专题08 分式方程解法及应用 3大高频考点（期末真题汇编，江苏专用）八年级数学下学期

**基本信息** 江苏多地八年级下期末分式方程专题试题汇编，覆盖解法、参数、应用三大高频考点，真题汇集且分层训练。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|1题|分式方程去分母变形|基础辨析，聚焦易错步骤| |填空题|5题|增根、解的范围求参数|结合参数讨论，提升推理能力| |解答题|37题|解法（去分母、验根）、应用题（行程/经济/文化）|应用题融入新能源汽车、《周髀算经》等真实情境，分基础求解与综合应用|

专题08 分式方程解法及其应用 3大高频考点概览 考点01分式方程的解法 考点02 根据分式方程的根的情况求参数的值或范围 考点03 分式方程的实际应用 ( 江苏江苏 考点0 1 分式方程的解法 ) 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）解分式方程时，去分母变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查解分式方程，解题关键在于利用转化的思想，解分式方程注意要检验．将分式方程两边乘以最简公分母，转化为整式方程即可． 【详解】解：两边同乘最简公分母，得： 故选：B． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）解分式方程：． 【答案】； 【分析】本题考查了解分式方程． 按照去分母，移项，合并同类项的步骤解方程，然后检验即可得到答案； 【详解】解：， 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验，当时，， ∴是原方程的解； 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）解方程：． 【答案】（2） 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的求解步骤是解答的关键． 先去分母化为整式方程，再解整式方程，然后对计算结果进行检验即可得到方程的解． 【详解】解： 去分母，得 移项，得 合并同类项，得 化系数为1，得 检验：当时，， ∴是分式方程的解． 4．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）解方程：； 【答案】； 【分析】本题考查了解分式方程，，熟练掌握运算法则及解法是解题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并，得， 检验：当时，， ∴原方程的解为； 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）解方程：． 【答案】 【分析】此题考查了解分式方程，解方程时，最后要进行检验． 根据解分式方程的步骤求解即可． 【详解】解： 去分母得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解． 6．（24-25八年级下·江苏南京·期末）解方程： 【答案】无解 【分析】本题考查了解分式方程． 把分式方程转变为整式方程，解整式方程求出x的值，然后检验即可． 【详解】解：， 方程两边同时乘，得， 去括号，得， 解得：， 检验：把代入得， 是分式方程的增根， 分式方程无解． 7．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）解方程：； 【答案】； 【分析】（1）按照解分式方程的步骤进行计算，即可解答； 【详解】解： ， ， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的根； 8．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）解方程： 【答案】无解 【分析】本题考查了分式方程的解法，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和分式方程的求解步骤． 先通过去分母将分式方程化为整式方程，求解整式方程后再检验． 【详解】解：方程两边同乘得： 解得， 经检验是原方程的增根， 故方程无解． 9．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）解方程： 【答案】无解 【分析】本题考查了分式方程的解法．去分母化成整式方程，求得整式方程的解，再检验即可． 【详解】解： 去分母得， 解得， 检验：当时， 则是原方程的增根， ∴原方程无解． 10．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，先通分，然后化为整式方程进行计算，注意结果要验根． 【详解】解：， 去分母，得 ，    解得， 检验：当， 所以是原方程的解． 11．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）解方程： 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，正确去分母得出是解题关键．首先找出最简公分母，方程两边同时乘以，进而去分母，再去括号，移项，未知数系数化为1，求出方程的根即可，最后注意检验方程的根． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 整理得：， 则， 解得：， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为． 12．（24-25八年级下·江苏常州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键． （1）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可； （2）方程两边都乘得出，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】（1）解：， 方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以分式方程的解是； （2）解：， ， 方程两边都乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以是增根， ∴原分式方程无解． 13．（24-25八年级下·江苏南京·期末）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）按照解分式方程的基本步骤求解即可． （2）按照解分式方程的基本步骤求解即可． 本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， 去分母，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，系数化为1，得， 经检验，是原方程的解， 故是原方程的解． （2）解：∵， 去分母，得 ， 移项、合并同类项，得 ， 系数化为1，得 经检验，是原方程的增根， 故原方程无解． 14．（24-25八年级下·江苏南京·期末）解方程． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：， 方程两边同时乘以最简公分分母得：， 移项合并得：， 解得：， 经检验，当时，， 是分式方程的解． 15．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． （2）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， 经检验：当时，则， ∴是原分式方程的解． （2）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， 经检验：当时，则， ∴是原分式方程的解． 16．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）解下列分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】(1)按照解分式方程的基本步骤求解即可． (2)按照解分式方程的基本步骤求解即可． 本题考查了分式方程的解法，熟练掌握解分式方程的基本步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：∵, 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得， 经检验，是原方程的根， 故是原方程的根． （2）解：∵， 即， 去分母，得 ， 去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 系数化为1，得 经检验，时，， 是原方程的增根， 故原方程无解． 17．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）解方程． 【答案】为原方程的解． 【分析】本题考查了解方式方程，熟练掌握分式方程的解法是解答本题的关键． 去分母化为整式方程求解，然后检验即可． 【详解】解：方程两边同乘，得： ， 解得． 检验：当时，， 所以为原方程的解． 18．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）去分母转化为整式方程求解并检验； （2）去分母转化为整式方程求解并检验． 【详解】（1）解： ， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴原方程的解为； （2）解： 解得： 经检验：是增根， ∴原方程无解． 19．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）解下列方程∶ (1) (2) ． 【答案】(1) (2)无解 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟知解分式方程的方法是解题的关键． （1）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案； （2）先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：； （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 检验，当时，， ∴时原方程的增根， ∴原方程无解． ( 江苏 考点0 2 根据分式方程的根的情况求参数的值或范围 ) 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）若方程有增根，则a的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程、增根等知识点，理解增根的意义和掌握解分式方程的基本步骤是解答本题的关键． 把分式方程化为整式方程，再令最简公分母为0，即可求得增根，将增根代入整式方程求解，即可解题． 【详解】解： 去分母得：， 方程有增根，即， 解得， 将代入中有， 解得； 故答案为：． 2．（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知关于x的分式方程有增根，则________． 【答案】3 【分析】本题考查分式方程有增根的情况．将方程两边同乘，转化为整式方程，求得，根据分式方程有增根，得到，求解即可． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得， ∵关于x的分式方程有增根， ∴当时，， 即， ∴． 故答案为：3 3．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）如果关于的分式方程有增根，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了根据分式的方程解的情况求参数的值，先解分式方程，再根据分式方程解的情况列出关于的一元一次方程，解方程即可求解，理解分式方程增根的意义是解题的关键． 【详解】解：方程两边乘以，得， 解得， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）若关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是_______． 【答案】且 【分析】本题考查解分式方程，分式方程的解及解一元一次不等式，熟练掌握解分式方程及不等式的方法是解题的关键．利用去分母将原方程化为整式方程，根据题意列出关于k的一元一次不等式，解不等式并结合方程有意义的条件即可求得k的取值范围． 【详解】解：去分母，得， 解得， ∵该分式方程的解是非负数，且， ∴，且， 解得且． 故答案为：且． 5．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若关于x的方程的解是正数，则k要满足的条件是______． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程，分式有意义的条件的应用，熟练解分式方程是解题的关键． 根据题意，解分式方程，得到，结合已知条件，得到k所满足的条件． 【详解】解：方程两边同乘，得， 解得：， 关于x的方程的解是正数， ∴且，， 且 故答案为：且 6．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有 ．（填字母） A：         B： (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． (3)若数对（，且）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程，x有整数解，求整数m的值． 【答案】(1)A (2) (3)1． 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案； （3）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程解得，再由关于的方程，有整数解，将代入恒等变形为，解出，进而得到或或或，求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 当时，分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 故答案为：A； （2）解：是关于x的分式方程的“关联数对”， ， 解得， ， 解得． （3）解：是关于x的分式方程的“关联数对”， ， 解得：， ， 当时，解得， 将化简得， ， 解得， 关于x的方程，x有整数解，且为整数， 或， 即或或或， 解得或或（舍去）或（舍去）， ， ． ( 江苏 考点0 3 分式方程的实际应用 ) 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）截至2024年底，全国新能源汽车保有量达3140万辆．为保障新能源汽车出行，某停车场拟购买A，B两种充电桩．已知A种充电桩的单价比B种充电桩的单价多1万元，投资24万元购买的A种充电桩与投资16万元购买的B种充电桩数量一样． (1)求购买每个A种，B种充电桩分别需投资多少万元； (2)若购买A，B两种充电桩共20个，要求购买的A种充电桩的数量不少于购买的B种充电桩数量的2倍，问购买多少个A种充电桩时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】(1)每个A种充电桩需投资3万元，每个B种充电桩需投资2万元 (2)购买14个A种充电桩时，可使投资总额最少为万元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设购买每个A种充电桩需投资x万元，则购买每个B种充电桩需投资万元，根据投资24万元购买的A种充电桩与投资16万元购买的B种充电桩数量一样，列出分式方程，解方程并检验即可； （2）设购买m个A种充电桩，则购买个B种充电桩，设投资总额为w万元，先根据购买的A种充电桩的数量不少于购买的B种充电桩数量的2倍，列出不等式，求出m的范围，然后w关于m的关系式，根据一次函数的性质求出结果即可． 【详解】（1）解：设购买每个A种充电桩需投资x万元，则购买每个B种充电桩需投资万元， 根据题意得：，解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：购买每个A种充电桩需投资3万元，购买每个B种充电桩需投资2万元； （2）解：设购买m个A种充电桩，则购买个B种充电桩， 根据题意得：， 解得：， 为正整数， 的最小值为14， 设投资总额为w万元， 根据题意得：， ， 随m的增大而增大， 当时，w有最小值，最小值， 答：购买14个A种充电桩时，可使投资总额最少，投资总额最少为万元． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）一辆货车从北京开往乌鲁木齐，路线总长是，为了实施西部大开发，京乌线决定全线提速，提速后的平均速度是原来的倍，提速后比提速前可提前到达． (1)提速前的平均速度是多少？ (2)如果全程运行时间控制内，那么提速后的平均速度至少应为多少？ 【答案】(1)提速前的平均速度是 (2)提速后的平均速度至少应为 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式． （1）设提速前的平均速度，则提速前的平均速度是，根据提速后比提速前可提前到达，列出分式方程，解出方程即可； （2）设提速后的平均速度应为，根据全程运行时间控制内，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：设提速前的平均速度是，则提速前的平均速度是， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：提速前的平均速度是； （2）设提速后的平均速度应为， 由题意得：， 解得：， 答：提速后的平均速度至少应为． 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，书中许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的倍，用元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》少买本．求《周髀算经》的单价为多少元？ 【答案】《周髀算经》单价为元 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确找到等量关系列出方程是解题的关键．设《周髀算经》单价为元，则《孙子算经》单价为元，根据题意列出分式方程，解方程，最后检验，即可求解． 【详解】解：设《周髀算经》单价为元，则《孙子算经》单价为元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：《周髀算经》单价为元． 4．（24-25八年级下·江苏南京·期末）某城市引入某品牌新能源环卫车进行道路清洁．该品牌车辆电池满电容量均为180千瓦时升级后，满电状态下可持续工作时间是升级前的倍，工作状态下每小时比升级前少耗电5千瓦时求升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量． 【答案】升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为20千瓦时 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为x千瓦时，则升级前该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为千瓦时，根据升级后，满电状态下可持续工作时间是升级前的倍，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为x千瓦时，则升级前该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为千瓦时， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量为20千瓦时． 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）某中学开学初在商场购进、两种品牌的足球，购买品牌足球花费了2600元，购买品牌足球花费了1700元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的2倍，已知购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花20元．求购买一个A品牌、一个品牌的足球各需多少元． 【答案】购买一个品牌的足球需要65元，一个品牌的足球需要85元 【分析】本题考查了分式方程的应用，找出题目蕴含的等量关系是解决问题的关键． 设买一个品牌的足球需元，则买一个品牌的足球需元，根据购买品牌足球的数量是购买品牌足球数量的2倍列出方程，求解即可． 【详解】解：设购买一个品牌的足球需要元，则购买一个品牌的足球需要元， 根据题意得： 解方程，得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， 当时， 答：购买一个品牌的足球需要65元，一个品牌的足球需要85元． 6．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）2025年3月14日是第六个“国际数学日”，某校在今年“国际数学日”举行了“数学迷宫”活动，购买了一批羽毛球拍和乒乓球拍作为奖品．通过电话询问文具店了解到羽毛球拍的单价比乒乓球拍贵，且花200元购买的乒乓球拍比花240元购买的羽毛球拍多1副，则羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别为多少？ 【答案】羽毛球单价为80元，乒乓球单价为50元 【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解答的关键．设乒乓球拍的单价为元，则羽毛球拍的单价为元，根据“花200元购买的乒乓球拍比花240元购买的羽毛球拍多1副”列方程求解即可． 【详解】解：设乒乓球拍的单价为元，则羽毛球拍的单价为元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合实际， 元， 答：羽毛球单价为80元，乒乓球单价为50元． 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）当前，随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．2023年，我国已成为全球最大的新能源汽车市场，“购买新能源汽车到底划不划算？”是消费者关心的话题之一．下面是车身价相同的燃油车与新能源汽车的部分相关信息对比： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：元/千瓦时 (1)设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车每千米行驶费用 和纯电新能源车的每千米行驶费用 ． (2)若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多元． ①请分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其它费用） 【答案】(1)元，元 (2)①燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元；②当每年行驶里程大于6000千米时，买新能源车的年费用更低 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是总价与单价和数量的关系，列出分式方程，列出一元一次不等式． （1）燃油车每千米行驶费用等于每箱油总价除以总里程，纯电新能源车每千米行驶费用等于电池满容量总费用除以总量程； （2）①燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多元和（1）中结果列方程求出a值，即可分别求出这两款车的每千米行驶费用，注意解分式方程检验；②设每年行驶的里程为x千米，根据新能源车的年费用更低，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：燃油车每千米行驶费用为（元）， 纯电新能源车每千米行驶费用为（元）， 故答案为：元，元； （2）①由题意得：， 解得：， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴（元），（元）， 答：燃油车每千米行驶费用为元，纯电新能源车每千米行驶费用为元； ②设每年行驶里程为千米时，买新能源车的年费用更低， 由题意得：， 解得：， 答：当每年行驶里程大于6000千米时，买新能源车的年费用更低． 8．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）下面是小亮学习了“分式方程”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：小丽与小明为艺术节做小红花，小明比小丽每小时多做2朵．已知小明做100朵与小丽做90朵所用时间相等，小明、小丽每小时各做小红花多少朵？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…等量关系：小明做100朵用的时间小丽做90朵用的时间 解法二 设…等量关系：小明每小时做的朵数小丽每小时做的朵数 任务： (1)解法一所列方程中的表示______，解法二所列方程中的表示______； A．小明每小时做朵 B．小丽每小时做朵 C．小明做了小时 (2)请选择一种解法求出小明、小丽每小时各做小红花的朵数． 【答案】(1)A，C (2)小明每小时做小红花20朵，小丽每小时做18朵 【分析】本题考查的是分式方程的应用，分式方程的解法，理解题意是解本题的关键． （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）选择一个方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由小明做100朵用的时间小丽做90朵用的时间，可得：解法一所列方程中的表示小明每小时做朵，由小明每小时做的朵数小丽每小时做的朵数可得： 解法二所列方程中的表示小明做了小时； 故答案为：A，C； （2）解：选择解法一，根据题意， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； ， 答：小明每小时做小红花20朵，小丽每小时做18朵． 选择解法一，根据题意， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意； ， 答：小明每小时做小红花20朵，小丽每小时做18朵． 9．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）某班准备购进《周髀算经》和《九章算术》若干本供同学们借阅．据了解，用540元购买《周髀算经》的数量比购买《九章算术》的数量多2本，且《九章算术》的单价是《周髀算经》单价的倍． 请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用． 先提出问题，设《周髀算经》单价是x元，则《九章算术》的单价是元，根据用540元购买《周髀算经》的数量比购买《九章算术》的数量多2本，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：问题：《周髀算经》单价是多少元？ 设《周髀算经》单价是x元，则《九章算术》的单价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：《周髀算经》单价是45元． 10．（24-25八年级下·江苏常州·期末）某市高铁站将原来的检票系统换成了智能通道闸机系统，如图1所示是一个智能通道闸机，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机时会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的圆弧翼，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角． (1)当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为 ； (2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 【答案】(1) (2)人 【分析】本题考查了直角三角形的应用，分式方程的应用； （1）连接，并向两方延长，分别交于，根据题意得到，再根据直角三角形的性质得到，，代入计算即可； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：连接，并向两方延长，分别交于， 由点在同一条水平线上，均垂直于地面可知，， 所以的长度就是与之间的距离， 在中，，， ∴， 同理可得， ∴， ∴当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度； （2）设一个人工检票口平均每分钟检票通过的人数为人， 根据题意得，， 解得：， 经检验，是原方程的根， 当时，， 答：一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数约为人． 11．（24-25八年级下·江苏南京·期末）某班级学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先出发，出发15分钟后，剩余学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度． 【答案】慢车的速度为 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，准确分析条件列方程是解题的关键． 设慢车的速度为，则快车的速度为，根据“慢车先出发，出发15分钟后，剩余学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区”列方程求解即可． 【详解】解：设慢车的速度为，则快车的速度为，根据题意，得， 解得：； 经检验：是原方程的解． 答：慢车的速度为． 12．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）盱眙龙虾作为盱眙县的璀璨特产，以其独特风味享誉全国．在盱眙龙虾市场中，十三香口味的大虾与中虾的价格存在差异，每斤大虾的价格比中虾高出10元．且用200元购买大虾的数量和用160元购买中虾的数量相等．求十三香口味的大虾和中虾每斤分别是多少元？ 【答案】十三香口味的中虾每斤元，则大虾每斤元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． 设十三香口味的中虾每斤元，则大虾每斤元，根据“且用200元购买大虾的数量和用160元购买中虾的数量相等”建立分式方程求解． 【详解】解：设十三香口味的中虾每斤元，则大虾每斤元， 由题意得：， 解得：， 经检验：时原方程的解，且符合题意， ∴原方程的解为， 则， 答：十三香口味的中虾每斤元，则大虾每斤元． 13．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）某旅行社组织“深度文化游”与“快速观光游”两种汉文化研学线路．选择“深度文化游”需步行5千米，并在汉画像石馆停留20分钟；选择“快速观光游”需乘坐电瓶车，全程6千米（无停留）．已知电瓶车速度为步行速度的1.5倍，“快速观光游”比“深度文化游”全程少用30分钟．求“深度文化游”步行时平均每小时走多少千米？ 【答案】步行的平均速度为． 【分析】本题考查了分式方程的实际应用. 设步行的平均速度为，根据题意列出分式方程计算即可. 【详解】解：设步行的平均速度为， 由题意，得 解得． 经检验，是原方程的解． 答：步行的平均速度为． 14．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）李师傅计划生产720个零件．当生产任务完成一半时，为了提前完成任务，李师傅将工作效率提高，结果比原计划提前了24分钟完成任务，求李师傅原计划每小时生产多少个零件？ 【答案】李师傅原计划每小时生产180个零件 【分析】该题考查了分式方程的应用，设李师傅原计划每小时生产x个零件，根据“结果比原计划提前了24分钟完成任务，”即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【详解】解：设李师傅原计划每小时生产x个零件， 由题意得， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意． 答：李师傅原计划每小时生产180个零件． 15．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）据统计，到扬州的游客非常喜欢刺绣工艺包，为了满足场需求，某刺绣工厂改进了生产工艺，现在平均每天比原计划多生产个工艺包，现在生产个工艺包所得时间与原计划生产个工艺包的时间相同，原计划每天生产多少个工艺包？ 【答案】原计划每天生产个工艺包． 【分析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是根据题意找出等量关系． 根据题意找出等量关系，列方程，求解即可． 【详解】解：设原计划每天生产个工艺包，则现在平均每天生产个工艺包， 根据题意可得， 解得，， 经检验：是原分式方程的解， 答：原计划每天生产个工艺包． 16．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）列方程解应用题： 小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1800米，4500米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前6分钟出发，求小明和小刚两人的速度． 【答案】小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟 【分析】此题主要考查了分式方程的应用，正确得出等量关系是解题关键．直接利用小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前6分钟出发，进而得出等式求出答案． 【详解】解：设小明的速度是米/分钟，则小刚骑自行车的速度是米/分钟， 根据题意可得：， 解得：， 经检验得：是原方程的根， 故， 答：小明的速度是50米/分钟，则小刚骑自行车的速度是150米/分钟． 17．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）某文具商店计划售卖哪吒卡片．调查发现：每盒A款哪吒卡片的进货单价比B款哪吒卡片少5元，花500元购进A款哪吒卡片的数量与花750元购进B款哪吒卡片的数量相同． (1)A、B两款的进货单价分别是每盒多少元？ (2)商店准备将售卖A、B两款卡片的利润每盒分别定为3元和5元，计划一共购买100盒哪吒卡片，A款哪吒卡片的盒数不得超过B款哪吒卡片的盒数，购买资金不超过1260元．在全部售完的情况下，请通过计算说明采用何种购买方案才能使获利最大？ 【答案】(1)A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元 (2)购进A款48盒、B款52盒时获得的利润最大 【分析】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用，理解题意是解答的关键． （1）设A款的进货单价是元，则B款的进货单价是元，根据题意列分式方程求解即可； （2）设购进B款盒，则购进A款盒，根据题意求得求解即可． 【详解】（1）解：设A款的进货单价是x元，则B款的进货单价是元， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是该方程的解， ， 答：A款的进货单价是10元，则B款的进货单价是15元； （2）解：设购进B款n盒，则购进A款盒， 款哪吒卡片的盒数不得超过款哪吒卡片的盒数， ，解得：， 根据题意得：，解得：， ，n取整数为50，51，52， 当时，，获利为：（元）； 当时，，获利为：（元）； 当时，，获利为：（元）． 因为，所以购进A款48盒、B款52盒时获得的利润最大． 18．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）学校组织春游活动，从学校出发，下面是小红、小明两位同学的对话： 根据以上信息求小明骑自行车的速度． 【答案】明骑自行车的速度是15千米/小时 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设小明骑自行车的速度是千米/小时，则客车的速度为千米/小时，根据题意列方程即可得到解答． 【详解】解：设小明骑自行车的速度是千米/小时，则客车的速度为千米/小时， 根据题意，得． 解得 经检验，是所列方程的解． 答：小明骑自行车的速度是15千米/小时． 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 分式方程解法及其应用 3大高频考点概览 考点01分式方程的解法 考点02 根据分式方程的根的情况求参数的值或范围 考点03 分式方程的实际应用 ( 江苏江苏 考点0 1 分式方程的解法 ) 1．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）解分式方程时，去分母变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）解分式方程：． 3．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）解方程：． 4．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）解方程：； 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）解方程：． 6．（24-25八年级下·江苏南京·期末）解方程： 7．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）解方程：； 8．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）解方程： 9．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）解方程： 10．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）解方程：． 11．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）解方程： 12．（24-25八年级下·江苏常州·期末）解方程： (1)； (2)． 13．（24-25八年级下·江苏南京·期末）解分式方程： (1)； (2)． 14．（24-25八年级下·江苏南京·期末）解方程． 15．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）解方程： (1)； (2)． 16．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）解下列分式方程： (1) (2) 17．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）解方程． 18．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）解下列方程： (1)； (2)． 19．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）解下列方程∶ (1) (2) ． ( 江苏 考点0 2 根据分式方程的根的情况求参数的值或范围 ) 1．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）若方程有增根，则a的值为______． 2．（24-25八年级下·江苏南京·期末）已知关于x的分式方程有增根，则________． 3．（24-25八年级下·江苏盐城·期末）如果关于的分式方程有增根，则的值是______． 4．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）若关于x的分式方程的解是非负数，则k的取值范围是_______． 5．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）若关于x的方程的解是正数，则k要满足的条件是______． 6．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）新定义：如果两个实数a，b使得关于x的分式方程的解是成立，那么我们就把实数a，b组成的数对称为关于x的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于x的分式方程的解是成立，所以数对就是关于x的分式方程的一个“关联数对”． (1)下列数对是关于x的分式方程的“关联数对”有 ．（填字母） A：         B： (2)若数对是关于x的分式方程的“关联数对”，求n的值． (3)若数对（，且）是关于x的分式方程的“关联数对”，且关于x的方程，x有整数解，求整数m的值． ( 江苏 考点0 3 分式方程的实际应用 ) 1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）截至2024年底，全国新能源汽车保有量达3140万辆．为保障新能源汽车出行，某停车场拟购买A，B两种充电桩．已知A种充电桩的单价比B种充电桩的单价多1万元，投资24万元购买的A种充电桩与投资16万元购买的B种充电桩数量一样． (1)求购买每个A种，B种充电桩分别需投资多少万元； (2)若购买A，B两种充电桩共20个，要求购买的A种充电桩的数量不少于购买的B种充电桩数量的2倍，问购买多少个A种充电桩时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 2．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）一辆货车从北京开往乌鲁木齐，路线总长是，为了实施西部大开发，京乌线决定全线提速，提速后的平均速度是原来的倍，提速后比提速前可提前到达． (1)提速前的平均速度是多少？ (2)如果全程运行时间控制内，那么提速后的平均速度至少应为多少？ 3．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）中华优秀传统文化源远流长，是中华文明的智慧结晶《孙子算经》、《周髀算经》是我国古代较为普及的算书，书中许多问题浅显有趣．某书店的《孙子算经》单价是《周髀算经》单价的倍，用元购买《孙子算经》比购买《周髀算经》少买本．求《周髀算经》的单价为多少元？ 4．（24-25八年级下·江苏南京·期末）某城市引入某品牌新能源环卫车进行道路清洁．该品牌车辆电池满电容量均为180千瓦时升级后，满电状态下可持续工作时间是升级前的倍，工作状态下每小时比升级前少耗电5千瓦时求升级后该品牌新能源环卫车工作状态下每小时的耗电量． 5．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）某中学开学初在商场购进、两种品牌的足球，购买品牌足球花费了2600元，购买品牌足球花费了1700元，且购买品牌足球数量是购买品牌足球数量的2倍，已知购买一个品牌足球比购买一个品牌足球多花20元．求购买一个A品牌、一个品牌的足球各需多少元． 6．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）2025年3月14日是第六个“国际数学日”，某校在今年“国际数学日”举行了“数学迷宫”活动，购买了一批羽毛球拍和乒乓球拍作为奖品．通过电话询问文具店了解到羽毛球拍的单价比乒乓球拍贵，且花200元购买的乒乓球拍比花240元购买的羽毛球拍多1副，则羽毛球拍和乒乓球拍的单价分别为多少？ 7．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）当前，随着新一轮科技革命和产业变革孕育兴起，新能源汽车产业正进入加速发展的新阶段．2023年，我国已成为全球最大的新能源汽车市场，“购买新能源汽车到底划不划算？”是消费者关心的话题之一．下面是车身价相同的燃油车与新能源汽车的部分相关信息对比： 燃油车 纯电新能源车 油箱容积：48升 电池容量：90千瓦时 油价：8元/升 电价：元/千瓦时 (1)设两款车的续航里程均为a千米，请用含a的代数式表示燃油车每千米行驶费用 和纯电新能源车的每千米行驶费用 ． (2)若燃油车每千米行驶费用比纯电新能源车多元． ①请分别求出这两款车的每千米行驶费用； ②若燃油车和纯电新能源车每年的其它费用分别为4800元和8100元．问：每年行驶里程超过多少千米时，新能源车的年费用更低？（年费用＝年行驶费用＋年其它费用） 8．（24-25八年级下·江苏镇江·期末）下面是小亮学习了“分式方程”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：小丽与小明为艺术节做小红花，小明比小丽每小时多做2朵．已知小明做100朵与小丽做90朵所用时间相等，小明、小丽每小时各做小红花多少朵？ 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…等量关系：小明做100朵用的时间小丽做90朵用的时间 解法二 设…等量关系：小明每小时做的朵数小丽每小时做的朵数 任务： (1)解法一所列方程中的表示______，解法二所列方程中的表示______； A．小明每小时做朵 B．小丽每小时做朵 C．小明做了小时 (2)请选择一种解法求出小明、小丽每小时各做小红花的朵数． 9．（24-25八年级下·江苏苏州·期末）某班准备购进《周髀算经》和《九章算术》若干本供同学们借阅．据了解，用540元购买《周髀算经》的数量比购买《九章算术》的数量多2本，且《九章算术》的单价是《周髀算经》单价的倍． 请你根据以上信息，提出一个用分式方程解决的问题，并写出解答过程． 10．（24-25八年级下·江苏常州·期末）某市高铁站将原来的检票系统换成了智能通道闸机系统，如图1所示是一个智能通道闸机，它的双翼成轴对称，当旅客通过时智能闸机时会自动识别旅客身份，识别成功后，双翼会收回到两侧闸机箱内，这时旅客即可通过．图②是双翼展开时的截面图，扇形和是闸机的圆弧翼，和均垂直于地面，双翼边缘的端点与点在同一水平线上，且它们之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机箱的夹角． (1)当双翼收起时，可以通过闸机的最大宽度为 ； (2)经实践调查，一个智能闸机的平均检票速度是一个人工检票口平均检票速度的倍，人的团队通过一个智能闸机口比通过一个人工检票口可节约分钟，求一个智能闸机平均每分钟检票通过的人数． 11．（24-25八年级下·江苏南京·期末）某班级学生周末乘汽车到游览区游览，游览区距学校．一部分学生乘慢车先出发，出发15分钟后，剩余学生乘快车前往，结果他们同时到达游览区．已知快车速度是慢车速度的1.2倍，求慢车的速度． 12．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）盱眙龙虾作为盱眙县的璀璨特产，以其独特风味享誉全国．在盱眙龙虾市场中，十三香口味的大虾与中虾的价格存在差异，每斤大虾的价格比中虾高出10元．且用200元购买大虾的数量和用160元购买中虾的数量相等．求十三香口味的大虾和中虾每斤分别是多少元？ 13．（24-25八年级下·江苏徐州·期末）某旅行社组织“深度文化游”与“快速观光游”两种汉文化研学线路．选择“深度文化游”需步行5千米，并在汉画像石馆停留20分钟；选择“快速观光游”需乘坐电瓶车，全程6千米（无停留）．已知电瓶车速度为步行速度的1.5倍，“快速观光游”比“深度文化游”全程少用30分钟．求“深度文化游”步行时平均每小时走多少千米？ 14．（24-25八年级下·江苏无锡·期末）李师傅计划生产720个零件．当生产任务完成一半时，为了提前完成任务，李师傅将工作效率提高，结果比原计划提前了24分钟完成任务，求李师傅原计划每小时生产多少个零件？ 15．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）据统计，到扬州的游客非常喜欢刺绣工艺包，为了满足场需求，某刺绣工厂改进了生产工艺，现在平均每天比原计划多生产个工艺包，现在生产个工艺包所得时间与原计划生产个工艺包的时间相同，原计划每天生产多少个工艺包？ 16．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）列方程解应用题： 小明和小刚约定周末到某体育公园打羽毛球．他们两家到体育公园的距离分别是1800米，4500米，小刚骑自行车的速度是小明步行速度的3倍，若二人同时到达，则小明需提前6分钟出发，求小明和小刚两人的速度． 17．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）某文具商店计划售卖哪吒卡片．调查发现：每盒A款哪吒卡片的进货单价比B款哪吒卡片少5元，花500元购进A款哪吒卡片的数量与花750元购进B款哪吒卡片的数量相同． (1)A、B两款的进货单价分别是每盒多少元？ (2)商店准备将售卖A、B两款卡片的利润每盒分别定为3元和5元，计划一共购买100盒哪吒卡片，A款哪吒卡片的盒数不得超过B款哪吒卡片的盒数，购买资金不超过1260元．在全部售完的情况下，请通过计算说明采用何种购买方案才能使获利最大？ 18．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）学校组织春游活动，从学校出发，下面是小红、小明两位同学的对话： 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $