文化，计划购进甲、乙两种生肖主题纪念币进行销售，已知每枚乙种纪念币的进价是每枚甲种纪念币的进价的1.5倍，用300元购进甲种纪念币的数量比用540元购进乙种纪念币的数量少2枚．(1)求每枚甲、乙两种纪念币的进价各为多少元？ (2)商家发现销售效果较好，在甲、乙两种纪念币的进价保持不变的前提下，再次购进甲、乙两种纪念币共200枚，且购进的总费用不超过8250元，则该商家最少购进多少枚甲种纪念币？ 【答案】(1)每枚甲种纪念币的进价为30元，每枚乙种纪念币的进价为45元 (2)该商家最少购进50枚甲种纪念币 【详解】（1）解：设每枚甲种纪念币的进价为元，每枚乙种纪念币的进价为元． 根据题意得 解得： 经检验是原方程的根，∴ 答：每枚甲种纪念币的进价为30元，每枚乙种纪念币的进价为45元． （2）解：设商家购进甲种纪念币枚，则购进乙种纪念币枚． 根据题意得 解得： ∴该商家最少购进50枚甲种纪念币． 71．（25-26八年级上·江苏南通·期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，已知甲队工作效率是乙队工作效率的2倍，甲队先单独施工30天，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，总工程全部完成． (1)求乙队单独完成筑路工程需要多少天？ (2)若先将甲、乙两队工作效率均提高，再共同完成这项筑路工程，能否在30天内完成该项工作？并说明理由． 【答案】(1)105天(2)能在30天内完成该项工作 【详解】（1）解：设乙队单独完成筑路工程需要天，则甲队单独完成筑路工程需要x天， 由题意得，，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意，∴， 答：乙队单独完成筑路工程需要105天； （2）解：能在30天内完成该项工作，理由如下：设需要m天完成该项工作， 由题意得，，解得， ∵，∴能在30天内完成该项工作． 72．（2026·新疆·一模）化简求值并应用： (1)先化简，然后从1，2，3，4中选一个数代入求值； (2)如图，在平行四边形中，E、F分别是、的中点，，垂足为E，，垂足为F，．求证：平行四边形是菱形． 【答案】(1)；选时，值为或选时，值为，(2)见解析 【详解】（1）解：， ∵，，∴，，∴a可以取2或3， 选2时，原式；或选3时，原式． （2）证明：连接， ∵E、F分别是、的中点，，， ∴是的垂直平分线，是的垂直平分线． ∴，，∴． 又∵四边形是平行四边形，∴四边形是菱形． 73．（2025·重庆·模拟预测）小红在解决“如图，将边长为4的正方形纸片折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、上，求折痕的长度”这一道数学题后，她发现，进一步研究发现点落在边上任一点处均有．其解决思路是简化条件利用矩形的性质和全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空： (1)如图，在正方形中，将四边形沿着翻折使得落在上任一点处，连接，则．用尺规过点作于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：正方形中，于点．求证：． 证明：∵四边形是正方形，，①______． ，． ，②______．，③______． ，，． 又，， ④______．． 此外，她还发现，两条互相垂直的直线，其中一条直线与正方形的一组对边所在的直线相交所得的线段和另一条直线与正方形的另一组对边所在的直线相交所得的线段的数量关系为⑤______． 【答案】(1)作图见详解，(2)①；②四边形是矩形；③；④；⑤相等 【详解】（1）解：如图，即为求作的； （2）证明：∵四边形是正方形，，． ，．， 四边形是矩形． ，． ，，． 又，， ．． 此外，她还发现，两条互相垂直的直线，其中一条直线与正方形的一组对边所在的直线相交所得的线段和另一条直线与正方形的另一组对边所在的直线相交所得的线段，如图所示： 同理可证明，因此，两条线段的数量关系为相等． 74．（2026·重庆·一模）请按照题意，补全图形和证明过程． 如图，A是直线上一点，O是的中点，平分． (1)用尺规完成作图，作的角平分线，在的右侧，作．直线交于点B，交于点D，连接，．(2)求证：四边形是矩形． 证明：平分，， 平分， ① ． ② ，（ ③ ）． ．． 是的中点， ④ ．．四边形是矩形． 【答案】(1)见解析(2)；；同位角相等，两直线平行； 【详解】（1）解：如图， （2）解：证明：平分，， 平分，， ∵，（同位角相等，两直线平行）， ∴，． 是的中点，，．四边形是矩形． 75．（2026·山西太原·一模）如图，在中，，为边上的一点（不与重合），连接． (1)尺规作图：以点为顶点，以为一边在的内部作，其中射线分别与边所在的直线相交于点（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)猜想证明：在（1）的条件下，判断线段与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)图见解析(2)，理由见解析 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：，理由如下： ∵，∴，∴， ∵，∴，∴． 76．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，四边形是平行四边形，若点D、E分别是线段、上一点．(1)当四边形是菱形时，用无刻度的直尺和圆规作出D、E两点（要求保留痕迹，不写作法）． (2)若点O坐标是，点A坐标是，点C坐标是． ①请直接写出点B的坐标________；②在（1）的条件下求点E的坐标． 【答案】(1)见解析(2)①；② 【详解】（1）解：如图所示，菱形即为所求； 设，交于点G，由作图得，垂直平分 ∴，，， ∵四边形是平行四边形∴∴ 又∵∴∴ ∴∴四边形是菱形； （2）解：①∵四边形是菱形，点A坐标是，∴ ∵点C坐标是∴B的坐标为； ②如图，过点C作，∴ 设，则在中， ，解得点E的坐标． 77．（25-26八年级下·上海·月考）仅用无刻度直尺完成下列作图：（保留作图痕迹，写结论，不要求写做法） (1)如图1，E为平行四边形的边的中点，点G为上一点． ①画出的中点F；②在上画出点H，使得． (2)如图2，在正方形中，E为上一点，在上画点M，使得． 【答案】(1)①见解析；②见解析(2)见解析 【详解】（1）解：①如图，点即为所求； ②如图，点即为所求； 证明：四边形是平行四边形，、，， 在和中，，，； （2）解：如图，点即为所求； 证明：四边形是正方形，垂直平分、、， ，，，， ，， 在和中，，，． 78．（25-26八年级下·江苏·期中）定义1：只有一组对边平行的四边形是梯形．平行的两边叫做梯形的底边，较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底，另外两边叫腰． 定义2：如果梯形的一条对角线等于上、下底之和，那么这个梯形叫和等梯形，这条对角线叫和等线． 【概念理解】(1)如图1，在梯形中，，四边形_______（填“是”或“不是”）和等梯形； (2)如图2，在矩形中，，点E在AB上，，若在上存在点P使得四边形是和等梯形，求的长； 【探索发现】(3)如图3，四边形是以为和等线的和等梯形，，、交于点O，请判别的形状，并说明理由： 【灵活运用】(4)如图4，点E在平行四边形的边上，在边上找一点P，使得四边形是以为和等线的和等梯形． 要求：借助直尺和圆规用两种方法作出点P，不写作法，保留作图痕迹． 【答案】(1)是(2)当或时，四边形是和等梯形； (3)是等腰三角形，理由见解析(4)理由见解析 【详解】（1）解：连接，，∵， ∴，，， ∴，∴四边形是和等梯形，故答案为：是； （2）连接，，∵四边形是矩形，，，设， ∴， 当时，四边形是和等梯形，即，解得：，即：； 当时，四边形是和等梯形，即，解得：，即：； 综上，当或时，四边形是和等梯形； （3）是等腰三角形，理由如下：延长使得，， ∵，，∴四边形是平行四边形，∴，， 又∵四边形是以为和等线的和等梯形，∴， ∵，∴，即，∴， 又∵，∴，∴，∴，∴是等腰三角形； （4）方法一：由（3）得证明过程可知，当延长使得，再在上找点使得为等腰三角形，则，即可求得点； 即：在延长线上截取，再以点，点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，连接两点，交于于一点，如图所示，该点即为所求点； 方法二：由（3）的结论可知，在上取点使得时，即，由得，，则，则，则，即可求得点； 即：连接，在上截取，连接并延长交于点，如图所示，该点即为所求点． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 夯实基础专训（第6章-第11章）（共78题） 一、单选题（共28题） 1．（25-26八年级下·重庆长寿·期中）当前部分地区受战乱影响，相关救援组织需开展物资与人员情况调查．下列调查中，最适合采用普查（全面调查）方式的是（   ） A．调查战乱地区所有居民的健康状况 B．调查一批运往战乱地区救灾帐篷的抗风性能 C．调查某临时避难所内受灾群众的人数及年龄分布 D．调查战乱地区农田的受损面积 2．（25-26九年级下·江西景德镇·期中）乐平是“赣剧之乡”，戏曲文化底蕴深厚，某校开展“走进赣剧”文化调查，随机抽取部分学生，统计“最喜欢的赣剧经典剧目”（每人限选一项），并绘制成不完整的统计图表． 剧目 打龙袍 二进宫 百花亭 天女散花 人数 15 24 12 9 根据图表信息，下列说法错误的是（  ） A．本次共调查了60名学生 B．最喜欢二进宫的人数占调查总人数的 C．若将数据绘成扇形统计图，则“百花亭”对应的圆心角是 D．最喜欢“打龙袍”的人数比“天女散花”的人数多6 3．（25-26九年级下·浙江·专题练习）某中学对八年级学生使用人工智能学习工具的情况进行调查（单选题），选项包括：A（经常使用辅助解题）、B（偶尔使用查询资料）、C（仅用于娱乐或创意）、D（从未使用过）．调查结果如图所示．已知选C的有6人，根据统计图，下列判断中，与实际情况不符的是（    ） A． B．选D的有8人 C．此次参与调查的学生总人数为50人 D．选C的扇形圆心角的度数为 4．（25-26九年级上·山西朔州·月考）下列说法正确的是（    ） A．“明天降雨的概率是”表示明天有的时间都在降雨 B．“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛2次就有一次正面朝上 C．“彩票中奖的概率为”表示买100张彩票肯定会中奖 D．“抛一枚正方体骰子，朝上的点数为2的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出朝上的点数为2”这一事件发生的概率稳定在附近 5．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列事件中，是必然事件的是（　　） A．明年植树节不下雨 B．367人中至少有两人的生日相同 C．经过公共汽车站时，刚好遇到公共汽车进站 D．在上一赛季表现最好的足球队将夺得下一个赛季的冠军 6．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列成语描述的事件为随机事件的是（    ） A．水涨船高 B．萍水相逢 C．瓮中捉鳖 D．天方夜谭 7．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）下列成语反映的事件中，发生的可能性最大的是（   ） A．守株待兔 B．大海捞针 C．水中捞月 D．冬去春来 8．（2026·湖南湘潭·一模）为了落实“健康第一”的教育理念，某学校组织全体学生参加体质健康测试，现随机抽取了50名同学的测试成绩进行分组整理后，它们分别落在5个小组内，前3个小组的频数分别为4、10、16，第4个小组的频率为0.2，则第5个小组的频数为（    ） A．8 B．10 C．12 D．16 9．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题： 投篮次数 50 100 150 200 250 300 500 投中次数 25 51 75 101 124 153 252 估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（    ）（精确到） A．0.4 B．0.5 C．0.7 D．0.6 10．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点，添加下列条件，不能使其成为菱形的是（   ） A． B． C． D．平分 11．（25-26八年级下·北京·期中）如图，将菱形放在平面直角坐标系中，点A在y轴上，点B，C在第一象限内．若点A的坐标为，菱形的面积为6，则点C的坐标是（　　） A． B． C． D． 12．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）如图，四边形是平行四边形，下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，菱形和菱形，，，点是的中点，点在的延长线上，连接，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 14．（25-26九年级下·广东广州·开学考试）下列结论中，不正确的是（   ） A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．菱形的面积等于对角线乘积的一半 D．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 15．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 16．（2026·江苏无锡·一模）把多项式因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 17．（25-26八年级上·海南海口·期末）下列多项式属于完全平方式的是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级上·山东淄博·期中）将多项式分解因式时，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 19．（2026·江苏·八年级下期中）关于分式，下列说法正确的是（    ） A．化为最简分式等于 B．分式无意义的条件是 C．当时，分式的值为零 D．当时，分式无意义 20．（2026·河南·一模）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 21．（2024·广东清远·二模）方程的解为（　　） A． B． C． D． 22．（25-26八年级上·湖北武汉·期末）用四张相同的长方形纸片，其长，宽分别为a，b（），按图示拼成一个边长为的大正方形．记大正方形面积为，中间小正方形面积为．若，则的值是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26八年级下·山东泰安·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 24．（2026·河北邢台·一模）将化简为最简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 25．（25-26八年级上·山东德州·期末）已知，，且，则的值为（　　） A．或 B．2或10 C．10 D． 26．（25-26八年级下·广东·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 27．（25-26九年级下·山东烟台·期中）若，则的结果是（   ） A． B． C． D． 28．（2026·四川绵阳·二模）使得式子有意义的的取值范围是（   ） A．，且 B． C．，且 D．，且 二、填空题（22题） 29．（2026年上海市虹口区九年级（中考二模）数学试题）如图，已知小明调查了团队中每位同学最喜欢的颜色（每人只能选择一种颜色），并绘制了不完整的扇形统计图和条形统计图，那么喜欢黄色的同学有__人． 30．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）有一只蚂蚁在如图所示的圆上爬来爬去，两圆半径分别为1和2，则蚂蚁最终停留在白色区域的可能性_____________停留在阴影区域的可能性填“>” “<”或 “=” 31．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）有如下两个事件：①明天会下雨；②13名同学中一定有2名同学的生日在同一个月，把这两个事件的序号按发生的可能性从小到大排列____． 32．（25-26八年级下·江苏徐州·月考）盒子里有5个白球，7个黄球和2个红球，若从中任意摸一个球，如果要使拿到红色球可能性最大，至少需要增加___个红球． 33．（25-26九年级上·福建漳州·期末）二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积约为_____． 34．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，点O是的对角线的中点，点E是的中点，连接，．若，，，则的周长为_______． 35．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在矩形中，，垂直平分于点，则的长为__________． 36．（25-26八年级下·江苏南京·期中）如图，是的角平分线，点E、F分别在、上，且，，当时，四边形是____________形． 37．（2026·陕西汉中·一模）如图，在菱形中，对角线与交于点，点为上一点，连接，若，，则的长为 38．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）在梯形中，，，，，则梯形高_________． 39．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）因式分解：____． 40．（25-26八年级下·四川雅安·期中）如果因式分解的结果为____． 41．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）若，，则____． 42．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若，，则的值为______． 43．（25-26八年级下·四川成都·月考）已知，则代数式的值为__________． 44．（25-26八年级上·广西北海·期中）若多项式因式分解，有一个因式是，则m的值为______． 45．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）利用因式分解计算：________． 46．（25-26八年级上·重庆·期中）已知，则________． 47．（25-26八年级上·山东烟台·期中）已知分式（m，n为常数）满足表格中的信息，则的值为______． x的取值 4 a 16 分式的值 无意义 0 0.1 b 48．（2026·江西吉安·模拟预测）某体育活动中心购买一批排球和计数跳绳．经询价得知，一个排球的价格比一根计数跳绳价格的3倍少8元，花160元购买跳绳与花400元购买排球的数量相同．若设一根跳绳的单价为x元，则可列方程：________． 49．（24-25八年级下·江苏宿迁·月考）二次根式，，，，中是最简二次根式的是______． 50．（25-26八年级上·江西九江·月考）已知，，则的值为______． 三、解答题（28题） 51．（25-26八年级下·重庆·期中）计算： (1)；(2)；(3) 52．（2026·山东临沂·一模）计算与化简求值： (1)计算：；(2)先化简，再求值：，其中． 53．（2026·辽宁葫芦岛·一模）计算：(1)；(2)． 54．（25-26八年级下·湖北黄石·期中）计算、化简求值： (1)；(2)先化简，再求值：，． 55．（25-26八年级下·四川绵阳·月考）已知，，求的值． 56．（2026·江苏苏州·模拟预测）先化简再求值，其中． 57．（25-26九年级下·江苏泰州·月考）先化简，再求值: 其中 58．（25-26八年级上·黑龙江黑河·期末）解下列方程：(1)；(2)． 59．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）（1）解方程：； （2）计算： 60．（24-25八年级下·河南南阳·月考）（1）解分式方程： （2）先化简，再求值：，其中． 61．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）因式分解：(1) (2) （3）． 62．（25-26八年级下·江苏·期中）分解因式：(1)；(2)；(3)． 63．（25-26八年级上·山东滨州·期末）分解因式： (1)；(2)．(3)；(4)． 64．（2026·河北保定·模拟预测）分式计算的部分过程如图所示，按要求完成下列小题． 解： ……第一步 (1)第一步将原式中的变形为，是将分子与分母进行了_____（填字母）； A．整式乘法        B．因式分解 (2)请你在图中的虚框中完成该分式的计算． 65．（2026·浙江·二模）某同学化简分式：出现了错误，解答过程如下： 解： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学的解答过程是从第_________步开始出错．(2)请写出此题的正确解答过程． 66．（25-26八年级下·河北邢台·月考）已知，． (1)求的值；(2)若a，b恰好是图中大长方形纸板的长和宽，在该纸板中裁出一个阴影正方形和一个阴影长方形，若正方形的面积为28，求图中阴影长方形的面积． 67．（2026·湖南永州·一模）为准备中考体育测试，某校九年级开展跳绳（A）、跑步（B）、排球（C）、立定跳远（D）、实心球（E）五种体育社团活动．为了解学生意向，随机抽取了部分九年级学生进行社团项目意向问卷调查，被抽取的学生每人只能从5种社团活动中选择其中一种，且每个学生都要选．现根据调查结果，绘制成如下两幅不完整的统计图： 意向项目与人数的条形统计图    意向项目与人数的扇形统计图 根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)本次被抽取的九年级学生人数为______人，请直接补全条形统计图； (2)在扇形统计图中表示愿意参加“实心球（E）”社团的圆心角的度数为______； (3)若该校九年级人数为1500人，根据本次调查情况，请估计该校九年级有意参加“排球（C）”社团的人数． 68．（2026·广东惠州·一模） 《新闻联播》已连续三年关注并报道了惠州西湖新春灯会（图1），向全国观众展现惠州西湖的璀璨夜景与浓郁年味．为了解游客对2026年新春灯会的满意度，某研学小组在西湖景区随机抽取部分游客按“非常满意（A）”“比较满意（B）”“基本满意（C）”“不满意（D）”四个等级进行满意度调查．根据调查数据绘制了不完整的条形统计图（图2）和扇形统计图（图3）． 请根据以上信息，回答下列问题：(1)本次调查共抽取了多少名游客？(2)补全条形统计图，并求扇形统计图中A等级的圆心角度数；(3)据相关部门统计，本届惠州西湖灯会期间累计接待游客近99万人次，试估计表示满意（含A、B、C三个等级）的游客大约有多少？ 69．（2026·湖南岳阳·一模）为办好2026跨年音乐节无人机表演，计划租赁一批A型、B型无人机．已知单场租赁一架A型无人机的费用比一架B型无人机贵80元，且用7200元租赁A型无人机的数量与用4800元租赁B型无人机的数量相同． (1)设一架A型无人机单场租赁费用为x元，则用4800元租赁B型无人机的数量为 架（用含x的式子表示）； (2)求一架A型无人机和一架B型无人机的单场租赁费用分别是多少元？ 70．（2026·辽宁丹东·一模）生肖文化是中华传统文化的重要组成部分，承载着吉祥祈福、辞旧迎新的美好寓意．某文创商家为传承和弘扬生肖文化，计划购进甲、乙两种生肖主题纪念币进行销售，已知每枚乙种纪念币的进价是每枚甲种纪念币的进价的1.5倍，用300元购进甲种纪念币的数量比用540元购进乙种纪念币的数量少2枚．(1)求每枚甲、乙两种纪念币的进价各为多少元？ (2)商家发现销售效果较好，在甲、乙两种纪念币的进价保持不变的前提下，再次购进甲、乙两种纪念币共200枚，且购进的总费用不超过8250元，则该商家最少购进多少枚甲种纪念币？ 71．（25-26八年级上·江苏南通·期末）两个工程队共同参与一项筑路工程，已知甲队工作效率是乙队工作效率的2倍，甲队先单独施工30天，这时增加了乙队，两队又共同工作了15天，总工程全部完成． (1)求乙队单独完成筑路工程需要多少天？(2)若先将甲、乙两队工作效率均提高，再共同完成这项筑路工程，能否在30天内完成该项工作？并说明理由． 72．（2026·新疆·一模）化简求值并应用： (1)先化简，然后从1，2，3，4中选一个数代入求值； (2)如图，在平行四边形中，E、F分别是、的中点，，垂足为E，，垂足为F，．求证：平行四边形是菱形． 73．（2025·重庆·模拟预测）小红在解决“如图，将边长为4的正方形纸片折叠，使得点落在边的中点处，折痕为，点、分别在边、上，求折痕的长度”这一道数学题后，她发现，进一步研究发现点落在边上任一点处均有．其解决思路是简化条件利用矩形的性质和全等得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空： (1)如图，在正方形中，将四边形沿着翻折使得落在上任一点处，连接，则．用尺规过点作于点（不写作法，保留作图痕迹）． (2)已知：正方形中，于点．求证：． 证明：∵四边形是正方形，，①______． ，． ，②______．，③______． ，，． 又，， ④______．． 此外，她还发现，两条互相垂直的直线，其中一条直线与正方形的一组对边所在的直线相交所得的线段和另一条直线与正方形的另一组对边所在的直线相交所得的线段的数量关系为⑤______． 74．（2026·重庆·一模）请按照题意，补全图形和证明过程． 如图，A是直线上一点，O是的中点，平分． (1)用尺规完成作图，作的角平分线，在的右侧，作．直线交于点B，交于点D，连接，．(2)求证：四边形是矩形． 证明：平分，， 平分， ① ． ② ，（ ③ ）． ．． 是的中点， ④ ．．四边形是矩形． 75．（2026·山西太原·一模）如图，在中，，为边上的一点（不与重合），连接． (1)尺规作图：以点为顶点，以为一边在的内部作，其中射线分别与边所在的直线相交于点（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． (2)猜想证明：在（1）的条件下，判断线段与的数量关系，并说明理由． 76．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，四边形是平行四边形，若点D、E分别是线段、上一点．(1)当四边形是菱形时，用无刻度的直尺和圆规作出D、E两点（要求保留痕迹，不写作法）． (2)若点O坐标是，点A坐标是，点C坐标是． ①请直接写出点B的坐标________；②在（1）的条件下求点E的坐标． 77．（25-26八年级下·上海·月考）仅用无刻度直尺完成下列作图：（保留作图痕迹，写结论，不要求写做法） (1)如图1，E为平行四边形的边的中点，点G为上一点． ①画出的中点F；②在上画出点H，使得． (2)如图2，在正方形中，E为上一点，在上画点M，使得． 78．（25-26八年级下·江苏·期中）定义1：只有一组对边平行的四边形是梯形．平行的两边叫做梯形的底边，较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底，另外两边叫腰． 定义2：如果梯形的一条对角线等于上、下底之和，那么这个梯形叫和等梯形，这条对角线叫和等线． 【概念理解】(1)如图1，在梯形中，，四边形_______（填“是”或“不是”）和等梯形； (2)如图2，在矩形中，，点E在AB上，，若在上存在点P使得四边形是和等梯形，求的长； 【探索发现】(3)如图3，四边形是以为和等线的和等梯形，，、交于点O，请判别的形状，并说明理由： 【灵活运用】(4)如图4，点E在平行四边形的边上，在边上找一点P，使得四边形是以为和等线的和等梯形． 要求：借助直尺和圆规用两种方法作出点P，不写作法，保留作图痕迹． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $