专题07 特殊四边形中的十类最值模型专训（高效培优期末专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

**基本信息** 聚焦特殊四边形载体，系统整合十大几何最值模型，以模型化方法构建从性质转化到动态问题的解题体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |将军饮马等10类模型|每考点3-8题|对称、旋转、平移等几何变换，配方法等代数工具|以特殊四边形性质为基础，通过模型化策略将动态最值问题转化为定点定线问题，形成"模型识别-性质应用-转化求解"逻辑链|

专题07 十类重要的几何最值模型 专训 考点01 特殊四边形中的将军饮马模型 考点02 特殊四边形中的将军遛马（造桥）模型 考点03特殊四边形中的逆等线模型 考点04特殊四边形中的费马点模型 考点05特殊四边形中的胡不归模型 考点06特殊四边形中的瓜豆模型（直线型） 考点07特殊四边形中的梯子模型（三边关系求最值） 考点08特殊四边形中的性质转化法模型（四边形性质转化） 考点09特殊四边形中的代数法求最值模型（配方法、不等式法） 考点10特殊四边形中的其他最值模型 考点01 特殊四边形中的将军饮马模型 1．（2026·河南·一模）如图，在矩形中，的平分线交边于点E，M，N分别是边，上的动点，且是线段上的动点，连接，当__________时，的值最小． 2．（24-25八年级上·江苏南京·月考）如图，在边长为10的正方形中，点G是边的中点，E，F分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为______．    3．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿折叠形成，连接，，则的最小值是______． 4．（25-26八年级下·江苏·专题练习） 如图，在边长为2的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为______． 5．（25-26九年级上·成都·期末）如图，在面积为12的正方形中，以为一边向正方形内作等边，点是对角线上的动点，连接、，则的最小值为_________． 6．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在菱形中，、交于点，点为边上的一个动点，点为对角线上的一个动点，过点分别作于点，作于点，连接．已知，则菱形的面积为_________；在点的运动过程中，的最小值为________． 7．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在矩形ABCD中，是边的中点，是上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 考点02 特殊四边形中的将军遛马（造桥）模型 1．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在矩形中，，，点P、点Q分别在上，，线段在上，且，连接，则线段的最小长度是（    ）．    A．4 B．5 C．6 D．7 2．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，在矩形中，是边上的一个动点，点分别是的中点，连接，求的最小值为（   ） A．8 B．9 C．12 D．10 3．（2026·安徽亳州·二模）如图，在矩形中，，点，点在边上，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为______． 5．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则的最小值为_____． 6．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图，在矩形中，，，把边沿对角线平移，点分别对应点、B．给出下列结论： ①顺次连接点的图形一定是平行四边形；②点到它关于直线的对称点的距离为； ③的最大值为；④的最小值为．其中正确结论的序号是______． 7．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，点P是直线上一动点，作平行四边形，当取最小值时，点Q的坐标为______． 考点03特殊四边形中的逆等线模型 1．（25-26八年级上·陕西西安·期末）在正方形中，，点在对角线上，．点E、F分别在边、上，且，连接、，则的最小值为______． 2．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在边长为5的正方形中，点E在线段中运动，点F在射线上运动，其中，连接、，则的最小值为_________． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，，点P从点A向点C运动，点Q同时从点C以相同的速度向点D运动，当点Q到达点D时，两个点同时停止运动．在运动过程中，的最小值为______． 4．（2026·四川达州·一模）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为_________ ． 5．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，平行四边形中，，，，E，F分别是边，上的动点，且，则的最小值为_______． 考点04特殊四边形中的费马点模型 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在等腰梯形中，，，为边上的中点，，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，点P是矩形内部一点，若点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为，，则的最小值是__________． 3.（2026·四川成都·一模）阅读材料：如图1，已知正方形中，为对角线上一点，则将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是线段的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形中有任意两个点，则的最小值是 ． 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）在矩形中，，，，将线段绕着点旋转到，连接，点为矩形内一个动点，连接、、，则的最小值是________． 5.（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是 ． 考点05特殊四边形中的胡不归模型 1．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在菱形中，，，E是边上的一个动点，连接，的垂直平分线交于点G，交于点F，连接，则的最小值为______． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知菱形的边长为2，且，M是对角线上一动点，的最小值为______． 3.（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，中，，，，为边上一点，则的最小值为 ． 4．（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________． 5．（2026·云南·校考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 考点06特殊四边形中的瓜豆模型（直线型） 1．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，正方形中，，在三角形中，，动点分别在上运动，，求的最小值______． 2．（25-26九年级上·北京海淀·月考）如图，在菱形中，，对角线相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针方向旋转，连接，则的最小值是___________ ． 3．（25-26八年级下·北京·期中）如图，菱形，，，是上动点，是中点，，分别是，中点，则菱形的面积为________，最小值为________． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点是上一点，且，连接，则的最小值为__________． 5．（25-26九年级下·广西南宁·月考）如图，长方形中，，，E为上一点，且，F为上一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，则的最小值为___________． 6．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在某城市的科技园区规划中，存在一个平行四边形区域点O为科技展览中心，A、C分别为位于主干道和上的两座科研楼（可沿各自主干道调整位置），点B为园区管理中心．现需从O到B铺设一条光纤线路，为了节省成本，则该光纤线路的最小长度是（ ） A．3 B． C．5 D． 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在边长为2的正方形中，E 为边上一动点（点E，B不重合），以为直角边在射线上方作等腰直角三角形，，连接，则在点E的运动过程中，周长的最小值是_______． 考点07特殊四边形中的梯子模型（三边关系求最值） 1．（25-26八年级下·福建·期中）如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点分别在轴，轴上滑动，连接，则的最小值是____． 2．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，，将一张矩形纸片放置在的内部所有线均在同一平面内，其中顶点，分别在射线，上，对角线与相交于点，移动纸片，当的长最大时，的度数为___________．    3．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，点是的中点，连接、，若，则的最大值为_____________． 4．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在边长为2的正方形中，若，分别是，边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为___________ 5．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，四边形为正方形，点P为平面内一点，已知，，则的最大值为_____． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，为边的中点，为矩形外一动点．且，则线段的最大值为 ________ ． 考点08特殊四边形中的性质转化法模型（四边形性质转化） 1．（2023·江苏南通·中考真题）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是___________．    2．（25-26九年级下·安徽池州·月考）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作于点E，交CD于点H，于点F，交BC于点G，连接，．若，，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 3．（25-26八年级下·湖北宜昌·期中）如图，矩形中，，点G是边上的一点，点P是边上的一个动点，连接，，点E，F分别是，的中点，在点P的运动过程中，的最大长度为（    ） A．5 B．6 C．8 D．不能确定 4．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在菱形中，，对角线，点为边上一动点（不与点重合），平分交于点，过点作于点，连接，点为的中点，连接，则的最小值为___________． 5．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，中，，，点P为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 考点09特殊四边形中的代数法求最值模型（配方法、不等式法） 1．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）正方形的边长为，以正方形的一边向外作等边三角形，点G，F分别为边，上一动点（不与端点重合），且，随着点G，F的运动，的最小值为___________． 2．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）已知，为非负实数，，，当“”时，有最小值．特例：当时，分式有最小值，如图，四边形的对角线，交于点，，，则四边形的面积的最小值为________． 3．（25-26九年级上·四川成都·月考）在平面直角坐标系中，点，点P是线段上不与O，A重合的一动点，分别以为边向上作正三角形，得到，．点M、N分别为边的中点，连接，则的最小值为________． 4．（25-26八年级下·江苏·期中）在边长为的菱形中，，点从点沿着边向终点运动，同时，点以相同的速度从点沿着边向终点运动，在此运动过程中，点与点距离的最小值是____________ ． 5．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，矩形中，，，点是矩形的边上的一动点，以为边，在的右侧构造正方形，连接，则当_______时，有最小值，的最小值为______ 考点10特殊四边形中的其他最值模型 1．（25-26八年级下·浙江丽水·期中）如图，在中，点，分别在边，上，折叠使得点落在边上的点处，若，，，则线段长度的最大值为______． 2．（25-26八年级下·江苏·期中）如图，已知菱形的边长为2，，分别是边，上的动点，，连接，则的最小值为____________． 3．（2026·广东深圳·一模）如图，正方形和，，，连接．若绕点A旋转，当最大时，_______．    4．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，四边形是正方形，边长，对角线相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与交于点E，F．当三角板绕点O旋转时，线段的最小值为______． 5．（24-25九年级下·湖南长沙·月考）已知：如图，四边形是边长为1的正方形，对角线相交于点O．过点O作一直角，直角边分别与重合，然后逆时针旋转，旋转角为，分别交于E、F两点，连接交于点G，则在旋转过程中，当的面积最大时，______________ 6．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，矩形中，已知，F为BE的中点，连接，则的最小值为________． 7．（2026·山东日照·一模）如图，在菱形中，点P为边上一动点，作点D关于线段的对称点E．取线段的中点F，连接，过点E作垂直射线于点G．若，，则的最小值为______． 8．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，在边长为8的正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，． （1）_______．（2）的最小值是________． 9．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，点D是三角形内一点且，连接，，以，为邻边作，则面积的最小值为_______． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 十类重要的几何最值模型 专训 考点01 特殊四边形中的将军饮马模型 考点02 特殊四边形中的将军遛马（造桥）模型 考点03特殊四边形中的逆等线模型 考点04特殊四边形中的费马点模型 考点05特殊四边形中的胡不归模型 考点06特殊四边形中的瓜豆模型（直线型） 考点07特殊四边形中的梯子模型（三边关系求最值） 考点08特殊四边形中的性质转化法模型（四边形性质转化） 考点09特殊四边形中的代数法求最值模型（配方法、不等式法） 考点10特殊四边形中的其他最值模型 考点01 特殊四边形中的将军饮马模型 1．（2026·河南·一模）如图，在矩形中，的平分线交边于点E，M，N分别是边，上的动点，且是线段上的动点，连接，当__________时，的值最小． 【答案】2 【详解】在上截取，使得， ∵矩形中，的平分线交边于点E， ∴，，连接，交于点T， ∴，∴点F是点N关于直线的对称点， ∴，连接，则， 根据垂线段最短原理，当三点共线，且时，的值最小， ∵矩形中，，∴，∴四边形是矩形，∴， ∴， ∴四边形是正方形，同理可证，四边形是正方形，∴，故答案为：2． 2．（24-25八年级上·江苏南京·月考）如图，在边长为10的正方形中，点G是边的中点，E，F分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为______．    【答案】30 【详解】如图，作点关于的对称点，作点关于的对称点（先作对称点），连接（连接对称点）．    ，． （两点之间线段最短），四边形的周长的最小值． 为的中点，，，． 在正方形中，，在中，， 四边形的周长的最小值为．故答案为：30 3．（25-26九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，，，分别是，上的两个动点，，沿折叠形成，连接，，则的最小值是______． 【答案】 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∵四边形是矩形，∴，，， ∴，，在中，， ∵，∴， ∵是定值，∴ 当共线时，的值最小，最小值， ∴的最小值为，故答案为：． 4．（25-26八年级下·江苏·专题练习） 如图，在边长为2的菱形中，，E为的中点，F是上的一动点，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：连接，交于，连接交于， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得B、D关于对称，则， ，当点与重合时，取得最小值． 四边形是边长为2的菱形，，，是等边三角形， ∵E为的中点，∴，， 在中，，的最小值为．故答案为：． 5．（25-26九年级上·成都·期末）如图，在面积为12的正方形中，以为一边向正方形内作等边，点是对角线上的动点，连接、，则的最小值为_________． 【答案】 【详解】解：∵正方形的面积为12，∴， ∵为等边三角形，∴， ∵四边形是正方形，∴、关于对称，∴，∴， ∴当、、共线时，的最小值为的长，∴的最小值为．故答案为：． 6．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，在菱形中，、交于点，点为边上的一个动点，点为对角线上的一个动点，过点分别作于点，作于点，连接．已知，则菱形的面积为_________；在点的运动过程中，的最小值为________． 【答案】 4 【详解】（1）解：∵菱形中，对角线，，∴． 在中，，，由勾股定理得， ∴．∴菱形的面积；故答案为：． （2）解：如图，连接．由，得， ∵，得到．∵菱形关于对角线对称， ∴点关于的对称点为，故，∴． 当、、三点共线且时，最小，此时为菱形的高， ∴，即的最小值为， ∴的最小值为；故答案为：． 7．（25-26八年级下·江苏苏州·期中）如图，在矩形ABCD中，是边的中点，是上的一个动点，将线段绕着点逆时针旋转得到，连接，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵在矩形中，是边的中点， ∴，，，， 过点作，作，则四边形为矩形， ∴，，， ∴四边形为矩形，∴， ∵旋转，∴，∴， ∴，∴，∴点在平行于且距离为1的直线上运动，， ∴， 作点关于的对称点，连接，则垂直平分，， ∵，∴三点共线，∴， ∴，∴，∴的最小值为． 8．（24-25八年级下·山东聊城·期末）如图，中，，，，点为直线上一动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．7 【答案】C 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，连接交于，则，，，∴当重合时，最小，最小值为， ∵，，在中，∴，，∴，， ∵，∴，即的最小值为.故选：C. 考点02 特殊四边形中的将军遛马（造桥）模型 1．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，在矩形中，，，点P、点Q分别在上，，线段在上，且，连接，则线段的最小长度是（    ）．    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】解：如图，在上取一点G，使，连接．    ∵在矩形中，，，∴， ∴四边形为平行四边形，∴，． 又，，，的最小长度为5． 2．（25-26九年级上·福建漳州·期中）如图，在矩形中，是边上的一个动点，点分别是的中点，连接，求的最小值为（   ） A．8 B．9 C．12 D．10 【答案】B 【详解】解：∵四边形为矩形，∴， ∵点分别是的中点，∴，， ∵为定值，∴当值最小时，取最小值， 如图，作点关于直线的对称点，连接交于点，连接， ∴，，此时，， 即的最小值为的长度，由勾股定理得，， ∴，∴，∴的最小值为9，故选：B． 3．（2026·安徽亳州·二模）如图，在矩形中，，点，点在边上，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图： ∵矩形ABCD中，，∴，∴，， ∴点的坐标为，即，作点关于的对称点，则， 设点， ∵，∴，将向左平移个单位，则点的对应点的坐标为，点的对应点为，则：， 当四点在同一条直线上时，的最小值为的长， 而，∴的最小值为． 4．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在菱形中，，，为线段上的一个动点，四边形是平行四边形，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：设与交于点，∵四边形是菱形，，， ，，， ∵四边形是平行四边形， ，， 作点，使得且，连接， ，， ∴四边形是平行四边形， ， ， 作点关于直线的对称点，连接、， ， ， 根据两点之间线段最短可知，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为线段的长， ，， ∴点可看作由点沿方向平移得到， ∵，，又∵点到的距离为，点到的距离为，且在的左侧， ∴点在点的左侧个单位，下方个单位处， ∵点在下方个单位处，且在上， ∴点在下方个单位处，且在过点并垂直于的直线上， ∵点与点关于对称， ∴点在上方个单位处，且在过点并垂直于的直线上， 过点作垂直过点且平行于的直线，垂足为， ，， 在中，， 的最小值为． 5．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，正方形的边长为，点在上且，点、分别为线段、上的动点，连接，，，．若在点、的运动过程中始终满足，则的最小值为_____． 【答案】 【详解】解：如图，过点作于点，过点作，过点作，交于点，设与相交于点，连接，∴， ∵四边形是正方形，且边长为，∴，， ∵点在上且，∴是直角三角形， 由勾股定理得：， ∵，∴四边形是矩形，∴， 在中，，∴， ∵于点，∴是直角三角形，∴，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴，， 又∵，∴四边形是平行四边形，∴，， ∴，，在中，，， ∴是等腰直角三角形，由勾股定理得：， ∵，∴当为最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点，，共线时，为最小，最小值为线段的长为， ∴的最小值为．故答案为：． 6．（25-26九年级上·陕西咸阳·月考）如图，在矩形中，，，把边沿对角线平移，点分别对应点、B．给出下列结论： ①顺次连接点的图形一定是平行四边形；②点到它关于直线的对称点的距离为； ③的最大值为；④的最小值为．其中正确结论的序号是______． 【答案】②③ 【详解】解：在矩形中，，，则，，，由勾股定理得． 由平移的性质可知，，，． ∵，，∴，． 当四点不共线且无重合点时，四边形满足一组对边平行且相等，是平行四边形； 当与重合时，三点共线，顺次连接的图形不是四边形，更不是平行四边形，故①错误； ∵，设点到的距离为，点到的距离为．， 又，∴，解得．同理可得，点到的距离． ∵点和点在的两侧，，∴点到直线的距离为， 则点到它关于直线的对称点的距离为，故②正确； ∵，，∴四点不共线时，四边形是平行四边形，． 当四点共线时，．∴． 根据三角形三边关系，在中，，当且仅当三点共线，且在和之间时，等号成立，此时，即的最大值为，故③正确； 由，得，即求直线上一点到、两点的距离和的最小值． 作点关于直线的对称点，连接，连接交于点， 则，的最小值为的长度，， 过点作于点，交于点．∵，，∴，即， ∴四边形、均为矩形，得，，． 在中，由勾股定理得．∴． 又∵，∴． 在中，，，，由勾股定理得， ∴，∴．∵． ∴在中，由勾股定理得．故④错误． 7．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，点P是直线上一动点，作平行四边形，当取最小值时，点Q的坐标为______． 【答案】 【详解】解：四边形是平行四边形，，且， ，，点向右平移个单位，向上平移个单位得到点， 点向右平移个单位，向上平移个单位得到点，设，则， 点在直线上，，解得， 点在直线上运动，， 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则，此时最小，即最小，设直线的解析式为， 将，代入得 ，解得 ，直线的解析式为， 当时，，解得，点的坐标为． 考点03特殊四边形中的逆等线模型 1．（25-26八年级上·陕西西安·期末）在正方形中，，点在对角线上，．点E、F分别在边、上，且，连接、，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：如图，作交于M，反向延长到G，使，作交于N，延长到H，使，连接，， ∵正方形，∴，，∴， ∵∴，∴解得：（负值舍去），∴，， ∵，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形， ∴，∴，， ∵，∴，∴， ∴，即的最小值为．答案：． 2．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在边长为5的正方形中，点E在线段中运动，点F在射线上运动，其中，连接、，则的最小值为_________． 【答案】 【详解】解∶延长至点G，使，连接、、， ∵正方形，∴， 又，∴，∴，∴， 当D、E、G三点共线时，取最小值为， 在边长为5的正方形中，，， ∴，∴， 即的最小值为，故答案为：． 3．（2025·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，，点P从点A向点C运动，点Q同时从点C以相同的速度向点D运动，当点Q到达点D时，两个点同时停止运动．在运动过程中，的最小值为______． 【答案】 【详解】解：如图，作关于对称的对称点，连接，在上截取，过点G作交延长线于点H，连接， ∵点P、Q分别从点A、C同时出发以相同的速度运动，∴，由对称的性质得， ∵四边形是矩形，∴，， ∴，∴，又∵，∴， ∴，∴，∴当点B，点Q，点G三点共线时，有最小值为的长， ∵，∴，∴， ∴，∵， ∴，∴，∴， ∴，在中， 由勾股定理可得：，故答案为：． 4．（2026·四川达州·一模）如图，矩形中，，点E是边上的动点，点F在边上，．连接，则的最小值为_________ ． 【答案】 【详解】解：如下图，在上取点，使得，连接，过点作于点，作点关于的对称点，连接， ∵四边形为矩形，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵点与点关于对称，∴，，∴， 当点三点共线时，取最小值，即取最小值， ∵，∴四边形为矩形， ∴，，∴，∴， ∴此时，即的最小值为． 5．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，平行四边形中，，，，E，F分别是边，上的动点，且，则的最小值为_______． 【答案】7 【详解】解：延长，截取，连接，，过点A作于点H，如图所示： ∵四边形为平行四边形，，， ∴，，，∴， ∵，，∴，∴， ∴，∴当最小时，最小， ∵两点之间线段最短，∴当A、E、G三点共线时，最小，即最小，且最小值为的长， ∵，，∴，∴， ∴，∵，∴， ∴．即的最小值为7． 考点04特殊四边形中的费马点模型 1．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，在等腰梯形中，，，为边上的中点，，为对角线（不含点）上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，连接、、，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ∴，,,,，如图，连接，    是等边三角形．．． 当点位于与的交点处时，的值最小，即等于的长， 过点作交的延长线于，， ，，，在中， ，．即的值为． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）如图，点P是矩形内部一点，若点P到A，B，C三点的距离之和的最小值为，，则的最小值是__________． 【答案】2 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转，得到，连接，， 由旋转得，，，，， ∴是等边三角形，∴，∴， 当共线时，的值最小，即等于的长，∴， 过点作交的延长线于点，设， ∵四边形是矩形，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，， ∴，， 在中，，∴，解得， ∴，∴的最小值是2． 3.（2026·四川成都·一模）阅读材料：如图1，已知正方形中，为对角线上一点，则将绕点逆时针旋转得到，则的最小值是线段的长度．根据阅读材料所提供的方法求解以下问题：如图2，若在边长为2的正方形中有任意两个点，则的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】解：将绕B逆时针旋转得到，连接，将绕D逆时针旋转得到，连接，连接与，分别交于M，N，如图： 由旋转可知，，，，，，，，，，，∴，，，都是等边三角形， ∴，，∴， ∴的最小值即为的长， ∵，，∴在的垂直平分线上，在的垂直平分线上， ∵，，∴是，的垂直平分线，∴，， ∴，，四边形是长方形， ∴，∴， ∴的最小值为；故答案为：． 4．（25-26八年级上·江苏宿迁·期中）在矩形中，，，，将线段绕着点旋转到，连接，点为矩形内一个动点，连接、、，则的最小值是________． 【答案】 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转得到，连接， 由旋转易得，和均为等边三角形，，，，． 根据“费马点模型”可得，当，，，四点共线时，有最小值，最小值是的长． 如图，作垂直于的延长线于点，．在矩形中，，， ，，．． ，．，． 如图，作于点，作于点，． ，，． 将线段绕着点旋转到，是等边三角形． ，，，，， ，． 如图，过点作于点，． ，四边形为矩形，，， ．在中，．故答案为：． 5.（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点是边长为的正方形内一点，连接，点在线段上运动，连接，则的最小值是 ． 【答案】/ 【详解】解：如图所示，将绕点顺时针旋转得到，连接，过点作，交于点，则，， ∴，∴，，∴是等边三角形，∴， ∴，当点四点共线且时，取得最小值， ∵四边形是正方形，边长为，绕点顺时针旋转得到， ∴，，∴，∴， ∴，∴的最小值是，故答案为： ． 考点05特殊四边形中的胡不归模型 1．（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在菱形中，，，E是边上的一个动点，连接，的垂直平分线交于点G，交于点F，连接，则的最小值为______． 【答案】 【详解】如图，过点F作于点M，连接，，过点A作于点H． ∵，∴，∵．∵垂直平分∴， ，的最小值为． ，，， 的最小值为．故答案为：． 2．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知菱形的边长为2，且，M是对角线上一动点，的最小值为______． 【答案】 【详解】解：连接，交于点，如图，过点作的垂线，垂足为，连接， ∵菱形的边长为2，∴，，，，∴， ∵，∴，∴是等边三角形，∴， ∵是对角线上一动点，，，∴垂直平分，∴， 在中，，∴，∴， ∴， ∴当共线时，最小，最小值为，此时， ∴，∴， ∴，∴的最小值为． 3.（24-25八年级下·湖北黄石·期末）如图，中，，，，为边上一点，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：如图，过点作交延长线于点，连接， ，，，在中，， ，，， 当点、、三点共线时，有最小值，即有最小值，此时， 在中，，，， 即的最小值为，故答案为：． 4．（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB＝2， BC＝2，点P是对角线AC上的动点，连接PD，则PA＋2PD的最小值________． 【答案】6 【详解】过点A作∠CAN=30°，过点D作DM⊥AN于点M，交AC于点P， ∵在矩形ABCD中，AB=2，BC=，∴tan∠CAB=， ∴∠CAB=60°，则∠DAC=30°，∵PA+2PD=2（PA+PD）， ， 此时PA+PD最小，∴PA+2PD的最小值是2×3=6．故答案为：6． 5．（2026·云南·校考二模）如图，正方形边长为4，点E是边上一点，且．P是对角线上一动点，则的最小值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接AC，作 ∵是正方形且边长为4，∴，，， ∵，∴，∴， ∴当取最小值时，A，P，G三点共线，且，此时最小值为AG， ∵，，∴，∵，∴， 设，则，∴，解得：， 设，则，∵，∴，解得： ∴，故选：D 考点06特殊四边形中的瓜豆模型（直线型） 1．（25-26八年级下·陕西西安·月考）如图，正方形中，，在三角形中，，动点分别在上运动，，求的最小值______． 【答案】 【详解】解：如图，将平移，使点与点重合，点与点重合，连接，画射线， 则，，， ∴四边形是平行四边形，，∴， ∵，∴，∴，∵ ∴，∴点在射线上运动， ∴当时，取最小值，此时的值最小，如图，连接， ∵正方形，，∴，， ∵，，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴的最小值为． 2．（25-26九年级上·北京海淀·月考）如图，在菱形中，，对角线相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针方向旋转，连接，则的最小值是___________ ． 【答案】1 【详解】解：连接． ∵四边形是菱形，，∴， ∴是等边三角形，∴，∴， ∵将绕点B按逆时针方向旋转，得到，∴， ∴，∴，∴， ∴点F在过点D与成的射线上移动，∴当时，有最小值， ∴的最小值为，故答案为：1． 3．（25-26八年级下·北京·期中）如图，菱形，，，是上动点，是中点，，分别是，中点，则菱形的面积为________，最小值为________． 【答案】 【详解】解：四边形是菱形，，， ，，菱形的高， 面积．取的中点，连接，， 是的中点，是的中点，是的中位线，， 点在上，．四边形是菱形，，， 是的中点，是的中点，，，， ，四边形是平行四边形，，． ，，且是公共点，，，三点共线，点在线段上运动． ，都是定点，是定点，当时，取得最小值．， 过点作的垂线，垂足为，过点作的垂线，垂足为，交于点Q， 此时，∴，∵，，∴， ∴，则，且四边形是矩形， ∴，， 是的中点，，∴，， ∴，∴，． 4．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点是上一点，且，连接，则的最小值为__________． 【答案】2 【详解】解：连接，四边形是正方形，四边形是正方形， ，，， ，，， 点的运动轨迹是射线，故当时，取最小值，此时， ，，． 5．（25-26九年级下·广西南宁·月考）如图，长方形中，，，E为上一点，且，F为上一个动点，连接，将绕着点E顺时针旋转到的位置，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】解：如图，将线段绕点E顺时针旋转得到线段．与交于点， ∵四边形是矩形，∴ ∵，∴，∴， ∵旋转，∴，∴， ∴，∴点G在射线上运动，∴当时，的值最小， ∵，∴，∴， ∵，∴，∵， ∴，∴四边形是矩形， ∴，，∴，∴， ∴，∴， ∴的最小值为．故答案为：． 6．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，在某城市的科技园区规划中，存在一个平行四边形区域点O为科技展览中心，A、C分别为位于主干道和上的两座科研楼（可沿各自主干道调整位置），点B为园区管理中心．现需从O到B铺设一条光纤线路，为了节省成本，则该光纤线路的最小长度是（ ） A．3 B． C．5 D． 【答案】C 【详解】解：如图，连接交于H， 四边形是平行四边形，，， 、C分别为位于主干道和上，点H的横坐标为， 点H在直线移动，的最小值为，的最小值为5，故选：C． 7．（25-26九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在边长为2的正方形中，E 为边上一动点（点E，B不重合），以为直角边在射线上方作等腰直角三角形，，连接，则在点E的运动过程中，周长的最小值是_______． 【答案】 【详解】解：四边形是正方形，， ，，，， 如图，在上取点，使，连接，连接， ，，， ，，等腰直角三角形， ，，，， 作点关于的对称点，连接，， 当三点共线时，的最小值即为的长， ， ，即在的延长线上，， 在中，由勾股定理得， 周长的最小值是，故答案为：． 考点07特殊四边形中的梯子模型（三边关系求最值） 1．（25-26八年级下·福建·期中）如图，在平行四边形中，是等边三角形，，且两个顶点分别在轴，轴上滑动，连接，则的最小值是____． 【答案】 【详解】解：∵是等边三角形，∴， ∵四边形为平行四边形，∴四边形为菱形， 如图，连接交于点，连接，则，为的中点， ∵，∴，，∴，， ∴，∴当三点在一条线上时，有最小值，最小值为． 2．（25-26八年级下·陕西商洛·期中）如图，，将一张矩形纸片放置在的内部所有线均在同一平面内，其中顶点，分别在射线，上，对角线与相交于点，移动纸片，当的长最大时，的度数为___________．    【答案】/度 【详解】解：取的中点，连接，，    在中，，当点在线段上时，的长有最大值， 此时，，点是的中点，垂直平分，， 又，，故答案为：． 3．（25-26九年级上·陕西汉中·期末）如图，点是正方形的边延长线上一点，连接，点是的中点，连接、，若，则的最大值为_____________． 【答案】 【详解】解：如图所示：∵四边形是正方形，∴， ∵点是正方形的边延长线上一点，连接，点是的中点， ∴在中，，将绕点逆时针旋转，得到， ∴，，则， 在中，，即，当三点共线时，则， 此时的最大值为，故答案为：． 4．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在边长为2的正方形中，若，分别是，边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为___________ 【答案】/ 【详解】解：四边形是正方形，，， ，，， ，，，即， 取的中点，连接，，，， ， 当点，，三点共线时，取最小为，的最小值为． 5．（25-26九年级上·江苏宿迁·月考）如图，四边形为正方形，点P为平面内一点，已知，，则的最大值为_____． 【答案】 【详解】解：如图，过点B作，且，连接、、， ∵，，，∴， ∵正方形，∴，， ∵，，∴， 在和中，，∴，∴， ∵，∴当点A、 P、E三点共线时，最大，此时， ∵，∴，即的最大值为． 6．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，，为边的中点，为矩形外一动点．且，则线段的最大值为 ________ ． 【答案】 【详解】如图，连接，取的中点，连接，， ∵矩形中，，，， ∴，， ∴根据勾股定理，， ∵为的中点，为的中点，∴，∵，∴， 由三角形的三边关系得三点共线时最大，此时． 考点08特殊四边形中的性质转化法模型（四边形性质转化） 1．（2023·江苏南通·中考真题）如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是___________．    【答案】 【详解】解：设的交点为，的中点分别是，连接， 互相垂直，和为直角三角形，且分别为斜边， ，， 当最小时，最小，再根据“两点之间线段最短”得， 当点在线段上时，最小，最小值为线段的长， 分别为的中点，是的中位线，， 同理，， ，，四边形是平行四边形， ，，四边形是矩形， 在中，，， 的最小值为，的最小值为．故答案为：．    2．（25-26九年级下·安徽池州·月考）如图，点P是矩形的对角线上一点，过点P作于点E，交CD于点H，于点F，交BC于点G，连接，．若，，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．8 【答案】C 【详解】解：如图，连接． 四边形是矩形，，，四边形和四边形是矩形． ，．的最小值即为的最小值． 当A，P，C三点共线时，的值最小，且为的长度． 四边形是矩形，，， ．的最小值为． 3．（25-26八年级下·湖北宜昌·期中）如图，矩形中，，点G是边上的一点，点P是边上的一个动点，连接，，点E，F分别是，的中点，在点P的运动过程中，的最大长度为（    ） A．5 B．6 C．8 D．不能确定 【答案】A 【详解】解：连接，，如图所示： ∵点E，F分别是，的中点，∴，∴当最大时，最大， 当点P在点B处时，最大，即的长度， ∵四边形为矩形，∴，∴， ∴的最大长度为，故A正确．故选：A． 4．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）如图，在菱形中，，对角线，点为边上一动点（不与点重合），平分交于点，过点作于点，连接，点为的中点，连接，则的最小值为___________． 【答案】 【详解】解：如图，连接交于点O，延长交于点N，连接， ∵四边形是菱形，，∴， ∵，∴，∴， ∵平分，，∴， ∵，∴，∴， ∵点为的中点，∴为的中位线，∴，∴当最小时，最小， 当时，最小，此时点N与点O重合，即的最小值为15，∴的最小为． 5．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图，中，，，点P为上任意一点，连接，以、为邻边作平行四边形，连接，则的最小值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解:如图，设，交于点，过点作于点，连接    四边形是平行四边形，，， ∵点D是的中点，为定点，∴由垂线段最短可知：当时，取得最小值，则最小， 即当重合时，最小，∴的最小值为, ，∴, ∵，即；∴ ，∴的最小值为的最小值为故选：B. 考点09特殊四边形中的代数法求最值模型（配方法、不等式法） 1．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）正方形的边长为，以正方形的一边向外作等边三角形，点G，F分别为边，上一动点（不与端点重合），且，随着点G，F的运动，的最小值为___________． 【答案】 【详解】解：四边形是正方形，， 是等边三角形，， 过点作于点，交于点，则， 在中，，设， ，， 四边形是矩形，，， ，在中，由勾股定理得： ，，， ，， ，，， ，当时，有最小值， 的最小值为，的最小值为． 2．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）已知，为非负实数，，，当“”时，有最小值．特例：当时，分式有最小值，如图，四边形的对角线，交于点，，，则四边形的面积的最小值为________． 【答案】 【详解】解：设，，与等高，与等高， ，，，， ，，， 四边形的面积， 由题干结论可知，当，为非负实数时，， ，，即四边形的面积的最小值为． 3．（25-26九年级上·四川成都·月考）在平面直角坐标系中，点，点P是线段上不与O，A重合的一动点，分别以为边向上作正三角形，得到，．点M、N分别为边的中点，连接，则的最小值为________． 【答案】 【详解】解：连接，∵，都是等边三角形，点M、N分别为边的中点，， ∴，，∴， ∴，∴是直角三角形，设，则， ∴，∴， ∴，令， ∵，∴当时，y有最小值，最小值为，∴的最小值为，故答案为： ． 4．（25-26八年级下·江苏·期中）在边长为的菱形中，，点从点沿着边向终点运动，同时，点以相同的速度从点沿着边向终点运动，在此运动过程中，点与点距离的最小值是____________ ． 【答案】 【详解】解：在边长为的菱形中，，如图，过点作交的延长线于点， 设点、的运动速度为，运动时间为，则， ∴，，∴，，∴， 在直角三角形中，由勾股定理得：，∴， 在直角三角形中，由勾股定理得： ， 当即时，取得最小值，此时取得最小值． 5．（25-26八年级下·江苏南通·期中）如图，矩形中，，，点是矩形的边上的一动点，以为边，在的右侧构造正方形，连接，则当_______时，有最小值，的最小值为______ 【答案】 1 【详解】解：过作，    正方形，，， ，，，且，， ，，， ，当时，的最小值为． 考点10特殊四边形中的其他最值模型 1．（25-26八年级下·浙江丽水·期中）如图，在中，点，分别在边，上，折叠使得点落在边上的点处，若，，，则线段长度的最大值为______． 【答案】 【详解】解：如图，分别过点、作的垂线，垂足为、， ∵四边形是平行四边形，∴，， ∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴， 在中，，∴，解得， ∵，∴，∴四边形是矩形，∴， 由折叠的性质可得，，∴，∴当最小时，最大， ∵垂线段最短，∴，即的最小值为，∴的最大值为． 2．（25-26八年级下·江苏·期中）如图，已知菱形的边长为2，，分别是边，上的动点，，连接，则的最小值为____________． 【答案】 【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，， ，为等边三角形，∴， ∴为等边三角形，∴， 又，，∴， 在与中，，， 又∵，为等边三角形， 当最小值时，即为最小值，而当时，值最小， ∵，，， ∴，即，故答案为：． 3．（2026·广东深圳·一模）如图，正方形和，，，连接．若绕点A旋转，当最大时，_______．    【答案】30 【详解】解：过作于，如图所示： ，当绕点旋转时，点在以为圆心，12为半径的圆上， 当为此圆的切线时，最大，， 在中，由勾股定理得：， 四边形是正方形，，，， ，， 在和中，，，， ，故答案为：30．    4．（25-26九年级上·陕西安康·期中）如图，四边形是正方形，边长，对角线相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与交于点E，F．当三角板绕点O旋转时，线段的最小值为______． 【答案】 【详解】解：正方形，，， ，，，， 又∵，，故要使有最小值，即求的最小值， 当时，有最小值，， ，线段的最小值为．故答案为：． 5．（24-25九年级下·湖南长沙·月考）已知：如图，四边形是边长为1的正方形，对角线相交于点O．过点O作一直角，直角边分别与重合，然后逆时针旋转，旋转角为，分别交于E、F两点，连接交于点G，则在旋转过程中，当的面积最大时，______________ 【答案】/ 【详解】解：作， ∵四边形是正方形，∴是等腰直角三角形，∴， ∵四边形是正方形，∴，∴， ∵，∴，∴， 在和中，，∴，∴，， ∴，当的面积最大时，则最小， ∵，∴由垂线段最短可知，当点与重合时，最小，的面积最大， ∴此时；故答案为：． 6．（25-26八年级下·江苏常州·期中）如图，矩形中，已知，F为BE的中点，连接，则的最小值为________． 【答案】10 【详解】解：设的中点为G，连接，如图所示： ∵四边形是矩形，且，∴，∴BGBC＝6， 在中，由勾股定理得：DG， ∵F为的中点，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，∴，∴当的值最小时，为最小， 根据“两点之间线段最短”得：， ∴当点D，E，G共线时，为最小，最小值是10， 7．（2026·山东日照·一模）如图，在菱形中，点P为边上一动点，作点D关于线段的对称点E．取线段的中点F，连接，过点E作垂直射线于点G．若，，则的最小值为______． 【答案】 【详解】解：取的中点，连接，，，，则， ∵对称，∴，∵点F是的中点，∴，∴， 又∵，∴，∴， ∴，∴当点三点共线时，的值最小， ∵四边形为菱形，∴，垂直平分， ∴，关于对称，∴为等边三角形， ∵为的中点，∴，，∴， ∵，，∴，∵点在上运动， ∴当点运动到点时，此时三点重合，的值最小为的长， 故的最小值为．∴的最小值是10．故答案为：10． 8．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图，在边长为8的正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，． （1）_______．（2）的最小值是________． 【答案】 【详解】（1）在边长为8的正方形中，，， 又由题知，，， 又，，． （2）延长至点N，使得，连接，，如下图所示： 由（1）知，又点M是的中点，， ，，又，垂直平分， ，， 正方形的边长为8，，，，， 在中，由勾股定理得， ，的最小值是．故答案为：；． 9．（25-26八年级下·江苏盐城·期中）如图，在中，，，，点D是三角形内一点且，连接，，以，为邻边作，则面积的最小值为_______． 【答案】7 【详解】如图，过点C作，以C为圆心，1为半径画一段弧分别交于G，交于H，设h是的边上的高．由勾股定理得． 是边上的高，，， 以，为边，， 当h最小时，四边形面积最小．由垂线段最短可知，当时，h最小， 此时C,D,F三点共线，， ，故面积的最小值为7． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $