八年级数学下学期期末模拟卷（新教材苏科版八下全部，高效培优·提升卷）

**基本信息** 2025-2026学年苏科版八年级下册期末模拟卷，覆盖第6-11章，以AI应用、手机销量统计等科技情境和埃及分数等文化素材为载体，通过因式分解基础题、分式方程应用题、图形旋转探究题的梯度设计，考查数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|概率、因式分解、统计图表、梯形拼接|手机销量统计图分析（第4题）考查数据观念；密码生成（第6题）体现应用意识| |填空题|8/32|鱼塘估鱼、平方差公式、埃及分数、菱形最值|埃及分数拆分（第17题）渗透文化；扇形统计图（第14题）培养数据意识| |解答题|8/78|分式化简、AI调查统计、数据采购应用、图形旋转|AI数据采购（第23题）结合科技；图形旋转与面积最值（第25题）发展几何直观与推理能力|

2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版八年级下册第6章~第11章。 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列说法中错误的是（    ） A．必然事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率介于0和1之间 C．“概率为0.0001的事件”是不可能事件 D．不可能事件发生的概率为0 2．（2026·重庆·一模）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·浙江·一模）图1是某品牌手机2025年9到12月四个月的总销量统计图，图2是该品牌的A型号手机销量的分析统计图，下列对该品牌手机2025年9到12月销售情况分析错误的是（    ）． A．该品牌手机9到12月共销售手机500万台 B．10月A型号手机销售了20万台 C．四个月A型号手机的销量逐月增高 D．四个月中12月份A型号手机的销量最高 5．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）下列选项中，能与如图所示残缺的图形拼成一个梯形的是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取，，则，，，那么12，17，13为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，按上述方法生成的密码是（   ） A．152131 B．211331 C．132131 D．132115 7．（2026·江苏苏州·模拟预测）在百米赛跑上，甲乙同向运动，甲以的速度匀速运动，乙在甲跑了2秒后也开始以一定速度匀速运动，若要使得两者同时到达，设乙的速度为，可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·北京·期中）下列命题中正确的是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C．一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 9．（25-26八年级下·广东·专题练习）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，下列是四位同学对大长方形的判断，其中不正确的是（   ） A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为 10．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，四边形是正方形，是边上的一点，点在对角线上，，的延长线交的延长线于点，连接．下列结论中正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）为了估计塘中鱼的数量，老李先从鱼塘中捞出100条鱼，做上标记后放回．待有标记的鱼完全混合后，再捞出200条鱼，发现其中有5条有标记．那么估计塘中约有鱼____条． 12．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）若一个多项式能利用平方差公式分解因式，“■”表示的数为不大于5的正整数，你认为“■”表示的数可能是：_____． 13．（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知，，则的值为_____． 14．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）某校科技社团为了解本校学生对的使用情况，对使用进行作业答疑、资料查找、知识梳理、创意绘图的情况进行了抽样调查．将收集的数据绘制成如图所示的扇形统计图，其中扇形统计图中创意绘图部分对应的圆心角为．已知该校共有1500名学生，估计该校最常使用进行知识梳理的学生人数是_____人． 15．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若x=m是关于x的方程的解，则代数式的值是____________． 16．（25-26八年级下·江苏南京·期中）在菱形中，，，点E，F分别在，上，点P在对角线上，连接，，则的最小值为____________． 17．（25-26八年级上·浙江金华·期中）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个不同单位分数相加的形式为______；对于任意正整数，将拆分成两个不同单位分数相加的形式为______． 18．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，在矩形纸片中，已知是边上的一点，沿折叠纸片，使点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为_________． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，26题每题12分，答案写在答题卡上） 19．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)；(2)． 20．（2026·湖南郴州·一模）下列是化简分式的两种方法的部分过程： 方法一： 方法二： (1)请选择其中一种方法完成化简过程；(2)当时，求分式的值． 21．（25-26八年级下·四川成都·期中）解答下列各题： (1)解方程：；(2)分解因式：；(3)分解因式：． 22．（2026·广东·一模）目前，技术在生活、学习、产业等领域的应用日益广泛．为了解学生对不同应用领域的关注偏好，某数学小组对本校部分学生进行了相关情况调查并统计了相关数据． 【收集数据】该数学小组设计了如下调查问卷，随机抽取部分学生进行调查，收集得到“问题1”和“问题2”的数据．（被调查学生均对两个问题按要求作答并提交） 调查问卷 问题1：你最关注的应用领域是（   ）．（单选） A．智能机器人（如服务机器人、工业机器人） B．图像生成（如绘画、设计类工具） C．智能学习助手（如答疑、学情分析工具） D．语音交互（如智能音箱、语音翻译） 问题2：你每周使用的时间是 ． 【整理和描述数据】第一步：将“问题1”的数据进行整理后，得到如下统计表； 第二步：将“问题2”中学生每周使用的时间（单位：）整理分成4组：①，②，③，④，并绘制成不完整的频数分布直方图如下图所示． 学生最关注的应用领域人数统计表 应用领域 划记 人数 A 正正正正正正 30 B 正正 12 C 正正正 15 D 3 (1)补全频数分布直方图； 【分析数据，解答问题】(2)该校共有2800名学生，请你估计最关注应用领域A的人数； (3)请根据上述统计图表，给该校学生提出一个合理的建议． 23．（25-26九年级下·重庆·期中）某科技公司为训练多模态模型，需要采购两种数据：文本数据和图像数据．(1)公司用90元购买图像数据的数量比用同样金额购买文本数据的数量少3份．已知每份图像数据的单价是每份文本数据单价的1.5倍．求每份文本数据的单价是多少元？ (2)该公司的服务器集群每天同时处理两种数据．已知一次配套训练需要3份文本数据和2份图像数据，每台服务器每天可处理100份文本数据或200份图像数据．公司共有40台服务器，为使每天处理的两类数据数量恰好配套，应安排多少台服务器处理文本数据？ 24．（25-26八年级下·重庆·期中）在数学实践课上，老师给同学们展示了一种“根式裂项法”：对形如（为正整数）的式子我们可以利用平方差公式进行分母有理化： 请根据以上方法解决下列问题： (1)计算：①______；②______． (2)求出的值． (3)已知，求的值． 25．（2026·成都·一模）在中，，将绕点A逆时针旋转得到． (1)【问题解决】如图1，试判断四边形的形状，并说明理由； (2)【问题探究】如图2，在四边形中，对角线上有一点P，连接，将线段绕点P按逆时针方向旋转，点D的对应点Q恰好落在的延长线上，求的度数； (3)【拓展延伸】在（2）的条件下，若，求面积的最大值． 26．（25-26八年级下·北京·期中）已知正方形，点E，点F分别为射线，射线上的动点（E不与A重合，F不与B，C重合），连接，． (1)如图1，当时，若，则 ； (2)如图2，点E在线段上，且，请判断和的位置关系，并证明； (3)若，将点D关于直线EF对称得到点M，请直接用等式表示线段，，的数量关系． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 提升卷·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材苏科版八年级下册第6章~第11章。 第I卷 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列说法中错误的是（    ） A．必然事件发生的概率为1 B．随机事件发生的概率介于0和1之间 C．“概率为0.0001的事件”是不可能事件 D．不可能事件发生的概率为0 【答案】C 【详解】解：A、必然事件一定发生，因此其发生的概率为，故A选项说法正确，不符合题意； B、随机事件可能发生也可能不发生，因此其发生的概率介于和之间，故B选项说法正确，不符合题意； C、概率为的事件，概率大于，说明该事件是可能发生的随机事件，仅发生可能性很小，并非不可能事件，故C选项说法错误，符合题意； D、不可能事件一定不会发生，因此其发生的概率为，故D选项说法正确，不符合题意． 2．（2026·重庆·一模）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故A错误； B、，原分解未分解彻底，故B错误； C、，分解符合要求，故C正确； D、因式分解的结果需为几个整式乘积的形式，不是乘积形式，不符合因式分解定义，故D错误． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项A：，∴ A错误，该选项不符合题意； 选项B：，计算正确，∴ B正确，该选项符合题意； 选项C：与不是同类二次根式，不能合并，∴ C错误，该选项不符合题意； 选项D：，∴ D错误，该选项不符合题意． 4．（2026·浙江·一模）图1是某品牌手机2025年9到12月四个月的总销量统计图，图2是该品牌的A型号手机销量的分析统计图，下列对该品牌手机2025年9到12月销售情况分析错误的是（    ）． A．该品牌手机9到12月共销售手机500万台 B．10月A型号手机销售了20万台 C．四个月A型号手机的销量逐月增高 D．四个月中12月份A型号手机的销量最高 【答案】C 【详解】解：对于选项A：9到12月共销售手机：（万台），故A正确； 对于选项B：10月A型号手机销售：（万台），故B正确； 对于选项C：9月A型号手机销量：（万台），11月A型号手机销量：（万台），12月A型号手机销量：（万台）， ∵，∴A型号手机11月份的销量低于10月份，故C错误； 对于选项D：∵，∴四个月中，12月份A型号手机的销量最高，故D正确． 5．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）下列选项中，能与如图所示残缺的图形拼成一个梯形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵梯形的定义为只有一组对边平行的四边形，且平行线的性质为：两直线平行，同旁内角互补， ∴要使残缺图形与选项图形拼接成梯形，拼接后需形成一组平行对边，对应拼接的同旁内角需互补， ∵与角互补的角为， 与角互补的角为， ∴选项C中的图形有可能与上面残缺的图形拼成一个梯形． 6．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，将因式码按从小到大的顺序排列形成密码．例如：多项式，将其分解因式为．若取，，则，，，那么12，17，13为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然也可取另外一些适当的数字，得出新的密码．已知多项式，当取，时，按上述方法生成的密码是（   ） A．152131 B．211331 C．132131 D．132115 【答案】C 【详解】解：， ∵，，∴，， 得到三个因式码为13，21，31，按从小到大顺序排列后连接得到密码132131． 7．（2026·江苏苏州·模拟预测）在百米赛跑上，甲乙同向运动，甲以的速度匀速运动，乙在甲跑了2秒后也开始以一定速度匀速运动，若要使得两者同时到达，设乙的速度为，可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵百米赛跑总路程为，甲的速度为，∴甲走完全程的总时间为 ∵乙比甲晚出发，且两人同时到达终点，乙的速度为， ∴乙走完全程的时间为，乙的运动时间加上晚出发的等于甲的总运动时间， 因此列方程得． 8．（25-26八年级下·北京·期中）下列命题中正确的是（　　） A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 C．一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是菱形 D．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 【答案】B 【详解】解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，只有一组对边平行且相等的四边形才是平行四边形，故此选项错误； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，∴ 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故此选项正确； C、对角线互相垂直平分的四边形才是菱形，一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形不一定是菱形，故此选项错误； D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相垂直且相等的平行四边形才是正方形，故此选项错误． 9．（25-26八年级下·广东·专题练习）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，下列是四位同学对大长方形的判断，其中不正确的是（   ） A．大长方形的长为 B．大长方形的宽为 C．大长方形的周长为 D．大长方形的面积为 【答案】C 【详解】解：由题意，小长方形的长为，大长方形的长为， 小长方形的宽为，大长方形的宽为， 即小长方形的长为，宽为；大长方形的长为，宽为， 大长方形的周长为，大长方形的面积为， 选项A、B、D正确，不符合题意；选项C错误，符合题意；故选：C． 10．（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，四边形是正方形，是边上的一点，点在对角线上，，的延长线交的延长线于点，连接．下列结论中正确的个数是（   ） ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】解：①∵四边形是正方形，是对角线，∴， ∵点在的延长线上，∴，故结论①正确； ②∵四边形是正方形，点在对角线上， ∴，，， 在和中，，∴，∴， ∵，，∴， 又∵，∴，∴，故结论②正确； ③设，∴，在正方形中，， 在中，， ∵是的外角，∴，∴， ∴，∴，故结论③正确； ④过点作于点，如图所示： ∴，∴，由结论②正确得：，∴， ∵，，∴， ∴，∴是的中位线，∴， 在中，，，∴是等腰直角三角形， ∴，由勾股定理得：， ∴，∴，∴， 在正方形中，，∴．故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②③④，共个．故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）为了估计塘中鱼的数量，老李先从鱼塘中捞出100条鱼，做上标记后放回．待有标记的鱼完全混合后，再捞出200条鱼，发现其中有5条有标记．那么估计塘中约有鱼____条． 【答案】4000 【详解】解：设鱼塘中约有鱼条， 根据题意可得比例关系：，解得：， 经检验是原方程的解，故估计鱼塘中约有鱼条． 12．（25-26八年级下·江苏扬州·期中）若一个多项式能利用平方差公式分解因式，“■”表示的数为不大于5的正整数，你认为“■”表示的数可能是：_____． 【答案】2或4 【详解】平方差公式的形式为 ，多项式能分解需要满足是两个平方项的差， 已知多项式为 ，其中 已是平方项， 因此 需为平方项，即满足 ，可得 为正偶数， 根据题意， 是不大于 的正整数，因此符合条件的正偶数为 和 ． 13．（25-26九年级上·河南南阳·期中）已知，，则的值为_____． 【答案】8 【详解】解：∵，，∴， ∴，故答案为：8． 14．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）某校科技社团为了解本校学生对的使用情况，对使用进行作业答疑、资料查找、知识梳理、创意绘图的情况进行了抽样调查．将收集的数据绘制成如图所示的扇形统计图，其中扇形统计图中创意绘图部分对应的圆心角为．已知该校共有1500名学生，估计该校最常使用进行知识梳理的学生人数是_____人． 【答案】 【详解】解：由扇形统计图得最常使用进行知识梳理的学生人数是： （人）． 15．（25-26八年级上·江苏南通·期末）若x=m是关于x的方程的解，则代数式的值是____________． 【答案】4 【详解】解：∵是方程的解， 原方程化为 ，即 ．整理得 ． ∴，故答案为：4． 16．（25-26八年级下·江苏南京·期中）在菱形中，，，点E，F分别在，上，点P在对角线上，连接，，则的最小值为____________． 【答案】 【详解】解：在上取点，使，连接，∵菱形，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴当共线，且时，取得最小值， ∵菱形中，，，∴，，∴， ∵，∴，∴的最小值为． 17．（25-26八年级上·浙江金华·期中）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个不同单位分数相加的形式为______；对于任意正整数，将拆分成两个不同单位分数相加的形式为______． 【答案】 【详解】解：对于，分母，则第一个单位分数的分母为， 第二个单位分数的分母为 ，故 ． 对于任意正整数，设分母 ，则第一个单位分数的分母为 ， 第二个单位分数的分母为，故 ． 故答案为：，． 18．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，在矩形纸片中，已知是边上的一点，沿折叠纸片，使点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为_________． 【答案】或10 【详解】解：当为直角三角形时，有两种情况： ①当点落在矩形内部时，如图． 连接，在Rt中，，， 沿折叠，使点B落在点处，， 当为直角三角形时，只能得到，点 共线， ，，设，则， 在Rt中，，解得．     ②当点落在边上时，如图：此时为正方形．．故答案为：或10． 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，26题每题12分，答案写在答题卡上） 19．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）计算： (1)；(2)． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ；（4分） （2）解： ．（8分） 20．（2026·湖南郴州·一模）下列是化简分式的两种方法的部分过程： 方法一： 方法二： (1)请选择其中一种方法完成化简过程；(2)当时，求分式的值． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：方法一： ，（6分） 方法二： ；（6分） （2）解：当时，原式．（2分） 21．（25-26八年级下·四川成都·期中）解答下列各题： (1)解方程：；(2)分解因式：；(3)分解因式：． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为得，， 经检验，是分式方程的解．（4分） （2）解： ．（7分） （3）解： ．（10分） 22．（2026·广东·一模）目前，技术在生活、学习、产业等领域的应用日益广泛．为了解学生对不同应用领域的关注偏好，某数学小组对本校部分学生进行了相关情况调查并统计了相关数据． 【收集数据】该数学小组设计了如下调查问卷，随机抽取部分学生进行调查，收集得到“问题1”和“问题2”的数据．（被调查学生均对两个问题按要求作答并提交） 调查问卷 问题1：你最关注的应用领域是（   ）．（单选） A．智能机器人（如服务机器人、工业机器人） B．图像生成（如绘画、设计类工具） C．智能学习助手（如答疑、学情分析工具） D．语音交互（如智能音箱、语音翻译） 问题2：你每周使用的时间是 ． 【整理和描述数据】第一步：将“问题1”的数据进行整理后，得到如下统计表； 第二步：将“问题2”中学生每周使用的时间（单位：）整理分成4组：①，②，③，④，并绘制成不完整的频数分布直方图如下图所示． 学生最关注的应用领域人数统计表 应用领域 划记 人数 A 正正正正正正 30 B 正正 12 C 正正正 15 D 3 (1)补全频数分布直方图； 【分析数据，解答问题】(2)该校共有2800名学生，请你估计最关注应用领域A的人数； (3)请根据上述统计图表，给该校学生提出一个合理的建议． 【答案】(1)见解析(2) (3)同学们每周使用的时间整体偏长，建议合理规划使用时间，多用于学习管理相关功能，提高学习效率 【详解】（1）解：总人数为（人）， 每周使用的时间在这一组的人数为（人），补全频数分布直方图如下： ；（4分） （2）解：，即最关注应用领域A的人数为人；（7分） （3）解：同学们每周使用的时间整体偏长，建议合理规划使用时间，多用于学习管理相关功能，提高学习效率．（10分） 23．（25-26九年级下·重庆·期中）某科技公司为训练多模态模型，需要采购两种数据：文本数据和图像数据．(1)公司用90元购买图像数据的数量比用同样金额购买文本数据的数量少3份．已知每份图像数据的单价是每份文本数据单价的1.5倍．求每份文本数据的单价是多少元？ (2)该公司的服务器集群每天同时处理两种数据．已知一次配套训练需要3份文本数据和2份图像数据，每台服务器每天可处理100份文本数据或200份图像数据．公司共有40台服务器，为使每天处理的两类数据数量恰好配套，应安排多少台服务器处理文本数据？ 【答案】(1)每份文本数据的单价为元(2)应安排台服务器处理文本数据 【详解】（1）解：设每份文本数据的单价为元，则每份图像数据的单价为元， 由题意可得：,解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴每份文本数据的单价为元；（6分） （2）解：设应安排台服务器处理文本数据，则安排台服务器处理图像数据， 由题意可得：，解得：， ∴应安排台服务器处理文本数据．（10分） 24．（25-26八年级下·重庆·期中）在数学实践课上，老师给同学们展示了一种“根式裂项法”：对形如（为正整数）的式子我们可以利用平方差公式进行分母有理化： 请根据以上方法解决下列问题： (1)计算：①______；②______． (2)求出的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1)；(2)(3) 【详解】（1）解：① ； ② ；（2分） （2）解：根据题干结论，每一项可裂项为：， ；（6分） （3）解：， 移项得：，两边平方：， ，，两边同乘得：， 代入所求代数式：．（10分） 25．（2026·成都·一模）在中，，将绕点A逆时针旋转得到． (1)【问题解决】如图1，试判断四边形的形状，并说明理由； (2)【问题探究】如图2，在四边形中，对角线上有一点P，连接，将线段绕点P按逆时针方向旋转，点D的对应点Q恰好落在的延长线上，求的度数； (3)【拓展延伸】在（2）的条件下，若，求面积的最大值． 【答案】(1)四边形的形状为菱形，理由见详解(2)(3) 【详解】（1）解：∵绕点A逆时针旋转得到，∴，， ∵，∴，∴和为等边三角形， 则，那么，四边形的形状为菱形；（3分） （2）解：连接，如图，∵菱形，∴，平分，∴， 又∵，∴，∴，， ∴，由旋转的性质得，，∴， ∴，由（1）得，是等边三角形，∴， 设，∴， ，∴， ∴；（6分） （3）解：过点A作于点，过点Q作于点，连接，如图， ∵菱形，，∴，由（1）得，是等边三角形，∴， ∵，∴，∴， ∴；由（2）得，，， ∴是等边三角形，∴，，∴， ∴，即，∴， ∴，∴，即， 设等边的边长为，则， ∵，∴，∴， ∴，∴， 当取得最小值时，即最小时，面积有最大值， 当时，最小，此时是等边的高，∴， ∴，∴面积的最大值为．（10分） 26．（25-26八年级下·北京·期中）已知正方形，点E，点F分别为射线，射线上的动点（E不与A重合，F不与B，C重合），连接，． (1)如图1，当时，若，则 ； (2)如图2，点E在线段上，且，请判断和的位置关系，并证明； (3)若，将点D关于直线EF对称得到点M，请直接用等式表示线段，，的数量关系． 【答案】(1)(2)，证明见详解(3)或，证明见详解 【详解】（1）解：如图，过点E作交于点N， 在正方形中，，， ∵是正方形的对角线，∴， ∴是等腰直角三角形，∴，， ∵，∴， 在中，，∴， 设，∴， ∴，∴，∴，∴．（2分） （2）解：，证明：如图，连接， ∵四边形是正方形，∴，， 在和中，，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴， 在四边形中，， 又∵，∴， 又∵，∴，∴．（6分） （3）解：或，证明：①， 如图，延长至M，使得，连接，，，过点M作交延长线于点G， 由（2）知，，又∵点E是的中点，∴在垂直平分线上，∴， ∵，，∴，是等腰直角三角形， ∴，∴，∴， 又∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴；（9分） ②，如图，延长至M，使得，过点M作交于点G，连接，，，，与交点O， 由（2）知，，∴，∴， ∵，， ∴，∴，，均为等腰直角三角形，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，∴，即．（12分） 1 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期末模拟卷 参考答案 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C C B C C C D B C D 第Ⅱ卷 二、填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分，答案写在答题卡上） 11．【答案】4000 12．【答案】2或4 13．【答案】8 14．【答案】 15．【答案】4 16．【答案】 17．【答案】 18．【答案】或10 三、解答题（本题共8小题，共78分。其中：19-20题8分，21-25题每题10分，26题每题12分，答案写在答题卡上） 19 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解： ；（4分） （2）解： ．（8分） 20． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：方法一： ，（6分） 方法二： ；（6分） （2）解：当时，原式．（2分） 21． 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解： 去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为得，， 经检验，是分式方程的解．（4分） （2）解： ．（7分） （3）解： ．（10分） 22． 【答案】(1)见解析(2) (3)同学们每周使用的时间整体偏长，建议合理规划使用时间，多用于学习管理相关功能，提高学习效率 【详解】（1）解：总人数为（人）， 每周使用的时间在这一组的人数为（人），补全频数分布直方图如下： ；（4分） （2）解：，即最关注应用领域A的人数为人；（7分） （3）解：同学们每周使用的时间整体偏长，建议合理规划使用时间，多用于学习管理相关功能，提高学习效率．（10分） 23． 【答案】(1)每份文本数据的单价为元(2)应安排台服务器处理文本数据 【详解】（1）解：设每份文本数据的单价为元，则每份图像数据的单价为元， 由题意可得：,解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴每份文本数据的单价为元；（6分） （2）解：设应安排台服务器处理文本数据，则安排台服务器处理图像数据， 由题意可得：，解得：， ∴应安排台服务器处理文本数据．（10分） 24． 【答案】(1)；(2)(3) 【详解】（1）解：① ； ② ；（2分） （2）解：根据题干结论，每一项可裂项为：， ；（6分） （3）解：， 移项得：，两边平方：， ，，两边同乘得：， 代入所求代数式：．（10分） 25． 【答案】(1)四边形的形状为菱形，理由见详解(2)(3) 【详解】（1）解：∵绕点A逆时针旋转得到，∴，， ∵，∴，∴和为等边三角形， 则，那么，四边形的形状为菱形；（3分） （2）解：连接，如图，∵菱形，∴，平分，∴， 又∵，∴，∴，， ∴，由旋转的性质得，，∴， ∴，由（1）得，是等边三角形，∴， 设，∴， ，∴， ∴；（6分） （3）解：过点A作于点，过点Q作于点，连接，如图， ∵菱形，，∴，由（1）得，是等边三角形，∴， ∵，∴，∴， ∴；由（2）得，，， ∴是等边三角形，∴，，∴， ∴，即，∴， ∴，∴，即， 设等边的边长为，则， ∵，∴，∴， ∴，∴， 当取得最小值时，即最小时，面积有最大值， 当时，最小，此时是等边的高，∴， ∴，∴面积的最大值为．（10分） 26． 【答案】(1)(2)，证明见详解(3)或，证明见详解 【详解】（1）解：如图，过点E作交于点N， 在正方形中，，， ∵是正方形的对角线，∴， ∴是等腰直角三角形，∴，， ∵，∴， 在中，，∴， 设，∴， ∴，∴，∴，∴．（2分） （2）解：，证明：如图，连接， ∵四边形是正方形，∴，， 在和中，，∴，∴， 又∵，∴，∴，∴， 在四边形中，， 又∵，∴， 又∵，∴，∴．（6分） （3）解：或，证明：①， 如图，延长至M，使得，连接，，，过点M作交延长线于点G， 由（2）知，，又∵点E是的中点，∴在垂直平分线上，∴， ∵，，∴，是等腰直角三角形， ∴，∴，∴， 又∵，∴，∴， 在和中，，∴， ∴，，∴，∴是等腰直角三角形，∴， ∵，∴；（9分） ②，如图，延长至M，使得，过点M作交于点G，连接，，，，与交点O， 由（2）知，，∴，∴， ∵，， ∴，∴，，均为等腰直角三角形，∴， 在和中，，∴，∴，， ∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形， ∴，∴，即．（12分） 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $